19-20版-第1章-1.2-1.2.1-第1課時(shí)-任意角的三角函數(shù)的定義

1.2任意角的三角函數(shù)1.2.1任意角的三角函數(shù)第1課時(shí)任意角的三角函數(shù)的定義學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義．(重點(diǎn)、難點(diǎn))2.掌握任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)在各象限的符號(hào)．(易錯(cuò)點(diǎn))3.掌握公式——并會(huì)應(yīng)用．1.借助單位圓給出任意角三角函數(shù)的定義，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).2.通過利用三角函數(shù)定義及符號(hào)特點(diǎn)求值，提升了學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).1．任意角的三角函數(shù)的定義前提如圖，設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)定義正弦y叫做α的正弦，記作sinα，即sinα＝y(tǒng)余弦x叫做α的余弦，記作cosα，即cosα＝x正切eq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)三角函數(shù)正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)2.正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域三角函數(shù)定義域sinαRcosαRtanαeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))3.正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)(1)圖示：(2)口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．4．誘導(dǎo)公式一思考：終邊相同的角的同名三角函數(shù)值一定相等嗎？提示：一定相等．1．若角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(2，3)，則有()A．sinα＝eq\f(2\r(,13),13) B．cosα＝eq\f(\r(,13),2)C．sinα＝eq\f(3\r(,13),13) D．tanα＝eq\f(2,3)C[這里x＝2，y＝3，則r＝eq\r(,22＋32)＝eq\r(,13)，∴sinα＝eq\f(3\r(,13),13)，cosα＝eq\f(2\r(,13),13)，tanα＝eq\f(3,2)，故選C.]2．已知sinα＞0，cosα＜0，則角α是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角B[由正弦、余弦函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)知，角α是第二象限角．]3．sineq\f(25,3)π＝．eq\f(\r(3),2)[sineq\f(25,3)π＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8π＋\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2).]4．角α終邊與單位圓相交于點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，則cosα＋sinα的值為．eq\f(\r(3)＋1,2)[cosα＝x＝eq\f(\r(3),2)，sinα＝y(tǒng)＝eq\f(1,2)，故cosα＋sinα＝eq\f(\r(3)＋1,2).]三角函數(shù)的定義及應(yīng)用[探究問題]1．一般地，設(shè)角α終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，它與原點(diǎn)的距離為r，則sinα，cosα，tanα為何值？提示：sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).2．sinα，cosα，tanα的值是否隨P點(diǎn)在終邊上的位置的改變而改變？提示：sinα，cosα，tanα的值只與α的終邊位置有關(guān)，不隨P點(diǎn)在終邊上的位置的改變而改變．【例1】(1)已知角θ的終邊上有一點(diǎn)P(x，3)(x＞0)，且cosθ＝eq\f(\r(10),10)x，求sinθ，tanθ的值為；(2)已知角α的終邊落在直線eq\r(3)x＋y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．思路點(diǎn)撥：(1)eq\x(依據(jù)余弦函數(shù)定義列方程求x)→eq\x(依據(jù)正弦、正切函數(shù)定義求sinθ和tanθ的值)(2)eq\x(判斷角α的終邊位置)→eq\x(分類討論求sinα，cosα，tanα)(1)eq\f(3\r(,10),10)，3[由三角函數(shù)定義知，cosθ＝eq\f(x,r)＝eq\f(x,\r(,x2＋9))＝eq\f(\r(,10),10)x.∵x＞0，∴x＝1，∴r＝eq\r(,10).∴sinθ＝eq\f(3\r(,10),10)，tanθ＝eq\f(y,x)＝3.](2)[解]直線eq\r(3)x＋y＝0，即y＝－eq\r(3)x，經(jīng)過第二、四象限，在第二象限取直線上的點(diǎn)(－1，eq\r(3))，則r＝eq\r(（－1）2＋（\r(3)）2)＝2，所以sinα＝eq\f(\r(3),2)，cosα＝－eq\f(1,2)，tanα＝－eq\r(3)；在第四象限取直線上的點(diǎn)(1，－eq\r(3))，則r＝eq\r(12＋（－\r(3)）2)＝2，所以sinα＝－eq\f(\r(3),2)，cosα＝eq\f(1,2)，tanα＝－eq\r(3).1．將本例(1)中條件“x＞0”改為“x＜0”，結(jié)果如何？[解]∵x＜0，由eq\f(x,\r(,x2＋9))＝eq\f(\r(,10),10)x得x＝－1.∴sinθ＝eq\f(3\r(,10),10)，tanθ＝－3.2．將本例(1)中條件“x＞0”改為“x≠0”，結(jié)果又怎樣？[解]因?yàn)閞＝eq\r(,x2＋9)，cosθ＝eq\f(x,r)，所以eq\f(\r(,10),10)x＝eq\f(x,\r(,x2＋9))，又x≠0，所以x＝±1，所以r＝eq\r(,10).當(dāng)x＝1時(shí)，sinθ＝eq\f(3\r(,10),10)，tanθ＝3，當(dāng)x＝－1時(shí)，sinθ＝eq\f(3\r(,10),10)，tanθ＝－3.3．將本例(1)中“P(x，3)”改為“P(x，3x)”，且把“cosθ＝eq\f(\r(,10)x,10)”去掉，結(jié)果又怎樣？[解]∵x≠0，∴r＝eq\r(,x2＋（3x）2)＝eq\r(,10)|x|.當(dāng)x＞0時(shí)，P在第一象限，θ為第一象限角，這時(shí)r＝eq\r(,10)x，則sinθ＝eq\f(3\r(,10),10)，cosθ＝eq\f(\r(,10),10)，tanθ＝3.當(dāng)x＜0時(shí)，P在第三象限，θ為第三象限角，這時(shí)r＝－eq\r(,10)x.則sinθ＝－eq\f(3\r(,10),10)，cosθ＝－eq\f(\r(,10),10)，tanθ＝3.4．將本例(2)的條件“eq\r(3)x＋y＝0”改為“y＝2x”其他條件不變，結(jié)果又如何？[解]當(dāng)角的終邊在第一象限時(shí)，在角的終邊上取點(diǎn)P(1，2)，由r＝|OP|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，得sinα＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，tanα＝eq\f(2,1)＝2.當(dāng)角的終邊在第三象限時(shí)，在角的終邊上取點(diǎn)Q(－1，－2)，由r＝|OQ|＝eq\r(（－1）2＋（－2）2)＝eq\r(5)，得：sinα＝eq\f(－2,\r(5))＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(－1,\r(5))＝－eq\f(\r(5),5)，tanα＝eq\f(－2,－1)＝2.由角α終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)求其三角函數(shù)值的步驟：(1)已知角α的終邊在直線上時(shí)，常用的解題方法有以下兩種：①先利用直線與單位圓相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)三角函數(shù)值．②在α的終邊上任選一點(diǎn)P(x，y)，P到原點(diǎn)的距離為r(r>0)．則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r).已知α的終邊求α的三角函數(shù)時(shí)，用這幾個(gè)公式更方便．(2)當(dāng)角α的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí)，一定注意對(duì)字母正、負(fù)的辨別，若正、負(fù)未定，則需分類討論．三角函數(shù)值符號(hào)的運(yùn)用【例2】(1)已知點(diǎn)P(tanα，cosα)在第四象限，則角α終邊在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)判斷下列各式的符號(hào)：①sin145°cos(－210°)；②sin3·cos4·tan5.思路點(diǎn)撥：(1)先判斷tanα，cosα的符號(hào)，再判斷角α終邊在第幾象限．(2)先判斷已知角分別是第幾象限角，再確定各三角函數(shù)值的符號(hào)，最后判斷乘積的符號(hào)．(1)C[因?yàn)辄c(diǎn)P在第四象限，所以有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(tanα>0，,cosα<0，))由此可判斷角α終邊在第三象限．](2)[解]①∵145°是第二象限角．∴sin145°＞0.∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角，∴cos(－210°)＜0，∴sin145°cos(－210°)＜0.②∵eq\f(π,2)＜3＜π，π＜4＜eq\f(3π,2)，eq\f(3π,2)＜5＜2π，∴sin3＞0，cos4＜0，tan5＜0，∴sin3·cos4·tan5＞0.判斷三角函數(shù)值在各象限符號(hào)的攻略：(1)基礎(chǔ)：準(zhǔn)確確定三角函數(shù)值中各角所在象限；(2)關(guān)鍵：準(zhǔn)確記憶三角函數(shù)在各象限的符號(hào)；(3)注意：用弧度制給出的角常常不寫單位，不要誤認(rèn)為角度導(dǎo)致象限判斷錯(cuò)誤．提醒：注意巧用口訣記憶三角函數(shù)值在各象限符號(hào)．1．已知角α的終邊過點(diǎn)(3a－9，a＋2)且cosα≤0，sinα＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．[－2，3][因?yàn)閏osα≤0，sinα＞0，所以角α的終邊在第二象限或y軸非負(fù)半軸上，因?yàn)棣两K邊過(3a－9，a＋2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a－9≤0，,a＋2＞0，))所以－2＜a≤3.]2．設(shè)角α是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)))＝－sineq\f(α,2)，則角eq\f(α,2)是第象限角．四[角α是第三象限角，則角eq\f(α,2)是第二、四象限角，∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)))＝－sineq\f(α,2)，∴角eq\f(α,2)是第四象限角．]誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用【例3】求值：(1)tan405°－sin450°＋cos750°；(2)sineq\f(7π,3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))coseq\f(13π,3).[解](1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan45°－sin90°＋cos30°＝1－1＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2).(2)原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,3)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,6)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,4)))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)coseq\f(π,6)＋taneq\f(π,4)coseq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＋1×eq\f(1,2)＝eq\f(5,4).利用誘導(dǎo)公式一進(jìn)行化簡求值的步驟(1)定形：將已知的任意角寫成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z.(2)轉(zhuǎn)化：根據(jù)誘導(dǎo)公式，轉(zhuǎn)化為求角α的某個(gè)三角函數(shù)值．(3)求值：若角為特殊角，可直接求出該角的三角函數(shù)值．3．化簡下列各式：(1)a2sin(－1350°)＋b2tan405°－2abcos(－1080°)；(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)))＋coseq\f(12,5)π·tan4π.[解](1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)＝a2sin90°＋b2tan45°－2abcos0°＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,6)π))＋coseq\f(12,5)π·tan4π＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,6)))＋coseq\f(12,5)π·tan0＝sineq\f(π,6)＋0＝eq\f(1,2).1．通過三角函數(shù)的定義的學(xué)習(xí)，為以后學(xué)習(xí)一切三角函數(shù)知識(shí)打下了基礎(chǔ)，要充分理解其內(nèi)涵，把握住三角函數(shù)值只與角的終邊所在位置有關(guān)，與所選取的點(diǎn)在終邊上的位置無關(guān)這一關(guān)鍵點(diǎn)．2．三角函數(shù)的定義域是學(xué)習(xí)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的基礎(chǔ)，通過對(duì)角的集合與函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，加深對(duì)三角函數(shù)定義的理解．3．三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)取決于終邊所在的位置，具體說取決于x，y的符號(hào)，記憶時(shí)結(jié)合三角函數(shù)定義式，也可用口訣只記正的：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．1．有下列說法：①終邊相同的角的同名三角函數(shù)的值相等；②sinα是“sin”與“α”的乘積；③若sinα＞0，則α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其終邊上一點(diǎn)，則cosα＝－eq\f(x,\r(,x2＋y2)).其中正確的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．3B[①正確；②錯(cuò)誤；sinα是整體；③錯(cuò)誤，如sineq\f(π,2)＝1＞0；④錯(cuò)誤，cosα＝eq\f(x,\r(,x2＋y2))，故B選