【同步測試】課后習(xí)題-三角恒等變換

三角恒等變換

——課后習(xí)題習(xí)題1已知sinα＝

，cosβ＝

，α∈

，β∈

，求cos（α－β）的值．三角恒等變換習(xí)題2已知α，β都是銳角，cosα＝

，cos（α＋β）＝

，求cosβ的值．（提示：β＝（α＋β）－α．）三角恒等變換習(xí)題3已知sin（30°＋α）＝

，60°＜α＜150°，求cosα的值．三角恒等變換習(xí)題4在△ABC中，sinA＝

，cosB＝

，求cosC的值．三角恒等變換習(xí)題5已知tan（α＋β）＝3，tan（α－β）＝5，求tan2α，tan2β的值．三角恒等變換習(xí)題6三角恒等變換化簡：（1）sin347°cos148°＋sin77°cos58°；（2）sin164°sin224°＋sin254°sin314°；（3）sin（α＋β）cos（γ－β）－cos（β＋α）sin（β－γ）；（4）sin（α－β）sin（β－γ）－cos（α－β）cos（γ－β）；（5）

；（6）

．（4）－cos（α－γ）．（3）sin（α＋γ）．（1）

（2）

（6）tan（β－α）．（5）

習(xí)題7已知sinα＝0.80，α∈

，求sin2α，cos2α的值（精確到0.01）．三角恒等變換sin2α＝0.96；cos2α＝－0.28．三角恒等變換習(xí)題8求證：（1）（sin2α－cos2α）2＝1－sin4α；（2）；（3）

；（4）

；（5）；（6）

．（1）（2）略．（3）提示：用sin2φ＋cos2φ代替1，用2sinφcosφ代替sin2φ．（4）略．（5）提示：用2sin2

θ代替1－cos2θ，用2cos2θ代替1＋cos2θ．（6）略．三角恒等變換習(xí)題9已知sin（α＋β）＝

，sin（α－β）＝

，求證：證明略．（1）sinαcosβ＝5cosαsinβ；（2）tanα＝5tanβ．習(xí)題10已知

，求證

．三角恒等變換由已知可解得tanθ＝

．于是tan2θ＝因此tan2θ＝－4tan（θ＋

）．習(xí)題11已知一段圓弧所對的圓心角的正弦值等于

，求這段圓弧所對的圓周角的正弦、余弦和正切．三角恒等變換設(shè)圓心角為α，則同弧所對的圓周角為

．因為sinα＝

，所以0°＜α＜180°，0°＜

＜90°．當(dāng)0°＜α＜90°時，cosα＝

，習(xí)題11已知一段圓弧所對的圓心角的正弦值等于

，求這段圓弧所對的圓周角的正弦、余弦和正切．三角恒等變換當(dāng)90°＜α＜180°時，cosα＝

，三角恒等變換習(xí)題12化簡：（1）；（2）；（3）；（4）

．（2）（4）（1）（3）習(xí)題13在△ABC中，已知tanA，tanB是x的方程x2＋p（x＋1）＋1＝0的兩個實(shí)根，求∠C．三角恒等變換135°．習(xí)題14在△ABC中，B＝

，BC邊上的高等于

，則cosA＝（）．三角恒等變換（A）

（B）

（C）

（D）

提示：設(shè)BC邊上的高與BC邊交于點(diǎn)D，則∠BAD＝

，且AD＝BD．因為AD＝

，所以DC＝2AD，所以sin∠CAD＝

，cos∠CAD＝

．所以cosA＝cos（∠BAD＋∠CAD）＝

．C三角恒等變換習(xí)題15求證：（1）3＋cos4α－4cos2α＝8sin4α；（2）略習(xí)題16是否存在銳角α，β，使α＋2β＝

，

同時成立？若存在，求出α，β的度數(shù)；若不存在，請說明理由．三角恒等變換設(shè)存在銳角α，β使α＋2β＝

，又

，于是有所以

，由此可解得tanβ＝1，

．所以

．經(jīng)檢驗

是符合題意的兩銳角．三角恒等變換習(xí)題17（1）求函數(shù)

的周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)f（x）＝asinx＋bcosx（a2＋b2≠0）的最大值和最小值．（2）函數(shù)的最大值為

，最小值為

．（1）函數(shù)的周期為

，單調(diào)遞增區(qū)間為

，k∈Z．三角恒等變換習(xí)題18觀察以下各等式：sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝

，sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝

，sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝

．分析上述各式的共同特點(diǎn)，寫出能反映一般規(guī)律的等式，并對等式的正確性作出證明．三角恒等變換習(xí)題18解答反映一般規(guī)律的等式不唯一，例如：sin2α＋cos2（α＋30°）＋sinαcos（α＋30°）＝

；sin2（α－30°）＋cos2α＋sin（α－30°）cosα＝

；sin2（α－15°）＋cos2（α＋15°）＋sin（α－15°）cos（α＋15°）＝

；sin2α＋cos2β＋sinαcosβ＝

，其中β－α＝30°；等等．證明略．三角恒等變換習(xí)題19你能利用所給圖形，證明下列兩個等式嗎？三角恒等變換習(xí)題19解答過M作MM1垂直于x軸，交x軸于M1．在Rt△OMA中，在Rt△OM1M中，OM1＝OMcos∠MOM1＝

，線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

（cosα＋cosβ），

（sinα＋sinβ））．∠MOM1＝

（β－α）＋α＝

（α＋β）．M1M＝OMsin∠MOM1＝于是有

（cosα＋cosβ）＝

，

（sinα＋sinβ）＝

習(xí)題20設(shè)f（α）＝sinxα＋cosxα，x∈｛n｜n＝2k，k∈N＋｝．利用三角變換，估計f（α）在x＝2，4，6時的取值情況，進(jìn)而猜想x取一般值時f（α）的取值范圍．三角恒等變換當(dāng)x＝2時，f（α）＝sin2α＋cos2α＝1；當(dāng)x＝4時，f（α）－s