2018屆重慶中考復(fù)習(xí)：二次函數(shù)相關(guān)的最值問(wèn)題練習(xí)(含答案)

二次函數(shù)相關(guān)的最值問(wèn)題例1.如圖，拋物線y＝－x2－4x＋5與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．(1)求直線AC的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)若Q為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接QA、QC，求|QA－QC|的最大值及此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)連接CD，點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、C重合)，過(guò)P作PE∥x軸交直線AC于點(diǎn)E，作PF∥CD交直線AC于點(diǎn)F，當(dāng)線段PE＋PF取最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及線段EF的長(zhǎng)；(4)在(3)問(wèn)的條件下，將P向下平移eq\f(3,4)個(gè)單位得到點(diǎn)H，在拋物線對(duì)稱軸上找一點(diǎn)L，在y軸上找一點(diǎn)K，連接OL，LK，KH，求線段OL＋LK＋KH的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)L的坐標(biāo)；(5)在(3)問(wèn)的條件下，將線段PE沿著直線AC的方向平移得到線段P′E′，連接DP′，BE′，求DP′＋P′E′＋E′B取最小值時(shí)點(diǎn)E′的坐標(biāo)．3．如圖，對(duì)稱軸為直線x＝2的拋物線經(jīng)過(guò)A(－1，0)，C(0，5)兩點(diǎn)，與x軸另一交點(diǎn)為B.已知M(0，1)，E(a，0)，F(xiàn)(a＋1，0)，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求此拋物線的解析式；(2)若△PCM是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形，求a為何值時(shí)，四邊形PMEF周長(zhǎng)最??？說(shuō)明理由．4．已知，如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋2ax－3a(a≠0)圖象的頂點(diǎn)為H，與x軸交于A、B兩點(diǎn)(B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè))，點(diǎn)H，B關(guān)于直線l：y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\r(3)對(duì)稱．(1)求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，并證明點(diǎn)A在直線l上；(2)求二次函數(shù)的解析式；(3)過(guò)點(diǎn)B作直線BK∥AH交直線l于點(diǎn)K，M、N分別為直線AH和直線l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接HN、NM、MK，求HN＋NM＋MK和的最小值．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝－eq\f(1,2)x2＋eq\r(2)x＋3與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC交y軸于點(diǎn)D.(1)求平行線AD、BC之間的距離；(2)點(diǎn)P為線段BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PCB的面積最大時(shí)，Q從點(diǎn)P出發(fā)，先沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)到直線BC上點(diǎn)M處，再沿垂直于直線BC的方向運(yùn)動(dòng)到直線AD上的點(diǎn)N處，最后沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B處停止．當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑最短時(shí)，求點(diǎn)Q經(jīng)過(guò)的最短路徑的長(zhǎng)．6．如圖，拋物線y＝－eq\f(\r(3),4)x2－eq\f(9,4)x＋3eq\r(3)交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)Q為頂點(diǎn)，點(diǎn)D為點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)．(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)和tan∠ABC的值；(2)若點(diǎn)P是拋物線上位于點(diǎn)B、D之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B、D重合)，在直線BC上有一動(dòng)點(diǎn)E，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)F.當(dāng)四邊形ABPD的面積最大時(shí)，一動(dòng)點(diǎn)G從點(diǎn)P出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿P→E→F的路徑運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F，再沿線段FA以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)后停止，當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí)，動(dòng)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所用時(shí)間最少？二次函數(shù)相關(guān)的最值問(wèn)題答案例1.解：(1)∵y＝－x2－4x＋5＝－(x2＋4x)＋5＝－(x＋2)2＋9，∴D(－2，9)．當(dāng)x＝0時(shí)，y＝5，∴C(0，5)．當(dāng)y＝0時(shí)，x1＝1，x2＝－5，∴A(－5，0)，B(1，0)，∴yAC＝x＋5；(2)因?yàn)辄c(diǎn)Q在拋物線對(duì)稱軸上，由拋物線對(duì)稱性知QA＝QB，由C(0，5)和B(1，0)可求得yBC＝－5x＋5，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知，當(dāng)點(diǎn)Q，C，B三點(diǎn)共線時(shí)，|QB－QC|最大，即|QA－QC|最大，可求直線yBC＝－5x＋5與拋物線對(duì)稱軸交點(diǎn)Q為(－2，15)，此時(shí)|QA－QC|最大值＝BC＝eq\r(26).解：(3)過(guò)P作PQ∥y軸，交AC于Q，再作FM⊥PQ于M，如圖①，直線AC：y＝x＋5，設(shè)P(t，－t2－4t＋5)，Q(t，t＋5)，∴PQ＝(－t2－4t＋5)－(t＋5)＝－t2－5t.∵∠PEF＝∠CAO＝45°，∴PE＝PQ＝－t2－5t，∵PF∥CD，∴kCD＝－2＝kPF，∴tan∠MPF＝eq\f(1,2)，設(shè)FM＝n＝MQ，則PM＝2n，PQ＝3n，PF＝eq\r(5)n，即PF＝eq\f(\r(5),3)PQ，∴PE＋PF＝(3＋eq\r(5))n＝(1＋eq\f(\r(5),3))PQ，∴當(dāng)PQ最大時(shí)，PE＋PF取最大值，而PQ＝－t2－5t＝PE＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(5,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(25,4)，當(dāng)t＝－eq\f(5,2)時(shí)，PE＋PF取最大值，此時(shí)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(35,4)))，EF＝eq\r(2)PM＝eq\f(25\r(2),6).(4)如圖②：在(3)問(wèn)的條件下，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(35,4)))，∴Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，8))，作H關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)H1，作O關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱點(diǎn)O1，所以O(shè)1(－4，0)，H1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，8))，連接O1H1，則O1H1長(zhǎng)即為OL＋LK＋KH的最小值，直線O1H1：y＝eq\f(16,13)x＋eq\f(64,13)，∴直線O1H1與拋物線對(duì)稱軸交點(diǎn)即為L(zhǎng)點(diǎn)的位置，此時(shí)Leq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(32,13)))，OL＋LK＋KH的最小值＝O1H1＝eq\f(5,2)eq\r(17)；(5)在(3)問(wèn)的條件下，P′E′＝PE＝eq\f(25,4)，在線段PE平移過(guò)程中，PE即P′E′長(zhǎng)度不變，將DP′沿P′E′向右平移PE的長(zhǎng)即eq\f(25,4)個(gè)單位，得到D′E′，如圖③，則四邊形D′DP′E′為平行四邊形，故DP′＝D′E′，要使得DP′＋P′E′＋E′B最小，即DP′＋E′B最小，即要使D′E′＋E′B最小，當(dāng)D′，E′，B三點(diǎn)共線時(shí)，D′E′＋E′B最小，設(shè)D′B與直線AC交于點(diǎn)E″.由題意知D′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,4)，9))，直線BD′：y＝eq\f(36,13)x－eq\f(36,13)，∴E″e(cuò)q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(101,23)，\f(216,23)))，即點(diǎn)E′的坐標(biāo)為(eq\f(101,23)，eq\f(216,23))．針對(duì)訓(xùn)練：1.解：(1)∵直線y＝kx＋b經(jīng)過(guò)A(－4，0)、B(0，3)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4k＋b＝0，,b＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(3,4)，,b＝3.))∴y＝eq\f(3,4)x＋3.(2)過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作x軸的平行線MN，分別過(guò)點(diǎn)A、P作MN的垂線段，垂足分別為M、N.設(shè)H(m，eq\f(3,4)m＋3)，則M(－4，eq\f(3,4)m＋3)，N(x，eq\f(3,4)m＋3)，P(x，－x2＋2x＋1)．∵PH⊥AB，∴∠PHN＋∠AHM＝90°，∵AM⊥MN，∴∠MAH＋∠AHM＝90°.∴∠MAH＝∠PHN，∵∠AMH＝∠PNH＝90°，∴△AMH∽△HNP.∵M(jìn)A∥y軸，∴△MAH∽△OBA.∴△OBA∽△NHP.∴eq\f(NH,3)＝eq\f(PN,4)＝eq\f(PH,5).∴eq\f(x－m,3)＝eq\f(（\f(3,4)m＋3）－（－x2＋2x＋1）,4)＝eq\f(d,5).整理得：d＝eq\f(4,5)x2－x＋eq\f(8,5)，所以當(dāng)x＝eq\f(5,8)時(shí)，d取最小值，此時(shí)P(eq\f(5,8)，eq\f(119,64))．(3)拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，作點(diǎn)C關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱點(diǎn)C′，過(guò)點(diǎn)C′作C′F⊥AB于F.過(guò)點(diǎn)F作JK∥x軸，分別過(guò)點(diǎn)A、C′作AJ⊥JK于點(diǎn)J，C′K⊥JK于點(diǎn)K，則C′(2，1)．設(shè)F(m，eq\f(3,4)m＋3)，∵C′F⊥AB，∴∠AFJ＋∠C′FK＝90°，∵C′K⊥JK，∴∠C′＋∠C′FK＝90°，∴∠C′＝∠AFJ，∵∠J＝∠K＝90°，∴△AFJ∽△FC′K.∴eq\f(AJ,FK)＝eq\f(JF,C′K)，∴eq\f(\f(3,4)m＋3,2－m)＝eq\f(m＋4,\f(3,4)m＋2)，解得m＝eq\f(8,25)或m＝－4(不符合題意，舍去)．∴F(eq\f(8,25)，eq\f(81,25))，∵C′(2，1)，∴FC′＝eq\f(14,5).∴CE＋EF的最小值＝C′F＝eq\f(14,5).2.解：(1)對(duì)于拋物線y＝－eq\f(\r(3),3)x2＋eq\f(2\r(3),3)x＋eq\r(3)，令x＝0，得y＝eq\r(3)，即C(0，eq\r(3))，D(2，eq\r(3))，∴DH＝eq\r(3)，令y＝0，即－eq\f(\r(3),3)x2＋eq\f(2\r(3),3)x＋eq\r(3)＝0，得x1＝－1，x2＝3，∴A(－1，0)，B(3，0)，∵AE⊥AC，EH⊥AH，∴△ACO∽△EAH，∴eq\f(OC,AH)＝eq\f(OA,EH)，即eq\f(\r(3),3)＝eq\f(1,EH)，解得：EH＝eq\r(3)，則DE＝2eq\r(3)；(2)如圖②，找點(diǎn)C關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)N(4，eq\r(3))，找點(diǎn)C關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)G(－2，－eq\r(3))，連接GN，交AE于點(diǎn)F，交DE于點(diǎn)P，即G、F、P、N四點(diǎn)共線時(shí)，△CPF的周長(zhǎng)＝CF＋PF＋CP＝GF＋PF＋PN最小，直線GN的解析式：y＝eq\f(\r(3),3)x－eq\f(\r(3),3)；直線AE的解析式：y＝－eq\f(\r(3),3)x－eq\f(\r(3),3)；直線DE的解析式：x＝2.聯(lián)立得：F(0，－eq\f(\r(3),3))，P(2，eq\f(\r(3),3))，過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線交FH于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)M(m，－eq\f(\r(3),3)m2＋eq\f(2\r(3),3)m＋eq\r(3))，則Q(m，eq\f(\r(3),3)m－eq\f(\r(3),3))(0≤m≤2)；∴S△MFP＝S△MQF＋S△MQP＝eq\f(1,2)MQ×2＝MQ＝－eq\f(\r(3),3)m2＋eq\f(\r(3),3)m＋eq\f(4\r(3),3)，∵對(duì)稱軸為直線m＝eq\f(1,2)，而0≤eq\f(1,2)≤2，拋物線開(kāi)口向下，∴m＝eq\f(1,2)時(shí)，△MPF的面積有最大值，為eq\f(17\r(3),12).3.解：(1)∵對(duì)稱軸為直線x＝2，∴設(shè)拋物線解析式為y＝m′(x－2)2＋k.將A(－1，0)，C(0，5)代入得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9m′＋k＝0，,4m′＋k＝5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m′＝－1，,k＝9，))∴y＝－(x－2)2＋9＝－x2＋4x＋5.(2)∵M(jìn)(0，1)，C(0，5)，△PCM是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3.令y＝－x2＋4x＋5＝3，解得x＝2±eq\r(6).∵點(diǎn)P在第一象限，∴P(2＋eq\r(6)，3)．四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長(zhǎng)度固定，因此只要ME＋PF最小，則四邊形PMEF的周長(zhǎng)最?。鐖D，將點(diǎn)M向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度(EF的長(zhǎng)度)，得M1(1，1)；作點(diǎn)M1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M2，則M2(1，－1)；連接PM2，與x軸交于F點(diǎn)，此時(shí)ME＋PF＝PM2最?。O(shè)直線PM2的解析式為y＝mx＋n，將P(2＋eq\r(6)，3)，M2(1，－1)代入得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2＋\r(6)）m＋n＝3，,m＋n＝－1，))解得：m＝eq\f(4\r(6)－4,5)，n＝－eq\f(4\r(6)＋1,5)，∴y＝eq\f(4\r(6)－4,5)x－eq\f(4\r(6)＋1,5).當(dāng)y＝0時(shí)，解得x＝eq\f(\r(6)＋5,4).∴F(eq\f(\r(6)＋5,4)，0)．∵a＋1＝eq\f(\r(6)＋5,4)，∴a＝eq\f(\r(6)＋1,4).∴a＝eq\f(\r(6)＋1,4)時(shí)，四邊形PMEF周長(zhǎng)最小．4.解：(1)依題意，得ax2＋2ax－3a＝0(a≠0)，解得x1＝－3，x2＝1∵B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(－3，0)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，證明：∵直線l：y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\r(3)，當(dāng)x＝－3時(shí)，y＝eq\f(\r(3),3)×(－3)＋eq\r(3)＝0，∴點(diǎn)A在直線l上．(2)過(guò)頂點(diǎn)H作HC⊥AB交AB于C點(diǎn)，∵點(diǎn)H、B關(guān)于過(guò)A點(diǎn)的直線l：y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\r(3)對(duì)稱，∴AH＝AB＝4，又∵點(diǎn)H為拋物線頂點(diǎn)，則點(diǎn)H在拋物線對(duì)稱軸上，∴AH＝BH＝AB＝4.在Rt△ACH中，由勾股定理得CH＝eq\r(AH2－AC2)＝2eq\r(3)，∴頂點(diǎn)H(－1，2eq\r(3))，代入二次函數(shù)解析式，解得a＝－eq\f(\r(3),2)，∴二次函數(shù)解析式為y＝－eq\f(\r(3),2)x2－eq\r(3)x＋eq\f(3\r(3),2).(3)直線AH的解析式為y＝eq\r(3)x＋3eq\r(3)，直線BK的解析式為y＝eq\r(3)x－eq\r(3)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(\r(3),3)x＋\r(3)，,y＝\r(3)x－\r(3)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2\r(3)，))即K(3，2eq\r(3))，則BK＝4，∵點(diǎn)H、B關(guān)于直線AK對(duì)稱，∴HN＋MN的最小值是MB，過(guò)點(diǎn)K作KD⊥x軸于D，作點(diǎn)K關(guān)于直線AH的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接QK，交直線AH于E，則KE＝KD＝2eq\r(3)，QM＝MK，QE＝EK＝2eq\r(3)，AE⊥QK，∴BM＋MK的最小值是BQ，即BQ的長(zhǎng)是HN＋NM＋MK的最小值，∵BK∥AH，∴∠BKQ＝∠HEQ＝90°，由勾股定理得QB＝8，∴HN＋NM＋MK的最小值為8.5.解：(1)令y＝0，即－eq\f(1,2)x2＋eq\r(2)x＋3＝0，解得：x1＝－eq\r(2)，x2＝3eq\r(2)，∴A(－eq\r(2)，0)，B(3eq\r(2)，0)，∵當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，∴C(0，3)，在Rt△BOC中，BO＝3eq\r(2)，CO＝3，∴BC＝3eq\r(3)，∴sin∠CBO＝eq\f(CO,BC)＝eq\f(\r(3),3).因?yàn)锳D∥BC，∴sin∠BAD＝sin∠CBO＝eq\f(\r(3),3).過(guò)B作BH⊥AD于點(diǎn)H，∴sin∠BAD＝eq\f(BH,AB)＝eq\f(\r(3),3)，∴BH＝eq\f(4\r(6),3)；∴平行線AD、BC間的距離為eq\f(4,3)eq\r(6).(2)過(guò)P作PQ∥y軸，交BC于點(diǎn)Q，設(shè)P(m，－eq\f(1,2)m2＋eq\r(2)m＋3)，∵直線BC：y＝－eq\f(\r(2),2)x＋3，∴Q(m，－eq\f(\r(2),2)m＋3)，∴S△PCB＝eq\f(1,2)·PQ·(xB－xC)＝eq\f(3\r(2),2)(－eq\f(1,2)m2＋eq\f(3\r(2),2)m)，當(dāng)m＝eq\f(3\r(2),2)時(shí)，S△CPB最大，此時(shí)，P(eq\f(3\r(2),2)，eq\f(15,4))．取點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)B′，將B′沿B′B方向平移eq\f(4\r(6),3)個(gè)單位長(zhǎng)度得B′′，此時(shí)B′′與點(diǎn)H(eq\f(5\r(2),3)，－eq\f(8,3))重合．連接HP，交BC于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為所求．∴(PM＋NM＋BN)最?。絇H＋MN＝eq\f(\r(5937),12)＋eq\f(4\r(6),3).6.解：(1)令－eq\f(\r(3),4)x2－eq\f(9,4)x＋3eq\r(3)＝0，解得x1＝－4eq\r(3)，x2＝eq\r(3)，∴A(－4eq\r(3)，0)，B(eq\r(3)，0)，在y＝－eq\f(\r(3),4)x2－e