分離變量法非齊次方程

分離變量法非齊次方程第一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五令其中………………(1)………………(2)第二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五令為待定函數(shù).并將按特征函數(shù)系展為級數(shù)其中………………(3)………………(4)………………(1)第三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五將(3),(4)代入方程得兩端比較將(3)代入初始條件第四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五Laplace變換所以第五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五例1.求解具有熱源，兩端絕熱，初始溫度為零的桿的熱傳導(dǎo)問題。征函數(shù)為設(shè)解：第六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五代入方程得比較系數(shù)得：……①……②由初始條件得：……………③從而所以第七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五例在環(huán)形區(qū)域內(nèi)求解下列定解問題解考慮極坐標(biāo)變換:第八頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五定解問題可以轉(zhuǎn)化為:相應(yīng)的齊次問題的特征函數(shù)系為:第九頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五于是可以設(shè)原問題的解為:代入方程，整理得第十頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五比較兩端和的系數(shù)可得第十一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五由邊界條件，得所以第十二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五由邊界條件，可知滿足的方程是齊次歐拉方程，其通解的形式為第十三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五下面求.方程的通解為由端點的條件，得原問題的解為：第十四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五2.5非齊次邊界條件的處理

處理非齊次邊界條件問題的基本原則是:選取一個輔助函數(shù),通過函數(shù)之間的代換:使得對新的未知函數(shù)

邊界條件為齊次的.第十五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五例1．振動問題（I）解：取故要求滿足(I)的邊界條件，即解得思路:作代換選取w(x,t)使v(x,t)的邊界條件化為齊次第十六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五代入(I)，得的定解問題(II)令第十七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五如果仍取的線性函數(shù)作為，則有此時除非，否則這兩式互相矛盾。當(dāng)x＝0和x=l

滿足第二類邊界條件注意：應(yīng)取第十八頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五例定解問題其中A,B為常數(shù).解:令第十九頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五代入方程，得選滿足它的解為第二十頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五于是滿足的方程為：第二十一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五利用分離變量法，求解得其中從而，原定解問題的解為第二十二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五一.選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.原則:邊界條件的表達式最簡單.二.若邊界條件是非齊次的,引進輔助函數(shù)把邊界條件化為齊次的。三.對于齊次邊界條件、非齊次方程的定解問題，可將問題分解為兩個,其一是方程齊次,并具有原定解條件的定解問題(分離變量法)；其二是具有齊次定解條件的非齊次方程的定解問題(特征函數(shù)法).一般的定解問題的解法第二十三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五例求下列定解問題的解其中為常數(shù)。解1）邊界條件齊次化，令第二十四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五于是滿足如下定解問題2）將問題分解為兩個定解問題。設(shè)第二十五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五第二十六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五3）求解問題(I),(II)。首先，利用分離變量法求解問題(I)。特征值及相應(yīng)的特征函數(shù)第二十七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五則利用初始條件確定系數(shù)計算可得第二十八頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五其次，利用特征函數(shù)法求解問題(II)

將按問題（I）的特征函數(shù)系進行傅立葉展開代入問題（II）的方程及初始條件，得第二十九頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五問題轉(zhuǎn)化為求解下列常微分方程的初值問題解得所以，第三十頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五4）綜合上述結(jié)果,得到原問題的解第三十一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期五對于二維拉普拉斯方程的邊值問題而言,應(yīng)根據(jù)求解區(qū)域的形狀適當(dāng)?shù)倪x取坐標(biāo)系,使得在此坐標(biāo)系下邊界條件的表達方式最簡單,便于求解.例如,對于圓域、圓環(huán)可以采用極坐標(biāo)。應(yīng)當(dāng)指出,只有當(dāng)求解區(qū)域