2014高數(shù)分階精講精練講義

考研數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)分階精講精練三、：（研究對(duì)象微 學(xué)

方程（微積分派生

積 分

學(xué)（研究派生

（極限派生第一章函數(shù)極限§1.1一、考綱二、考點(diǎn)（一）函數(shù)的概1、定義：f：DR為一個(gè)函數(shù)（DRn②當(dāng)n2DN2、函數(shù)的二要素：D（Df；②對(duì)應(yīng)法則注1：定義域是集合，不要寫(xiě)成不等式（最好將其寫(xiě)成區(qū)間或區(qū)間的并注2：二要素的用途：①函數(shù)與符號(hào)無(wú)關(guān)：②用于判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函3、（二）常見(jiàn)的函數(shù)1、顯函數(shù)yf注：分段函數(shù)是顯函數(shù)（是一個(gè)函數(shù)，而不是多個(gè)函數(shù)2、隱F（x，yyf注1：相關(guān)結(jié)論（隱函數(shù)存在定理F(x,y)在點(diǎn)P0x0y0的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(x0,y0)0，F(xiàn)y'(x0,y0)0，則方程F(x，y)0在P0的某領(lǐng)域 唯一的一個(gè)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)（或偏導(dǎo)數(shù)）的函數(shù)yf(X)使之滿足y0f(x0)注2：相關(guān)方法（隱函數(shù)求導(dǎo)法：在等式兩邊求導(dǎo)數(shù)（或偏導(dǎo)數(shù)3、復(fù)合函數(shù)yf(uu(xyf注：DfR，具體判斷時(shí)，可以將u(x強(qiáng)行代yf(uyf((x再看其定義域是否為空集。若空，則不4、反函數(shù)yfx的逆映射（yf(xxf1yyf1(x相關(guān)結(jié)論（反函數(shù)存在定理：yf(x連續(xù)，單增（減結(jié)論：yf(x)與反函數(shù) yf1(x)在xoy坐標(biāo)系中的圖像關(guān)于yx對(duì)稱。t5、極限函數(shù)f(xlimF（x,t（x有關(guān)而與t無(wú)關(guān)t注：在研究極限函數(shù)時(shí)，應(yīng)分清誰(shuí)是極限變量誰(shuí)是函數(shù)的自變6、導(dǎo)函數(shù)yf間上可導(dǎo)的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)一定是函數(shù)。Df'Df（在做題過(guò)程中，一定要注意避免導(dǎo)函數(shù)定義域的擴(kuò)大7、變限積分函數(shù)：

(

f(t)dt；x

2((1

f(x,相關(guān)結(jié)論：①若f(x)在[a,b]上可積，則a f(t)dt在[a,b]上連續(xù)；②若在[a,b]連續(xù)，則F(x)xf(t)dt在區(qū)間[a,b]中可導(dǎo)，且dxf(t)dtf(x) dx（f(txf(t連續(xù)推論f(x在[ab上連續(xù)，(x)在[ab可導(dǎo)，則dx)f(t)dtf((x))dxxy

,（t為參數(shù) 相關(guān)方法（參數(shù)方程求導(dǎo)法 用途：多用于計(jì)算曲線、曲xr結(jié)論（直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系yrsin

rx2x2 相關(guān)結(jié)論（計(jì)算二重積分Df(xy)dxdyD1f(rcosrsin注：滿足下列兩個(gè)條件之一時(shí)，一般應(yīng)考慮用極坐標(biāo)計(jì)算二重注：和函數(shù)的定義域未必是存在域,一般應(yīng)等于其收（三）一元函數(shù)的幾l、單調(diào)性：①若x1x2abx1x2f(x1f(x2)(或f(x1)f(x2f(x)在(a,b上單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減x1x2abx1x2f(x1f(x2)(或f(x1f(x2f(x)在(ab上單調(diào)不減（或單調(diào)不增）相關(guān)結(jié)論：f(x單調(diào)不減（不增）f(x)0(f(x)f(x單調(diào)遞增（遞減）f(x)0(f(x)0)f(x)02、有界性：Mf(xM,(xDf(x有上界；②若存在常mf(xm,(xD)f(xf(xff(xM，使f(x)相關(guān)結(jié)論：①閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有界（有界性定理）；②函數(shù)有極限（稱為收斂 局部有界；③有界是可積的必要條件（即：可積一定有界，反之不然3、奇偶性：f(xf(xf(xf(xf(xf(x注：奇函數(shù)（偶函數(shù)）的定義域必須關(guān)為奇函數(shù)；奇函數(shù)與奇函數(shù)、偶函數(shù)與偶函數(shù)的乘積為偶函數(shù)；③在(a,a)上有定義的任f(xf(xf(xf(xa相關(guān)結(jié)論：f(x為可積的奇函數(shù)，則af(x)dx0a f(x為可積的偶函數(shù)，則af(x)dx20f(x)dx ③若f(x)為一般可積函數(shù)，則af(x)dx0[f(xf(x)]dx。 4、周期性：若T0f(xT)f(xf(x是以T結(jié)論：若Tf(x的周期，那么kTf(x的周期（k0）T

f(x)dx

f 相關(guān)方法：可用證明恒等式的方法研究周期性（周期性定義的實(shí)質(zhì)是恒等式5、漸進(jìn)⑴水平漸進(jìn)線：若

f(x)c1yc1f(xf(x)c2yc2f(x注：同一函數(shù)的水平漸近線最多有2⑵垂直漸進(jìn)線：若0000

f(x)xx0f(xf(x)xx0f(xf⑶斜漸近線：①若lim a,(a0)且lim[f(x)ax]b，則yaxb f(x

limf(x)aa0limf(xaxbyax f(x

注：斜漸近線最多有兩條，并且如果在（或）方向有水平漸近線，那么在該方向就不會(huì)有斜漸近線。（2）相關(guān)結(jié)論：fx)0,(x(a,bf(x(a,b為凹（上凹／下凸）)（四）初等函數(shù)及其性l、基本初等函數(shù)及其性（1）常函數(shù)ycD性質(zhì)：①不增不減；②有界；|f(x||c|M平漸近線yc；⑥沒(méi)有凹凸性注：①定義域與有關(guān)；②性質(zhì)一般也與（3）指數(shù)函數(shù)yax(a0且a1)(xRyaa三角函數(shù) 10正弦函數(shù):ysin 40余切函數(shù):ycot 60余割函數(shù):ycsc [1,1],R[, 220yarccosx,(Df1,1Rf[0, (,),R(, 240yarcotx,(Df,Rf(0,1：反三角函數(shù)不是三角函數(shù)的反函數(shù)（yarcsinxysinx的反函數(shù)；2：必須嚴(yán)格屬于上述六類函數(shù)之一，才屬于基本初等函數(shù)。ysin2xyxxx

n!ex是初等函數(shù)，xn.相關(guān)結(jié)論：初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)函數(shù)（即間斷點(diǎn)一定不在定義區(qū)間內(nèi)（五）常見(jiàn)的經(jīng)濟(jì)5、利潤(rùn)函數(shù)LL(Q)R(Q6、平均收益Q7、平均成Q

三、實(shí)用題型及例題2x,xg(xx2,x0

題型一關(guān)于函數(shù)符x2,xf(xxx0,則gf(x（ 2 2 （A）2 x （B）2 x 2 2x2,x （C）2 x

x,xf(lnx)

ln(1 ，計(jì)算ff(x)

題型二關(guān)于函數(shù)的xsinxecosx,x是（ f(x）x.tanx.esinxf(x是（ （B）函 函數(shù)f(x) 在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界（x(x1)(x （B） （D）(2,f(xF(xf(x的原函數(shù)，則（F(xf(x的一個(gè)原函數(shù)，MNMN”,則必有（）F(x)是偶函數(shù)f(x)是奇函 （B）F(x)是奇函數(shù)f(x)是偶函F(x是周期函數(shù)f(x是周期函數(shù)（D）F(x是單調(diào)函數(shù)f(xf(xyf(x的圖形如圖所示，yf(x的圖形為（）f(x在（）內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則f(x有（）設(shè)f(x)，g(x) 于零的可導(dǎo)函數(shù)，且f(x)g(x)f(x)g(x)0,則當(dāng)ax時(shí)，有（（A）f(x)g(b)f （B）f(x)g(a)f（C）f(x)g(x)f （D）f(x)g(x)f已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，f(x)嚴(yán)格單調(diào)減少，且f(1)f(1),則（（A）在(1,1)和(1,1)有f(x)（B）在(1,1)和(1,1)有f(x)（C）在(1,1)f(xx在(1,1f(x（D）在(1,1內(nèi)f(xx在(1,1f(xf(xf(0)0,則存在0f(x)在(0,)內(nèi)單調(diào)增 （B）f(x)在(,0)內(nèi)單調(diào)減（C）對(duì)任意的x(0,)有f(x)f （D）對(duì)任意的x(,0)有f(x)f t設(shè)f(x)是周期為2的連續(xù)函數(shù)，證明G(x)0[2f(t) f是周期為2一、考綱

§1.2二、考點(diǎn)（一）1：不能離開(kāi)自變量的變化過(guò)程談函數(shù)的極限1：對(duì)于數(shù)列anA為一個(gè)常數(shù)，若0N,使當(dāng)nN時(shí)，有|anA|則稱在naA為極限，記作lima x定義2：對(duì)于函數(shù)yf(x)，設(shè)A為一個(gè)常數(shù)，若0，X，使當(dāng)x |f(xA|

f(x)3：yf(x)A為一個(gè)常數(shù)，若0X1xX1|f(xA|

f(x)4：yf(x)A為一個(gè)常數(shù)，若0X2，使當(dāng)|x|X2|f(xA|，則稱

f(x)5：yf(xA為一個(gè)常數(shù)，若0，0，使當(dāng)0|xx0|時(shí)，有|f(xA|x

f(x)時(shí)，有|f(xA|，則稱limf(x)0x0時(shí)，有|f(xA|xx0

f(x)x

f(x)Af(x)Axx0

f(xAf(xAxx0

f(x)f(x)3、極限的幾何意義：（

f(x)A為例）x0附近的y值全部落在寬為2（二）極限的性1、唯一性定理：若limf(x2、局部有界性定理：若limf(xf(x3、局部保號(hào)性定理：若

f(x)A()0f(x)(0)0推論：若limf(xf(x)(0)0在局部成立，則limf(x)()（三）極限的運(yùn)

1、四則運(yùn)算：若limf(x)Alimg(x)B則lim[f(xg(xA limf(xg(xABlim[f(x)AB x[] 推論：①若limf(x與lim[f(xg(x均存在，則limg(x x②若limf(x與limf(xg(x均存在，且limf(x0則limg(x x注：①若limf(xlimg(x不存在，則lim[f(xg(x x ②若limf(x與limg(x均不存在，則lim[f(xg(xx x ③若limf(x與lim[f(xg(x均存在，且limf(x)0則limg(xx x2、復(fù)合運(yùn)算法則：yf(u在u點(diǎn)連續(xù)(ulimg(x xx（四）極限的存在

f[g(x)]f(u0)f[limx1、單調(diào)有界準(zhǔn)則（原理：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極注：?jiǎn)握{(diào)有界準(zhǔn)則只適用于數(shù)列，不適合于一般的函數(shù)（即單調(diào)有界函數(shù)未必有極限2 準(zhǔn)則（原理：若f(x)f(x)f(x)在局部成立，且limf(x)A1limf2(x)A，則limf(x 注：準(zhǔn)則對(duì)數(shù)列極限也成

x[]（五）兩個(gè)重要極①limsinx ②lim(11)xe limsinx與lim（11）n均為未定型0型極限，后者是1型極限，一 （六）未定式極 1、基本形式

3、法則1

f(x0limg(x0

f'①f(x)與g(x)在局部可導(dǎo) ②lim （Ax口g則limf(x)limf' 2：若limf(xlimg(x ①f(x)與g(x)在局部可導(dǎo) （Axg則limf(x)limf' 注1：只有

型或未定型極限才可以考慮直接用法則（對(duì)分子分母只有一 是的情形，也可以考慮使用法則，但只限于做選擇填空題 2：當(dāng)分子分母在局部不可導(dǎo)時(shí)不能用法則（特別地對(duì)于數(shù)列極限不能直接用f'注3：當(dāng)lim xg注4：對(duì)其它未定型極限應(yīng)先

型或型，在考慮用法測(cè)。具體做法是 10對(duì)于0

0型（型20對(duì)于

0

0（型到代換，出分 30對(duì)于1型、00型、0型對(duì)數(shù)恒等 lim[f(x)]g(x)elimg(x)lnf(

0型（型

5：在使用法則的過(guò)程中應(yīng)盡可能地與代數(shù)變形、變量代（替）換、重要（七）無(wú)窮小量與無(wú)1、概念：若limf(x0f(xx時(shí)為無(wú)窮小（量若limf(xf(xx時(shí)為無(wú)窮大（量注1：無(wú)窮大（?。┝渴侵敢蜃兞坎皇亲?：不能離開(kāi)自變量的變化過(guò)程談無(wú)窮小與無(wú)窮大注3：無(wú)窮大量一定是變量（函數(shù)反之不然2、性質(zhì)：在自變量同一變化過(guò)程中注：無(wú)窮大量與有界變量的乘積未必是2、無(wú)窮個(gè)無(wú)窮小量的和差積商未必是無(wú)窮小量。3窮小量階的比較：f(x0g(x)①若

f

0f(xg(x)f(x)②若limf(x)，則稱f(x)g(x)③若limf(x)c(c0)f(xg(x同f④若 1，則稱f(x)比g(x)等價(jià)無(wú)窮小，記x[]

f(x)~4、幾個(gè)與無(wú)窮小量相關(guān)limf(xAf(xA(x，其中(x為無(wú)窮小量（當(dāng)x f 推論1若 A，且lim 0，則limf( x f推論2若 B0，且limf(x)0,則limg(x)fx yf(x連續(xù)y為無(wú)窮小量（x0）yf(xxf f(x)，

則

f(x)limf11 ，x xg1 1．等價(jià)無(wú)窮小代換的實(shí)質(zhì)是分子分母同除以等價(jià)的函 x，arcsin x，tan x x，ln(1 x，ex x，1cos 1x2，(1x) 2f(xxx0f(x00，則

是與x00f(xxx0可導(dǎo)，則ydyxx是比x0（八）用極限考查曲線的漸近線（見(jiàn) 中漸近性的有關(guān)內(nèi)容三、實(shí)用題型及例題

題型一關(guān)于極限的收斂于a的（ x，總有(x)則limf(x)（

f(x)g(x)，且lim[g(x(x)]0 設(shè){an，{bn，{cn均為非負(fù)數(shù)，且liman0limbn1limcn則必有（ anbn對(duì)任意n成 （B）bncn對(duì)任意n成 極限不存 極限不存 x2x1ex1的極限）（A）等于 （B）等于5．下列各式中正確的是（（A）lim(11)x（B）lim(11)x

x 1)x （D）x1x x

是（x 方法一利用四則運(yùn)算法則求x2x2

33x1 x2x1方法二利用連續(xù)函數(shù)的定1limlg100xx05xarcsinax方法三利用左右極 2e sinxx求x0 x1x1x f(x

2

x方法四利用兩個(gè)重要極限(3x2 5x limx x2設(shè)a為非零常數(shù)，lim(xa)xe2a，則a xx1lim(tanx)cosxsinx方法五利用準(zhǔn)則(3x2 lim

5x x設(shè)函數(shù)s(x) |cost|dtx（1）nnxn1)時(shí)，證明2nS(x2(n1)（2）求 方法六利用等價(jià)無(wú)窮小代3sinxx2cos x01cosf(x連續(xù)，且lim1cos[xf

1則f(0) 計(jì)算

ex2e22cos

(ex21)f方法七利用法則limxlnlim[sinxsin(sinx)]sin lim(1cosx)xln(1tan sin4 x0sin2

cos2 x2ln11xlimx

xexe2x...enxxlim lim xxaxbsin txsinx方法八利 1、求極限limcotx 12、求極限

xxsinx0x2ex3、求極限limcosx

2 方法九利用導(dǎo)數(shù)定f(xx0f(00，求

f(tx)fx方法十利用微分中值定理題型三關(guān)于數(shù)列極限的計(jì)方法一利用單調(diào)有界原理設(shè)a2， n nn①證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，都有 ln(11)1成立 ②設(shè)an1

ln

n (n )，證明數(shù)列an收斂 方法二利用定積分的定義1

... nn sin sin求 n n nn n 題型四比較無(wú)窮小f(x2x3x2x0（A）f(x)與x是等價(jià)無(wú)窮小 （B）f(x)與x是同階但非等價(jià)無(wú)窮小（C）f(x)是比x較高階的無(wú)窮小 （D）f(x)是比x較低階的無(wú)窮?。ˋ）x2

1cosxx

（D）xtan1 x（A）1e （B） 1 x把x0時(shí)的無(wú)窮小量xcost2dt，x2 tdt，xsin (A),, (B),, (C),,. (D),題型五求極限式中的未知limxax9，求常數(shù)xxf(x在(,)可導(dǎo)，且

f(x)elimxc)xlim[f(xf(x1，求cxx 設(shè)

25（A）a1,b2（C）a0,b2

a0,b（D）a1,b若limsinx(cosxb)5,則a ，b x0ex 3確定常數(shù)a,b,c的值，使 axsin c, 3xln1

x0f(x)3sinxsin3x與是cxk等價(jià)無(wú)窮小，則（（A）k1,c （B）k1,c（C）k3,c （D）k3,c1題型六曲線的漸近1x0yxx yx

y

x2

一、考綱

§1.3連續(xù)二、考點(diǎn)（一）1、點(diǎn)連續(xù)的定義1：x2：若00

f(x)f(x0f(xx0f(xx0f(xf(x0f(xx0limf(xf(x0f(xx000 （2）limy0（其中yf(xxf（x 3、間斷點(diǎn)的表現(xiàn)形式：（1）f(x)在xx0點(diǎn)無(wú)定x

f(xf(xx0

f(x存在，值

f(x)f(x0特例1：可去間斷點(diǎn)——左右極限都存在且相等的間斷點(diǎn)特例2：跳躍間斷點(diǎn)——左右極限都存在且不等的間斷1：無(wú)窮間斷點(diǎn)——左右極限中至少有一個(gè)為無(wú)窮大特例2：振蕩間斷點(diǎn)——左右極限至少有一個(gè)振蕩（二）l：f(x在(a,bf(x在(a,b2：f(x在(a,bxaf(x在[a,b連續(xù)3：f(x在(a,bxbf(x在(a,b4：f(x在(a,bxaxbf(x[a,b]連續(xù)結(jié)論：①連續(xù)函數(shù)的和差積商在其定義相關(guān)結(jié)論：①對(duì)于一元函數(shù)，連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件（注:此結(jié)論對(duì)多元函數(shù)不成立（三）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：（可推廣到有界閉區(qū)域上定義的多元連續(xù)函數(shù)l、最值定理：f(x在[a,bf(x在[a,b2、有界性定理：f(x在[a,bf(x在[a,b３、介值定理：f(x在[a,bMmaxf(xmminf 則[mM]，必存在[abf()1：介值定理和積分中值定理中存在的[ab，而微分中值定理中的a注2：一見(jiàn)到關(guān)于等式的證明題應(yīng)立即想到介值定理，微分中值定理和積分中值定4、零點(diǎn)定理：f(x在[a,bf(af(b0f(x在(a,b中至少存在一個(gè)1f(x)0xx0f(x2：零點(diǎn)定理中的零點(diǎn)ab不是屬于閉區(qū)間三、實(shí)用題型及例題

題型一求連續(xù)函數(shù)中的未知參f(xsin

在x0處連續(xù)，則常數(shù)a與b應(yīng)滿足的關(guān)系 x題型二函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)|x|sin1,xf(x

f(xx0（ x（A）極限不存在．（B）極限存在但不連續(xù)．（C）連續(xù)但不可導(dǎo)．（D）f

x0g(xf(xx0（ x f(x),x

xx設(shè)F(x) 其中f(x)在x0處可導(dǎo)，f'(0)0，f(0)f(0),xx0F(x的（ f( x設(shè)f(x)在(,)內(nèi)有定義，且limf(x)a,g(x) ,x則（A)x0g(x)的第一類間斷點(diǎn)．(B)x0g(x)(C)x0g(x)x

(D)g(x)x0處的連續(xù)性與af(xsinx的可去間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ 個(gè)f(x1

xtan(x4在區(qū)間(0,2f(x

ln(1ax3xarcsin6eaxx2axx

xxx x af(xx0ax0f(x題型四關(guān)于等式f(x在[a，bacdbk1k20[abk1f(c)k2f(d)(k1k2)f(f(x在[abg(x)0 [abaf(x)g(x)dxf()a證明積分中值定理：若函數(shù)f(x在閉區(qū)間[ab上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)[ab]baf(x)dxf()(bbf(x在(abx1x2xn(a,b(abf()1[f(x)f(x)f(x)] 且f(x)1。證明在(0,1)x使f(x)x.f(x在[0,1上連續(xù)，在(0,1f(0)0,f(1)證明：存在0,1f(1題型五考查方程根的證明方程xasinxb(a0,b0至少有一個(gè)不大于ab的正f(x在閉區(qū)間[abf(x)0,xf(t)dt dt0在開(kāi)區(qū)間(ab內(nèi)的根有 bf 證明方程lnx

x

1cos2xdx在區(qū)間(0,) 當(dāng)af(x2x39x212xa恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)（（A） （B） （C） （D）若3a25b0x52ax33bx4c0（ 1（C）有三個(gè)不同實(shí)根 注：4、5題，老師沒(méi)有講，請(qǐng)同學(xué)自己動(dòng)手做一下，答案都是B.1設(shè)當(dāng)x0時(shí)，方程kx 1有且僅有一個(gè)解，求k的取值范圍第二章一元函數(shù)微分一、考綱

§2.1導(dǎo)數(shù)與二、考點(diǎn)概述與解（一）導(dǎo)數(shù)的概1、點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的概（1）定義f

)

f(x0x)f(x0f

)

f(x)f(x0x0注

f(x0xf(x0f(xx 0左導(dǎo)數(shù)：f(xlimf(x0xf(x0)（此極限存在稱為左可導(dǎo) 右導(dǎo)數(shù)：f(x) f(x0x)f(x0)（此極限存在稱為右可導(dǎo) f(xxx0f(xxx0f(x0)f(x02、導(dǎo)函數(shù)：f

)

f(x0x)f(x0注：導(dǎo)函數(shù)實(shí)質(zhì)上是一個(gè)極3、區(qū)間導(dǎo)①f(x)在ab可導(dǎo)：f(x)在ab內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)②f(x)在ab可導(dǎo)：f(x)在ab內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，且f(a存在f(x在(a,bf(x在(a,bf(bf(x在[abf(x在(a,bf(af(b4、導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意幾何意義f(x0k注：f(xxx0yf(xxx0物理意義s(t0(t0(t0a(t0經(jīng)濟(jì)意義：導(dǎo)數(shù)邊濟(jì)量f(x0)的絕對(duì)增加量。5、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)注：函數(shù)f(x)xx0處連續(xù)，但不可導(dǎo)。（二）導(dǎo)數(shù)的計(jì)1、用定義求2、用求（1）四則運(yùn)算求 ：(fg)fg;(fg)fg ffgfg;( g（2）復(fù)合運(yùn)算求導(dǎo)：(f[(x)])f[(x)]（3）反函數(shù)求 ：[f1(x)]

基本初等函數(shù)求導(dǎo)10(c) 20(x)x 30(ax)axha40(logx) ;

60(cosx)sin 70(tanx)sec2x 80(cotx)csc2 90(secx)secxtan100(cscx)cscxcot 110(arcsinx) 120(arccosx) 130(arctanx) 1

140(arccotx) 1, x 5、參數(shù)方程求導(dǎo)法 h(t) 注1：參數(shù)方程求導(dǎo)數(shù)的最終結(jié)果允許用參數(shù)t表示注2：對(duì)參數(shù)方程求二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，千萬(wàn)不可將(t),(t)對(duì)t分別求二階導(dǎo)數(shù)后d2 dh(t) ] [h(t)] dx

dx[h(t)]tdxdx6、積分函數(shù)求導(dǎo)法a

f(t)dtf注：使用上 的前提條件是ft是連續(xù)函數(shù)，且被積函數(shù)中不含x1dxf(t)dt令（x）ufdx2：d

2(

f(t)dtf[(x)](x)f[(x)]1 13：dxg(xf(t)dtg(x)xf(t)dtg(xfdx 7、高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算（1）歸納法：先求y,y,...，再根據(jù)其規(guī)律，歸納出y(n的表達(dá)（2）法10c(n)0,(n

20(xm)(n)

m30(sinx)(n)sm(xn2

xmn,m40(cosx)(n)cos(xn 2 50(ax)(n)axlnn

60(ln

(1)n1(nn70 ）[f(x)g(x)](n)Ckf(x)(k)k0注：可通過(guò)二項(xiàng)式展開(kāi)定理做類比（3）化簡(jiǎn)法：先化簡(jiǎn)，再求導(dǎo)（通常是先化為和差，再用法（三）微1設(shè)yf(x0xf(x0，若存在常數(shù)A，使得yAxo(x),f0xx0Axf(xxx0點(diǎn)的微分，記作dy|xx0，dy|xxAx.01：微分dy|xx0也稱為y2：若x0，則ydy|xxo是xf(x00時(shí)，dy|x0是xf(x00dy|xx是x002、計(jì)算ay|xxf(x0)xf(x003、可微與可導(dǎo)、連續(xù)、有極限間等概念之間的關(guān)系 注：上述關(guān)系只適用于一元函數(shù)，對(duì)多元函數(shù)通常xf(u)du（無(wú)論u是自變量還是中間變量）注：一階微分形式的不變性常用隱函數(shù)的導(dǎo)學(xué)或微分5、微分的四則運(yùn)算法則d[f(x)g(x)]df(x)d[f(x).g(x)]g(x)df(x)fdf(x)g(x)df(x)f g2三、實(shí)用題型及例題題型一關(guān)于導(dǎo)數(shù)與微分的x2f(x)2f(x3已知f(x)在x0處可導(dǎo)，且f(0)0,則lim （A）2f' （B）f' （C）f' （D）設(shè)函數(shù)f(x)(ex1)(e2x (enxn)，其中n為正整數(shù)，則f'(0) （A）(1)n1(n （B）(1)n(n （D）(1)nf(xxa（ 1fa存 Blimf(a2h)f(aAlimhf h h Climf(ah)f(ah)存 Dlimf(a)f(ah)存 f(0)0f(xx0可導(dǎo)的充要條件為（Alim1f(1cosh)存在 (B)lim1f(1eh)存在h0Climh0

f(hsinh

h0(Dlim1f(2hf(h存在h0f(h2設(shè)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)，且lim 1，則（ f(0)0且f(0)存 (B)f(0)1且f(0)存(C)f(0)0且f(0)存 Df(0)1且f(0)存f(xx0處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是（f若

f(0)若

f(x)fx

f(0)若若

f(xf(0xf(xf(xf(0)xf(xxa處可導(dǎo)，則函數(shù)|f(x|xa是（f(a0f(a(Cf(a0且f(a

f(a0且f(a(Df(a0且f(af(xf(x，且在(,0)f(x0f(x0f(x在內(nèi)有（f(x)0,f(x) (B)f(x)0,f(x)(C)f(x)0,f(x) (D)f(x)0,f(x)函數(shù)f(xx2x2|x3x|的不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ f(x3x3x2|x|,f(n0存在的最高階數(shù)n為（ （C） （D）題型二求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微y

xx

，則y 設(shè)y 2x3設(shè)f(x)

若x

g(0)1,g(0) （1）求f （2）討論f(x)在(,)上的連續(xù)性函數(shù)yy(x)由方程sin(x2y2)exxy20所確定，則dy f(x連續(xù)，則dxtf(x2t2dt（dx (B)xf(x2

2xf(x2x12t

2xf(x2

d2設(shè)函數(shù)yy(x)由參數(shù)方程 12lnt (t1)所確定，求dx2 ufxf(xf(x)]2，則當(dāng)n2正整數(shù)時(shí)，fx的n階導(dǎo)數(shù)f(nx是（） (C)[f (D)n![f112x

，則y(n)(0) f(x)x2ln(1xx0處的nf(n0)(n設(shè)yf(lnx)ef(x)，其中f可微，則dy ysin[f(x2其中f

一、考綱

§2.2中值定二、考點(diǎn)概述與解（一）費(fèi)馬引理：x0f(xf(x0（二）羅爾中值定理：f(x在[a，b]上連續(xù)，在(a,bf(a)f(b)(a,bf(該定理的逆否命題fx0在a,b內(nèi)沒(méi)有實(shí)根，即fx0fx0a,b上至多只有一個(gè)實(shí)根推廣：若fx0在a,b內(nèi)有且僅m個(gè)實(shí)根，則fx0在a,b上至多只m1個(gè)根例：求方程2xx21根的個(gè)數(shù)f()f(bf(a)b（四）柯西中值定理：f(xg(x在[ab上連續(xù)，在(abx(a,bg(x0，則(a,b)f(bf(a)f(g(b)

g(（五）中值定理：設(shè)f(x)在a的某個(gè)鄰域u(a)內(nèi)有直到n1接導(dǎo)數(shù)，則x存在介于ax之間的點(diǎn)，使