數(shù)學(xué)（人教文科）總復(fù)習(xí)配套訓(xùn)練：課時(shí)規(guī)范練39

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課時(shí)規(guī)范練39直線、平面垂直的判定與性質(zhì)基礎(chǔ)鞏固組1.（2017山東臨沂一模，文19）如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°，BC=CD，AE=BE,ED⊥平面ABCD。（1)若M是AB的中點(diǎn),求證:平面CEM⊥平面BDE;(2)若N為BE的中點(diǎn)，求證：CN∥平面ADE.?導(dǎo)學(xué)號24190773?2.如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，D,E分別為AB,BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求證:(1）直線DE∥平面A1C1F;(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.3。（2017河北邯鄲二模，文19)如圖,四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AD∥BC,AB⊥AC,AB=AC=2，點(diǎn)E在AD上,且AE=2ED。（1）已知點(diǎn)F在BC上,且CF=2FB，求證:平面PEF⊥平面PAC;(2)若△PBC的面積是梯形ABCD面積的43,求點(diǎn)E到平面PBC的距離?導(dǎo)學(xué)號24190774?4。如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中,E為棱C1D1的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱BC的中點(diǎn)。（1)求證:AE⊥DA1；(2）在線段AA1上求一點(diǎn)G,使得AE⊥平面DFG。綜合提升組5.(2017廣東江門一模,文19)如圖，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2AC=4,D，E分別是AB,BC邊的中點(diǎn)，沿DE將△BDE折起至△FDE,且∠CEF=60°。（1）求四棱錐F-ADEC的體積；(2）求證：平面ADF⊥平面ACF.6.（2017山西孝義考前模擬,文19）如圖（1），五邊形ABCDE中，ED=EA，AB∥CD，CD=2AB,∠EDC=150°。如圖(2）,將△EAD沿AD折到△PAD的位置,得到四棱錐P-ABCD，點(diǎn)M為線段PC的中點(diǎn)，且BM⊥平面PCD.圖(1)圖(2)(1）求證：平面PAD⊥平面ABCD;(2)若四棱錐P-ABCD的體積為23,求四面體BCDM的體積。?導(dǎo)學(xué)號24190775?7.（2017北京海淀模擬,文15)如圖,四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,且PA=2,E是側(cè)棱PA上的動點(diǎn).（1）求四棱錐P-ABCD的體積。（2）如果E是PA的中點(diǎn)，求證:PC∥平面BDE.(3)是否不論點(diǎn)E在側(cè)棱PA的任何位置,都有BD⊥CE?證明你的結(jié)論。創(chuàng)新應(yīng)用組8.（2017遼寧大連一模，文19）如圖,在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為正方形,PA⊥底面ABCD,AD=AP=2，AB=27，E為棱PD中點(diǎn).（1)求證：PD⊥平面ABE;(2）求四棱錐P-ABCD外接球的體積。9.（2017山西太原二模，文19）如圖（1），在平面六邊形ABFCDE中,四邊形ABCD是矩形，且AB=4，BC=2,AE=DE=2,BF=CF=2,點(diǎn)M,N分別是AD，BC的中點(diǎn)，分別沿直線AD,BC將△ADE,△BCF翻折成如圖（2)的空間幾何體ABCDEF。（1)利用下面的結(jié)論1或結(jié)論2,證明:E,F，M，N四點(diǎn)共面；結(jié)論1:過空間一點(diǎn)作已知直線的垂面，有且只有一個(gè)；結(jié)論2：過平面內(nèi)一條直線作該平面的垂面,有且只有一個(gè)。(2）若二面角E—AD-B和二面角F—BC-A都是60°，求三棱錐E-BCF的體積.圖（1)圖（2）答案:1.證明(1）∵ED⊥平面ABCD,∴ED⊥AD,ED⊥BD,ED⊥CM.∵AE=BE,∴Rt△ADE≌Rt△BDE,∴AD=BD.連接DM，則DM⊥AB，∵AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD，∴四邊形BCDM是正方形,∴BD⊥CM。又DE⊥CM,BD∩DE=D,∴CM⊥平面BDE，∵CM?平面CEM，∴平面CEM⊥平面BDE。(2）由（1)知，AB=2CD，取AE中點(diǎn)G,連接NG,DG,在△EBA中,∵N為BE的中點(diǎn)，∴NG∥AB且NG=12AB又AB∥CD,且AB=2CD，∴NG∥CD,且NG=CD,∴四邊形CDGN為平行四邊形,∴CN∥DG.又CN?平面ADE,DG?平面ADE,∴CN∥平面ADE。2.證明(1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.在△ABC中,因?yàn)镈,E分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以DE∥AC,于是DE∥A1C1。又因?yàn)镈E?平面A1C1F，A1C1?平面A1C1F,所以直線DE∥平面A1C1F。（2）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1。因?yàn)锳1C1?平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.又因?yàn)锳1C1⊥A1B1,A1A?平面ABB1A1，A1B1?平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.因?yàn)锽1D?平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D。又因?yàn)锽1D⊥A1F,A1C1?平面A1C1F,A1F?平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F.因?yàn)锽1D?平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F。3.(1)證明∵AB⊥AC,AB=AC,∴∠ACB=45°.∵底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AD∥BC,∴∠ACD=45°，∴AD=CD，∴BC=2AC=2AD.∵AE=2ED,CF=2FB，∴AE=BF=23AD∴四邊形ABFE是平行四邊形,∴AB∥EF.又AB⊥AC,∴AC⊥EF?！逷A⊥底面ABCD,∴PA⊥EF.∵PA∩AC=A,∴EF⊥平面PAC?！逧F?平面PEF，∴平面PEF⊥平面PAC。(2）解∵PA⊥底面ABCD,且AB=AC,∴PB=PC,取BC的中點(diǎn)G,連接AG，則AG⊥BC，AG=CD=1。設(shè)PA=x，連接PG,則PG=x2∵△PBC的面積是梯形ABCD面積的43倍∴12×2×PG=43×12×（1+2)×1，即PG=∵AD∥BC，AD?平面PBC，BC?平面PBC，∴AD∥平面PBC,∴點(diǎn)E到平面PBC的距離即是點(diǎn)A到平面PBC的距離,∵VA—PBC=VP—ABC,S△PBC=2S△ABC,∴點(diǎn)E到平面PBC的距離為12PA=34。（1）證明連接AD1，BC1（圖略）.由正方體的性質(zhì)可知,DA1⊥AD1，DA1⊥AB,又AB∩AD1=A，∴DA1⊥平面ABC1D1.∵AE?平面ABC1D1，∴AE⊥DA1.（2）解所求點(diǎn)G即為點(diǎn)A1,證明如下:由（1）可知AE⊥DA1，取CD的中點(diǎn)H,連接AH,EH(圖略）,由DF⊥AH,DF⊥EH，AH∩EH=H，可得DF⊥平面AHE。∵AE?平面AHE，∴DF⊥AE。又DF∩A1D=D,∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG.5.解(1)∵D,E分別是AB,BC邊的中點(diǎn),∴DE12AC,DE⊥BC,DE=1依題意，DE⊥EF,BE=EF=2，∵EF∩EC=E，∴DE⊥平面CEF,∵DE?平面ACED,∴平面ACED⊥平面CEF.作FM⊥EC于M，則FM⊥平面ACED，∵∠CEF=60°,∴FM=3，梯形ACED的面積S=12(AC+ED）×EC=12(1+2)×2=四棱錐F-ADEC的體積V=13Sh=13×3×（2)(法一)如圖,取線段AF,CF的中點(diǎn)N，Q，連接DN,NQ,EQ,則NQ12AC∴NQDE,四邊形DEQN是平行四邊形，DN∥EQ。∵EC=EF,∠CEF=60°，∴△CEF是等邊三角形,EQ⊥FC，又DE⊥平面CEF，∴DE⊥EQ，∴AC⊥EQ，∵FC∩AC=C,∴EQ⊥平面ACF,∴DN⊥平面ACF，又DN?平面ADF,∴平面ADF⊥平面ACF。(法二)連接BF,∵EC=EF，∠CEF=60°,∴△CEF是邊長為2等邊三角形.∵BE=EF，∴∠EBF=12∠CEF=30°∴∠BFC=90°,BF⊥FC?！逥E⊥平面BCF,DE∥AC，∴AC⊥平面BCF?！連F?平面BCF，∴AC⊥BF,又FC∩AC=C，∴BF⊥平面ACF，又BF?平面ADF,∴平面ADF⊥平面ACF.6。（1)證明取PD的中點(diǎn)N，連接AN，MN,則MN∥CD，且MN=12CD又AB∥CD,AB=12CD∴MN∥AB，MN=AB，∴四邊形ABMN是平行四邊形,∴AN∥BM,又BM⊥平面PCD,∴AN⊥平面PCD，∴AN⊥PD，AN⊥CD，由ED=EA，即PD=PA,及N為PD的中點(diǎn)，得△PAD為等邊三角形,∴∠PDA=60°，又∠EDC=150°,∴∠CDA=90°，∴CD⊥AD，又AN∩AD=A,∴CD⊥平面PAD,又CD?平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD.（2)解設(shè)四棱錐P—ABCD的高為h,四邊形ABCD的面積為S,則VP-ABCD=13Sh=23又S△BCD=23S，四面體BCDM的底面BCD上的高為h∴四面體BCDM的體積VBCDM=13×S△BCD×h2=7.(1)解∵PA⊥底面ABCD,∴PA為此四棱錐底面上的高。∴V四棱錐P-ABCD=13S正方形ABCD×PA=13×12×2=(2)證明連接AC交BD于點(diǎn)O,連接OE?！咚倪呅蜛BCD是正方形，∴AO=OC.又AE=EP，∴OE∥PC.又PC?平面BDE，OE?平面BDE,∴PC∥平面BDE。(3）解不論點(diǎn)E在側(cè)棱PA的任何位置,都有BD⊥CE.證明如下：∵四邊形ABCD是正方形,∴BD⊥AC.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD。又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC.∵CE?平面PAC,∴BD⊥CE。8。（1)證明∵PA⊥底面ABCD,AB?底面ABCD,∴PA⊥AB，又底面ABCD為矩形,∴AB⊥AD，又PA?平面PAD，AD?平面PAD,PA∩AD=A,∴AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E為PD中點(diǎn),∴AE⊥PD,AE∩AB=A,AE?平面ABE，AB?平面ABE，∴PD⊥平面ABE。(2）解四棱錐P-ABCD外接球球心是線段BD和線段PA的垂直平分線交點(diǎn)O，由已知BD=A=(27)2設(shè)M為BD中點(diǎn),∴AM=22，OM=12AP=∴OA=A=(22∴四棱錐P-ABCD外接球的體積是43πOA3=36π9.（1）證明由題意，點(diǎn)E在底面ABCD的射影在MN上,可設(shè)為點(diǎn)P,同理,點(diǎn)F在底面ABCD的射影在MN上,可設(shè)為點(diǎn)Q，則EP⊥平面ABCD，F(xiàn)Q⊥平面ABCD，∴平面EMP⊥平面ABCD,平面FNQ⊥平面ABCD，又MN?平面ABCD，MN?平面EMP，MN?平面FNQ，由結(jié)論2：過平面內(nèi)一條直