定的換和分部積分法

FormulaforIntegrationbySubstitutionorbyParts§5.3定積分的換元法和分部積分法安徽財經(jīng)大學AnhuiUniversityofFinance&Economics1959一、問題的提出四、小結思考題二、定積分的換元法三、定積分的分部積分法§5.3定積分的換元法和分部積分法一、問題的提出二、定積分的換元法2.1、第一換元法2.2、第二換元法三、定積分分部積分法3.1、分部積分公式3.2、分部法兩個要點四、小結(sumary)1、定積分的換元公式⑴根式代換；⑵三角代換⑶其它代換。2、定積分分部積分公式思考題作業(yè):第249-250頁1⑸⑽⒂⒇;5;8;11⑸⑽.2.3、第二換元法兩要點課前練習2.4、換元法在證明中應用課前練習課前練習課前練習課前練習

我們知道求定積分的關鍵是求原函數(shù)，而求原函數(shù)的方法是求不定積分，然而不定積分中有換元法和分部積分法，那么定積分是否也有換元法和分部積分法呢？那么定積分中和不定積分中的換元法和分部積分法有哪些不同呢？

第一個問題的回答是肯定的，在一定條件下，結合牛頓—萊布尼茨公式可以用換元積分法與分部積分法來計算定積分。一、問題的提出第二個問題我們會在上課的過程中予以回答。一、問題的提出引例：解：一、問題的提出引例2.1、第一換元法——湊微分法定理1設f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則注:這里由于設有把變換式u=j(x)明顯寫出來,積分變量仍然是x,所以不必改變上下限.例1

計算解二、定積分的換元法例2

計算解原式二、定積分的換元法例3

計算解二、定積分的換元法2.2、第二換元法——變量代換法定理2

設f(x)在[a,b]上連續(xù),x=j(t)滿足條件:⑴j(a)=a,j(b)=b;⑵j(t)在[a,b]上具有連續(xù)導數(shù)且值域Rj=[a,b],則有證設F(x)是f(x)的一原函數(shù)，另一方面,在[a,b]上,把t的復合函數(shù)F[j(t)]對t求導得二、定積分的換元法⑴換元必須換限2.3、第二換元法兩個要點用x=j(t)把變量x換成新變量t時，積分限也相應的改變.⑵換元無需還原求出設f[j(t)]j‘(t)的一原函數(shù)F[j(t)]后,不必象計算不定積分那樣再要把F[j(t)]變換成原變量x的函數(shù)，而只要把新變量t的上、下限分別代入F[j(t)]然后相減就行了。這也是比不定積分相對較優(yōu)的一個特點（優(yōu)點）。二、定積分的換元法二、定積分的換元法例4

計算解：例5

計算解：二、定積分的換元法二、定積分的換元法例6

計算解：證二、定積分的換元法上述結論的幾何解釋：yxa–a0y=f(x)+–偶函數(shù)圖形關于y軸對稱,在[–a,a]上關于y軸左右兩邊的圖形面積相等.奇函數(shù)圖形關于原點對稱,在[–a,a]上關于x軸上下兩邊的圖形面積相等.yxa–a0y=f(x)二、定積分的換元法奇函數(shù)例8

計算解原式偶函數(shù)單位圓的面積二、定積分的換元法二、定積分的換元法例9⑴

解：⑵解：原積分=二、定積分的換元法2.4、用換元法證明定積分的恒等式步驟：⑴改寫等式右端的積分變量為t；⑵作變量替換：①若被積函數(shù)左為f(x)右為f[j(t)],則令x=j(t);②若被積函數(shù)左為f(x)右為f(t),則令x=-t,1/t或A±t;③若被積函數(shù)含三角函數(shù),則令x=p±t或p/2±t;例10

設f連續(xù),證明證：證⑴令二、定積分的換元法二、定積分的換元法⑵令證二、定積分的換元法證二、定積分的換元法例12解求導二、定積分的換元法解例13計算二、定積分的換元法課前練習課前練習解：課前練習解：(FormulaforIntegrationbyParts)3.1、分部積分公式定積分的分部積分公式設函數(shù)u(x)、v(x)在區(qū)間[a,b]上具有連續(xù)導數(shù)，則有三、定積分的分部積分法2.2、分部積分法兩個要點⑴主要解決兩類積分:①直接用于被積函數(shù)為對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)

及變上限函數(shù);對于定積分的分部積分法，在分部積分的同時，對積出的部分代入積分上下限，計算結果，這樣可以簡化計算過程。三、定積分的分部積分法②用于兩種不同類型函數(shù)乘積的積分

(按“反對冪指三”定u、v；⑵與不定積分僅差上下限，分部同時計算積分。三、定積分的分部積分法例1

計算解例2

計算解三、定積分的分部積分法例3計算注意:去掉絕對值時注意分部積分的上下限解òòò-=eeeexdxxdx+dxx1111lnlnln22+-=e[][][][]lnln111111+--=xxxxxxeeee[]lnln11-+òxxdxxee)ln1111-=-([xlnx]òxxdee練習.求解：由分部積分公式=1三、定積分的分部積分法例4

設求解三、定積分的分部積分法練習.設f(x)為連續(xù)函數(shù)，證明證明三、定積分的分部積分法三、定積分的分部積分法例5

計算解冪*指三、定積分的分部積分法★

例6

計算解例7

計算解指*三三、定積分的分部積分法例8計算解

注本題是一個集湊微分法、根式換元法、分部積分法的綜合題。四、定積分積分法