北師大八年級上冊第七章平行線的證明-平行線間的距離及平行四邊形判定與性質(zhì)的綜合

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握平行線間的距離的概念及性質(zhì)；2.運用平行四邊形的性質(zhì)計算和證明；（重點）3.能夠綜合運用平行四邊形的判定定理和性質(zhì).（難點）導(dǎo)入新課情境引入

在筆直的鐵軌上，夾在兩根鐵軌之間的平行枕木是否一樣長？你能說明理由嗎？與同伴交流.

如圖，在方格紙上畫兩條互相平行的直線，在其中一條直線上任取若干點，過這些點作另一條直線的垂線，用刻度尺度量出平行線之間的垂線段的長度．

經(jīng)過度量，我們發(fā)現(xiàn)這些垂線段的長度都相等(從圖中也可以看到這一點)．平行線之間的距離一合作探究講授新課猜想：平行線間距離處處相等.如圖，直線a//b，A,B是直線a上任意兩點，AC⊥b，BD⊥b，垂足分別為C,D.求證：AC=BD.證明：∵AC⊥CD，BD⊥CD，理論證明abABCD∴∠1=∠2=90°.∴AC∥BD.∴AB∥CD，∴四邊形ACDB是平行四邊形.∴AC=BD.12

如果兩條直線互相平行，則其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離都相等(如圖：AC=BD),這個距離稱為平行線之間的距離.歸納總結(jié)(簡記為：兩條平行線間的距離處處相等）.AB思考：兩條平行線之間的距離與點和點之間的距離、點到線之間的距離有何區(qū)別與聯(lián)系？abAB

點到直線的距離只有一條，即過直線外點作直線的垂線段的長度；而平行線的距離有無數(shù)條即一直線任一點都可以得到一條兩平行直線的距離.例1如圖，直線AE//BD，點C在BD上，若AE=5，BD=8，△ABD的面積為16，則△ACE的面積為

.ABCDE分析：根據(jù)平行線之間的距離處處相等.解析：設(shè)高為h,則S△ABD=·BD·h=16,h=4,所以S△ACE=·AE·h=×5×4=10.10典例精析思考：若垂線段改為夾在兩條線段間的平行線段呢？它們是否相等呢？

由“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”易知其圍成的封閉圖形為平行四邊形，再由平行四邊形性質(zhì)易知夾在兩條平行線間的平行線段相等.例2已知，如圖，在平行四邊形ABCD中，BN=DM，BE=DF．求證：四邊形MENF是平行四邊形證明：在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，∴∠MDF=∠NBE．∵DM=BN，DF=BE，∴△MDF≌△NBE(SAS).∴MF=NE，∠MFD=∠NEB．∴四邊形MENF是平行四邊形.∴∠MFE=∠NEF∴FM∥EN．ABCDEF證明：∵四邊形AEFD和EBCF都是平行四邊形，∴AD

EF，EF

BC.∴ADBC.∴四邊形ABCD是平行四邊形.//=//=//=問題

四邊形AEFD和EBCF都是平行四邊形，求證四邊形ABCD是平行四邊形.平行四邊形性質(zhì)與判定的綜合運用二提示:要由其中的一個或多個平行四邊形，得出四邊形中邊角的條件，判定其他四邊形也是平行四邊形例3.如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E、F是對角線AC上的兩點，給出下列四個條件：①AE=CF；②DE=BF；③∠ADE=∠CBF；④∠ABE=∠CDF．其中不能判定四邊形DEBF是平行四邊形的有（）A．0個B．1個C．2個D．3個B【解析】由平行四邊形的判定方法可知：若是四邊形的對角線互相平分，可證明這個四邊形是平行四邊形，②不能證明對角線互相平分，只有①③④可以，故選B．例4如圖，在ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，連接AF，CE．求證：AF=CE．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF．又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，AE∥CF，在△ABE和△CDF中，∠ABE＝∠CDF，

∠AEB＝∠CFD，AB＝CD，∴△ABE≌△CDF（AAS）．∴AE=CF，∵AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴AF=CE．1.(1)在□ABCD中，∠A=150°，AB=8cm,BC=10cm,則S□ABCD=

.提示：過點A作AE⊥BC于E，然后利用勾股定理求出AE的值.40cm2(2)若點P是□ABCD上AD上任意一點，那么△PBC的面積是

.20cm2提示：△PBC與□ABCD是同底等高.當(dāng)堂練習(xí)2.如圖，?ABCD中．EF∥GH∥BC，MN∥AB，則圖中平行四邊形的個數(shù)是（）A．13B．14C．15D．18【解析】根據(jù)平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，如圖，則圖中的四邊形AEOM、AGPM、ABNM、EGPO、EBNO、GBNP、MOFD、MPHD、MNCD、OPHF、ONCF、PNCH、AEFD、AGHD、ABCD、EGHF、EBCF和GBCH都是平行四邊形，共18個．故選D．D3.在?ABCD中，E、F分別在BC、AD上，若想要使四邊形AFCE為平行四邊形，需添加一個條件，這個條件不可以是（）A．AF=CEB．AE=CFC．∠BAE=∠FCDD．∠BEA=∠FCEB4.如圖，?ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，AD邊上的點，要使四邊形BEDF為平行四邊形，需添加一個條件:

_________________________________.

【解析】∵四邊形EBFD要為平行四邊形．∴∠BAE=∠DCF，AB=CD在△AEB與△CFD中，AB＝CD∠BAE＝∠DCFAE＝CF，∴△AEB≌△CFD（SAS），∴AE=FC∴DE=BF；AE=FC或∠ABE=∠CDF或BE=DF（答案不唯一）∴四邊形EBFD為平行四邊形．∴可添加的條件是AE=FC，同理還可添加∠ABE=∠CDF．故答案為：AE=FC或∠ABE=∠CDF或BE=DF（答案不唯一）5.如圖，在?ABCD中，E、F分別為邊AD、BC的中點，對角線AC分別交BE，DF于點G、H．求證：AG=CH．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠ADF=∠CFH，∠EAG=∠FCH，∵E、F分別為AD、BC邊的中點，∴AE=DE=AD，CF=BF=BC，∴DE∥BF，DE=BF，∴四邊形BFDE是平行四邊形，∴BE∥DF，∴∠AEG=∠ADF，∴∠AEG=∠CF