第條件分布與二維隨機(jī)變量的獨立性

在第一章中，我們介紹了條件概率的概念.在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率推廣到隨機(jī)變量設(shè)有兩個r.vX,Y，在給定Y取某個或某些值的條件下，求X的概率分布.這個分布就是條件分布.條件分布第二講條件分布與隨機(jī)變量的獨立性例如，考慮某大學(xué)的全體學(xué)生，從其中隨機(jī)抽取一個學(xué)生，分別以X和Y表示其體重和身高.則X和Y都是隨機(jī)變量，它們都有一定的概率分布.體重X身高Y體重X的分布身高Y的分布現(xiàn)在若限制1.7<Y<1.8(米),在這個條件下去求X的條件分布，這就意味著要從該校的學(xué)生中把身高在1.7米和1.8米之間的那些人都挑出來，然后在挑出的學(xué)生中求其體重的分布.容易想象，這個分布與不加這個條件時的分布會很不一樣.例如，在條件分布中體重取大值的概率會顯著增加.一、離散型r.v的條件分布列實際上是第一章講過的條件概率概念在另一種形式下的重復(fù).定義1設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量，對于固定的j，若P(Y=yj)>0，則稱為在Y=yj條件下隨機(jī)變量X的條件分布列.P(X=xi|Y=yj)=，i=1,2,…類似定義在X=xi條件下隨機(jī)變量Y的條件分布列.作為條件的那個r.v,認(rèn)為取值是給定的，在此條件下求另一r.v的概率分布.條件分布列是一種概率分布列，它具有概率分布列的一切性質(zhì).正如條件概率是一種概率，具有概率的一切性質(zhì).例如：i=1,2,…例1一射手進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)的概率為

p，(0<p<1)，射擊進(jìn)行到擊中目標(biāo)兩次為止.以X表示首次擊中目標(biāo)所進(jìn)行的射擊次數(shù)，以Y表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù).試求X和Y的聯(lián)合分布列及條件分布列.解：依題意，{Y=n}表示在第n次射擊時擊中目標(biāo),且在前n-1次射擊中有一次擊中目標(biāo).{X=m}表示首次擊中目標(biāo)時射擊了m次n次射擊擊中2nn-11……………….m擊中

n=2,3,…;m=1,2,…,n-1由此得X和Y的聯(lián)合分布列為不論m(m<n)是多少，P(X=m,Y=n)都應(yīng)等于n次射擊擊中2nn-11……………….m擊中每次擊中目標(biāo)的概率為pP(X=m,Y=n)=？為求條件分布，先求邊緣分布.X的邊緣分布列是：m=1,2,…Y的邊緣分布列是：n=2,3,…于是可求得：當(dāng)n=2,3,…時，m=1,2,…,n-1聯(lián)合分布列邊緣分布列n=m+1,m+2,…當(dāng)m=1,2,…時，

二、連續(xù)型r.v的條件分布設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型r.v，由于對任意x,y,P(X=x)=0,P(Y=y)=0，所以不能直接用條件概率公式得到條件分布，下面我們直接給出條件概率密度的定義.定義2設(shè)X和Y的聯(lián)合概率密度為f(x,y),邊緣概率密度為，則對一切使的x,定義已知

X=x下，Y的條件密度函數(shù)為同樣，對一切使的y,定義為已知

Y=y下，X的條件密度函數(shù).我們來解釋一下定義的含義：將上式左邊乘以dx

,右邊乘以(dxdy)/dy即得以為例換句話說，對很小的dx和

dy，表示已知

Y取值于y和y+dy之間的條件下，X取值于x和x+dx之間的條件概率.運(yùn)用盟條件廳概率命密度發(fā)，我唱們可量以在買已知棋某一領(lǐng)隨機(jī)甩變量歉值的耗條件濁下，躁定義岡與另抵一隨傘機(jī)變等量有第關(guān)的難事件檢的條財件概仙率.定義哄在已稀知Y=y下，X的條崖件分固布函所數(shù)為特別，取即:若(X,Y)是連超續(xù)型r.傷v,則對到任一集合A，求P(X>1妹|Y=y)例2設(shè)(X,Y)的概率密度是解:

P(X>1|Y=y)為此,需求出由于于是死對y>0網(wǎng),故對y>0乖,P(X>1濤|Y=y)例3設(shè)(X,Y)服從偶單位罵圓上壺的均醒勻分代布，貫概率密度牲為求解：X的邊超緣密訓(xùn)度為當(dāng)|x|<睛1時,有例4設(shè)r.巾vX在區(qū)控間(0帥,1虜)均勻低分布狗，當(dāng)息觀察點到X=否x(0寒<x<1蘇)時，r.稅vY在區(qū)果間(x,1鴉)上均找勻分醉布.求Y的概蛇率密歷度.解：依題喬意，X具有嶺概率光密度對于剃任意議給定途的值x(0津<x<1謙)，在X=委x的條根件下會，Y的條輪件概酸率密斜度為X和Y的聯(lián)諒合密浪度為于是揭得Y的概硬率密捧度為已知哈邊緣毛密度加、條件綠密度壯，求聯(lián)合圓密度隨機(jī)逆變量尿的獨跪立性鋤是概壞率論土中的分一個叼重要巴概念兩事剝件A,B獨立常的定春義是陪：若P(AB)=P(A)P(B)則稱傻事件A,B獨立.設(shè)X,Y是兩個r.v，若對任意的x,y,有則稱X,Y相互獨立.兩隨淘機(jī)變酸量獨浸立的負(fù)定義毀是：用分布函數(shù)表示,即設(shè)X,Y是兩個r.v，若對任意的x,y,有則稱X,Y相互獨立.它表距明，爬兩個r.導(dǎo)v相互獨立撐時，吉它們鞠的聯(lián)游合分布倉函數(shù)錄等于數(shù)兩個些邊緣貪分布昌函數(shù)朋的乘黃積.其中是X,Y的聯(lián)合密度，則稱X,Y相互獨立.對任意的x,y,有若(X,Y)是連結(jié)續(xù)型r.膨v，則上拐述獨膠立性移的定殺義等樂價于歷：分別是X的邊緣密度和Y的邊緣密度.若(X,Y)是離唐散型r.值v，則上旺述獨碧立性因的定殖義等貴價于衰：則稱X和Y相互獨立.對(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有即例1設(shè)(X,Y)的概率密度為問X和Y是否獨立？解：x>0即：對一切x,y,均有：故X,Y獨立y>0若(X,Y)的概率密度為情況又怎樣？解：0<x<10<y<1由于雷存在漁面積幟不為0的區(qū)文域，故X和Y不獨看立.例2甲乙狐兩人紗約定開中午12時30分在色某地餡會面.如果昂甲來處到的降時間曲在12升:1士5到12混:4訓(xùn)5之間壤是均糊勻分鐮布.乙獨昌立地倡到達(dá),而且濟(jì)到達(dá)宗時間垮在12報:0賽0到13序:0沃0之間前是均禍勻分毯布.試求驗先到海的人鍋等待穴另一蛙人到客達(dá)的懇時間江不超劈燕過5分鐘拋的概繪率.又甲僚先到慘的概氏率是榆多少防？設(shè)X為甲辱到達(dá)貢時刻,Y為乙擔(dān)到達(dá)弟時刻以12時為行起點,以分允為單總位,依題盜意,X~U(1幕5,至45亭),Y~U(0稼,6浙0)解:所求為P(|X-Y|5)及P(X<Y)解:設(shè)X為甲到達(dá)時刻，Y為乙到達(dá)時刻以12時為起點，以分為單位，依題意，X~U(15,45),Y~U(0,60)甲先痕到的概構(gòu)率由獨蠶立性先到巡壽的人蔑等待膠另一廟人到達(dá)炸的時省間不城超過5分鐘的概溝率解一惜：P(|X-Y|5)=P(薦-5肯<X-Y<5傾)=1扶/6=1惠/2P(X<Y)解二慶：P(X<Y)=1角/6=1棋/2被積垮函數(shù)遙為常腸數(shù)，直接燥求面千積=P(X>Y)P(|X-Y|5)類似禿的問笨題如次：甲、替乙兩穩(wěn)船同軌日欲責(zé)靠同丟一碼陡頭，陰設(shè)兩桿船各診自獨簡立地脆到達(dá)飽，并賢且每向艘船換在一抱晝夜代間到趁達(dá)是雪等可鄰能的.若甲陰船需質(zhì)停泊1小時蹄，乙漫船需仰停泊2小時吹，而拳該碼棍頭只櫻能停是泊一洋艘船鍛，試欲求其毒中一阻艘船侮要等籠待碼葵頭空捆出的鄙概率.在某逃一分逝鐘的末任何氏時刻特，信艦號進(jìn)色入收忠音機(jī)獅是等匪可能毫的.若收肌到兩掉個互練相獨框立的懷這種晚信號諒的時諒間間遼隔小詞于0.切5秒，蠟則信軍號將說產(chǎn)生蹦互相詢干擾.求發(fā)禾生兩畝信號恰互相墨干擾爪的概今率.把長壓度為a的線增段在側(cè)任意獲兩點捐折斷行成為粘三線牌段，拘求它青們可豈以構(gòu)侵成三守角形桂的概揚(yáng)率.長度為a我們蹄已經(jīng)糖知道轉(zhuǎn)，設(shè)(X,Y)是連續(xù)型r.v，若對任意的x,y,有則稱X,Y相互獨立.由條晶件密林度的房誠定義椅：可知齡，當(dāng)X與Y相互誤獨立促時，也可楚用此憐條件姜判別呢二維嗽連續(xù)縣型r.釀v(X,Y)的兩潑個分這量X與Y是否規(guī)相互卸獨立.對離址散型r.漠