2022高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點撥例談概率知識在實際問題中的應(yīng)用

2022高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點撥：例談概率知識在實際問題中的應(yīng)用高中數(shù)學(xué)新教材以較多的篇幅充分了概率、統(tǒng)計等內(nèi)容，旨在介紹一些新的基本數(shù)學(xué)思想與內(nèi)容，同時使教材內(nèi)容更為體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，其重要性是不言而喻的。因此這部分內(nèi)容的教學(xué)，筆者認(rèn)為重在應(yīng)用。經(jīng)過實際問題使學(xué)生初步理解現(xiàn)實世界上大量事件的不確定性，同時能夠應(yīng)用概率知識進(jìn)行一些簡單地判斷與決議。下面試舉例評說一些概率的典型應(yīng)用問題。例1

要進(jìn)行某種爆破試驗，設(shè)爆破成功的概率為

3

，失敗的概率為

1

，而現(xiàn)有材料只4

4能提供4次試驗，問實驗在4次內(nèi)就會爆破成功的概率。解以ξ表示首次爆破成功所需的實驗次數(shù)。則3131111in,并且每支線是否上網(wǎng)是隨機(jī)的，且相互獨立。4414243444問在此出口除應(yīng)設(shè)置幾個接口，使5條支線能隨機(jī)使用這幾個接口之一時,每條支線的上網(wǎng)率不小于解設(shè)ξ為任一時刻上網(wǎng)的支線數(shù)目，由題意，每條支線任一時刻上網(wǎng)的概率為1,五條3支線是否上網(wǎng)是相互獨立的，因此ξ~B5,1。3故12個接口,則能保證不超過m條支線同時上網(wǎng),一時每條支線的上網(wǎng)率不小于,3即5條支線中不超過m條支線同時上網(wǎng)的概率不小于即0.95。由2,2需要采用拉斷強(qiáng)度不小于2的鋼索。如果大橋所用鋼索合格σ=cm。某大橋根據(jù)設(shè)計要求，cm率在%以上，則認(rèn)為是安全的。問該大橋可否使用此工廠生產(chǎn)的鋼索解設(shè)鋼索的拉斷強(qiáng)度為ξ。ξ~N（，），Pξ=1-P0<ξ<=1-(4.25.72)(05.72)0.50.5=1-(3.04)(3.04)0.9997該大橋能夠使用此工廠生產(chǎn)的鋼索。評注：實際問題中，在工程的可靠性、安全性等測試，往往需要概率知識的運用，使我們不希望發(fā)生的事件概率越小越好。這需要在工程設(shè)計、材料采用，工藝要求等各環(huán)節(jié)獲得一定的保障。例41太平洋保險企業(yè)新推出一種保險業(yè)務(wù)，若在1年內(nèi)事件A發(fā)生，則保險企業(yè)要補償a元，若在1年內(nèi)事件A發(fā)生的概率為,為使保險企業(yè)利潤的希望值等與a元,保險企業(yè)應(yīng)要求10顧客繳納多少保險金2利用下列營利表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行決議應(yīng)選擇的方案是____。自然盈利方案狀況A1A2A3A4概率S15070-298S265265282S3261678-10解:1用ξ表示保險企業(yè)的利潤額,為用戶繳納的保險金,則ξ的取值為,-a,且有Pξ==1-,Pξ=-a=;Eξ=1--a=-a,又Eξ=a，10=(10p1)a,即保險企業(yè)要求顧客繳納(10p1)a的保險金。10102設(shè)方案A1,A2,A3,A4的盈利分別為ξ1,ξ2,ξ3,ξ4,則Eξ1=50×65×26×=,Eξ2=70×26×16×=Eξ3=-2×52×78×=Eξ4=98×82×-10×=應(yīng)選擇方案A3評注：保險、股票等風(fēng)險投資都帶有一定的隨機(jī)，運用數(shù)學(xué)希望這一隨機(jī)變量的總體特征來預(yù)期利潤的投資是比較客觀的。例5農(nóng)科所培養(yǎng)出良種雜交水稻品種進(jìn)行試驗栽種，在相同的條件下各樣植10畝。收獲情況如下:A品種畝產(chǎn)量g750780800840880畝數(shù)2B品種畝產(chǎn)量g760780800820850畝數(shù)22321試評論兩種水稻品種產(chǎn)量的優(yōu)劣狀況。解設(shè)A,B兩種水稻的某產(chǎn)量分別為ξ1,ξ2,則隨機(jī)變量ξ1的概率散布為：ξ1750780800840880P隨機(jī)變量ξ2的概率散布為：ξ2760780800820850PEξ1=,Eξ=，Dξ=,Dξ=。212A品種水稻畝產(chǎn)量的均值略高于B品種，但B品種畝產(chǎn)量方差遠(yuǎn)比A品種的小，即B品種產(chǎn)量較為穩(wěn)定，栽種風(fēng)險小。評注：