cha圖論與網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化模型

第七章圖論與網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化模型

7.1圖論基本概念與最小生成樹7.2最短路問題7.3網(wǎng)絡(luò)最大流7.4二分圖與鎖具裝箱問題y實際背景

例1（公路連接問題）某一地區(qū)有若干個主要城市，現(xiàn)準備修建高速公路把這些城市連接起來，使得從其中一個城市都可以經(jīng)高速公路直接或間接到達另一個城市。假定已經(jīng)知道了任意兩個城市之間修建高速公路的成本，那么如何決定在哪些城市間修建高速公路總成本最??？例2（最短路問題）一名貨車司機奉命在最短的時間內(nèi)將一車貨物從甲地運往乙地。從甲地到乙地的公路網(wǎng)縱橫交錯，因此有多種行車路線，這名司機應選擇哪條線路呢？假設(shè)貨車的運行速度是恒定的，那么這個問題相當于需要找到一條從甲地到乙地的最短路。例3（運輸問題）某種原材料有M個產(chǎn)地，現(xiàn)在需要將原材料從產(chǎn)地運往N個使用工廠。假定M個產(chǎn)地的產(chǎn)量和N個工廠的需求量已知，單位產(chǎn)品從任一產(chǎn)地到任一工廠的運費已知，那么，如何安排運輸方案可以使總運輸成本最低？實際背景

例4（指派問題）一家公司經(jīng)理準備安排n名員工去完成n項任務(wù)，每人一項。由于各員工的特點不同，不同的員工去完成同一項任務(wù)時所獲得的收益不同，如何分配工作方案使總回報最大？例5（中國郵遞員問題）一名郵遞員負責投遞某個街區(qū)的郵件。如何為他設(shè)計一條最短的投遞路線？即從郵局出發(fā)，經(jīng)過投遞區(qū)內(nèi)每條街道至少一次，最后返回郵局。例6（旅行商問題）一名推銷員準備前往若干城市推銷產(chǎn)品。如何為他設(shè)計一條最短的旅行路線？即從駐地出發(fā)，經(jīng)過每個城市恰好一次，最后返回駐地。實際背景

共同特點：（1）它們的目的都是從若干可能的安排或方案中尋求某種意義下的最優(yōu)安排或方案，數(shù)學上把這種問題稱為優(yōu)化問題。（2）它們都易于用圖形的形式直觀的描述和表達，數(shù)學上把這種與圖相關(guān)的結(jié)構(gòu)稱為網(wǎng)絡(luò)，與圖和網(wǎng)絡(luò)相關(guān)的優(yōu)化問題稱為網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化。哥尼斯堡七橋問題

在無孤立結(jié)點的圖G中,若存在一條回路,它經(jīng)過圖中每條邊一次且僅一次,稱此回路為歐拉回路.無向圖G具有歐拉回路,當且僅當G是連通的,且所有結(jié)點的度都是偶數(shù).圖論基本概念與最小生成樹一、圖的概念1、圖的定義2、頂點的次數(shù)3、子圖二、圖的矩陣表示1、關(guān)聯(lián)矩陣2、鄰接矩陣三、最小生成樹定義有序二元組G=(V,E)稱為一個圖.[1]

是有窮非空集，稱為頂點集

其中的元素叫圖G的頂點。[2]

E稱為邊集，其中的元素稱為圖G的邊。

例設(shè)G=(V,E),其中G的圖解如圖定義定義關(guān)聯(lián)矩陣注：假設(shè)圖為簡單圖鄰接矩陣注：假設(shè)圖為簡單圖樹的等價定義⑴無回路的連通圖.⑵無回路且ε=v-1其中ε是T的邊數(shù),v是T的結(jié)點數(shù).⑶連通的且ε=v-1.⑷無回路但添加一條新邊則得到一條僅有的回路.⑸連通的,但刪去任一條邊,T便不連通.⑹每對結(jié)點之間有一條且僅有一條路.如果圖G的生成子圖是樹,則稱此樹為G的生成樹.例：某地要建5個工廠，擬修筑道路連接這5處。經(jīng)勘測其道路可依下圖的無向邊鋪設(shè)。為使這5處都有道路相通，問至少要鋪設(shè)幾條路？怎樣鋪設(shè)？最小生成樹（Kruskal（克魯斯克爾）算法）

設(shè)圖G有n個結(jié)點，以下算法產(chǎn)生的是最小生成樹1）選取最小權(quán)邊e1，置邊數(shù)i←1；2）i=n-1結(jié)束，否則轉(zhuǎn)入3）；3）設(shè)已選擇邊為e1,e2,…,ei,在G中選取不同于e1,e2,…,ei的邊ei+1，使{e1,e2,…,ei,ei+1}中無回路且ei+1是滿足此條件的最小邊；4）i←i＋1,轉(zhuǎn)入2）。注意：最小生成樹不唯一，但不同的最小生成樹的邊權(quán)之和是唯一的邊按升序排序:邊(vi,vj)記成eij邊權(quán)邊權(quán)e28e34e23e38e17e24e45e57e16e78e56e35e46e67e58e12e1811222333444566778v1v5v4v2v3v8v6v712213772486653443v1v5v4v2v3v8v6v71212433TOMATLAB(kruskal.m)驗證：P95例11最短災路問串題及滴其算與法一、伙基本編概念二、鐘固定豬起點關(guān)的最勉短路三、探每對德頂點蝦之間躍的最朱短路基冰本芬概斥念固定拍起點把的最系短路最短愉路是說一條路徑假設(shè)忙在u0吩-v械0的最搏短路惕中只化取一權(quán)條，衰則從u0到其鞭余頂虛點的消最短防路將近構(gòu)成左一棵珠以u0為根統(tǒng)的樹今．因此,可采寺用樹御生長漫的過脅程來議求指忠定頂奇點到壤其余昂頂點鳴的最叫短路漿．算法津步驟遲：TO孤M蒜AT孟LA憤B(di費jk繁st歲ra斧.m)u1u2u3u4u5u6u7u8驗證剛：P9摔7例1每對寶頂點橫之間籌的最齡短路1、求綠距離芒矩陣俗的方紅法2、求咳路徑箭矩陣算的方貨法3、查咬找最霜短路兩路徑粗的方脫法（一覺）算品法的陜基本狠思想（二至）算廉法原鼠理（三售）算俗法步文驟算法隙的基秒本思尺想算法緣瑞原理——求距農(nóng)離矩隱陣的使方法算法盟原理——求路尖徑矩望陣的那方法在建憂立距平離矩舞陣的俗同時窮可建調(diào)立路難徑矩豆陣R．即當vk被插入任何兩點間的最短路徑時，被記錄在R(k)中，依次求時求得，可由來查找任何點對之間最短路的路徑．ij算法教原理—查找膨最短血路路律徑的晴方法pkp2p1p3q1q2qm則由點i到j(luò)的最短路的路徑為：算法便步驟例、獸求下略圖任雕意兩舒點之找間的歐最短恐路徑準的長趙度TO繩M釀AT賢LA蹈B(r羅oa援d2仇(f櫻lo偷yd碌))可化裕為最燭短路烘問題院的多似階段隔決策貪問題最短冤路的禾應用選址勵問題--中心扇問題TO敵M勝AT倚LA哭B(r假oa澤d3政(f慘lo守yd掃))S(傻v1)=撈10鼠,吐S(稠v2)=政7,事S貸(v3)=制6,引S頂(v4)=這8.屑5,椅S拘(v5)=嗎7,峽S呀(v6)=針7,起S豎(v7)=勵8.梨5S(丈v3)=掘6,故應蔬將消負防站臉設(shè)在v3處?！?拼.3網(wǎng)絡(luò)騰流問鏡題1、為網(wǎng)絡(luò)以流圖2、最大胖流問當題及價其解際法3、最煮小費孩用問紐奉題及緩其解相法問題1：7種設(shè)鑰備要輸用5架飛跡機運撿往目卵的地深，每浮種設(shè)翻備各牲有4臺，漁這5架飛外機的蓄容量析分別謊為8，8，5，4，4臺，室問能額否有鏡一種炒裝載晴法，座使同羨一種革類型偏的設(shè)尺備不境會有皮兩臺榮在同基一架民飛機根上。問題2：設(shè)梢有王惕二、僻張三送、李是四、朽趙五念四人省及小勉提琴剪、大延提琴厚、鋼蛙琴和突吉他仁四種鍛樂器徐，已副知四笛人的旺特長特如下何：王二奸擅長久拉大掛提琴饞和彈妻鋼琴軟；張三待擅長擔拉小杯提琴圈、大皇提琴癥和吉廳他；李四黑擅長侍拉小罷提琴獄和大圾提琴聞；趙五籍只會更彈吉慶他；今假意設(shè)四亞人同濱臺演泛出，誕每人采奏一肌種樂怎器，趴問四宣人同曬時各應演奏閉一種切樂器曠時所煌有可疑能的娛方案晌。網(wǎng)絡(luò)賞流圖老是滿檔足下勢列條猴件的蘋有向假賦權(quán)馳圖（1）有一個發(fā)點和收點（2）每條邊都有一個容量（權(quán)）實際含義是發(fā)點可以看作運輸問題的起點，收點可以看作運輸問題的終點，邊可以看作運輸路線，權(quán)數(shù)可以看作該線路的運輸能力。設(shè)是定義在有向賦權(quán)圖邊集上的一個數(shù)值函數(shù)，滿足：（2）除厘過發(fā)鳳點和間起點乖外，（1）一、喜網(wǎng)絡(luò)昂流圖該定捷義的辮實際腿意義肯分別揚為：1、每注條邊虧的實眨際流蔽量不驅(qū)超過即它的議容量禍。2、流舍入和因流出勞每個跪節(jié)點寨的流擴量相莖等。展（物懇質(zhì)不記滅，淘無損另耗）3、從站發(fā)點警流出慚的流捆量等亂于流我入收逮點的匯流量旱。稱3、二、最大住流問茄題及銹其求類解方手法（一檢）最大禍流問棗題最大混流問今題——設(shè)有移向網(wǎng)只絡(luò)N（V，A），在平發(fā)點Vs有一摔批貨電，要辟通過英網(wǎng)絡(luò)口上的忍弧運貓輸?shù)娇皇拯cVt去，餃受運醬輸條矩件限極制，側(cè)每條聞弧aij在單圓位時急間內(nèi)補通過求的車條輛數(shù)訂不能蓮超過cij輛，夢分析促：如翁何組會織運鞏輸才釘能使端從Vs到Vt在單倘位時階間內(nèi)屯通過拳的車鋒輛達腐到最許多？上面牙描述傍的這臣類問均題，丘稱為她最大勿流問耍題。最大莫流問絹題廣應泛地奮應用筒在交說通運義輸、把供水命、油于管供然油、球郵電籠通訊匯，也乳可以喜用在納生產(chǎn)沃安排于，管攔理優(yōu)儀化等到實際菠問題勻上。例：如圖1中，壇有一軌批物物資需盛要用轎汽車竹盡快熱從發(fā)濾點①運到耀收點⑦，弧座（i，j）上所判標的慰數(shù)字呈表示斥該條雪道路榆在單沙位時離間內(nèi)距最多催能通曉過的友車輛長數(shù)（劣單位蜜：百嫁輛）射，問免如何欣調(diào)運慌，才何能使巡壽單位彈時間州里有宗最多條的車獄輛從①調(diào)到⑦。425136756385577113223圖1點①出發(fā)灘的車遠輛數(shù)痰應該鑰與點⑦到達黑的車鹿輛數(shù)批相同虛，除①和⑦以外換的各遠中間阿點，集進的盟車輛擊數(shù)應舒該與柱離去騙的車觀輛數(shù)惱應該圾相同趴。xij是通疲過弧(i，j)的車環(huán)輛數(shù)團。（1）（4）（5）（6）（2）（3）對所腹有弧圾（i，j），應滿謎足約晉束滿足齒（1）～完（7）的閑解稱屬為從①到⑦的一少個可告行流秒，我們芽的目最的：他在所破有可躲行流泛中求星出一少個方覺案，橡使得侵這個菊可行禽流得狠到的f最大皇。若從慚收點愛到發(fā)數(shù)點連假接一射條假烏想弧(7，1)，設(shè)時它的呀容量c71=∞，那么對點①：對點⑦：最大厘流問皮題的洞目標反為（7）（8）（9）（10）所以筒，對萬于發(fā)花點為Vs，收點鑒為Vt的網(wǎng)挪絡(luò)N（V，U），當增持加一辭條約貓束為cts=∞的假丑想弧涂（t，s）后，撇最大奇流問鍛題就郵成為娃：容量墨約束哀：平衡固條件謊：目標處函數(shù)洲：（11）（12）（13）（二喜）求誓最大雁流的隸方法誰：弧碗標號娘法盡管鵲最大即流問嫩題可蔑以用樣線性扎規(guī)劃始模型聲描述嘗，但余是我剩們一坐般并宋不用則求解走線性孔規(guī)劃與的方炸法求庭最大給流，著而是構(gòu)用一掘種更登為簡按便明授了的殿圖上津作業(yè)鋸法——弧標杯號法，求攏解上泊述最健大流脹問題六。①為了笛便于興弧標徑號法增的計這算，癥首先鏟需要不將最擱大流爺問題守（譬孕如圖1）重談新改概畫成駁為圖2的形窗式。2416357st650230081023730071000055圖2在圖2中，每條弧上標有兩個數(shù)字，其中，靠近點i的是，靠近點j的是。如①②表示從①到②的最大通過量是5（百輛），從②到①的最大通過量是0；②③表示從②到③和從③到②都可以通過2（百輛）；等等。

2416357st650230081023730071000055圖2②求最車大流富的基腰本步無驟：弧標耕號法堵求最迷大流認的過右程，誼就是過對圖2反復移地進巴行修幸改的曠過程籮，其郵計算皮步驟堂如下妹：步驟1.從發(fā)藝點s到收激點t選定荷一條朋路，窗使這撈條路梯通過占的所扛有弧Vij的前堵面約埋束量cij都大融于0，如身果找紙不到機這樣腐的路累，說價明已手經(jīng)求瘋得最菊大流撥，轉(zhuǎn)孝步驟4。步驟2.在選奏定的修路上念，找沙到最劃小的柔容許祖量cij定為P。步驟3.對選旦定的肌路上孝每條渾弧的爸容量蔥作以細下修勝改，肯對于音與路殼同向隊的弧厭，將cij修改失為cij-P，對于桐與路翅反向艇的弧燭，將cij修改籠為cij+P。修改遣完畢落后再寫轉(zhuǎn)入黃步驟1。步驟4.用原迫圖中復各條褲弧上青起點批與終糠點數(shù)圓值減央去修費改后炕的圖幅中對味應點紫的數(shù)澡值，惱得到美正負燃號相途反的繼兩個搏數(shù)，尋并將友從正沖到負瞧的方蘿向用樓箭頭睬表示耀。這課樣，織就得獄到一校個最啄大流游量圖傻。下面至，我犯們用弦弧標塘號法榮求解定圖2中的薦最大崖流。第一次修改：（1）從發(fā)點s到收點t找一條路，使得這條路上的所有弧前面的約束量。從圖2中可以看出，顯然，①—③—⑥—⑦就是滿足這樣的條件的一條路。

（2）在路①—③—⑥—⑦中,,,,所以取。（3）在路①—③慰—⑥枕—⑦中，修爺改每餡一條波弧的段容量估：通過稅第1次修焰改，帳得到賄圖3。2416357st050230081623130611600055圖3返回時步驟忠（1），尺進行核第2次修咳改。第二從次修迫改：選定①—②震—⑤豈—⑦，在這百條路全中，牲由于左，臭所以袖，將槳改挽為2，鹿改叛為0，碑改往為5，乒、鏈、踩改辛為3。修敬改后銅的圖狐變?yōu)樘茍D4。2416357st023203051623133611600055返回巧步驟毯（1），傳繼續(xù)象做第3次修嫌改。圖4第三深次修閃改：?、佟谛怠坼X—⑤頸—⑦，在誼這條叼，由掘于宏，所日以將魄改蛛為0，禁改旺為5，鉛改踐為0，升改桂為4，現(xiàn)改戶為1，嚼改動為2，裂改方為3，改為5。修框改后鋪的圖蝴變?yōu)橄鋱D5。2416357st005003231641135611600055圖5返回性步驟爪（1），丑繼續(xù)跑做第4次修儀改。第四秀次修避改：選定①—④怎—⑥債—⑦，在覺這條遺路中兔，由胞于P=c67=1，所以饅將c14改為4,c41改為1,c46改為4,c64改為1,c67改為0，c76改為7。修譽改后征的圖寶為變黨為圖6。2416357st005003231641135701611044圖6返回但步驟盜（1），牙繼續(xù)霉做第5次修慈改。第五折次修建改：選定①—④患—⑥冶—⑤襯—⑦脆,在這尾條路跳中，摧由于P=c65=夢1，所以燙將c14和c46均改奏為3，c65改為0，c57改為2，c41、c64、c56均改侄為2，c75改為6。修惰改后湖的圖輝變?yōu)閯D7。2416357st005003222641136500622033圖7需要注意的是，由圖7中可以看出，弧本來在圖2中是無容量可通過的，但經(jīng)過幾次修改，由③⑥變成③⑥，即此時從③到⑥還可通過1（百輛），而從⑥到③，可以通過6（百輛）的容量，這說明，修改過程實際上是把計劃中從③到⑥的通過車輛數(shù)減少了。?、佟芄取蕹狻鄯菝蕖?，在祖這條濃路中馳，由塊于P=c35=1，所以謝將c14和c46均改裙為2，c63改為5,c35改為0，c57改為1，c41、c64、c53均改瞇為3，c36改為2，c75改為7。修芒改后唇的圖具變?yōu)楫€圖8。2416357st005003312640237500533022圖8在圖8中，購從發(fā)歉點①到收戴點⑦，再憤也不叉存在箭連通世的起跨點容錦量都溜大于李零的滅弧了牲，所撫以圖8為最眾大流欠圖。轉(zhuǎn)入肆步驟曬（4），不用原釋圖中縣各條勺弧上紹起點辮與終閉點數(shù)煌值減勸去修行改后殲的圖敗上各虛點的建數(shù)值念，將棕得到味正負焰號相耐反的貨兩個資數(shù)，甚將這求個數(shù)弱標在磚弧上挺，并董將從槐正到鐮負的拉方向的用箭亡頭表盒示,這樣璃就得膛到最借大流扛量圖恒。例如舟原來禽弧攔是③陡⑥，現(xiàn)波在是③擾⑥，相棋減為±5，③那邊棟為正扯，我廟們就齡記作③沸⑥。這柔樣，死就得會到圖9，即綠最大拍流量惜。依濟這樣歌的調(diào)票度方辭式，鞭可以輔從發(fā)士點s調(diào)運14（百崗輛）色汽車紡到收非點t。(3,6)6373371035542513672圖9最大嫂流量圖圖10最大界流fma孩x的大離小是港確定揭的，冊但最召大流濕的路冷線可書以不索唯一降。在欣上例萬中，容如果助從不敘同的認路開蛾始來緒修改誼圖，價也可功能得手到另請外一抱個最隱大流娛圖（巾圖10）。2416357563233177235注意驗證俱：P1押04例2應用蹈舉例一制資造商黎需要鮮把兩嫌個車表間D1,D2生產(chǎn)竹的同仙類商疑品通污過運宣輸網(wǎng)艘絡(luò)送新到三絲式個銷律售點M1,M2,M3去，照如圖魄所示挑。設(shè)窄各銷撈售點偵計劃紀銷售籠量分謀別為10篇,8情,8，問情網(wǎng)絡(luò)喪的運木輸能廣力能限否滿桂足這常一要好求？悶兩個遞車間厚生產(chǎn)徹數(shù)量銜多少罩最為描恰當熄？三、壘最里小費枕用流熄及其腿求解堅方法（補碌充）（一尋）最錢小費超用流獨問題如果環(huán)在考伸慮網(wǎng)捷絡(luò)上備流量鳥的同遺時，著還要晶使得社所安炒排流蛛量的團費用水或者澡代價嘴達到劫最小基，就弱是所囑謂的層最小賤費用逼流問凡題。在上映例中很，如月果單攝位車臣輛數(shù)籮通過攏某一租條弧私要付懲出一汁定的喇代價長，其恥代價先如圖11。425136743313324223222圖11代價占條件425136756385577113223圖1約束陪條件現(xiàn)在啄要從狡發(fā)點①調(diào)動笑若干許車輛盡到收惕點⑦去，灑約束曾條件突為圖1，代壯價條錯件為悟圖11，要挺使所盜花費匆的代谷價達探到最火小，用式權(quán)子表抖示，跨就是款要在喘（1）～倍（7）式趨的約繼束條假件下爸，找教到一僑個可效行流f的流務(wù)量（15）使其悶代價春最小割，即（16）式中獵：井指單享位車拍輛數(shù)中通過遺弧處的代活價。（二弟）求必解最蹤蝶小流緒問題求最禁小費墓用流丈的步淚驟和吃求最燈大流死的步無驟幾陪乎完柄全一勢致，洞只是是在步掘驟（1）中軌，選嗽代價循和最望小的衰路，屋即最班短路鄙。具努體算車法如辮下：①求路發(fā)點s到收貓點t的最鞏小費儉用通盆路P(識s,線t)，記理該通眉路的徒邊集脫合為E(掩P)姨;②給P(皂s,圖t)分配奮最大雄可能惠流量f0攪=mi傅n{袖c(磁x,際y)各|(鑄x,系y)