中考數(shù)學高頻考點突破-圓的綜合+練習

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁中考數(shù)學高頻考點突破——圓的綜合1．如圖，是的直徑，是弦，是的中點，與交于點，是延長線上的一點，且．(1)求證：為的切線；(2)連接，取的中點，連接．若，，求的長．2．如圖，是的直徑，C是上的一個動點，延長至，使，垂直于弦，垂足為點，點在上．(1)當與相切時，求的度數(shù)；(2)芳芳觀察后發(fā)現(xiàn)，的值為，點點說的值隨動點的變化而變化，你為誰的結(jié)論是正確的，請給予證明；(3)設(shè)，求與之間的函數(shù)關(guān)系式．3．如圖，中，為直徑，弦于點，連接，于點，交于點．(1)求證：(2)連接、，在上取一點，使，求證：(3)在（2）的條件下，延長交于點，連接，點為的中點，，求的長．4．如圖1，在等腰三角形中，，為底邊的中點，切于點，連接，交于點，．(1)求證：是的切線；(2)，①若，求劣弧的長；②如圖2，連接，若，直接寫出的長．（參考數(shù)據(jù)：取，取，?。?．如圖，銳角內(nèi)接于，射線經(jīng)過圓心并交于點，連結(jié)，，與的延長線交于點，平分．(1)求證：．(2)若，求的余弦值．(3)若，的半徑為，求的長．6．如圖，等腰內(nèi)接于，，連結(jié)，過點作的垂線，交于點，交于點，交于點，連接．(1)若，請用含的代數(shù)式表示；(2)求證：；(3)連接，若，，求的值及四邊形的面積與面積的比值．7．在矩形中，，點P從點A出發(fā)，沿邊向點B以每秒的速度移動，同時點Q從點B出發(fā)沿邊向點C以每秒的速度移動P、Q兩點在分別到達B、C兩點后就停止移動，設(shè)兩點移動的時間為t秒，回答下列問題：(1)如圖1，當t為幾秒時，的面積等于？(2)如圖2，以Q為圓心，為半徑作．①在運動過程中，是否存在這樣的t值，使正好與四邊形的一邊（或邊所在的直線）相切？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由；②若與四邊形有三個公共點，請直接寫出t的取值范圍．8．如圖1，在中，，點P為上一點，于點D，連接，以為直徑的圓交于點E，交于點F，連接．(1)求證：．(2)當為等腰三角形時，求所有滿足條件的的長．(3)如圖2，過D作交于點M，若點M為的中點，則．（直接寫出答案）9．如圖，四邊形內(nèi)接于，平分．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點在弧上，弧弧，延長、交于點，求證：．(3)在（2）的條件下，如圖3，連接并延長交延長線于點，連接，若，，求的半徑．10．已知：是的外接圓，且，，D為上一動點．(1)如圖1，若點D是的中點，等于多少？(2)過點B作直線的垂線，垂足為點E．①如圖2，若點D在上，求證：．②若點D在上，當它從點A向點C運動且滿足時，求的最大值．11．如圖，是的外接圓，的平分線交于點D．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點E、F在弧上，連接、、、，若，求證：；(3)如圖3，交于點K，連接，，若，，求的半徑．12．如圖，內(nèi)接于，點D在上，射線交于點E，．(1)求證：；(2)當時，求證：；(3)在（2）的條件下，延長交于點F，連接，若，，求的半徑．13．如圖1，四邊形內(nèi)接于，為直徑，上存在點，滿足，連接并延長交的延長線于點，與交于點．(1)若，請用含的代數(shù)式表示；(2)如圖2，連接，．求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，，求的最小值．14．如圖，已知，為的直徑，過點A作弦垂直于直徑于F，點B恰好為的中點，連接，．(1)求證：；(2)若，求的半徑；(3)在（2）的條件下，求陰影部分的面積．15．內(nèi)接于，點在上，連接和，交于點，.(1)如圖1，求證：是的直徑；(2)如圖2，點在上，連接交于點，，，求證：；(3)如圖3，連接，在（2）的條件下，若，，求的半徑.16．如圖，的直徑為，弦為，的平分線交于點D．(1)求的長；(2)試探究之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)連接，P為半圓上任意一點，過P點作于點E，設(shè)的內(nèi)心為M，當點P在半圓上從點B運動到點A時，求的最小值．17．如圖，在為直徑的中，已知弦于點，且，，點是優(yōu)弧上的一個動點，連接，過點作于點，交于點，連接．(1)求的長；(2)當點在運動過程中，求的最小值；(3)在（2）的條件下，求的面積．18．如圖，在中，，，以為直徑的⊙O交于點D，點M是邊上一點（點M不與點A，B重合），的延長線交⊙O于點E，，且交于點N，連接，．(1)求證：；(2)若，求證：是等腰直角三角形；(3)若，，求的長．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）連接，．由，，可得，由是的直徑，是的中點，，進而可得，即可證明為的切線；（2）連接，過作，垂足為．利用相似三角形的性質(zhì)求出，設(shè)的半徑為，則．在中，勾股定理求得，證明，得出，根據(jù)，求得，進而求得，根據(jù)勾股定理即可求得．【解析】（1）證明：如圖1，連接，．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∵是的直徑，是的中點，∴．∴．∴，即．∴．∴為的切線．（2）解：如圖，連接，過作，垂足為．∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，解得，設(shè)的半徑為，則．解之得．∵，∴．∵，∴．∴．∴．∵為中點，∴．∴，．∴．∴．【點評】本題考查了切線的判定，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．2．(1)(2)芳芳正確，證明見解析(3)【分析】當是的切線時，則，則，再利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，得出，即可由等腰三角形的判定定理得出結(jié)論；（2）連接，是的直徑，，又得出，證明，進而即可求解．（3）連接，根據(jù)題意得出，又，所以，再根據(jù)，則，然后證，得，因為，代入即可求解．【解析】（1）證明：當是的切線時，則，，，，，．；（2）解：芳芳正確，如圖所示，連接，是的直徑，，，又，則，即，芳芳正確；（3）解：如圖，連接，是的直徑，，，，，，，，，，，，，，，．【點評】本題考查直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理的推論，相似三角形的性質(zhì)，正切的定義，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．(1)見解析(2)見解析(3)4【分析】（1）由同角的余角相等可得，根據(jù)同弧所對的圓周角相等得到，繼而得到證明結(jié)論；（2）連，則有，設(shè)，推出，證明，解題即可；（3）設(shè)，，可以求出，連、,則，根據(jù)勾股定理求出數(shù)值．【解析】（1）證明：∵直徑，∴∴∴∵∴∵∴∴∴（2）連∵直徑∴，∴∴∵為的斜邊中線∴設(shè)∴∵∴∴∴∴∴∵∴∴（3）設(shè)，∴∴∵，∴∴，∴連、,則中，∵∴∴

（舍）∴【點評】本題是圓的綜合題，難度較大，考查內(nèi)容有同弧所對的圓周角相等，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是探究角之間的數(shù)量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)角度和圖形的特殊性．4．(1)見解析(2)①；②5【分析】（1）過點作于點，連接，通過證明，利用直線與圓相切的定義解答即可；（2）①求出，再利用弧長公式計算即可；②過點作于點，利用等腰三角形的性質(zhì)求出，，利用三角函數(shù)的定義即可求出的長．【解析】（1）解：過點作于點，連接，如圖，，為底邊的中點，為的平分線，，，，為的半徑，為的半徑，∴直線到圓心的距離等于圓的半徑，是的切線；（2）①∵切于點，∴，∵，∴，∵，∴劣弧的長為；②過點作于點，如圖，，，，，為的平分線，．在中，，，．【點評】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，垂徑定理，圓的切線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，三角形的內(nèi)角和定理，過圓心作直線的垂線段是解決此類問題常添加的輔助線．5．(1)見解析(2)的余弦值為；(3)的長為6．【分析】（1）由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得，再根據(jù)平分，從而說明，即可得出答案；（2）由圓周角定理知，則，再利用，從而解決問題；（3）利用，的半徑為，可得的三邊長，再根據(jù)，得，從而解決問題．【解析】（1）證明：四邊形為的內(nèi)接四邊形，，，，，平分，，，；（2）解：由題意可得，是的直徑，，，又，垂直平分線段，，，，又平分，，，，，即的余弦值為；（3）解：由題意可得，是的直徑，，，又的半徑為，，，，由（1）可知，，，，，，，，的長為6．【點評】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識，熟練掌握各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．(1)(2)見解析(3)四邊形的面積與面積的比值為【分析】（1）連接，，證明，得出，根據(jù)圓周角定理得出，根據(jù)，得出，即可求解；（2）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證；（3）連接并延長交于點，連接，，證明，由（2）知，，證明，得出，在中，根據(jù)正切的定義即可求解．【解析】（1）解：如圖，連接，，在與中，，，，，，，，，，，；（2）證明：，，，，，，，；（3）解：如圖，連接并延長交于點，連接，，，，垂直平分，，，，，，，，，，，，，，，，垂直平分，，，，由得：，，，，，由（2）知，，負值已舍，，，，，，在中，，由知，，，，，，，四邊形的面積與面積的比值為．【點評】本題考查了圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，求角的正切，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．7．(1)1秒或5秒(2)①t=0或，理由見解析；②【分析】（1）根據(jù)題意得，，由此根據(jù)三角形面積公式建立方程求解即可；（2）①分兩種情況如圖1所示：當時，點P與點A重合時，點B與點Q重合，此時與相切；當正好與四邊形的邊相切時，如圖2所示，利用切線的性質(zhì)進行求解即可；②求出兩個臨界點，當時，如圖1所示：與四邊形有兩個公共點；如圖3所示：當圓Q經(jīng)過點D時，與四邊形有兩個公共點，求出對應(yīng)的時間t，在這兩個時間之間則有3個交點.【解析】（1）解：∵當運動時間為t秒時，，∴，∵四邊形是矩形，∴∵的面積等于，∴．∴．解得：，．答：當t為1秒或5秒時，的面積等于．（2）解①由題意可知圓Q與不相切．如圖1所示：當時，點P與點A重合時，點B與點Q重合．∵，∴．∴．∴為圓Q的切線．當正好與四邊形的邊相切時，如圖2所示．由題意可知：．在中，由勾股定理可知：，即．解得：，（舍去）；綜上所述可知當或時，與四邊形的一邊相切．②當時，如圖1所示：與四邊形有兩個公共點；如圖3所示：當圓Q經(jīng)過點D時，與四邊形有兩個公共點．由題意可知：．由勾股定理可知：，．∵，∴，即．整理得：．解得：，（舍去）?！喈敃r，與四邊形有三個．【點評】本題主要考查的是矩形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，三角形的面積公式、勾股定理，根據(jù)題意畫出圖形是解題的關(guān)鍵．8．(1)見解析(2)或或(3)【分析】（1）根據(jù)垂直及直角三角形得出，再由圓周角定理得出，進行等量代換即可；（2）分三種情況討論：?。ⅲ＃謩e利用全等三角形的判定和性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)即可得出結(jié)果；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再由等量代換及等角的余弦相等得出，設(shè)，連續(xù)利用勾股定理求解得出，結(jié)合圖形即可得出結(jié)果．【解析】（1）∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．（2）當為等腰三角形時，分三種情況：?。啵摺?，∴，∵∴，∴，，∴．ⅱ）．∴，同理可得：，∴，∴，同理可得，，∴．ⅲ）．∴，同理可得，∴，，∴，∴．（3）∵，∴，由（1）可知，∴，∵為直徑，∴，∴，∴，∴設(shè)，在中，由勾股定理得，，∵，∴，∵點M為的中點，∴，∴，在中，由勾股定理得，，在中，由勾股定理得，，∵，∴，∵，∴，解得：，∴，故答案為：．【點評】題目主要考查圓周角定理，全等三角形及相似三角形的判定和性質(zhì)，解三角形，勾股定理解三角形等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．9．(1)見解析(2)見解析(3)5【分析】（1）根據(jù)圓周角、弧、弦的關(guān)系求解即可；（2）根據(jù)圓周角、弧的關(guān)系得到，利用ASA證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，等量代換即可得解；（3）連接、，過點作于點，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)并結(jié)合（2）推出四邊形是菱形，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及圓周角定理推出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理得出，結(jié)合，得出，則菱形是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)推出是的直徑，據(jù)此求解即可．【解析】（1）證明：四邊形內(nèi)接于，平分，，；（2）證明：由（1）知，，，弧弧，，在和中，，（ASA），，，；（3）解：解：連接、，過點作于點，，，，，由（2）知，，，，又，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是菱形，，，，，點、、、在上，，，，，，，在中，，，，又，，菱形是正方形，，是的直徑，的半徑是5．【點評】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握圓周角定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、勾股定理并作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．10．(1)(2)①證明見解析；②【分析】（1）連接，根據(jù)可得，再根據(jù)圓周角定理進行求解即可；（2）①過B作于點H，則，證明和即可求解；②連接并延長交于點I，則點D在上，證明和即可求解；【解析】（1）如圖1中，連接．∵，∴，∵，∴，∵D是的中點，∴，∵，∴．（2）①過B作于點H，則．又∵于點E，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，又∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，又∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴．②連接并延長與交于點I，則點D在上．如圖：過B作于點H，則，又∵于點E，∴，∴，又∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，又∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，又，，在和中，，∴，∴，∴，∵是直徑，，∴垂直平分，∴，∴，∴當點D運動到點I時取得最大值，此時．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，靈活運用所學知識求解是解決本題的關(guān)鍵．11．(1)見解析；(2)見解析；(3)．【分析】（1）如圖1，延長交于點G，連接、，利用直徑對直角得，結(jié)合已知得，從而接到結(jié)論；（2）多次利用圓周角定理對角進行轉(zhuǎn)換，得、，用三角形內(nèi)角和定理得到，從而得到結(jié)論；（3）如圖3，延長至M，使，連接，連接并延長交于點N，連接，作線段的垂直平分線交于R，交于L，過點A作于T，證，設(shè)，，然后解,,結(jié)合已知消元即可.【解析】（1）證明：如圖1，延長交于點G，連接、，是的直徑，，,，平分，，，；（2）證明：如圖2，連接，，，，由（1）知：平分，，，，，，，，，，，，，；（3）解：如圖3，延長至M，使，連接，連接并延長交于點N，連接，作線段的垂直平分線交于R，交于L，過點A作于T，，，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，，即，在和中，，，，，設(shè)，則，由（2）知：設(shè)，則，垂直平分，，，，，，即，，，是直徑，，，，圓的半徑為．【點評】本題結(jié)合垂徑定理、圓周角定理、勾股定理、三角函數(shù)考查了與圓有關(guān)得計算；靈活運用相關(guān)定理對角和線段轉(zhuǎn)換求值時解題得關(guān)鍵．12．(1)見解析(2)見解析(3)⊙O的半徑為【分析】（1）延長交于點H，連接，根據(jù)圓周角定理以及，可得，從而得到，即可；（2）延長交于點Q，根據(jù)，可得，由垂徑定理，即可；（3）延長交于H，交于T，連接，設(shè)，則，由（2），可得，再由，可得，設(shè)，則，設(shè)，則，根據(jù)，結(jié)合勾股定理可得，從而得到，，進而得到，在中，根據(jù)勾股定理，可得，再由，求出m，即可求解．【解析】（1）證明：延長交于點H，連接，∵，，∴，∴，∵是的直徑，∴，∴；（2）證明：延長交于點Q，∵，∴，∵，∴，∴垂直平分，∴；（3）解：延長交于H，交于T，連接，設(shè)，則，由（2），則，即，∵，即，∴，設(shè)，則，設(shè)，則，∵，∴，解得：，∴，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，，所以的半徑為．【點評】本題考查了垂徑定理，勾股定理，已知正切求邊長，圓周角定理，解直角三角形，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．13．(1)(2)證明見解析；(3)．【分析】（1）利用直徑所對的圓周角為和在同一圓中，等弧所對的圓周角相等，即可得結(jié)果；（2）證線段相等只需證線段所在的兩個三角形全等即可．利用全等三角形的判定可得可得結(jié)論；（3）過點作于，可得，得，由相似三角形的判定可得，設(shè)，由相似的性質(zhì)得，在中，由勾股定理知，即可得最小值．【解析】（1）解：為的直徑，，，，；（2）證明：為的直徑，，，，，，，又，，，；（3）解：如圖，過點作于，，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)，，，在中，，，當時，的最小值為3，的最小值為．【點評】本題是圓的綜合題，考查圓的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等基本知識點．熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．(1)證明見解析；(2)2；(3)．【分析】（1）連接，，為的直徑，得到兩個直角及兩條線段相等，再根據(jù)弧的中點得到弧相等，從而等到角相等，證明兩個三角形全等即可得到答案；（2）連接，根據(jù)弧的中點得到弧相等，從而等到圓周角圓心角的關(guān)系，結(jié)合平角，求出的度數(shù)，在中根據(jù)勾股定理即可得到答案；（3）由（2）可得圓心角度數(shù)直接求扇形面積，再算出的面積即可得到陰影部分面積．【解析】（1）證明：連接，∵，為的直徑，∴，，∵點B是的中點，∴，∴，在與中，∵，，，∴≌，∴；（2）解：連接，∵點B是的中點，∴，∴，，∵垂直于直徑于F，，∴，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，解得：；（3）由（2）可得，，在中，∴，∴，，∴，∴．【點評】本題考查了垂徑定理、圓周角定理、扇形的面積以及解直角三角形等，作出輔助線構(gòu)建直角三角形和等邊三角形是解題的關(guān)鍵．15．(1)見解析(2)見解析(3)10【分析】（1）根據(jù)圓周角定理，可得進而推出，即，即可得出結(jié)論；（2）令，由，，可表示出，，在根據(jù)和三角形外角性質(zhì)可推出，即可得到結(jié)論；（3）連接，過點作的垂線，垂足為，過點作的垂線，垂足為，可證明，故，設(shè)，根據(jù)為和的公共邊可得出，求出m后，可求出AO，繼而得出結(jié)論．【解析】（1）證明：，，，，，是的直徑；（2）證明：令，，，，，，，，又，，；（3）由（2）可知，連接，，，過點作的垂線，垂足為，，，過點作的垂線，垂足為，，，，，又，設(shè)，則，在和中，，，解得或（舍去），，即的半徑為10．【點評】本題考查了圓周角定理，三角形外角性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，解一元二次方程等，綜合性較強，難度較大．解題時注意結(jié)合圖形分析已知條件與問題之間的位置關(guān)系，把條件與問題的聯(lián)系作為主要的思考方向．16．(1)(2)，證明見解析(3)【分析】（1）由圓周角定理得出，由勾股定理可求出答案；（2）延長到，使，連接，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，得出，則為等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；（3）連接，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，則點M在以為弦，并且所對的圓周角為的兩段劣弧上（分左右兩種情況），求出的長，由弧長公式可得出答案．【解析】（1）是直徑是的平分線在中，（2），證明如下延長到，使，連接又∴為等腰直角三角形（3）連接點為的內(nèi)心所以點在以為弦，并且所對的圓周角為的兩段劣弧上（分左右兩種情況）；設(shè)所在圓的圓心連接B交弧OD于M，則有BM最小過作，則為等腰直角三角形，【點評】此題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，三角