函數(shù)的單調(diào)性

1.3.1函數(shù)的單調(diào)性

六安市第二中學(xué)潘莉熱烈慶賀六安市被評為國家級森林城市！如圖，這是六安市某天的氣溫變化圖。

畫出下列函數(shù)的圖象，觀察其變化規(guī)律：問題

（1）f(x)=x;從左至右圖象上升還是下降?_______

實例引入上升

畫出下列函數(shù)的圖象，觀察其變化規(guī)律：問題

（2）f(x)=-2x;

從左至右圖象上升還是下降?

__下降_____實例引入yO2-1xxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyO

畫出下列函數(shù)的圖象，觀察其變化規(guī)律：問題

（3）f(x)=x2．①在區(qū)間________上，隨著x的增大，f(x)的值隨著________．

②在區(qū)間________上，隨著x的增大，f(x)的值隨著________．實例引入減小(-∞，0)增大[0，+∞)從上面的觀察分析，能得出什么結(jié)論？函數(shù)的單調(diào)性問題

從上面的觀察分析可以看出：不同的函數(shù)，其圖象的變化趨勢不同，同一函數(shù)在不同區(qū)間上變化趨勢也不同，函數(shù)圖象的這種變化規(guī)律就是函數(shù)性質(zhì)的反映，這就是我們所要研究的函數(shù)的一個重要性質(zhì)——函數(shù)的單調(diào)性．如何用x與f(x)來描述上升的圖象？Oxy如何用x與f(x)來描述上升的圖象？Oxy如何用x與f(x)來描述上升的圖象？Oxy如何用x與f(x)來描述上升的圖象？x2x1Oxyx1＜x2如何用x與f(x)來描述上升的圖象？x2x1Oxyy＝f(x)x1＜x2如何用x與f(x)來描述上升的圖象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)x1＜x2如何用x與f(x)來描述上升的圖象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)x1＜x2如何用x與f(x)來描述上升的圖象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)x1＜x2f(x1)＜f(x2)如何用x與f(x)來描述上升的圖象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)x1＜x2f(x1)＜f(x2)如何用x與f(x)來描述上升的圖象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)在給定區(qū)間上任取x1,x2x1＜x2f(x1)＜f(x2)如何用x與f(x)來描述上升的圖象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)在給定區(qū)間上任取x1,x2x1＜x2f(x1)＜f(x2)如何用x與f(x)來描述上升的圖象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)在給定區(qū)間上任取x1,x2函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上為增函數(shù).x1＜x2f(x1)＜f(x2)如何用x與f(x)來描述上升的圖象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)在給定區(qū)間上任取x1,x2如何用x與f(x)來描述下降的圖象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上為增函數(shù).x1＜x2f(x1)＜f(x2)如何用x與f(x)來描述上升的圖象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)在給定區(qū)間上任取x1,x2如何用x與f(x)來描述下降的圖象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上為增函數(shù).x1＜x2f(x1)＜f(x2)如何用x與f(x)來描述上升的圖象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)在給定區(qū)間上任取x1,x2如何用x與f(x)來描述下降的圖象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上為增函數(shù).在給定區(qū)間上任取x1,x2x1＜x2f(x1)＜f(x2)如何用x與f(x)來描述上升的圖象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)在給定區(qū)間上任取x1,x2如何用x與f(x)來描述下降的圖象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上為增函數(shù).x1＜x2f(x1)＞f(x2)在給定區(qū)間上任取x1,x2x1＜x2f(x1)＜f(x2)如何用x與f(x)來描述上升的圖象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)在給定區(qū)間上任取x1,x2如何用x與f(x)來描述下降的圖象？x2x1Oxyy＝f(x)f(x1)f(x2)函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上為增函數(shù).函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上為減函數(shù).x1＜x2f(x1)＞f(x2)在給定區(qū)間上任取x1,x2一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I:函數(shù)的單調(diào)性

如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值，當(dāng)時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)（increasingfunction）．x1＜x2一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I:函數(shù)的單調(diào)性

如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值，當(dāng)時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間D上是減函數(shù)（decreasingfunction）．x1＜x2

如果函數(shù)y＝f（x），在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)在這個區(qū)間上具有（嚴格）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f（x）的單調(diào)區(qū)間．函數(shù)的單調(diào)性

在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的．

例下圖是定義在閉區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)y=（x）的圖象，根據(jù)圖象說出函數(shù)的的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)．-5Oxy12345-1-2-3-4123-1-2y＝f（x）的單調(diào)區(qū)間有[－5，－2），[－2，1），[1，3），[3，5].其中y＝f（x）在[－5，－2），[1，3）上是減函數(shù)，在[－2，1），[3，5）上是增函數(shù).典型例題2.根據(jù)圖象說出函數(shù)的的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)．y12345xy=（x）-1O反比例函數(shù)的單調(diào)性練習(xí)

畫出反比例函數(shù)的圖象．（1）這個函數(shù)的定義域I是什么？（2）它在定義域I上的單調(diào)性是怎樣的？證明你的結(jié)論．反比例函數(shù)的單調(diào)性探究

證明：根據(jù)單調(diào)性的定義

，設(shè)

是定義域（0，+∞）上的任意兩個實數(shù)，且<，則由∈（0，+∞）得>0；由<,得>0．于是>0所以，函數(shù)在

是減函數(shù)

證明：在是減函數(shù)。試用函數(shù)的單調(diào)性證明之．證明函數(shù)單調(diào)性步驟

證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：

⑴取值：設(shè)x1

，x2是給定區(qū)間內(nèi)的兩個任意值，且x1<x

2

(或x1

>x

2）；

⑵作差：作差f(x1)－f(x2)，并將此差式變形（要注意變形到能判斷整個差式符號為止）；

⑶定號：判斷f