同濟高等數學課件包含習題

本單元主要討論多元函數的各種求導方法,主要有通過本階段的學習,使學生掌握多元函數的各種求導方法,并了解一元函數與多元函數在可導,可微上的差別;隱函數存在定理的條件及隱函數的求導方法.重點:難點:,尤其是多元抽象復合函數的高階導數;多元函數可導和可微的條件及相互的關系,隱函數存在的條件.教學時數:6fx

y

f

xfx0 x0 zfxy定義域為D,P0x0y0給自變量x以增量x,并使P0x0x,y0fx0x,y0fx0.y0zfxy在點PxyP0P0關于自變量x的偏增量，記xxzfx0x,y0fx0.y0定義設函數zfxy在點x0y0的某鄰域內有定義，給x以增量x,并使得x0xy0D,若極限limxzlimf

x,y0fx0,y0 存在，則稱此極限為函數zfxy在點x0y0對x0,y

,zxx0,y0

x0,y

或fxx0y0yy

fx,

yfx0,y0存在，則稱此極限為函數zfxy在點x0y0x0,y

,zyx0,y0

x0,y

,fyx0y0當函數zfxy在點x0y0同時存在對xy的偏導數，則稱函數zfxy在點x0y0可偏導。如果函數zfxy在某平面區(qū)域D內的每一點xy都存在對x或對y的偏導，由此得到了新的函數，稱其fx,y的偏導函數，記為f,f,fx,y,fx,y,z,z

注從偏導數的定義中可以看出，多元函數對某一變 求函數zx2y32xy在點1,2處的導數 zx2x2y,zy3y

所以zx1,26zy1,2

z

x求zz 解由一元復合函數的求導法則得 1 x2y1 y

x2 x 2 y2

x21x 1y y 設二元函數zfxy在點x0y0有偏導。設M0x0y0,fx0y0為曲面上的點zfz

,y

M

zfx,y0yx過點M0yy0此平面與曲面相交得一曲線，曲fx,yy

zfx,y0fxx0y0

MTyzfx0,yTyfxy0fxy0

x

故由一

y x

fx,yfxx0,y0在幾何上表示曲線y M0x0y0處的切線對x

fx,yfyx0,y0在幾何上表示曲線x M0x0y0處的切線對y 設

x,y

y2

,fxy00

y2解當xy00yx2y22x yy2x2fxx,y

y2

y2xx2y22y xx2y2fyx,y

y2

2當xy00xf0,0limxyf0,0limy

x,00,y

0,00,0

知道，函數在點00處不連續(xù)。設函數zfxyD內處處存在偏導數fxx,y,fyx,y如果這兩個偏導數仍可偏導，則稱它們的偏導數為函數zfxy的二階偏導數，由求導2z

z

2

yx2 z,2zz xyy2 yy 求zarctanx的二階偏導數y zx

x2

,zy

x2y2

2,

x2

222 22

x22

y2

y2

y2

y2

x2

2, 2

y2

y2

y2例 設fx,y

x3

00fyx

x2y2解當xy00fx,y

3x2

2x4

y2 2x3 f x, 2x2y2

y2而當xy0,0f

x,0

0,0xf0,0xyf0,0limy

0,y

0,0 0,0limfx0,yfx0,0 y 0,0limfxx,0fx0,0 fxy定理如果函數zfxyfxyxyfyxxy在區(qū)域內D內fxyx,yfyxx,y 驗證函數zsinxay滿足波動方2

2z zcosxay 2

sinxay, 2zacosxay

asinxay. 2

2z 驗證函數z x2y2滿足 2z2z z 2z

y2 y2,

x2y22z

y2

2z2z yAxyfxdyAdxf定義設函數zfxy在點x0y0的某鄰域內有定義，如果函數在點x0,y0處的全增量zfx0x,y0yfx0,y0x2zAxBx2其中A,B是不依賴于x,y的常數, 則稱函數zfxy在點x0y0AxBy為函數zfxy在點x0y0分，記作dz,dzAx若函數zfxyD內處處可微時，我們稱zfxy為D內的可微函數。定理1（可微必要條件）若函數zfxy在點x0y0 zfxy在點x0y0 ⑵zfx,y在點x0,y0處可偏導，且有A x, Bfyx0y0dzfxx0,y0xfyx0,y0zAxByo 等式兩邊取xy0 z AxByo x,y x,yzfxy在點x0y0⑵為證⑵，在⑴中，令y0,zfx0x,y0fx0,y0Axox兩邊同除以x并令x0limfx

x,y0fx0,y0limfx0,y0yfx0,y0y zfxy在點x0y0fxx0,y0A,fyx0,y0習慣上，自變量的增量x,y常寫成dx,dy.因而dzfxx0,y0dxfyx0,y0

x,yx2fx,x2

x,y則，容易得到fx0,0fy0,0zfxxfyyox2x2

x20x2

limz

x 不存在

0x2x ox2 ，從而函數在0,0點不可微定理 （可微充分條件）若函數zfx,y在點x0,y0fxy在點x0y0證對于充分小的xy,zff

x,y0yfx0,y0x,y0yfx0,y0yfx0,y0yfx0,y0zfxx0x,y0yxfyx0,y0fxx0,y01xfyx0,y02fxx0,y0xfyx0,y0y1x

10 20

1x2xo所以函數zfxy在點x0y0例 求函數zx2exy在點2,1處的全微分 ,

dz4e2dx 設zlnx2y,求函數在點2,3處當xy0.2zx

1x2

,zy

x2z2,31,z2,31 dz10.110.21 例 設zxy,求 yxy1, xyln

dzyxy1dxxyln對于三元函數,定 若函數ufx,y,z有對各個變量的連續(xù)偏導則函數可微 且dufxx,y,zdxfyx,y,zdyfzx,y,z 設ulnxyz2,求dz.解容易得到ux

xy

,u

xy

,uz

xydu

xy

dxdy2zdz

x2y2

y20fx,y0

x2

x2y2證明函數的各偏導數存在,但在點0,0的任何鄰域內 ,不連續(xù),而在點0,0處可微.證當xy0,0時,fxx,y2xsin

cos

fyx,y2ysin

2

cos

而當xy0,0時,fx0,0fy0,0

f1x,y

x2

cos

f2x,y

x2

cos

在0,0的任何鄰域內不連續(xù) ,而函f3x,y2xsin

,f4x,y2ysin

在0,0的極限為0,由此得到兩個偏導函數在0,0的 .又對自變量的增量x,y, f sin x2fx2

xx2

1

1x2ffx0,0xfy0,0yo此即說明函數在點0,0處可微設函數zfxy在點x0y0zdzfxx0,y0xfyx0,y0 ⑶fx0x,y0yfx0,y0⑶fxx0,y0xfyx0,y0例 設zfxyxy,利用函數在1,2性，再利用近似計 ⑶，1.042.02ff1,2fx1,2xfy1,2120.0400.02 設有一圓柱體,它的底半徑R由2cm增加到其高度H10cm減少到9.8cm,試求體積變化的近似值.解由體積 VR2H,得VdVVRRVH2RHRR222100.0541.2cm3例 設x,y的絕對值很小,證明有下面的近1xm1yn1mxfxy1xm1yn fxx,ym1 1y fyx,yn1x1 xy的絕對值很小時,考慮函數在0,0的全增量fx,y1xm1yndff0,0dffx0,0xfy0,0mx而f0,01,1xm1yn1mx在一元函數微分學中,我們知道,可微函數的幾何意義是:可用切線段近似代替弧段. 對于二元可微函數,我們設二元函數zfx,y在點x0,y0可微 x0y0fx,yfx0,y0fxx0,y0xx0fyx0,y0yy0即fx,yfx0,y0fxx0,y0xx0fyx0,y0yy0zfxx0,y0xx0fyx0,y0yy0它表示過點x0y0fx0y0fxx0,y0,fyx0,y0,為法向的平面在第七節(jié)中, x0y0,fx0y0的近旁的一小部分,zz00y0xxgt在點tyfx在對應點x可導，則復合函數yfgt在點t可導，且有dydydx 如果函數ut,vt都在t可導，函數zfu,v在對應點u,v具有連續(xù)偏導數，則復合函數zft,t在點t可導，且有dzzduzdv u vt以增量t，相應地使函數ut,vt獲得增量uv則復合函數也獲得了增量.由于函數zzuzvuuu22 2為邊同除以t

zzuzvuv u v 1 2由條件utvt在點t處可導，所以當t

udu,vdv 又由于當t0時，u0v0,

u0,v1 2limzdzzduzdvt0 u v 設zsintcost,求dz解令usintvcost,則zuv,dzzduzdvvuv1costuvlnusint udt vdt 設zuv2arctanw,usint,vlnt,wet 解dzzduzdvzdw udt vdt wdtv2cost2uv1 1costln2t21sintlnt

et 1定理2如果函數uxyvxy在點xy可微，函數zfu,v在對應點有連續(xù)偏導數，則復合函數zfxy,xy在點xy可微，且有zzuzv u vzzuzv u v 2 設z3x2yxy2

,求zxzyv2令u3x2yvxy2則zuvv2vzxzuuxzvvxv

3

lnu3xy23x2yxy21y23x2yxy2ln3x2y 設zarcsinxy,xset,yt3,求z,z 解 z z

et

et x y

1x2

1se2tt6zzxzy x y 1x2

x3t2 1s2e2tt6

3t2set 設zeusinv,uxy,vx,求z,z解

xzzuzvyeusinv1eucosv u v yexysinx1exycosx zzuzvxeusinvxeucos u vxexysinxx

cosx 設zfx2y2,y2x2,f是C1類函數，證yzxz 證令u

y2vy2x2z2xz2xz z2yz2yz yzxz2xyz2xy 2xyz2xyz zfu,vuux,y,vvx,y,zfux,y,vx, 設wfxyz2,xyz,其中f是C2函數求w,2w 解令uxyz2,vxyz, wfufv 2w

fu

yfvyzfvfuuuzfuvvzyfvyzfvuuzfvvvzfuu2zfuvxyyfvyzfvu2zfvvxy 2zfuuxy2yzfuvyfvfvvxy 例 設zfy,xy,求z,

, x x 令uyvxyx

yy fufvy yxy1f

f f 1 xylnxf 2y yfyy1xy2 yxy1f 2

y

y

yxy1

x2 uu x2 yy1xy2 yxy1 y yxy1. vu x2 1 yfxy1fyxy1ln yxy1f 1 y 1 xy

x2 xy1

yxy1lnxfyxy1

1 xylnx. 1fxyln fxyf

11 xyln

xylnx x

uv xy1 xyln

vv 例 設ufx,y是C2類函數，試將表達u ux

解直角坐標與極坐標之間的關系為xcos,ysin作復合ufxyfcoscos數的求 uuxuyucosusin x u

y u

x

sin cosy u將x

ucosusinux

cos u u sinuxy cos cosu

u 1usin

設方程x2y2

00域，在該鄰域中，可以將y寫成x的函數。0

x2y21y001y1x2.

y0 定理 設二元函數Fx,y在區(qū)域D內是C(1)類x0y0D,且滿足Fx0y00Fyx0y00,Fxy0x0y0的某個鄰域內確定了一C(1)類函數yyx且滿足y0yx0及dyFx 驗證方程x4y41在點0,1的某個鄰域內能唯一確定一個C(1)類函數yyx,并求y(0)及y(0).令F(xyx4y41F0,1yF(0,140.y

y41在點0,1鄰域內可確定C(1)yyx y(x)F(

xy3x x3

3x2

3y2x3y(x)y3 y6 3x2y43x y(0)y(0)

yx4y4 求由方程arctanxxxy

yyxx2y解令F(x,y)arctanx2yy

yx x2 x2 x2

yx x2 x2 x2 dyFxyx y 數，點x0y0z0D且滿足Fx0y0z0Fyx0y0z00則方程Fxyz0在點x0y0z0的某個鄰域內確定了一個C(1)zzxy且滿足z0zx0y0及zFx,zFy Fz 2例 求由方程x sinxyz0確定的隱含2zzxy2解令Fx,yz)x2

sinx yz2x 1yzcosxyzFz2xyz2lnxxzcosxyzF2yzxyz2lnxxycosxyzyz z

yz2x 2

yzcosxyz, 2yzxyzlnxxycosxyzz

z2xyzlnxxzcos22.222yzxyzlnxxycos 設xyyzxz1,

2 2, x x解令Fxyzxyyzxz則FxyzFyxzFzxzFxyz,

xz

xy

x2z

(xy)z(yz x (xy)(xy)(yz)(yz x 2(yz).(xy) (xy)故2

(x

z)(yxy (x(xy)(1xz)(y x

(x (x 設xyzexyz,求令Fxyzxyzexyz, 1 1zx x ,zy 1 1 dz

1yxexyz x yz例 設z

xyF

0 定,其中F有連續(xù)偏導,xzyz 證由隱函數求 ,F1FyzF,FxzF1F

F1F1F x2FyyzF

x

xzFy2

v

v2 2

F

xyFy2 xzyz

x2FyyzFvu u

x2F uvu x2xzFy2Fy x2

uvy2 uv定理設三元函數FxyzGxyz C(1)x

Fx0,y0,z0Gx0,y0,z0((F,G(y,z(x0,y0,z0

F(x,y,z)G(x,y,z)

,

,

確定了C1yyxzzx,y0yx0z0zx0(F,G) (F,G)dy(z,x),dz(