代數(shù)系統(tǒng)的一般性質(zhì)嘉應(yīng)

代數(shù)系統(tǒng)的一般性質(zhì)嘉應(yīng)1第一頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五例6.1<Z+,+>是半群。<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半群和獨(dú)異點(diǎn)，其中+表示普通加法。幺元是0。<N,+,0>,…,<R,+,0><Mn(R),·>是半群和獨(dú)異點(diǎn),其中·表示矩陣乘法。矩陣乘法的幺元是n階單位矩陣E.<Mn(R),·,E><Σ*,?>是半群和獨(dú)異點(diǎn),其中Σ是有窮字母表,?表示連接運(yùn)算.連接運(yùn)算的幺元是空串.<∑*,?,><P(B),>是半群和獨(dú)異點(diǎn),其中表示集合的對(duì)稱差運(yùn)算．對(duì)稱差運(yùn)算的幺元是.<Zn,>是半群和獨(dú)異點(diǎn),其中Zn={0,1,…,n-1},表示模n加法。模n加法的幺元是0.<Zn,,0>.2第二頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五因?yàn)榘肴篤=<S,?>中的運(yùn)算?是可結(jié)合的,可以定義運(yùn)算的冪．對(duì)任意的x∈S,規(guī)定xn是

x1=x,

xn+1=xn?x,n為正整數(shù)。易證x的冪遵從以下規(guī)律：

xn?xm=xn+m,(xn)m=xnm,n為正整數(shù)．半群中運(yùn)算的冪3第三頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五在獨(dú)異點(diǎn)V=<S,?,e>中,如果規(guī)定x0=e(x是S中的任意元素),那么有關(guān)半群中冪的定義可以變成

x0=e

xn+1=xn?xn為非負(fù)整數(shù)．而關(guān)于冪的兩個(gè)運(yùn)算公式不變,只要其中的m和n是非負(fù)整數(shù)就可以了。獨(dú)異點(diǎn)中運(yùn)算的冪4第四頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五例5第五頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五6第六頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五子半群半群的子代數(shù)叫做子半群．如果V=<S,?>是半群,<T,?>就是V的子半群,需要滿足：

T是S的非空子集，

T對(duì)V中的運(yùn)算?是封閉的，即可。7第七頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五獨(dú)異點(diǎn)的子代數(shù)叫做子獨(dú)異點(diǎn).對(duì)獨(dú)異點(diǎn)V=<S,?,e>,<T,?,e>構(gòu)成V的子獨(dú)異點(diǎn)，需要滿足：

T是S的非空子集，

T要對(duì)V中的運(yùn)算?封閉，

e∈T，即可。子獨(dú)異點(diǎn)8第八頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五9第九頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五試證上述定理并思考：

若干個(gè)子半群的并是子半群?jiǎn)幔?0第十頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五積半群定義設(shè)V1=<S1,?>,V2=<S2,*>為半群,則V1×V2=<

S1×S2,·>也是半群,且對(duì)任意<a,b>,<c,d>∈S1×S2有

<a,b>·<c,d>=<a?c,b*d>稱V1×V2為V1和V2的積半群.11第十一頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五半群同態(tài)定義設(shè)V1=<S1,?>,V2=<S2,*>為半群,

:S1→S2，且對(duì)任意x,y∈S1有

(x?y)=(x)*(y)則稱為半群V1到V2的同態(tài)．12第十二頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五例半群V=<S,.>,其中S=.是矩陣乘法。令

:S→S,那么有

==

=這說(shuō)明是半群V的自同態(tài),但不是滿自同態(tài)13第十三頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五獨(dú)異點(diǎn)的積代數(shù)設(shè)V1=<S1,?,e1>,V2=<S2,*,e2>是獨(dú)異點(diǎn),則它們的積代數(shù)是

V1×V2=<S1×S2,.,<e1,e2>>其中的·定義與積半群一樣．即：對(duì)任意<a,b>,<c,d>∈S1×S2有

<a,b>·<c,d>=<a?c,b*d>14第十四頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五V1=<S1,?,e1>,V2=<S2,*,e2>是獨(dú)異點(diǎn),設(shè)

:S1→S2,如果對(duì)任意x,y∈S1都有

(x?y)=(x)*(y)

(e1)=e2,則稱為獨(dú)異點(diǎn)V1到V2的同態(tài)?獨(dú)異點(diǎn)的同態(tài)15第十五頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五例獨(dú)異點(diǎn)V=其中S=，.是矩陣乘法。令

:S→S,那么對(duì)任意x,y∈S都有

16第十六頁(yè)，共十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五但是而不是獨(dú)異點(diǎn)V的么元,因此,不是獨(dú)異點(diǎn)V的自同態(tài)。這就是說(shuō),如果把