中小學(xué)教育數(shù)學(xué)解題研究

#/5值。對(duì)①小題，△已具備了三個(gè)條件式，這類問(wèn)題據(jù)以前的經(jīng)驗(yàn)，只要對(duì)數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐扑悖切尾浑y解出來(lái)。對(duì)于②小題，在確定了三角形的形狀大小以后，因涉及內(nèi)切圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，擬引入直角坐標(biāo)系，即能利用解析法列出目標(biāo)函數(shù)，其最值也可用一般的代數(shù)三角方法順利求出。至此，一個(gè)比較完整的解題計(jì)劃可以說(shuō)是擬定了。第三步實(shí)現(xiàn)計(jì)劃TOC\o"1-5"\h\z由 ，用正弦定理作代換，得 ,即n ?或因?yàn)?，知W,且、是三角形內(nèi)角，所以n，即、所以△是直角三角形。再由， 及222,可解得, =如圖一，建立直角坐標(biāo)系，使直角4 的三個(gè)頂點(diǎn)為（，）、（，）、（、） .在直角△中，有 ， , 、^所以，內(nèi)切圓的圓心為‘（2）,方程為（）2（ ）2。 設(shè)圓上的任一點(diǎn)為（，），則有=3（{x-）22+（y-）22}-4x+76?因是內(nèi)切圓上的點(diǎn)，故WW,于是當(dāng)時(shí)，有最小值，當(dāng)時(shí)，有最大值。第四步回顧討論對(duì)于上面解題過(guò)程的運(yùn)算檢驗(yàn)無(wú)誤后可考慮：時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到邊上的M此時(shí)的所求平方和最大值為；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到過(guò)的直徑的另一端點(diǎn)N此時(shí)得所求平方和最小值為。此外，能否用別的方法來(lái)導(dǎo)出結(jié)果呢？對(duì)第①小題也可一開(kāi)始用余弦定理作代換，對(duì)第②小題除選擇不同的位置建立坐標(biāo)系外，圓上的動(dòng)點(diǎn)也可以利用參數(shù)式表示，于是有好幾種解法（略）五、求解下列數(shù)學(xué)題（每題1、分,共3、分）1、求下圖1中陰影部分的面積。（取n=3）圖1解將圖形分成四個(gè)區(qū)域（如圖）用I、II、m、W表示相應(yīng)區(qū)域的面積于是，陰影部分的面積為s=m+w=（I+ii+w）-1=（i+ii+w）-［（i+ii+im）-（ii+im）］

因?yàn)镮+II+W=X62=9n=27,I+11+111=6X4=24,II+III=X42=4n=12S=27-（24-12）=15答：陰影部分面積為15.2、已知,求的最大、最小值。解：對(duì)原式作配方,有19=（）<（）19=（）+三（）分別得時(shí),時(shí),3、如圖2所示,公園要建造圓形的噴水池,在水池中央垂直于水面處安裝一個(gè)柱子，恰好在水面中心， 。由柱子頂端處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向沿形狀相同的拋物線落下，為使水流形狀較為漂亮，要求設(shè)計(jì)成水流在離距離處達(dá)到距水面最大高度 由（1）如果不計(jì)其他因素,那么水池的半徑至少要多少米,才能使噴出的拋物線形狀與圖由相同？解：（）如圖（2）建立坐標(biāo)系，設(shè)拋物線頂點(diǎn)為B水流落水處與軸交點(diǎn)為C根據(jù)題意（，）,（1 2設(shè)（，），拋物線的方程為 （一）將（， ）代入方程 （一） ，得一于是方程為一（一）令，得，一（舍去）所以,水池的半徑至少要2.米5。（）若水流噴出的拋物線形狀大小與圖相同，水池的半徑為 ，要使水流不落到池外，此時(shí)水流最大高度應(yīng)達(dá)到多少米？（精確到-）解：（）所以設(shè)拋物線為一（）將點(diǎn)（， 2（.）代入方程一（），解方程組得：能,能所以,此時(shí)水流最大高度應(yīng)達(dá)到3.米7。六、證明下列各題（每題10分,共20分）1、若a—bc=1,證明（a,b,c,均為整數(shù)）不可約。證明：經(jīng)配方有=若與有公約數(shù)>,則由知，1