第十一章算法框圖復(fù)數(shù)推理與證明推理與證明

重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：①掌握合情推理和演繹推理．②能熟練地運(yùn)用綜合法和分析法證題．③理解反證法，掌握反證法證題步驟．難點(diǎn)：用綜合法、分析法、反證法證題的思路．知識(shí)歸納1．推理的概念根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知判斷(事實(shí)或假設(shè))得出一個(gè)新的判斷的思維過(guò)程叫推理，推理一般由兩部分組成：前提和結(jié)論．推理一般分為合情推理和演繹推理兩類．2．合情推理前提為真時(shí)，結(jié)論可能為真的推理叫合情推理，數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的合情推理是歸納推理和類比推理．歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理．(1)歸納推理根據(jù)一類事物的部分對(duì)象具有某種性質(zhì)，推出該類事物的所有對(duì)象都具有這種性質(zhì)的推理，叫做歸納推理，歸納推理是由部分到整體，由特殊到一般的推理．歸納推理的一般步驟：①通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)．②從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜想)．(2)類比推理根據(jù)兩類不同事物之間具有的某些類似(或一致)性推測(cè)其中一類事物具有與另一類事物類似(或相同)的性質(zhì)，這樣的推理叫類比推理．類比推理是由特殊到特殊的一種推理形式，類比的結(jié)論可能是真的．所以類比推理屬于合情推理．類比推理的一般步驟：①找出兩類事物之間的相似性或一致性．②用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題(猜想)．3．演繹推理根據(jù)一般性的真命題(或邏輯規(guī)則)推導(dǎo)出特殊性命題為真的推理形式稱作演繹推理．它的特征是：當(dāng)前提為真時(shí)，結(jié)論必然為真．(1)假言推理假言推理的規(guī)則是：“若p?q，p真，則q真”．它的本質(zhì)是，通過(guò)驗(yàn)證結(jié)論的充分條件為真，從而判斷結(jié)論為真．(2)三段論推理“若b?c，a?b，則a?c”，這種推理規(guī)則叫三段論推理．它包括：(1)大前提——已知的一般性原理．M是P(2)小前提——所研究的特殊情況．S是M(3)結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷．S是P，三段論推理是演繹推理的一般模式．(3)關(guān)系推理推理規(guī)則是：“如果aRb，bRc，則aRc”(其中R表示具有傳遞性的關(guān)系)，這種推理叫關(guān)系推理，如：由a∥b，b∥c，推出a∥c，若a≥b，b≥c，則a≥c，都是關(guān)系推理．(4)完全歸納推理把所有情況都考慮在內(nèi)的演繹推理規(guī)則叫做完全歸納推理．4．直接證明直接證明是從命題的條件或結(jié)論出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理、法則等，直接推證結(jié)論的真實(shí)性．(1)綜合法從已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步推理，最后達(dá)到待證結(jié)論．是一種由因?qū)Ч姆椒ǎ?2)分析法從待證結(jié)論出發(fā)，一步一步尋求結(jié)論成立的充分條件，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實(shí)，是一種執(zhí)果索因的方法．分析法的特點(diǎn)是：從“未知”看需知，逐步靠攏“已知”，其每步推理都是尋求使每一步結(jié)論成立的充分條件，直到最后把要證明的結(jié)論歸納為判定一個(gè)明顯成立的條件為止．綜合法的特點(diǎn)是：從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其每步推理都是尋找使每一步結(jié)論成立的必要條件．5．反證法一般地，由證明p?q，轉(zhuǎn)向證明?q?r?…?t，而t與已知矛盾或與某個(gè)真命題矛盾，從而判定?q為假，推出q為真的證明方法叫做反證法．?dāng)?shù)學(xué)中的命題，都有題設(shè)條件和結(jié)論兩部分，反證法是從否定這個(gè)命題的結(jié)論出發(fā)，通過(guò)正確、嚴(yán)密的邏輯推理，由此引出一個(gè)新的結(jié)論，而這個(gè)新結(jié)論與已知矛盾，得出結(jié)論的反面不正確，從而肯定原結(jié)論是正確的一種間接證明方法．這里所謂的“與已知矛盾”主要是指：(1)與假設(shè)自相矛盾．(2)與數(shù)學(xué)公理、定理、公式、法則、定義或已被證明了的結(jié)論矛盾．(3)與公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)矛盾．反證法主要適用于以下情形：①結(jié)論本身是以否定形式出現(xiàn)的一類命題；②關(guān)于唯一性、存在性的命題；③結(jié)論以“至多”、“至少”等形式出現(xiàn)的命題；④結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體、更容易研究的命題；⑤要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰的命題．⑥如果從正面證明，需要分成多種情形進(jìn)行分類討論，而從反面進(jìn)行證明，只要研究一種或很少的幾種情形．誤區(qū)警示①在進(jìn)行類比推理時(shí)要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象迷惑，否則只抓住一點(diǎn)表面的相似甚至假象就去類比，就會(huì)犯機(jī)械類比的錯(cuò)誤．②注意區(qū)分演繹推理和合情推理，當(dāng)前提為真時(shí)，前者結(jié)論一定為真，后者結(jié)論可能為真！解題輪技巧1．分特析法垃的思井維是疤逆向若思維笑，因掙此在歌證題啦時(shí)，已應(yīng)正獻(xiàn)確使竟用“要證”、“只需脂證”這樣盞的連竄接詞彼．2．綜屆合法膠往往逗是分形析法旱的逆差過(guò)程縫，表狹述簡(jiǎn)從單，曲條理袋清楚病，所說(shuō)以實(shí)質(zhì)際證排題時(shí)列，可撇將分雷析法計(jì)、綜繁合法斗結(jié)合德起來(lái)鬼使用漁，即膨：分刺析找銹思路咱，綜軍合寫勿過(guò)程輕．3．用遲反證鉛法證惡題時(shí)門，首舒先要?jiǎng)t搞清堤反證漁法證抵題的千方法堡，其些次注亡意反簡(jiǎn)證法鎖是在潑條件熊較少環(huán)，不殺易入貪手時(shí)遷常用祥的方走法．反證留法還夜常常鍋用在奴要證坑的結(jié)送論中帽含有米許多柜種情紀(jì)形，響而結(jié)阻論的蹄反面夠則有沃較少剛或僅夠一種辰情形哭的命鴿題的惡證明鐮中，穿要注她意否宇定原聾命題螞時(shí)，太要準(zhǔn)白確無(wú)諷誤．應(yīng)用價(jià)反證桶法證航明數(shù)舍學(xué)命耕題的輸一般諷步驟浩：(1覆)分清蠶命題找的條秒件與徒結(jié)論城．(2芹)做出介與命捏題結(jié)輝論相意矛盾棟的假具設(shè)；(3哥)由假香設(shè)出顛發(fā)，腹應(yīng)用峰演繹揪推理鐮方法掩、推岔出矛沫盾的逮結(jié)果剃．(4系)斷定憑產(chǎn)生菠矛盾撕結(jié)果傲的原檔因在呼于開刮始所軋做假飛設(shè)不純真，父從而睡肯定丟原命掌題為編真．[例1]平面書內(nèi)有n條直檢線，疊其中燥任何抄兩條懼都不員平行押，任迫何三視條不煌過(guò)同葬一點(diǎn)冒，試稅歸納門它們者的交常點(diǎn)個(gè)善數(shù)．解析伙：n＝2時(shí)，毒交點(diǎn)路個(gè)數(shù)達(dá)：f(2奴)＝1.n＝3時(shí)，子交點(diǎn)番個(gè)數(shù)壟：f(3顯)＝3.n＝4時(shí)，烏交點(diǎn)醬個(gè)數(shù)糟：f(4丙)＝6.n＝5時(shí)，見(jiàn)交點(diǎn)臭個(gè)數(shù)巨：f(5旦)＝10傭.平面僚內(nèi)一閥條直派線可遍將平導(dǎo)面分坊成兩作部分掛，兩許條直膚線最裂多可鐵將平培面分求成4部分嗓，三伯條直酸線最酷多可齡將平塘面分削成幾焰部分兼？4條呢狀？猜私想n條直檔線最此多可印將平害面分炎成幾墳部分踢？解析下：3條直吃線最抵多可蓋將平食面分浸成7部分農(nóng)，4條直笑線最派多可猴將平妄面分董成11部分?jǐn)U．如丈圖點(diǎn)評(píng)滾：歸納亞出的膝一般重性結(jié)膏論，靈要能捏使已擋知的防結(jié)論脖為其辯特殊柱情形.[例3](文)在平閃面幾禾何里淡，有完勾股你定理棋：“設(shè)△AB馬C的兩鑄邊AB，AC互相繡垂直廁，則AB2＋AC2＝BC2.”拓展嘗到空業(yè)間，感類比霸平面昏幾何擾定理泊，研昆究三填棱錐污的側(cè)坦面面或積與恢底面憐面積朵的關(guān)貢系，品可以益得出付的正帳確結(jié)底論是憤：“設(shè)三賞棱錐A－BC妥D的三渣個(gè)側(cè)逆面AB刮C、AC位D、AD奸B兩兩坐相互巡壽垂直酒，則__水__英__對(duì)__．”答案特：S△AB業(yè)C2＋S△AC棵D2＋S△AD油B2＝S△BC返D2(理)如圖(1努)，過(guò)姨四面彩體V－AB部C的底添面內(nèi)江任一豎點(diǎn)O分別牲作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分別鞏是所竊作直威線與列側(cè)面苗交點(diǎn)挨．證明搭：如圖(2已)，設(shè)矛平面OA1VA∩BC＝M，平貼面OB1VB∩AC＝N，平蹈面OC1VC∩AB＝L，則框有△MO涉A1∽△MA眼V，△NO立B1∽△NB尋V，△LO虧C1∽△LC界N.得點(diǎn)評(píng)度：(1提)用現(xiàn)傾代的狼眼光里看，彼類比某就是氣兩個(gè)敵同構(gòu)宋關(guān)系壺的模右型間潤(rùn)的推超理，洋模型穿間的鍵同構(gòu)蒜關(guān)系節(jié)，即層它們么結(jié)構(gòu)基或功鎮(zhèn)能上晚存在討的某愿種對(duì)項(xiàng)應(yīng)性(相似酷性)，它慰是進(jìn)逗行類沫比推減理的柜依據(jù)委．(2烈)本例沿中的字三角到形與合四面猴體就胡是平肌面與撲空間剝中的踩兩個(gè)挽常見(jiàn)乓具有雨同構(gòu)暮關(guān)系蓋的模鉛型，鞏因而壞四面證體中察的很韻多性拐質(zhì)及技證明泛方法旦都可歪以通班過(guò)三質(zhì)角形兄中的爪性質(zhì)顧及證嚼明方捎法類拜比得筍到．(3致)數(shù)學(xué)醉中其犁他一觸些常逆見(jiàn)的饞具有滿同構(gòu)祖關(guān)系掏的模閘型有屯：等劍式與脅不等爆式、飛分?jǐn)?shù)煎與分褲式、素橢圓酷與雙串曲線悼、等趨差數(shù)升列與旋等比興數(shù)列棉、長(zhǎng)機(jī)方形使與長(zhǎng)香方體鴨、圓守與球肚等．點(diǎn)評(píng)輝：本例弟從結(jié)輸構(gòu)上條類比票，從敞等差球數(shù)列“和式非的差”類比錄到等督比數(shù)妹列“積式序的商”．分析蒼：本題壁主要還考查杜用分茂析法險(xiǎn)證明隊(duì)不等監(jiān)式及恨分析沫問(wèn)題恥、解朋決問(wèn)價(jià)題的抬能力副．可墊先令x、y為具敘體的短值，狂確定凝出常種數(shù)C，再群給出絞一般命證明方．總結(jié)碧評(píng)述暑：當(dāng)要圓證的漿不等價(jià)式較養(yǎng)復(fù)雜辨，兩竹端差得異難夾以消宰除或察者已參知條拋件信脅息量歉太少梳，已鐘知與卵待證掩間的陽(yáng)聯(lián)系霉不明豎顯時(shí)懶，一駁般可妄采用智分析呢法，呀分析滅法是效步步懲尋求繼不等基式成先立的誓充分鞋條件傻，而因?qū)嶋H擾操作投時(shí)往穩(wěn)往是申先從洋要證苗的不尚等式圖出發(fā)遮，尋聞?wù)沂箶偛坏热f(wàn)式成瘡立的稍必要觀條件竿，再騾考慮遠(yuǎn)這個(gè)射必要幸條件凝是否甜充分倘，這疊種“逆求”過(guò)程夾，能駛培養(yǎng)暢學(xué)生盡的發(fā)丈散思悅維能焦力，倆也是魂分析宴問(wèn)題浪、解阻決問(wèn)申題時(shí)夕常用庫(kù)的思撫考方橡法.[例6]設(shè)有嚇長(zhǎng)度芬分別只為a1、a2、a3、a4和a5的5條線惰段，更今知掩其中艙任何3條都皇可以檔構(gòu)成拉一個(gè)錘三角榴形，托證明棗：其這中必涼有銳慢角三庸角形執(zhí)．證明房誠(chéng)：為了燦便于病敘述秤，不洪妨設(shè)a1≤a2≤a3≤a4≤a5，并久設(shè)由越它們私中的煎任何3條組飼成的距都不屬是銳界角三嶄角形域，則風(fēng)由余欠弦定弊理可跌得：a32≥a12＋a22，a42≥a22＋a32，a52≥a32＋a42，∴有a52≥a32＋a42≥(a12＋a22)＋(a22＋a32)＝a12＋2a22＋a32≥a12＋2a22＋a12＋a22＝2a12＋3a22.∴a52≥2a12＋3a22＝2(a12＋a22)＋a22＝(a12＋a22)＋(a12＋a22)＋a22>a12＋2a1a2＋a22＝(a1＋a2)2.∴a5>a1＋a2.∵a1，a2，a5能構(gòu)沒(méi)成三迫角形沉的三限邊，∴有a5<a1＋a2，從膚而得張出矛潤(rùn)盾，故其征中必否有一查個(gè)為塑銳角久三角謹(jǐn)形．點(diǎn)評(píng)哥：1.反證撿法是探常用干的一羽種重絮要的烏思維蓄方式粗和數(shù)勉學(xué)方謠法，究在平屢面幾吹何、甘不等忙式及壩立體延幾何頭中有用著廣正泛的徑應(yīng)用丹，反裂證法斬的一餡般步冰驟為卸：(1會(huì))反設(shè)薯：即蓋作出填與命幅題結(jié)音論相染反的遲假設(shè)氏；(2爽)歸謬坑：將駕所作惠的假陡設(shè)為創(chuàng)依據(jù)母，通悉過(guò)嚴(yán)觀格的卻邏輯隙推理粱，導(dǎo)值出矛糊盾；(3稠)下結(jié)叼論：兆判斷培產(chǎn)生范矛盾鉛的原她因在企于所俯作的背假設(shè)旦是錯(cuò)愚誤的漠，因警此原識(shí)命題朵正確泄．2．正滾確地瘋作出甜反設(shè)(即否套定結(jié)摸論)，是體正確臂運(yùn)用澤反證緩法的眾前提迅，要饅注意忍一些睬常見(jiàn)房誠(chéng)結(jié)論快的“否定藍(lán)形式”．如“至少敢有一蒙個(gè)”、“至多裂有一枕個(gè)”、“都是”的否籠定形偵式分錯(cuò)別是“一個(gè)敲也沒(méi)吧有”、“至少全有兩羨個(gè)”、“不都豆是”．3．在尊推理該時(shí)導(dǎo)持致的擾矛盾頑是多墻種多酷樣的刪．可嘴能是繼：與案已知魔矛盾紗；與內(nèi)公理健、定燦義、涌定理鋸、公擇式矛宿盾；得也可弊以與推反設(shè)督矛盾掉或自造相矛層盾．踩作出琴反設(shè)許后，很可把載反設(shè)商也當(dāng)基做已炕知條隙件的午一部巨分，克和原野來(lái)的名已知禍條件駐合并賴在一什起，吳用它謠們的知全部新或部檔分進(jìn)開行推燙理，圓由于事選的歸條件靜不同康，得頑出的煉矛盾瞎也不秤同．稿可見(jiàn)胞矛盾森是在爭(zhēng)推理令過(guò)程傭中發(fā)俱現(xiàn)的逢，而擱不是吵推理頌之前浴設(shè)計(jì)倦或確荷定的顏．[答案]B二、礦填空擁題2．觀婦察式蜂子：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，則瘦可得將出一旨般結(jié)笨論：__昏__珍__她__繡.[答案]n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)21．(2百01頃0·哈師毒大附淋中)(1壘)由“若a，b，c∈R，則(ab)c＝a(bc)”類比疊得到“若a，b，c為三圍個(gè)平侮面向書量，朽則(a·b)·c＝a·(b·c)”(2飽)在數(shù)日列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，通訂過(guò)歸嫌納得是到猜核想an＝2n－2(3蹈)在平梅面內(nèi)“三角胡形的施兩邊億之和炊大于寫第三徒邊”，類桐比得畢到在佳空間滲中的宜結(jié)論覽：“四面晶體的責(zé)任意足三個(gè)殘面的顏面積墊之和森大于旺第四刮個(gè)面尿的面歡積”[答案](2色)(勸3)[解析](1廈)不正數(shù)確，(a·b)·c與c共線增，a·(b·c)與a共線尖，而a與c不一遺定共虧線；(2膜)正確余，由an＋1＝2an＋2得an＋1＋2＝2(an＋2)，∴{an＋2}是首忍項(xiàng)為a1＋2＝2，公破比為2的等草比數(shù)肌列，∴an＋2＝2n，∴an＝2n－2；(3爬)正確未，由貝四面霉體AB抄CD的任抽意一醫(yī)個(gè)頂造點(diǎn)如A，向銅對(duì)面槍作垂似線垂窄足為O，則△BO象C，△CO捧D，△BO痰D分別懼為△AB腿C，△AC暈D，△AB杠D在平悟面BC誼D內(nèi)的再射影何，而S△AB儲(chǔ)C＋S△AC償D＋S△AB爽D>S△BO暴C＋S△CO青D＋S△BO慘D≥S△BC婦D；2．(2堤01闖0·福建浸文)觀察轉(zhuǎn)下列活等式圍：①co酒s2α＝2c存os2α－1；②co菌s4α＝8c濾os4α－8c櫻os2α＋1；③co貓s6α＝32謊co毅s6α－48撲co石s4α＋18欠co的s2α－1；④co質(zhì)s8α＝12診8c叛os8α－25五6c胃os6α＋16捆0c責(zé)os4α－32恨co弄s2α＋1；⑤co熟s1顯0α＝mco撲s10α－12寨80暈co浸s8α＋11袋20惠co碌s6α＋nco圖s4α＋pco廚s2α－1.可以界推測(cè)漫，m－n＋p＝__貪__肌__職__御.[答案]96棚2[解析]由題意易知縱：m＝29＝51墳2，p＝5×10＝50m－12免80＋11衛(wèi)20＋n＋p－1＝1，∴m＋n＋p＝16渣2.∴n＝－40冒0，∴m－n＋p＝96云2.3．某索資料偏室在察計(jì)算殺機(jī)使幕用中呀，編魂碼以潑一定升規(guī)律丙排列電，且牽從左預(yù)至右原以及項(xiàng)從上迷到下鳴都是杏無(wú)限視的，爹如表赴所示羞，111111…123456…1357911…147101316…159131721…1611162126……………………則此餐表中箏主對(duì)察角線診上的制數(shù)構(gòu)韻成的傷數(shù)列1,炸2,效5,倆10豆,1守7，…的通帝項(xiàng)公悔式為__指__臥__蝦__真__．[答案]an＝n2－2n＋2，n∈N*[解析]由編況碼可恩得，企第m行是撤首項(xiàng)潤(rùn)為1，公歡差為m－1的等唯差數(shù)賞列，葵則第m行的星第n個(gè)數(shù)搞為1＋(n－1)尖(m－1)，令m＝n，則翁有an＝1＋(n－1)燙(n－1)＝n2－2n＋2，n∈N*.4．先蔽解答(1歇)，再柄根據(jù)柜結(jié)構(gòu)常類比弄解答(2步)：(1得)已知a，b為實(shí)漁數(shù)，籍且|a|<眾1，|b|<喪1，求乖證：ab＋1>a＋b.(2屈)已知a，b，c均為偷實(shí)數(shù)紡，且|a|<夾1，|b|<量1，|c|<窄1，求叛證：ab陵c＋2>a＋b＋c.[解析](1記)ab＋1－(a＋b)＝(a－1)摘(b－1)蠟>0且.(2咐)∵|a|<女1，|b|<評(píng)1，|c|<譽(yù)1，據(jù)(1狐)得(ab)·c＋1>ab＋c，∴ab敞c＋2＝[(ab)·c＋1]＋