線性規(guī)劃與整數(shù)規(guī)劃

線性規(guī)劃模型第一節(jié)線性規(guī)劃模型一、線性規(guī)劃及其數(shù)學(xué)模型1．線性規(guī)劃問題在生產(chǎn)管理和經(jīng)營活動(dòng)中，經(jīng)常提出一類問題，既如何合理地利用有限的人力、物力、財(cái)力等資源，以便得到最好的經(jīng)濟(jì)效益。問題１擬定生產(chǎn)計(jì)劃問題提出某公司生產(chǎn)炊事用具需要兩種資源—?jiǎng)趧?dòng)力和原材料，某公司計(jì)劃生產(chǎn)三種不同產(chǎn)品，生產(chǎn)管理部門提供的數(shù)據(jù)如下：ＡＢＣ勞動(dòng)力（小時(shí)／件）７３６原材料（千克／件）４４５利潤（元／件）４２３每天可供應(yīng)原材料為２００千克，每天可使用的勞動(dòng)力為１５０小時(shí)，問如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，才能是公司總收益最大？模型建立設(shè)每天生產(chǎn)Ａ、Ｂ、Ｃ三種產(chǎn)品的件數(shù)分別為最大利潤為則該問題就是在條件下，求利潤的最大值。問題２運(yùn)輸問題問題的提出兩個(gè)煤炭廠每月進(jìn)煤分別為60t和100t，聯(lián)合供應(yīng)三個(gè)居民區(qū)三個(gè)居民區(qū)每月對(duì)煤的需求量依次為50t、70t、40t，煤廠離居民區(qū)的距離分別為10km、5km、6km，煤廠離居民區(qū)的距離分別為4km、8km、12km，如何分配供煤量才能使總運(yùn)輸量達(dá)到最小？模型建立設(shè)表示煤廠提供給居民區(qū)的煤量，表示總運(yùn)輸量，則所求問題就是在條件下，求總運(yùn)輸量的最小值。２．線性規(guī)劃問題的特點(diǎn)和數(shù)學(xué)模型從以上兩個(gè)實(shí)例可以看出，它們都屬于一類優(yōu)化問題，其共同特點(diǎn)是：（１）所給問題都用一組決策變量表示某一方案，這組決策變量的值就代表一個(gè)具體方案，一般這些變量的取是非負(fù)的；（２）存在一定的約束條件，這些約束條件可以用一組線性等式或線性不等式來表示；（３）都有一個(gè)要求達(dá)到的目標(biāo)，它可以用決策變量的線性函數(shù)來表示，這個(gè)函數(shù)稱為目標(biāo)函數(shù)。按問題的不同，要求目標(biāo)函數(shù)實(shí)現(xiàn)最大化或最小化。滿足以上三個(gè)條件的數(shù)學(xué)模型稱為線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型，其一般形式為：目標(biāo)函數(shù)：約束條件：3.線性規(guī)劃模型的標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)際問題的線性規(guī)劃模型是多種多樣的，在多種多樣的模型中，可規(guī)定一種形式為標(biāo)準(zhǔn)型，以便于研究和求解。（1）線性規(guī)劃模型的標(biāo)準(zhǔn)型如果在線性規(guī)劃模型中，有n個(gè)決策變量m個(gè)約束條件，約束條件為等式約束，決策變量非負(fù)，求目標(biāo)函數(shù)的最小值，這種線性規(guī)劃模型就叫做標(biāo)準(zhǔn)型。其表達(dá)式為：在標(biāo)準(zhǔn)型中，規(guī)定否則等式兩端乘以“-1”，其矩陣形式為：其中，稱為約束條件的系數(shù)矩陣，一般有稱為價(jià)值向量；向量稱為資源向量；稱為決策向量；為零向量。（2）任意一線性規(guī)劃模型都可以化為標(biāo)準(zhǔn)型若原模型要求目標(biāo)函數(shù)實(shí)現(xiàn)最大化，即則即目標(biāo)函數(shù)可化為這就與標(biāo)準(zhǔn)型的目標(biāo)函數(shù)一致了。若原模型中的約束條件為不等式，有兩種情況：①若原模型中的約束條件為不等式：左端右端，則在左端加上“非負(fù)松弛變量”使不等式化為等式：左端+非負(fù)松弛變量=右端。②若原模型中的約束條件為不等式：左端右端，則在左端減去“非負(fù)松弛變量”使不等式化為等式：左端-非負(fù)松弛變量=右端。例1將問題1的模型化為標(biāo)準(zhǔn)型。二、應(yīng)用舉例1．食譜問題

問題提出一飼養(yǎng)場飼養(yǎng)供實(shí)驗(yàn)用的動(dòng)物，已知?jiǎng)游锏纳L對(duì)飼料中的三種營養(yǎng)成分：蛋白質(zhì)、礦物質(zhì)和維生素特別敏感，每個(gè)動(dòng)物每天至少需要蛋白質(zhì)７０克，礦物質(zhì)３克，維生素１０毫克。該場能買到５種飼料，各種飼料每千克的成本及所含營養(yǎng)成分如下表所示，請(qǐng)確定既能滿足動(dòng)物需要，又使總成本最低的飼料配方。飼料成本（元）蛋白質(zhì)（克）礦物質(zhì)（克）維生素（克）0.20.300.100.050.72.000.050.100.41.000.020.020.30.600.200.200.51.800.050.08設(shè)每個(gè)動(dòng)物每天食用的混合飼料中所含的第種飼料的數(shù)量為千克，混合飼料的總成本為z,則上述問題的數(shù)學(xué)模型為２．連續(xù)投資問題問題提出某部門在今后五年內(nèi)考慮給下列四個(gè)項(xiàng)目投資，項(xiàng)目Ａ，從第一年到第四年年初需要投資，并于次年末回收本利的115%；Ｂ項(xiàng)目，第三年年初需要投資，到第五年年末能回收本利125%，但規(guī)定最大投資不超過４萬元；Ｃ項(xiàng)目，第二年年初需要投資，到第五年年末能回收本利140%，但規(guī)定最大投資不超過３萬元；項(xiàng)目Ｄ，五年內(nèi)每年年初購買公債，于當(dāng)年末歸還，并加利息6%。該部門現(xiàn)有資金10萬元，問如何分配這些項(xiàng)目每年的投資額，使到第五年末擁有資金的本利總額最大？問題分析（１）五年中每年年初該部門擁有的資金是變化的，設(shè)表示第i年年初給第j項(xiàng)項(xiàng)目的投資額，顯然（２）該部門每年的投資額等于部門年初所擁有的資金，下面分年度討論：第一年，年初擁有資金１０萬元，所以有第二年，年初擁有資金僅為項(xiàng)目Ｄ在第一年末回收的本息所以有第三年，年初擁有資金為所以有第四年，年初擁有資金為所以有第五年，年初擁有資金為所以有又，由題意知目標(biāo)函數(shù)：模型建立將上述分析整理，可得此問題的數(shù)學(xué)模型為：3.下料問題問題的提出計(jì)劃做100套鋼架,每套用長為2.9米、2.1米、1.5米的圓鋼各一根。設(shè)原材料長7.4米，問如何下料，才能使所用原料最少？分析最簡單的做法是在每一根原料上截取三種長度不同的圓鋼各一根組成一套，但浪費(fèi)較大。若改為套截，則可節(jié)省原料。8種套截方案如下表：方案配件123456782.9211100002.1021032101.510130234余料0.10.30.901.10.20.81.4設(shè)按第i種方案下料的原料根數(shù)為表示總余料,則所求問題的數(shù)學(xué)模型為注:該問題的數(shù)學(xué)模型的目標(biāo)函數(shù)也可以為:其中表示使用原料總根數(shù).第二歌節(jié)碌整狐數(shù)規(guī)涼劃模喪型在一示般的刻線性熄規(guī)劃銳模型朝中,卸再加雙上決涌策變爛量取株整的堡條件惕,所妄得到沙的一類以規(guī)劃缺問題先稱為畝整數(shù)惠線性裝規(guī)劃素.問題蓮1貨物皮托運(yùn)找問題某公婦司擬飼用集噸裝箱廢托運(yùn)A,腿B兩種狼貨物閑，每款箱的隱體積尋、重定量、槳可獲得淋利潤對(duì)以及槍托運(yùn)樂所受泊限制怨如下斃表所晴示。次問兩指種貨籃物各賢運(yùn)多榴少箱可獲旅得最搖大利者潤？貨物體積（立方米/箱）重量（公斤/箱）利潤（元/箱）A51002000B42501000托運(yùn)限制24650一、整數(shù)撈規(guī)劃鍬模型設(shè)分別嗚表示果這兩塑種貨畫物的事托運(yùn)縣箱數(shù)晚，則跡該問尚題的巧數(shù)學(xué)懶模型為：一般溝地，狀某公暮司擬永用集榨裝箱齊托運(yùn)n種貨滲物每箱鋪的體喬積、重量恰、可佩獲得隱利潤以及戲托運(yùn)號(hào)所受比限制橡為V和M，問怎哲么裝近箱可寨獲得資最大虛利潤心？問題后2分派顆問題分配n個(gè)人撫去完院成n項(xiàng)任肺務(wù)，悄第i個(gè)人磨完成樣第j項(xiàng)任木務(wù)的守效率注為每個(gè)銳人恰像好完敢成一溪項(xiàng)任泛務(wù)，造如何席分配執(zhí)使總沒效率最大膽？設(shè)0找-1份變量則此荒問題鼠的數(shù)學(xué)榆模型濤為二、即0-兼1整數(shù)迅規(guī)劃斃模型0-蕩1整數(shù)經(jīng)規(guī)劃園模型橫是整基數(shù)規(guī)煩劃模仰型中忠的特唱殊情涉形，蒸它的決策而變量僅取運(yùn)0或甜1。換這時(shí)又叫畜0-在1變吃量。問題守2分派迷問題就是0-有1整數(shù)橋規(guī)劃膏模型問題竭3策選哭址問躺題問題釀提出某公唱司欲就在城駐市的躬東、咽西、端南三夏區(qū)建柴立門再市部釘，擬議中績有7伐個(gè)位械置可供穗選擇規(guī)，規(guī)愿定在東鵝區(qū)，朋由三個(gè)納位置貌中至乓多選醬兩個(gè)縣；在西穿區(qū)，澇由兩個(gè)辛個(gè)位像置中霉至少元選一株個(gè)；在南炭區(qū)，辨由兩個(gè)世個(gè)位減置中寸至少速選一漏個(gè)。如果宗選用則設(shè)淺備投強(qiáng)資費(fèi)籍用為每年衡可獲膛利潤界為但投海資總崇額不殖能超未過B元，它問應(yīng)兆選擇乳哪幾栗個(gè)位纏置，?？墒剐钅昀紳欁顝拇螅磕Ｐ屯澜⑸淌紫萨喴肫?-夕1變守量則此達(dá)問題拋的數(shù)拐學(xué)模青型為習(xí)題1.恰某晝蹤蝶夜服駐務(wù)的遵公交卡線路末每天匹各時(shí)讀間段倦內(nèi)所瘋需要棄司機(jī)煙和乘爸務(wù)員飼如下表贏。設(shè)條司機(jī)穴和乘買務(wù)員買分別哈在各姜時(shí)間血區(qū)段墻一開挨始時(shí)幼上班辯，并瞧連續(xù)鄰工作8小乖時(shí)。妥問該借公交糾線路漲至少堤要配屆備多猜少司剩機(jī)和栽乘務(wù)忘員？班次時(shí)間段所需人數(shù)班次時(shí)間段所需人數(shù)16:00~10:0060418:00~22:0050210:00~14:0070522:00~2:0020314:00~18:006062:00~6:0030設(shè)每演人每川天只權(quán)上一榮輪班無(8艇小時(shí)她),霉第i時(shí)間麥段開肯始時(shí)猶有名人注員上米班,扁則2.倚背包報(bào)問題一個(gè)族旅行真者必柔須決甚定在掛旅途剪中要雕攜帶迫哪些攔物品圾,才能使彼攜帶竿的總悉重量財(cái)不超吹過b公斤報(bào),以巨使總陷的“晃價(jià)值滔”最節(jié)大,澇這樣麗的問寺題稱為背情包問額題.差設(shè)有n件物驚品,滋第i件物求品的膝重量薦為公斤愧,攜宗帶的就“價(jià)湯值”為試建鋼立背晨包問膊題的桿數(shù)學(xué)塞模型晴.首先確引入竊0-征1變糞量則此蟻問題統(tǒng)的數(shù)序?qū)W模灶型為3.副比賽華安排險(xiǎn)問題已知忠下列嶺5名敬運(yùn)動(dòng)餡員各竿種游爺泳項(xiàng)鹿目的澡成績綢(各為5酬0米留)如壘下表娛所示猜,問源如何連從中控選拔控一個(gè)嚼參加花20育0米惱混合逢游泳桂的接力隊(duì)筑,使素預(yù)期鳥成績怒最好們.項(xiàng)目趙錢張王周仰泳37.332.933.837.035.4蛙泳43.433.142.234.741.8蝶泳33.328.538.930.433.6自由泳29.226.429.628.531.14.加工恩任務(wù)械安排某工篩廠用兩臺(tái)鏈機(jī)床洪加工三種不同順的零描件.氣已知娛在一還個(gè)生右產(chǎn)周喂期內(nèi)只能易工作倘80肯機(jī)時(shí)沈;只能挽工作10悟0機(jī)厲時(shí).炊一個(gè)稱生產(chǎn)細(xì)周期堡內(nèi)計(jì)域劃加認(rèn)工三種滾不同駁的零泛件分碼別為研:70喪件、齡50川件、窯20初件。敞兩臺(tái)們機(jī)床遺加工霞每個(gè)敘零件魔的時(shí)黑間和艦