應(yīng)用留數(shù)定理計算實(shí)變函數(shù)定積分

§4.2

應(yīng)用留數(shù)定理

計算實(shí)變函數(shù)定積分在自然科學(xué)中常常需要計算一些實(shí)積分，特別是計算一些在無窮區(qū)間上的積分。例如：光學(xué)問題中需要計算菲涅爾積分；熱傳導(dǎo)問題中需要計算；阻尼振動問題中需要計算積分等。我們在高等數(shù)學(xué)中已經(jīng)知道這些實(shí)變函數(shù)的積分需要特殊的技巧才能計算，有的很難，甚至不能計算。原因在于被積函數(shù)往往不能用初等函數(shù)的有限形式表示，因而就不能用牛頓—萊布尼茲公式計算?？墒峭ㄟ^本節(jié)的學(xué)習(xí)我們會發(fā)現(xiàn)，這些實(shí)積分可以轉(zhuǎn)化為復(fù)變函數(shù)的環(huán)路積分(注意到當(dāng)積分路徑沿實(shí)軸時，z=x即對應(yīng)于實(shí)積分)，再利用留數(shù)定理，則積分顯得方便易求。利用留數(shù)定理計算實(shí)積分一般可采用如下步驟：(1)添加輔助曲線，使積分路徑構(gòu)成閉合曲線；(2)選擇一個在曲線內(nèi)除了一些孤立奇點(diǎn)外都解析的被積函數(shù)F(z)，使得滿足F(x)=f(x)，通常選用F(z)=f(z)，只有少數(shù)例外；(3)計算被積函數(shù)F(z)在閉合曲線內(nèi)的每個孤立奇點(diǎn)的留數(shù)，然后求出這些留數(shù)之和；(4)計算輔助曲線上函數(shù)F(z)的積分值，通常選擇輔助線使得積分簡單易求，甚至直接為零。設(shè)法將實(shí)積分與復(fù)變函數(shù)回路積分相聯(lián)系。基本思想：(1)補(bǔ)上一段l2，使得l2上的積分容易計算；(2)自變數(shù)變換，把l1變成另一復(fù)平面上的回路。類型一：條件：

①被積函數(shù)是三角函數(shù)的有理式；

②區(qū)間是[0，2π]

變數(shù)代換令z=eix，x∈

[0，2π]，作變換令由留數(shù)定理得：zk為f(z)在單位圓內(nèi)的奇點(diǎn)例1：計算該積分在力學(xué)和量子力學(xué)中很重要例2：計算

解：令z=eix，則

f(z)有兩個2階極點(diǎn)，

其中在|z|=1內(nèi)，則z1處的留數(shù)為例3：計算

解：令z=eix，則

在|z|=1內(nèi)，

，以z=ε為一階極點(diǎn)例4：求的值解：令z=eiθ，則被積函數(shù)

在|z|=1內(nèi)只有單極點(diǎn)

，故類型二：(反常積分)條件：

①區(qū)間(-∞，∞)；

②f(z)在實(shí)軸上無奇點(diǎn)，在上半平面上除有限個奇點(diǎn)外是解析的；③當(dāng)z在上半平面和實(shí)軸上→∞時，

zf(z)一致地→0若，和為互質(zhì)多項(xiàng)式，上述條件意味著無實(shí)的零點(diǎn)，的次數(shù)至少比高兩階。所求積分通常理解為下列極限：若上述極限存在，這一極限便稱為

的值。而當(dāng)R1=R2→∞時極限存在的話，該極限稱為積分的主值，記為：

P

上下限相等并同時→∞本類型積分計算的是積分主值，如何計算？作如圖所示半圓形回路l只需證明例4：計算

解：=1，

=1+x2，在實(shí)軸上無零點(diǎn)，而，具有單極點(diǎn)±i，+i在上半平面，則例5：計算，（n為正整數(shù)）

解：∵是偶函數(shù)

而在上半平面具有n階極點(diǎn)+i，則例6：計算解：∵f(x)是偶單函數(shù)令z4+a4=0，則z4=-a4，即也就禍?zhǔn)钦f餐有4個單蛛極點(diǎn)鴉，其中，勞和您在上藏半平源面例7：計算,(a>0,b>0)的值庫。解：∵的分講母多旦項(xiàng)式的次罪數(shù)高石于分脅子多愧項(xiàng)式遲次數(shù)住兩次統(tǒng)，它在上凝半平吧面有z1=ai和z2=bi兩個鹽單極褲點(diǎn)所以例8：計算的值婦。解：∵為偶觀函數(shù)州，且克分母饒多項(xiàng)式的也次數(shù)賀高于炊分子音多項(xiàng)溫式次眠數(shù)兩雁次，它在應(yīng)上半歐平面爸有懶和兩個拒單極胖點(diǎn)，逃所以類型榮三：條件籌：①F(x)是偶攔函數(shù)稿，G(x)是奇畏函數(shù)辱，積品分區(qū)間喝是[0，∞]；②F(x)，G(x)在實(shí)膏軸上巡壽無奇妹點(diǎn)，殘在上建半平面懸除有蔑限個洗奇點(diǎn)截外是跳解析精的；③當(dāng)z在上鄭半平災(zāi)面或屋實(shí)軸煉上→號∞時僻，F(xiàn)(x)和G(x)一致排地→0。要計笨算右扒邊的址積分訴，需第要用鞠到約棋當(dāng)引獎理。約當(dāng)慕引理如果m為正競數(shù)，CR是以文原點(diǎn)借為圓榜心而妙位于謠上半在平面槽的半栗圓周微，又徹設(shè)當(dāng)z在上歉半平述面及繭實(shí)軸鈔上→革∞時焦，F(xiàn)(z)一致?lián)亍?，則證明若：當(dāng)z在上貍半平刷面及炸實(shí)軸憤上→因∞時酷，F(xiàn)(z)一致核地→0，所箏以ma嚷x|F(z)|→0，從捷而只渠需證疾明即是有林界的票。在范圍侵內(nèi)，拋有乘，當(dāng)R→∞紙時，末上式銷→有斑限值碗，則澤約當(dāng)偵引理煎成立業(yè)。如果m為負(fù)唐數(shù)，舒則約嘆當(dāng)引刮理為C'R是CR對于阻實(shí)軸活的映椒像。以上臣兩式洲均已仙化為飯類型磚二，問其中島條件3已放貿(mào)寬，司由約當(dāng)忠引理保證牙，所傘以例：色計算(a>0)的值副。解：嫌有碑兩個椒單極駛點(diǎn)±ai，其家中ai在上聲半平昂面，聲則特殊箏情形昨：實(shí)放軸上熟有單倍極點(diǎn)半的情匆形條件鈴：①f(x)在實(shí)降軸上愧