數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)流問題

第九章網(wǎng)絡(luò)流問題§9.1網(wǎng)絡(luò)流圖§9.2

最大流問題及其解法§9.3最小費用問題及其解法網(wǎng)絡(luò)流圖是滿足下列條件的有向賦權(quán)圖（1）有一個發(fā)點和收點（2）每條邊都有一個容量（權(quán)）實際含義是發(fā)點可以看作運輸問題的起點，收點可以看作運輸問題的終點，邊可以看作運輸路線，權(quán)數(shù)可以看作該線路的運輸能力。設(shè)是定義在有向賦權(quán)圖邊集上的一個數(shù)值函數(shù)，滿足：（2）除過發(fā)點和起點外，（1）一、網(wǎng)絡(luò)流圖該定義的實際意義分別為：1、每條邊的實際流量不超過它的容量。2、流入和流出每個節(jié)點的流量相等。（物質(zhì)不滅，無損耗）3、從發(fā)點流出的流量等于流入收點的流量。稱

3、二、最大流問題及其求解方法

（一）最大流問題最大流問題——設(shè)有向網(wǎng)絡(luò)N（V，A），在發(fā)點Vs

有一批貨，要通過網(wǎng)絡(luò)上的弧運輸?shù)绞拯cVt去，受運輸條件限制，每條弧aij在單位時間內(nèi)通過的車輛數(shù)不能超過cij

輛，分析：如何組織運輸才能使從Vs到Vt

在單位時間內(nèi)通過的車輛達(dá)到最多？上面描述的這類問題，稱為最大流問題。最大流問題廣泛地應(yīng)用在交通運輸、供水、油管供油、郵電通訊，也可以用在生產(chǎn)安排，管理優(yōu)化等實際問題上。例：如圖1中，有一批物資需要用汽車盡快從發(fā)點①運到收點⑦，弧（i，j）上所標(biāo)的數(shù)字表示該條道路在單位時間內(nèi)最多能通過的車輛數(shù)（單位：百輛），問如何調(diào)運，才能使單位時間里有最多的車輛從①調(diào)到⑦。425136756385577113223圖1點①出發(fā)的車輛數(shù)應(yīng)該與點⑦到達(dá)的車輛數(shù)相同，除①和⑦以外的各中間點，進(jìn)的車輛數(shù)應(yīng)該與離去的車輛數(shù)應(yīng)該相同。xij

是通過弧(i，j)的車輛數(shù)。（1）（4）（5）（6）（2）（3）對所有?。╥，j），應(yīng)滿足約束滿足（1）～（7）的解稱為從①到⑦的一個可行流，目的：在所有可行流中求出一個方案，使得這個可行流得到的f最大。

若從收點到發(fā)點連接一條假想弧(7，1)，設(shè)它的容量c71=∞，那么對點①：對點⑦：

最大流問題的目標(biāo)為（7）（8）（9）（10）所以，對于發(fā)點為Vs，收點為Vt的網(wǎng)絡(luò)N（V，U），當(dāng)增加一條約束為cts=∞的假想弧（t，s）后，最大流問題就成為：

容量約束：

平衡條件：

目標(biāo)函數(shù)：（11）（12）（13）（二）求最大流的方法：弧標(biāo)號法

盡管最大流問題可以用線性規(guī)劃模型描述，但是我們一般并不用求解線性規(guī)劃的方法求最大流，而是用一種更為簡便明了的圖上作業(yè)法——弧標(biāo)號法，求解上述最大流問題。①為了便于弧標(biāo)號法的計算，首先需要將最大流問題（譬如圖1）重新改畫成為圖2的形式。2416357st650230081023730071000055圖2在圖2中，每條弧上標(biāo)有兩個數(shù)字，其中，靠近點i的是，靠近點j的是。如①②表示從①到②的最大通過量是5（百輛），從②到①的最大通過量是0；②③表示從②到③和從③到②都可以通過2（百輛）；等等。

2416357st650230081023730071000055圖2②

求最大流的基本步驟：

弧標(biāo)號法求最大流的過程，就是對圖2反復(fù)地進(jìn)行修改的過程，其計算步驟如下：

步驟1.從發(fā)點s到收點t選定一條路，使這條路通過的所有弧Vij的前面約束量cij都大于0，如果找不到這樣的路，說明已經(jīng)求得最大流，轉(zhuǎn)步驟4。

步驟2.在選定的路上，找到最小的容許量cij定為P。

步驟3.對選定的路上每條弧的容量作以下修改，對于與路同向的弧，將cij修改為cij-P，對于與路反向的弧，將cij修改為cij+P。修改完畢后再轉(zhuǎn)入步驟1。步驟4.用原圖中各條弧上起點與終點數(shù)值減去修改后的圖中對應(yīng)點的數(shù)值，得到正負(fù)號相反的兩個數(shù)，并將從正到負(fù)的方向用箭頭表示。這樣，就得到一個最大流量圖。

下面，我們用弧標(biāo)號法求解圖2中的最大流。

第一次修改：（1）從發(fā)點s到收點t找一條路，使得這條路上的所有弧前面的約束量。從圖2中可以看出，顯然，①—③—⑥—⑦就是滿足這樣的條件的一條路。

（2）在路①—③—⑥—⑦中,,,,所以取。（3）在路①—③—⑥—⑦中，修改每一條弧的容量：通過熟第1次修牌改，蘭得到虧圖3。2416357st050230081623130611600055圖3返回刻步驟裂（1），輛進(jìn)行位第2次修謊改。第二斃次修疾改：選定①—②低—⑤李—⑦，在這舞條路杜中，賢由于油，知所以仙，將遷改初為2，旁改寺為0，雪改膛為5，氧、餐、緒改謊為3。修貧改后師的圖脫變?yōu)楣菆D4。2416357st023203051623133611600055返回炎步驟徐（1），呼繼續(xù)賣做第3次修息改。圖4第三達(dá)次修證改：?、佟趥颉鄯浮莅W—⑦，在超這條昨，由純于軍，所常以將推改替為0，誘改蠅為5，凍改含為0，蠅改訪為4，作改嶺為1，勿改吵為2，號改馬為3，改為5。修撥改后引的圖鄭變?yōu)閬韴D5。2416357st005003231641135611600055圖5返回勺步驟拴（1），毯繼續(xù)斤做第4次修壞改。第四糠次修幸改：選定籃①—④柄—⑥喜—⑦，在焰這條慈路中皮，由喘于P=c67=1，所以茶將c14改為4,c41改為1,c46改為4,c64改為1,c67改為0，c76改為7。修頌改后義的圖離為變恰為圖6。2416357st005003231641135701611044圖6返回物步驟肝（1），濾繼續(xù)軋做第5次修筍改。第五況次修縣改：選定光①—④渴—⑥啞—⑤苦—⑦際,在這狼條路蹄中，辜由于P=c65=企1，所以混將c14和c46均改禿為3，c65改為0，c57改為2，c41、c64、c56均改茫為2，c75改為6。修域改后雷的圖負(fù)變?yōu)樨晥D7。2416357st005003222641136500622033圖7需要注意的是，由圖7中可以看出，弧本來在圖2中是無容量可通過的，但經(jīng)過幾次修改，由③⑥變成③⑥，即此時從③到⑥還可通過1（百輛），而從⑥到③，可以通過6（百輛）的容量，這說明，修改過程實際上是把計劃中從③到⑥的通過車輛數(shù)減少了。?、佟苊摗薹恰鄹琛輰O—⑦，在教這條瓦路中紫，由鵲于P=c35=1，所以鍋將c14和c46均改歌為2，c63改為5,c35改為0，c57改為1，c41、c64、c53均改北為3，c36改為2，c75改為7。修忠改后造的圖丹變?yōu)椴缊D8。2416357st005003312640237500533022圖8在圖8中，碌從發(fā)腎點①嫌到收聲點⑦胸，再挽也不盡存在地連通跑的起趨點容容量都霞大于疼零的跨弧了憑，所晚以圖8為最奴大流雪圖。轉(zhuǎn)入蕩步驟霜（4），制用原幻玉圖中壇各條殃弧上丘起點響與終斧點數(shù)節(jié)值減礦去修戶改后忘的圖零上各注點的涌數(shù)值們，將足得到軋正負(fù)員號相碑反的傻兩個叛數(shù)，萍將這謹(jǐn)個數(shù)層標(biāo)在權(quán)弧上忙，并沾將從貫正到綿負(fù)的章方向完用箭鍛頭表浩示,這樣風(fēng)就得娛到最恐大流尸量圖由。例如管原來鑰弧都是佳③匯⑥，帥現(xiàn)在升是③殘⑥垂，相塑減為±5，③顏那邊鎖為正殲，我濁們就螞記作騎③好⑥。烏這樣廊，就打得到夕圖9，即能最大腥流量膊。依收這樣另的調(diào)執(zhí)度方扯式，陜可以刺從發(fā)捐點s調(diào)運14（百婚輛）據(jù)汽車句到收堆點t。(3,6)6373371035542513672圖9最大垂流量圖圖10最大挺流fma孤x的大范小是乏確定件的，慘但最雀大流系的路文線可侄以不寸唯一爽。在嚇上例敘中，抬如果太從不偶同的親路開帝始來陷修改痕圖，帥也可失能得考到另眼外一繡個最盾大流柳圖（購圖10）。2416357563233177235注意應(yīng)用掏舉例一制浮造商某需要教把兩義個車逐間D1,D2生產(chǎn)舌的同它類商陜品通湖過運瓶輸網(wǎng)辟絡(luò)送接到三族個銷冊售點M1,M2,M3去，透如圖影所示音。設(shè)號各銷粥售點萍計劃筋銷售店量分覺別為10誓,8忙,8，問舒網(wǎng)絡(luò)意的運唇輸能茄力能漿否滿莫足這顛一要誰求？視兩個歲車間竄生產(chǎn)梢數(shù)量碧多少林最為肯恰當(dāng)剖？三、鴉最幻玉小費它用流典及其聯(lián)求解才方法（一柄）最揪小費浩用流攪問題如果嫩在考樂慮網(wǎng)趙絡(luò)上草流量屯的同醋時，照還要劇使得濃所安普排流朱量的哀費用臂或者社代價棄達(dá)到而最小鹽，就頂是所材謂的好最小狼費用息流問惡題。在上友例中椒，如尤果單流位車詳輛數(shù)勒通過獵某一督條弧賞要付甘出一較定的哭代價束，其韻代價怕如圖11。425136743313324223222圖11代價屆條件425136756385577113223圖1約束斗條件現(xiàn)在分要從鵲發(fā)點①調(diào)顧動若描干車巨輛到廁收點紙⑦去棄，約佳束條頃件為捷圖1，代刪價條喬件為壓圖11，要性使所績花費濟(jì)的代餡價達(dá)升到最沈小，用式賄子表滅示，逆就是燒要在私（1）～遠(yuǎn)（7）式閃的約薦束條摸件下載，找使到一責(zé)個可休行流f的流仙量（15）使其品代價屠最小戰(zhàn)，即（16）式中術(shù)：叢指單紗位車刺輛數(shù)原通過摩弧杯的代嚇價。例：診求下捷圖網(wǎng)繁絡(luò)中少的最卻小費顯用流副，圖默中每編邊上被的第哭一個子數(shù)字暮是容脾量c(仇i,日j)=cij,第二頂個數(shù)護(hù)字是旺單位隱費用w(盾i,除j)解：克（1）求s到t的最澆小費炭用通泛路sb冠at，單續(xù)位費睡用和率為4，最囑大流偉為11，邊ba飽和慶。（2）在茅新的戶網(wǎng)絡(luò)測中求s到t的最地小費粱用通醒路sa押t，單駕位費萄用和虹為5，最滑大流行為3，邊at飽和本。（3）在靈新的乞網(wǎng)絡(luò)耳中求s到t的最廁小費去用通割路sb砍ct，單姥位費略用和謙為6，最狼大流通為5，邊sb飽和喊。（4）在循新的療網(wǎng)絡(luò)膽中求s到t的最攪小費蜓用通隨路sa敬bc棟t，單屯位費抵用和傾為7，最褲大流為為3，邊ct飽和直。于是史，圖割中的運流分墻布為最小適費用裹為：4×裳11＋5×彼3＋6×乞5＋7×校3＝11帽0（二慮）求袍解最芒小流艘問題求最持小費車用流睬的步愈驟和涼求最伯大流各的步囑驟幾表乎完襯全一爹致，畝只是糊在步炎驟（1）中瞎，選油代價飄和最小小的迷路，靜即最圖短路勸。例如壁，在補(bǔ)圖11中，笨從①筆到⑦袋的最染短路疏是①—③換—⑤遷—⑦，代攪價為7，在飾這條坐最短應(yīng)非飽叮和路承上取福后，宰③—⑤變成鋼容量脈為零北，在稿下一似次選顧擇最抱短路方時應(yīng)跟將③—⑤視為休斷路速來選似取最勻短非食