余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例課件【核心知識精研精講】高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

余弦定理、正弦定理

應(yīng)用舉例學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會用正弦定理、余弦定理解決生產(chǎn)實踐中有關(guān)距離、高度、角度的測量問題.2.培養(yǎng)提出問題、正確分析問題、獨(dú)立解決問題的能力.在實踐中，我們經(jīng)常會遇到測量距離、高度、角度等實際問題，解決這類問題，通常需要借助經(jīng)緯儀以及卷尺等測量角和距離的工具進(jìn)行測量.具體測量時，我們常常遇到“不能到達(dá)”的困難，這就需要設(shè)計恰當(dāng)?shù)臏y量方案.如何測量珠峰高度三角高程測量示意圖距離問題1如圖，為測量河對岸A，B兩點間的距離，沿河岸選取相距40m的C，D兩點，測得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，求A，B兩點的距離.例1距離問題例1兩邊及一邊的對角余弦定理如圖，為測量河對岸A，B兩點間的距離，沿河岸選取相距40m的C，D點，測得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，求A，B兩點的距離.解在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°，∴∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°.兩角及一邊正弦定理例1如圖，為測量河對岸A，B兩點間的距離，沿河岸選取相距40m的C，D兩點，測得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，求A，B兩點的距離.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠BCA兩邊及一邊的對角余弦定理反思感悟(1)認(rèn)真理解題意，正確作出圖形，根據(jù)條件和圖形特點尋找可解的三角形.(2)把實際問題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊和角，利用正、余弦定理求解.求兩個不可到達(dá)的點之間的距離問題，是把問題轉(zhuǎn)化為求三角形的邊長問題跟蹤訓(xùn)練1位于燈塔A處正西方向相距15nmile的B處有一艘甲船，需要海上加油.位于燈塔A處北偏東45°有一與燈塔A相距nmile的乙船(在C處).求乙船前往支援B處的甲船航行的距離和方向(角度精確到1°).解根據(jù)題意，畫出示意圖如圖，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos135°因為0<∠C<90°，所以∠C≈31°.高度問題2如圖，為測得河對岸塔AB的高，先在河岸上選一點C，使C在塔底B的正東方向上，測得點A的仰角為60°，再由點C沿北偏東15°方向走10m到位置D，測得∠BDC＝45°，則塔AB的高是()例2把問題轉(zhuǎn)化為求三角形的邊長問題√解析在△BCD中，CD＝10m，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，直角三角形非直角三角形反思感悟先要選好所求線段所在的平面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.“解直角三角形”與“解非直角三角形”結(jié)合：測量高度問題的解題策略:測量高度問題往往是空間中的問題“空間”向“平面”的轉(zhuǎn)化：全面分析所有三角形，仔細(xì)規(guī)劃解題思路跟蹤訓(xùn)練2某校運(yùn)動會開幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡角為15°的觀禮臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部B的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為

米(如圖所示)，旗桿底部與第一排在同一水平面上，若國歌播放的時間約為50秒，升旗手應(yīng)以約多大的速度勻速升旗？解在△BCD中，∠BDC＝30°＋15°＝45°，在Rt△ABC中，AB＝BCsin60°角度問題3已知：島A處的一艘走私船正以10海里/時的速度向島北偏西22°方向行駛，與此同時，位于島A南偏西38°方向與島A相距3海里的B處有一艘緝私艇要去攔截，問緝私艇以多大速度以及朝何方向行駛，恰好用0.5小時能截住該走私船？例3測量角度的問題解如圖，設(shè)緝私艇在C處截住走私船，D為島A正南方向上一點，緝私艇的速度為每小時x海里，則BC＝0.5x，AC＝5海里，依題意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°，所以BC2＝49，BC＝0.5x＝7，解得x＝14.所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，故緝私艇以每小時14海里的速度向正北方向行駛，恰好用0.5小時截住該走私船.反思感悟測量角度問題的基本思路1.畫出表示實際問題的圖形2.標(biāo)出有關(guān)的角和距離3.用正弦定理或余弦定理解三角形4.將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解跟蹤訓(xùn)練3地圖測繪人員在點A測得某一目標(biāo)參照物P在他的北偏東30°的方向，且距離為

m，之后該測繪人員沿正北方向行走了40m，到達(dá)點B.試確定此時目標(biāo)參照物P在他北偏東的度數(shù)以及他與目標(biāo)參照物P的距離.解如圖，在△PAB中，∠PAB＝30°，由余弦定理，得因為AB＝40m，所以AB＝PB，所以∠APB＝∠PAB＝30°，所以∠PBA＝