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內(nèi)蒙古集寧二中2023屆普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試(二)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,則()A. B. C. D.2.已知傾斜角為的直線與直線垂直,則()A. B. C. D.3.某校在高一年級(jí)進(jìn)行了數(shù)學(xué)競(jìng)賽(總分100分),下表為高一·一班40名同學(xué)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī):555759616864625980889895607388748677799497100999789818060796082959093908580779968如圖的算法框圖中輸入的為上表中的學(xué)生的數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī),運(yùn)行相應(yīng)的程序,輸出,的值,則()A.6 B.8 C.10 D.124.已知函數(shù)的零點(diǎn)為m,若存在實(shí)數(shù)n使且,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.5.已知雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別為、,過(guò)的直線l交雙曲線的右支于點(diǎn)P,以雙曲線的實(shí)軸為直徑的圓與直線l相切,切點(diǎn)為H,若,則雙曲線C的離心率為()A. B. C. D.6.中國(guó)古典樂(lè)器一般按“八音”分類(lèi).這是我國(guó)最早按樂(lè)器的制造材料來(lái)對(duì)樂(lè)器進(jìn)行分類(lèi)的方法,最先見(jiàn)于《周禮·春官·大師》,分為“金、石、土、革、絲、木、匏(páo)、竹”八音,其中“金、石、木、革”為打擊樂(lè)器,“土、匏、竹”為吹奏樂(lè)器,“絲”為彈撥樂(lè)器.現(xiàn)從“八音”中任取不同的“兩音”,則含有打擊樂(lè)器的概率為()A. B. C. D.7.定義兩種運(yùn)算“★”與“◆”,對(duì)任意,滿足下列運(yùn)算性質(zhì):①★,◆;②()★★,◆◆,則(◆2020)(2020★2018)的值為()A. B. C. D.8.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,則不可能為()A. B. C. D.9.已知條件,條件直線與直線平行,則是的()A.充要條件 B.必要不充分條件 C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件10.函數(shù)(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的大致圖像為()A. B. C. D.11.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名學(xué)生平均分成兩個(gè)志愿者小組到校外參加兩項(xiàng)活動(dòng),則乙、丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率為A. B. C. D.12.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位,),則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.圖(1)是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(ICME-7)的會(huì)徽?qǐng)D案,它是由一串直角三角形演化而成的(如圖(2)),其中,則的值是______.14.若關(guān)于的不等式在上恒成立,則的最大值為_(kāi)_________.15.從集合中隨機(jī)取一個(gè)元素,記為,從集合中隨機(jī)取一個(gè)元素,記為,則的概率為_(kāi)______.16.實(shí)數(shù)滿足,則的最大值為_(kāi)____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知三棱錐中側(cè)面與底面都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,且面面,分別為線段的中點(diǎn).為線段上的點(diǎn),且.(1)證明:為線段的中點(diǎn);(2)求二面角的余弦值.18.(12分)己知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.設(shè)(1)求的值;(2)若,且,求的值.19.(12分)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知.(1)求的大小;(2)若,求面積的最大值.20.(12分)已知直線與橢圓恰有一個(gè)公共點(diǎn),與圓相交于兩點(diǎn).(I)求與的關(guān)系式;(II)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.若當(dāng)時(shí),的面積取到最大值,求橢圓的離心率.21.(12分)如圖為某大江的一段支流,岸線與近似滿足∥,寬度為.圓為江中的一個(gè)半徑為的小島,小鎮(zhèn)位于岸線上,且滿足岸線,.現(xiàn)計(jì)劃建造一條自小鎮(zhèn)經(jīng)小島至對(duì)岸的水上通道(圖中粗線部分折線段,在右側(cè)),為保護(hù)小島,段設(shè)計(jì)成與圓相切.設(shè).(1)試將通道的長(zhǎng)表示成的函數(shù),并指出定義域;(2)若建造通道的費(fèi)用是每公里100萬(wàn)元,則建造此通道最少需要多少萬(wàn)元?22.(10分)已知數(shù)列的通項(xiàng),數(shù)列為等比數(shù)列,且,,成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng);(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
先利用最高點(diǎn)縱坐標(biāo)求出A,再根據(jù)求出周期,再將代入求出φ的值.最后將代入解析式即可.【詳解】由圖象可知A=1,∵,所以T=π,∴.∴f(x)=sin(2x+φ),將代入得φ)=1,∴φ,結(jié)合0<φ,∴φ.∴.∴sin.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的據(jù)圖求式問(wèn)題以及三角函數(shù)的公式變換.據(jù)圖求式問(wèn)題要注意結(jié)合五點(diǎn)法作圖求解.屬于中檔題.2、D【解析】
傾斜角為的直線與直線垂直,利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出結(jié)果.【詳解】解:因?yàn)橹本€與直線垂直,所以,.又為直線傾斜角,解得.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
根據(jù)程序框圖判斷出的意義,由此求得的值,進(jìn)而求得的值.【詳解】由題意可得的取值為成績(jī)大于等于90的人數(shù),的取值為成績(jī)大于等于60且小于90的人數(shù),故,,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本小題考查利用程序框圖計(jì)算統(tǒng)計(jì)量等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,邏輯推理能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).4、D【解析】
易知單調(diào)遞增,由可得唯一零點(diǎn),通過(guò)已知可求得,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為使方程在區(qū)間上有解,化簡(jiǎn)可得,借助對(duì)號(hào)函數(shù)即可解得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】易知函數(shù)單調(diào)遞增且有惟一的零點(diǎn)為,所以,∴,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:使方程在區(qū)間上有解,即在區(qū)間上有解,而根據(jù)“對(duì)勾函數(shù)”可知函數(shù)在區(qū)間的值域?yàn)椋?故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,考查了方程有解問(wèn)題,分離參數(shù)法及構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用,考查了利用“對(duì)勾函數(shù)”求參數(shù)取值范圍問(wèn)題,難度較難.5、A【解析】
在中,由余弦定理,得到,再利用即可建立的方程.【詳解】由已知,,在中,由余弦定理,得,又,,所以,,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的計(jì)算問(wèn)題,處理雙曲線離心率問(wèn)題的關(guān)鍵是建立三者間的關(guān)系,本題是一道中檔題.6、B【解析】
分別求得所有基本事件個(gè)數(shù)和滿足題意的基本事件個(gè)數(shù),根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.【詳解】從“八音”中任取不同的“兩音”共有種取法;“兩音”中含有打擊樂(lè)器的取法共有種取法;所求概率.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率問(wèn)題的求解,關(guān)鍵是能夠利用組合的知識(shí)求得基本事件總數(shù)和滿足題意的基本事件個(gè)數(shù).7、B【解析】
根據(jù)新運(yùn)算的定義分別得出◆2020和2020★2018的值,可得選項(xiàng).【詳解】由()★★,得(+2)★★,又★,所以★,★,★,,以此類(lèi)推,2020★2018★2018,又◆◆,◆,所以◆,◆,◆,,以此類(lèi)推,◆2020,所以(◆2020)(2020★2018),故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查定義新運(yùn)算,關(guān)鍵在于理解,運(yùn)用新定義進(jìn)行求值,屬于中檔題.8、D【解析】
依題意,設(shè),由,得,再一一驗(yàn)證.【詳解】設(shè),因?yàn)?,所以,?jīng)驗(yàn)證不滿足,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的幾何意義,還考查了推理論證能力,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】
先根據(jù)直線與直線平行確定的值,進(jìn)而即可確定結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行,所以,解得或;即或;所以由能推出;不能推出;即是的充分不必要條件.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判定,熟記概念即可,屬于基礎(chǔ)題型.10、D【解析】由題意得,函數(shù)點(diǎn)定義域?yàn)榍?,所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且,所以函數(shù)為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故選D.11、B【解析】
求得基本事件的總數(shù)為,其中乙丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的基本事件個(gè)數(shù)為,利用古典概型及其概率的計(jì)算公式,即可求解.【詳解】由題意,現(xiàn)有甲乙丙丁4名學(xué)生平均分成兩個(gè)志愿者小組到校外參加兩項(xiàng)活動(dòng),基本事件的總數(shù)為,其中乙丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的基本事件個(gè)數(shù)為,所以乙丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率為,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列組合的應(yīng)用,以及古典概型及其概率的計(jì)算問(wèn)題,其中解答中合理應(yīng)用排列、組合的知識(shí)求得基本事件的總數(shù)和所求事件所包含的基本事件的個(gè)數(shù),利用古典概型及其概率的計(jì)算公式求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
分別比較復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部與0的大小關(guān)系,可判斷出在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.【詳解】因?yàn)闀r(shí),所以,,所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先求出向量和夾角的余弦值,再由公式即得.【詳解】如圖,過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn),那么向量和夾角為,,,,,且是直角三角形,,同理得,,.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積,解題關(guān)鍵是找到向量和的夾角.14、【解析】
分類(lèi)討論,時(shí)不合題意;時(shí)求導(dǎo),求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,得到在上的最小值,利用不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)最小值,化簡(jiǎn)得,構(gòu)造放縮函數(shù)對(duì)自變量再研究,可解,【詳解】令;當(dāng)時(shí),,不合題意;當(dāng)時(shí),,令,得或,所以在區(qū)間和上單調(diào)遞減.因?yàn)?,且在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以在處取極小值,即最小值為.若,,則,即.當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),則.設(shè),則.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減,所以,即,所以的最大值為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問(wèn)題.不等式恒成立問(wèn)題的求解思路:已知不等式(為實(shí)參數(shù))對(duì)任意的恒成立,求參數(shù)的取值范圍.利用導(dǎo)數(shù)解決此類(lèi)問(wèn)題可以運(yùn)用分離參數(shù)法;如果無(wú)法分離參數(shù),可以考慮對(duì)參數(shù)或自變量進(jìn)行分類(lèi)討論求解,如果是二次不等式恒成立的問(wèn)題,可以考慮二次項(xiàng)系數(shù)與判別式的方法(,或,)求解.15、【解析】
先求出隨機(jī)抽取a,b的所有事件數(shù),再求出滿足的事件數(shù),根據(jù)古典概型公式求出結(jié)果.【詳解】解:從集合中隨機(jī)取一個(gè)元素,記為,從集合中隨機(jī)取一個(gè)元素,記為,則的事件數(shù)為9個(gè),即為,,,其中滿足的有,,,共有8個(gè),故的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的計(jì)算,解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確列舉出所有事件數(shù).16、.【解析】
畫(huà)出可行域,解出可行域的頂點(diǎn)坐標(biāo),代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值,比較大小得到目標(biāo)函數(shù)最值.【詳解】解:作出可行域,如圖所示,則當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)直線的截距最大,z取最大值.由同理,,取最大值.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃的線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解問(wèn)題.線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點(diǎn)或邊界處取得,所以對(duì)于一般的線性規(guī)劃問(wèn)題,若可行域是一個(gè)封閉的圖形,我們可以直接解出可行域的頂點(diǎn),然后將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值,從而確定目標(biāo)函數(shù)的最值;若可行域不是封閉圖形還是需要借助截距的幾何意義來(lái)求最值.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】
(1)設(shè)為中點(diǎn),連結(jié),先證明,可證得,假設(shè)不為線段的中點(diǎn),可得平面,這與矛盾,即得證;(2)以為原點(diǎn),以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求解平面,平面的法向量的法向量,利用二面角的向量公式,即得解.【詳解】(1)設(shè)為中點(diǎn),連結(jié).∴,,又平面,平面,∴.又分別為中點(diǎn),,又,∴.假設(shè)不為線段的中點(diǎn),則與是平面內(nèi)內(nèi)的相交直線,從而平面,這與矛盾,所以為線段的中點(diǎn).(2)以為原點(diǎn),由條件面面,∴,以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,.設(shè)平面的法向量為所以取,則,.同法可求得平面的法向量為∴,由圖知二面角為銳二面角,二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何與空間向量綜合,考查了學(xué)生邏輯推理,空間想象,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.18、(1)(2)【解析】
(1)由正弦定理將,轉(zhuǎn)化,即,由余弦定理求得,再由平方關(guān)系得再求解.(2)由,得,結(jié)合再求解.【詳解】(1)由正弦定理,得,即,則,而,又,解得,故.(2)因?yàn)?,則,因?yàn)?,故,故,解得,故,則.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式,考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.19、(1);(2).【解析】
(1)利用正弦定理將邊化角,結(jié)合誘導(dǎo)公式可化簡(jiǎn)邊角關(guān)系式,求得,根據(jù)可求得結(jié)果;(2)利用余弦定理可得,利用基本不等式可求得,代入三角形面積公式可求得結(jié)果.【詳解】(1)由正弦定理得:,又,即由得:(2)由余弦定理得:又(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))即三角形面積的最大值為:【點(diǎn)睛】本題考查解三角形的相關(guān)知識(shí),涉及到正弦定理化簡(jiǎn)邊角關(guān)系式、余弦定理解三角形、三角形面積公式應(yīng)用、基本不等式求積的最大值、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用等知識(shí),屬于??碱}型.20、(Ⅰ)(II)【解析】
(I)聯(lián)立直線與橢圓的方程,根據(jù)判別式等于0,即可求出結(jié)果;(Ⅱ)因點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,可得的面積是的面積的兩倍,再由當(dāng)時(shí),的面積取到最大值,可得,進(jìn)而可得原點(diǎn)到直線的距離,再由點(diǎn)到直線的距離公式,以及(I)的結(jié)果,即可求解.【詳解】(I)由,得,則化簡(jiǎn)整理,得;(Ⅱ)因點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,故的面積是的面積的兩倍.所以當(dāng)時(shí),的面積取到最大值,此時(shí),從而原點(diǎn)到直線的距離,又,故.再由(I),得,則.又,故,即,從而,即.【點(diǎn)睛
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