公平的評(píng)卷系統(tǒng)模型

公平的競(jìng)賽評(píng)卷系統(tǒng)模型摘本文針對(duì)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽評(píng)卷系統(tǒng)進(jìn)行模型建立和求解．問(wèn)題一：研究一種答卷編號(hào)加密和解密的數(shù)學(xué)公式方法（其中題號(hào)為明號(hào)；通過(guò)碼制轉(zhuǎn)換和異或運(yùn)算進(jìn)行簡(jiǎn)單易算、可隨意轉(zhuǎn)換且保密性良好的加密和解密方法。問(wèn)題二：研究一種評(píng)閱答卷分配的數(shù)學(xué)公式方法。通過(guò)以滿意度最大為目標(biāo)函數(shù)建立0-1整數(shù)規(guī)劃模型，把所有評(píng)委分組，分別為{7,8,5,5}，再引入隸屬度函數(shù)，以廣泛度最大為目標(biāo)函數(shù)，回避本校答卷和滿足某些特殊要求為約束條件建立優(yōu)化模型，給各題組的評(píng)委具體分配答卷。問(wèn)題三：研究評(píng)分一致性或公正性的檢驗(yàn)方法。通過(guò)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的原理分析了評(píng)委的類型—客觀公平型、一致性偏高型、一致性偏低型、大幅度波動(dòng)型和作弊型。問(wèn)題四：研究最終的分?jǐn)?shù)調(diào)整計(jì)算公式，該公式要處理那些可能出現(xiàn)的“不公平及尺度偏差。通過(guò)對(duì)各類型的評(píng)委的評(píng)分作出合理的量化，并以這些量作為權(quán)值對(duì)不合理分?jǐn)?shù)進(jìn)行最終調(diào)整，最終調(diào)整公式為：．jiiji綜上所述，利本文所建立的各種模，可以有效的對(duì)試卷編進(jìn)行加密，合的對(duì)試卷分配，根評(píng)委的公正性和每份卷打分的置信區(qū)間可以出最終分?jǐn)?shù)的算公式，反應(yīng)了試卷的實(shí)水平。關(guān)詞：

加密系統(tǒng)，滿意度，廣泛度--

問(wèn)題提（1）數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽吸引了眾多的大學(xué)生、研究生甚至中學(xué)生的參與，越來(lái)越多的人關(guān)心競(jìng)賽評(píng)卷的公平性．現(xiàn)今大多數(shù)的評(píng)卷工作是這樣進(jìn)行的：先將答卷編成密號(hào)，評(píng)委由各參賽學(xué)校（20-50所）派出，按不同的題目分成幾個(gè)題組，每個(gè)題組由M個(gè)評(píng)委組成，評(píng)閱N份答卷，每份答卷經(jīng)L個(gè)評(píng)委評(píng)閱，評(píng)委對(duì)每份答卷給出等級(jí)分

,A,AB

,BB

,C

,,C

,D如果個(gè)評(píng)委給出的分?jǐn)?shù)基本一致就給出這份答卷的平均分，否則需討論以達(dá)成一致（其10,60L假定有35所學(xué)校298個(gè)參賽隊(duì)參賽數(shù)據(jù)見(jiàn)附錄1其中數(shù)字前兩位代表學(xué)校，甲組選做AB題；乙組選CD題25名評(píng)委所屬的學(xué)校編號(hào)為1-17202122，24，26，28，29，30．每份試卷經(jīng)四位評(píng)委評(píng)閱，編號(hào)為1522的只容許評(píng)C，D題，編號(hào)為26的只容許評(píng)A，題，編號(hào)為，4，6，12，16的評(píng)委要求評(píng)A題，編號(hào)為2，，7，10的評(píng)委要求評(píng)B題；編號(hào)為的評(píng)委要求評(píng)C題，編號(hào)29的評(píng)委要求評(píng)D題．其余按所在學(xué)校的甲、乙組別及個(gè)人的要求安排。二模假與號(hào)明（一）模型假設(shè)1假設(shè)除了問(wèn)題中某些評(píng)委提出的要求，其他評(píng)委無(wú)明確要求；2假設(shè)每個(gè)評(píng)委的評(píng)卷速度和閱卷量相近；3假設(shè)每個(gè)評(píng)委在評(píng)卷過(guò)程中不會(huì)交流評(píng)卷業(yè)務(wù)以外的試卷信息，獨(dú)立地評(píng)出每份答卷的分?jǐn)?shù)對(duì)于評(píng)閱同一份答卷的評(píng)委不會(huì)相互交流各自所評(píng)的分?jǐn)?shù)．（二）符號(hào)說(shuō)明1.答卷的加密與解密BCK

——明文空間，它是全體明文的集合；——密文空間，它是全體密文的集合；——密鑰空間，密鑰是加密算法中的可變參數(shù)；

——加密算法，它是一族由

C的加密變換；D

——解密算法，它是一族C到B的加密變換．--

jjjjjj2.答卷的分配c：分配到題組、B、C、D的評(píng)委數(shù)目；

kij

：在第k題組中，i個(gè)評(píng)委評(píng)閱第j所學(xué)校答卷的份數(shù)；U

kj

：在第k題組中，第j所校的答卷數(shù)；ki

：第k個(gè)題組的總答卷數(shù)；：在k個(gè)題組中，i評(píng)委評(píng)閱答卷的總份數(shù)；

k

：第k題組的評(píng)委數(shù)；

k

：k個(gè)題組的參賽學(xué)校數(shù)．3.分?jǐn)?shù)調(diào)整計(jì)算ss

ijj

：i個(gè)評(píng)委評(píng)閱第j答卷的分?jǐn)?shù)；：第份答卷的平均分；

j

：第份答卷的最終分?jǐn)?shù)；i

：i個(gè)評(píng)的類型系數(shù)．4.統(tǒng)計(jì)量說(shuō)明1）標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)選擇標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)考察平均分的代表性標(biāo)準(zhǔn)差是反映一組數(shù)據(jù)分布的離散程度的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，以絕對(duì)值表示．標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)差與平均數(shù)的比值，用百分比表示，即：V

X

（1）比較每份答卷的標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)．若答卷A比答卷B的標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)大，說(shuō)明評(píng)委對(duì)答卷A的意見(jiàn)差異更大，即使答卷A和B平均分相同，答卷A評(píng)分問(wèn)題上存在較大爭(zhēng)議，應(yīng)當(dāng)慎重考慮，需要進(jìn)一步考察．2）離差絕對(duì)值之和

ia將某評(píng)委對(duì)每份答卷的評(píng)分，分別減去該答卷的平均分，即得到該評(píng)委對(duì)該答卷的離差，將全部離差的絕對(duì)值累加求和，得出該評(píng)委的離差絕對(duì)值之和，即：iaijj

j

（2）上式

xij

表示i個(gè)評(píng)對(duì)第j份答卷的評(píng)分j

表示第份答卷的平均分．--

rr離差絕對(duì)值之和的大小反映各個(gè)評(píng)委對(duì)測(cè)評(píng)對(duì)象整體水平的看法離差絕對(duì)值之和與測(cè)評(píng)對(duì)象整體水平成負(fù)相關(guān)，離差絕對(duì)值之和越大，測(cè)評(píng)對(duì)象整體水平越不整齊，內(nèi)部差異即離散程度則越大．3）離差代數(shù)和

id將各個(gè)評(píng)委對(duì)每一份答卷的評(píng)分，分別減去該答卷的平均分，即得到該評(píng)委對(duì)該答卷的離差，將全部離差累加求和，即得到該評(píng)委的離差代數(shù)和，離差代數(shù)和沒(méi)有直接意義，必須與離差絕對(duì)值之和結(jié)合起來(lái)考察，才有實(shí)際意義．4）絕代比

rad絕代比是每個(gè)評(píng)委的離差絕對(duì)值之和與其離差代數(shù)和的比值，即：ri

SS

ii

（3）rad

有以下三種情況：①

rad

，這是因?yàn)槊恳浑x差均取正值或負(fù)值，其代數(shù)和不存在正負(fù)抵消現(xiàn)象，正好與離差絕對(duì)值之和一致，這種情況只有該評(píng)委的評(píng)分全部低于或高于平均分時(shí)才出現(xiàn)；②ad的比值很高，也就是說(shuō)，離差絕對(duì)值之和遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于離差代數(shù)和的絕對(duì)值，這種情況，往往因?yàn)樵撛u(píng)委的評(píng)分往往遠(yuǎn)離總體平均分，同時(shí)，具體評(píng)分圍繞平均分上下波動(dòng)，因此，離差正負(fù)相抵后所得的代數(shù)和，其數(shù)值較小，兩相比較，

rad

的數(shù)值較大；③

rad

比1大，是因?yàn)樵撛u(píng)委所評(píng)分?jǐn)?shù)在平均分?jǐn)?shù)線上下小幅波動(dòng)．三模分、立求1.模型分析：（1）對(duì)加密系統(tǒng)的分析通過(guò)對(duì)編號(hào)的碼制轉(zhuǎn)換便于我們對(duì)位進(jìn)行異或邏輯運(yùn)算，從而使加密過(guò)程更加隱蔽、易行；（2）把所有答卷編號(hào)進(jìn)行矩陣排列，再按列操作，可以簡(jiǎn)化加密作量；（3）通過(guò)要求評(píng)委們各自秘密發(fā)送個(gè)字母給公證人，再由公證人順序或逆序排列（只有所有評(píng)委和公證人的“密鑰”都被知道了，已知道加密算法的人才能破譯該系統(tǒng)從而大大增加了破譯的難度，提高了加密系統(tǒng)的保密性能；（）異或邏輯運(yùn)算是一種可逆運(yùn)算，簡(jiǎn)單易行，不僅隱蔽了原本學(xué)校和參賽的信息同時(shí)又保證了針對(duì)每個(gè)不同的序號(hào)能得到一個(gè)唯一與其對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制序列，實(shí)現(xiàn)對(duì)于答卷分配的分析,我們先提出滿意度函數(shù)入模糊數(shù)學(xué)中的隸屬度函數(shù)來(lái)求解，較好地滿足了回避本校答卷和評(píng)委廣泛度盡量大的要求；運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的原理，根據(jù)不同的評(píng)分特點(diǎn)把評(píng)委分成不同類型，再用層次分析法來(lái)--

lkylkyY''檢驗(yàn)評(píng)委的公平性，使得問(wèn)題的描述比較清晰；運(yùn)用加權(quán)的方法調(diào)整分?jǐn)?shù)，在實(shí)際操作上具有一定的意義．2.模型建立：1）評(píng)委分組：依題意，把25評(píng)委分配到A、B、D四個(gè)題組，必須滿足以下要求：．每個(gè)評(píng)委只能分配到一個(gè)題組中；b．為了回避本校答卷，分組過(guò)程中每個(gè)評(píng)委所在的題組需要評(píng)閱題目是該評(píng)委所在學(xué)校的參賽隊(duì)選擇最少的題目；c．嚴(yán)格滿足特殊要求中某評(píng)委只容許評(píng)閱的題組的要求；d．在滿足公平原則和以上3項(xiàng)原則前提下，盡量滿足特殊要求中某些評(píng)委要求評(píng)閱的題組的要求；．在滿足以上原則的前提下，使每個(gè)評(píng)委評(píng)閱的答卷盡可能廣泛；f對(duì)于沒(méi)有提出要求或題目沒(méi)有明確限制評(píng)閱題組的評(píng)委，在滿足以上幾項(xiàng)原則前提下，我們對(duì)這些評(píng)委進(jìn)行隨機(jī)分配．基于以上原則，我們采用數(shù)學(xué)規(guī)劃中的整數(shù)規(guī)劃，引入滿意度的概念，并用決策變量

y

kl

表示對(duì)其量化：用

k

表示四個(gè)題組A、、C、D，用

l1,2,

表示25個(gè)評(píng)委1-17、20、、22、、26、、、30，表示第個(gè)評(píng)委被分到第個(gè)題組的滿意度大小．滿意度定義為：）當(dāng)某個(gè)評(píng)委的“只容許”條件被滿足時(shí)，

y2kl

，否則為-2；b）當(dāng)某個(gè)評(píng)委的“要求”條件被滿足時(shí)，

ykl

，否則為-1；c）當(dāng)沒(méi)有特殊要求的評(píng)委分到任意題組時(shí)，其滿意度為．我們可以Y表示由

y

kl

組成的矩陣，Y可寫(xiě)成以下形式：

由于每個(gè)評(píng)委只能分配到一個(gè)題組所以對(duì)于矩陣的每一列個(gè)元素只能選取其中一個(gè)，于是我們以最大滿意度為目標(biāo)函數(shù)：

425kl

y

kl

（4）其中，是基于矩陣的得到的一系列矩陣中的最優(yōu)矩的元素．由題目可知，每個(gè)題組至少要有個(gè)評(píng)委評(píng)閱答卷，同時(shí)從表可以看到選擇題--

ff1i組A、B的參賽隊(duì)要比選擇題組C、的多，為了保證閱卷的公平性，分配到題組AB評(píng)委數(shù)目應(yīng)該比C的多不妨假設(shè)題組A和B的評(píng)委數(shù)至少分別比題組和D的多1于是有以下模型（Ⅰ

425

y

klst

kl2512c

（Ⅰ）我們運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件Lingo9.0求解以上的數(shù)學(xué)模型，得到下面的分配結(jié)果（見(jiàn)表表3.1評(píng)委答卷分配題該題組評(píng)委該題組評(píng)委所在學(xué)校編號(hào)組數(shù)目A，，6，12，，，B82，5，7，10，17，20，，C511，，，15，D，8，9，，2）答卷分配：在評(píng)閱過(guò)程中份答卷必須經(jīng)四位不同的評(píng)委評(píng)閱時(shí)要求評(píng)委回避本校答卷，滿足某些特殊要求，在此基礎(chǔ)上盡可能使評(píng)委評(píng)閱的答卷廣泛，也就是說(shuō)，該評(píng)委所評(píng)閱的答卷含不同學(xué)校數(shù)目盡量多．在上一步中已經(jīng)討論了把名評(píng)委分到四個(gè)題組的問(wèn)題在我們以題組A為例，建立模型求解出題組A評(píng)委的具體分配情況，其他題組可以類似地求解．題組A的評(píng)委數(shù)為7，分別是、、6、12、、、，我們重新對(duì)這些評(píng)委編號(hào)為12A的校編號(hào)為，2為了使評(píng)委評(píng)閱答卷盡可能廣泛，我們引入模糊數(shù)學(xué)的柯西型隸屬度函數(shù)，給出各評(píng)委每評(píng)閱一份答卷的值——廣泛度：ijij

（5）其中廣泛度

ij是

xij

的減函數(shù)，表示當(dāng)?shù)趥€(gè)評(píng)委評(píng)閱的答卷越廣泛，即所含學(xué)校越多，

xij

越小，則廣泛度

ij越大，(見(jiàn)表：表3.2

x

ij

函數(shù)表

ij

1

2

3

4

5

6ij

--

771919j771919jmxijKC

ij

7

8

9

10

11

12ij

0于是，我們以廣泛度最大為目標(biāo)函數(shù)建立優(yōu)化模型（Ⅱfijij

ijU,jijjstijij,iiji

（Ⅱ）在模型（Ⅱ）中，第一約束條件表示每所學(xué)校的每份答卷都4評(píng)委評(píng)閱；第二約束條件表示所有的答卷都有4位評(píng)委評(píng)閱；第三、四約束條件表示每個(gè)評(píng)委評(píng)閱一定量的答卷，且答卷量相當(dāng)．推廣到其他題組，把模型（Ⅱ）寫(xiě)成模型（Ⅲmax

m

f,ijij

ijxijUj,jnstij,imijikjbk,il

（Ⅲ）其中bk分別表示第個(gè)題組評(píng)委評(píng)閱答卷數(shù)的下界和上界．3.模型求解：1）答卷的加密一個(gè)密碼系統(tǒng)，通常簡(jiǎn)稱為密碼體制，由五部分組成，可用數(shù)學(xué)符號(hào)描述如下[1]：KED

（1）對(duì)于每一個(gè)確定的密鑰，加密算法將確定一個(gè)具體的加密變換，解密算法將確定一個(gè)具體的解密變換，而且解密變換就是加密變換的逆變換．對(duì)于明文空間B中的每一個(gè)明文，加密算法

E

在密鑰的控制下將明文

B

加密成密文：--

CC

（5）于是，我們對(duì)加密算法以下步驟對(duì)答卷編號(hào)進(jìn)行加密：Step1進(jìn)行碼制轉(zhuǎn)換；Step2確定密鑰；Step3明文與密鑰進(jìn)行異或運(yùn)算；Step4把結(jié)果轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制；Step5添加題組標(biāo)示，即為密文．為了更好地理解該算法，我們選取了一個(gè)編號(hào)（B題來(lái)簡(jiǎn)單描述：Step1把1209每個(gè)數(shù)字轉(zhuǎn)換為四位二進(jìn)制，即0000Step2隨機(jī)選取一個(gè)個(gè)字母的英文單詞，如num把每一個(gè)字母轉(zhuǎn)化為碼110109把ASCII碼轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制00101110取前16，即1101；Step3按位進(jìn)行異或運(yùn)算，即用密鑰

K

與Step1得到的二進(jìn)制序列00011001或，得到序列11000001；Step4把新得到的序列轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制，即五位數(shù)字；Step5在49153最高位前添加2即249153代表該參賽隊(duì)是B組（數(shù)字12、34別代表題組A、、C、故：編號(hào)1209B題的密號(hào)為為了減少工作量和提高加密系統(tǒng)的保密性我們可將所有的參賽隊(duì)編號(hào)按先后順序先自上而下、后從左到右地排列成n矩陣；按每一列逐列進(jìn)行整體加密；每一個(gè)評(píng)委分別秘密地發(fā)給公證人（注：該公證人不參與評(píng)卷工作，只負(fù)責(zé)對(duì)答卷加密、解密和分配答卷的工作個(gè)字母的英文單詞公證人按順序或逆序把每一個(gè)字母轉(zhuǎn)化為ASCII碼，再把各ASCII碼轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制，取一定的位數(shù)，此位數(shù)取決于每一列的編號(hào)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制后的全體比特?cái)?shù)．這樣，就可以簡(jiǎn)化了Step2隨機(jī)選取密鑰的工作量，同時(shí)不會(huì)降低其保密性能．而解密算法D在密鑰

d

的控制下將密C解密出同一明文：M

d

d

（6）如果一個(gè)密碼體制的

K

d

，則成為單密鑰密碼體制或?qū)ΨQ密碼體制，否則成為雙密鑰密碼體制．我們?cè)诒疚闹胁捎脝蚊荑€密碼體制，即

K

d

，對(duì)答卷編號(hào)進(jìn)行加密和解密．針對(duì)本題我們加密的目的是把各參賽隊(duì)的序號(hào)反映出來(lái)的學(xué)校信息以及每個(gè)參賽學(xué)校不同隊(duì)伍的組號(hào)信息進(jìn)行隱藏，即對(duì)答卷編號(hào)隱藏，而各答卷編號(hào)（即題號(hào)）是明號(hào)．因此可以得出以下結(jié)論：明文空為各參賽隊(duì)的序號(hào)，密文空間為我們對(duì)明文空間B行加密后的號(hào)碼．--

2）答卷的解密對(duì)密號(hào)進(jìn)行解密實(shí)際上是對(duì)加密算法的逆運(yùn)算DE我們對(duì)解密算D按以下步驟對(duì)密號(hào)進(jìn)行解密：Step1評(píng)委們公開(kāi)各人秘密發(fā)給公證人的字母，公證人公開(kāi)其按順序還是逆序排列評(píng)委們的字母；Step2把所有字母轉(zhuǎn)換為ASCII把各ASCII碼轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制一定的位數(shù)，此位數(shù)取決于每一列的編號(hào)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制后的全體比特?cái)?shù)；Step3取密號(hào)的后五位，轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制，得到的結(jié)果與密鑰進(jìn)行異或運(yùn)算；Step4所得結(jié)果每四位二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成一位十進(jìn)制，按順序逐個(gè)轉(zhuǎn)換，得到的結(jié)果每四位十進(jìn)制便是明號(hào)，即答卷的編號(hào)．3）數(shù)據(jù)的處理在答卷數(shù)量不至于太多同時(shí)參賽學(xué)校不至于太少的情況下我們要求每個(gè)評(píng)委來(lái)自不同學(xué)校，以示其公平性．而本問(wèn)題中要求，每個(gè)題組的M個(gè)評(píng)委來(lái)自不同學(xué)校，則我們不需要考慮某學(xué)校參賽隊(duì)數(shù)目與來(lái)自該校的評(píng)委數(shù)比例關(guān)系的公平性問(wèn)題．對(duì)于附錄給出的數(shù)據(jù)我們經(jīng)統(tǒng)計(jì)可得以下的信息35學(xué)校298參賽隊(duì)各參賽隊(duì)選擇題組分別為A題95、B107、C題50、D題46個(gè)（見(jiàn)下表名評(píng)委分別來(lái)自不同學(xué)校，評(píng)委所屬的學(xué)校編號(hào)分別為：1-17、20、222426、28、、30．對(duì)于評(píng)委評(píng)閱答卷，還有些特殊要求，如：編號(hào)、只容許評(píng)C、D，編號(hào)為26的只容許評(píng)A、題，編號(hào)為1、461216的評(píng)委要求評(píng)A，編號(hào)為257、的評(píng)委要求評(píng)B；編號(hào)為的評(píng)委要求評(píng)題，編號(hào)為的評(píng)委要求評(píng)D題（見(jiàn)表3.3表3.3

參賽學(xué)校與組隊(duì)情況表3.4評(píng)委評(píng)閱答卷的特殊要求--

4）評(píng)委的公平性評(píng)價(jià)在評(píng)卷過(guò)程中，不可避免地會(huì)出現(xiàn)評(píng)分一致偏高或偏低的情況，也有可能出現(xiàn)某些評(píng)委評(píng)分不公正的現(xiàn)象．于是，給出一種評(píng)分一致性或公正性的檢驗(yàn)方法，是非常必要的．本文運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的原理，引入幾個(gè)統(tǒng)計(jì)量，根據(jù)各評(píng)委的評(píng)分特點(diǎn)在這些統(tǒng)計(jì)量上表現(xiàn)出來(lái)的不同特征，對(duì)不同特點(diǎn)的評(píng)委進(jìn)行分類，從而實(shí)現(xiàn)評(píng)分一致性或公正性的檢驗(yàn)．4．1評(píng)分特點(diǎn)的分類從經(jīng)驗(yàn)角度看，觀察評(píng)委的評(píng)分線與平均分線的關(guān)系，實(shí)際上有這樣幾種評(píng)委的評(píng)分傾向：1）客觀公平型：這種評(píng)委的評(píng)分線圍繞平均分線做小幅波動(dòng)．他試圖按照客觀標(biāo)準(zhǔn)掌握評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，保持客觀公允態(tài)度，謹(jǐn)慎小心，離差絕對(duì)值較小，即使在平均分線上下波動(dòng)，但起伏不大，其離差絕對(duì)值之和與離差代數(shù)和的比值雖大與1但比較接近1，或者比在開(kāi)區(qū)間，）里．從經(jīng)驗(yàn)角度看，這類評(píng)委的評(píng)分水平比較高，主觀傾向與客觀實(shí)際相接近，是比較理想的評(píng)委．圖1公平型評(píng)委評(píng)分曲線圖2）一致性偏高型：評(píng)委的評(píng)分線始終高于全體評(píng)委打分確定的平分線，與平均--

分線呈近似平行的關(guān)系．這種評(píng)委是一種帶有主觀色彩的“公正”評(píng)委，有一個(gè)穩(wěn)定的主觀傾向在理解和掌握評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，堅(jiān)持按偏松的傾向打分，

rad

．圖2偏高型評(píng)委評(píng)分曲線圖3）一致性偏低型：評(píng)委的評(píng)分線始終低于全體評(píng)委打分確定的平分線，與平均分線呈近似平行的關(guān)系．與一致性偏高型評(píng)委相似，堅(jiān)持從嚴(yán)的傾向打分，

rad

．圖3偏低型評(píng)委評(píng)分曲線圖--

4）大幅度波動(dòng)型：這種類型的評(píng)分其離差代數(shù)值的方差較大，離絕對(duì)值方差較?。x差絕對(duì)值之和較大，離差代數(shù)和較小，

r

的絕對(duì)值較大且符號(hào)不定．圖4波動(dòng)型評(píng)委評(píng)分曲線圖5）作弊型：這種評(píng)委的評(píng)分線與平均分線的關(guān)系有明顯的不規(guī)則形態(tài)．這里最常見(jiàn)的情況是，該評(píng)委給出的大多數(shù)對(duì)象的分?jǐn)?shù)與平均分線呈一有規(guī)律的吻合，但是在少數(shù)個(gè)別分?jǐn)?shù)上出現(xiàn)明顯的跳躍，遠(yuǎn)離平均分線．似乎在有意壓低其他大多數(shù)測(cè)評(píng)對(duì)象的分?jǐn)?shù)，而故意抬高自己看好或是有特殊關(guān)系的個(gè)別測(cè)評(píng)對(duì)象的分?jǐn)?shù)．圖5作弊型評(píng)委評(píng)分曲線圖--

rri4．2檢驗(yàn)方法采用層次分析法，其檢驗(yàn)步驟如下圖：全部評(píng)委大作弊型

大不公平型Dia

iDd小大幅度波動(dòng)型

大

小公平型ia

小客觀公平型高一致性偏高型

riad

低一致性偏低型圖6層次分析法其中，

id

表示i個(gè)評(píng)委的離差代數(shù)值的方差，

ia

表示i個(gè)評(píng)委的離差絕對(duì)值的方差．首先計(jì)算全部評(píng)委的離差代數(shù)值的方差，將超20視為不公平型，將低20視為公平型．其次，對(duì)于不公平型計(jì)算離差絕對(duì)值的方差，以15門限將其分為大幅波動(dòng)型和作弊型．同時(shí)，對(duì)于公平型首先利用離差絕對(duì)值之和將其分為評(píng)分一致型和客觀公正型，劃分的標(biāo)準(zhǔn)以該評(píng)委評(píng)閱試卷的份數(shù)乘5為區(qū)分大小的臨界值．最后對(duì)于評(píng)分一致性再計(jì)算，通過(guò)判斷其符號(hào)將其分為一致性偏高和一致性偏低．這樣就將評(píng)委分為五類．5）分?jǐn)?shù)調(diào)整計(jì)算1“不公平”及尺度偏差的處理在分?jǐn)?shù)調(diào)整中，我們要處理那些可能出現(xiàn)的“不公平”及尺度偏差．由于每份答卷只由四名評(píng)委評(píng)閱使用除去最高分和最低分后求平均分的方法只剩下名評(píng)委，再求平均分就沒(méi)有普遍意義了．從第三問(wèn)中，我們已經(jīng)把評(píng)委分成不同特點(diǎn)的類型：客觀公平型、一致性偏高型、一致性偏低型和作弊型．根據(jù)不同的類型，分別把評(píng)委的分?jǐn)?shù)乘以該類型的權(quán)系數(shù)，再累加求平均．1）客觀公平型：這種類型的評(píng)委評(píng)分比較公正，權(quán)系數(shù)可以認(rèn)為是．2）一致性偏高（偏低）型：-13

nninnnini

j

jij

（7）j其中，j

s

ij

表示第個(gè)評(píng)委評(píng)閱的全部份答卷的總分，j

s

j

表答卷平均分的總分．該權(quán)值表示了一個(gè)相對(duì)合理的分?jǐn)?shù)占該評(píng)委所給分?jǐn)?shù)的比例．3）大幅度波動(dòng)型：將大幅度波動(dòng)型評(píng)委所評(píng)的成績(jī)分為大幅偏高和大幅偏低兩種，分別按照（9）所給的權(quán)系數(shù)公式進(jìn)行折算．對(duì)于這類評(píng)委所評(píng)成績(jī)高（或低）出平均分兩個(gè)等級(jí)分以上的試卷認(rèn)為此時(shí)的成績(jī)合理性較低，取消該評(píng)委對(duì)此份試卷的評(píng)分．4）作弊型：評(píng)委如在某些試卷上出現(xiàn)作弊行為則取消該評(píng)委對(duì)該張?jiān)嚲淼脑u(píng)分以其他三個(gè)評(píng)委所評(píng)的分?jǐn)?shù)作為有效成績(jī)進(jìn)行下一步處理．2最終分?jǐn)?shù)調(diào)整公式綜上所述，我們給出的最終分?jǐn)?shù)調(diào)整公式為：Swjii

ij

（8）其中m示第j份答卷評(píng)委最終評(píng)出的有效分?jǐn)?shù)時(shí)評(píng)委的數(shù)，即去除被取消成績(jī)的評(píng)委人數(shù)．4）答卷分配經(jīng)數(shù)學(xué)軟件．的編程求解（程序見(jiàn)附錄們得到以下的答卷分配結(jié)果（見(jiàn)表3.5,表3.6.表3.7.表3.8表3.5A組的答卷分配情況學(xué)校編號(hào)評(píng)委編號(hào)

135671012131415161714612162830

091010878

2233222

2112123

5034435

4444444

5404443

4433433

4444444

3443334

3232222

2322322

3230233

5444443

3333233

1111211

1211021

4332332

2111111

2111111表3.6B題組的答卷分配情--

份學(xué)校編號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

91011121314161819評(píng)委編號(hào)2571017202126

88999889

02332222

22212111

32222122

30222322

22222222

43043222

67676776

22222222

34403343

33333333

33333333

34444445

33333333

12212211

33323222

21110111

33333333

00010111學(xué)校編號(hào)評(píng)委編號(hào)

5

表3.7C題組的答卷分情況14212324252628313233341113141524

21212

22022

32232

22121

55657

23322

33330

33433

33334

22323

22233

33343

22121

23223

01111

21212

11110

11101學(xué)校編號(hào)評(píng)委編號(hào)

5

表3.8D題組的答卷分配情況142021222324252627282930313233343892229

21212

12122

33433

54465

33303

12212

43333

21221

33334

22233

22233

44440

33222

01111

10111

01111

11011其中，A組的評(píng)委每人閱卷

份，B題組的評(píng)委每人閱卷

份，C題組的評(píng)委每人閱卷40，D題組的評(píng)委每人閱卷

四、結(jié)評(píng)價(jià)對(duì)模型的最終結(jié)果進(jìn)行了預(yù)期估算和實(shí)際模型檢驗(yàn)我們以本班同學(xué)模擬參賽隊(duì)并以另一部分作為評(píng)委，按照本模型給出的方法進(jìn)行求解，其結(jié)果符合預(yù)期期望并且符合計(jì)算結(jié)果，因此其結(jié)果是可靠的。五、模檢驗(yàn)1）對(duì)于問(wèn)題一由加密表得知，不同的明文經(jīng)加密后產(chǎn)生不同的密文，并且經(jīng)過(guò)解密--

后得到的明文與原明文相同，合理達(dá)到了題目要求的簡(jiǎn)單算，可隨意變，保密性好的要求。2）從試的分配表中，我們實(shí)現(xiàn)題目中的各項(xiàng)約，包括評(píng)委不評(píng)本試卷和評(píng)閱他所對(duì)應(yīng)的題的要求3）由作圖可分析，用此模型求解符合實(shí)情況。六、模評(píng)價(jià)1）對(duì)于問(wèn)題1提出的加密系統(tǒng)模型，實(shí)質(zhì)上是對(duì)明文進(jìn)行碼制轉(zhuǎn)換和異或邏輯運(yùn)算，簡(jiǎn)單易行，可隨意變換且保密性能好；2對(duì)于答卷分配，我們先提出滿意度函數(shù)，再引入模糊數(shù)學(xué)中的隸屬度函數(shù)來(lái)求解，較好地滿足了回避本校答卷和評(píng)委廣泛度盡量大的要求；3運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的原理，根據(jù)不同的評(píng)分特點(diǎn)把評(píng)委分成不同類型，再用層次分析法來(lái)檢驗(yàn)評(píng)委的公平性，使得問(wèn)題的描述比較清晰；4）運(yùn)用加權(quán)的方法調(diào)整分?jǐn)?shù)，在實(shí)際操作上具有一定的意義．七、推與應(yīng)用結(jié)合實(shí)際情況，該模型可作為比賽時(shí)的評(píng)分規(guī)則，依照該模型的公平性原則進(jìn)行統(tǒng)計(jì)評(píng)分，可保證比賽的公平性。參考文[1]張煥國(guó)，劉玉珍，密碼學(xué)引論[M]，武漢：武漢大學(xué)出版社，[2][美]D.E.R.丹寧，密碼學(xué)與數(shù)據(jù)安全[M]，北京：科學(xué)出版社，[3]韓中庚，數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用[M]，北京：高等教育出版社，[4]謝金星，薛毅，優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件[M]，北京：清華大學(xué)出版社2005.7[5]段華洽，評(píng)委打分的真實(shí)有效性問(wèn)題的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，--

附錄附錄1XX賽區(qū)參賽情況表XX賽區(qū)參賽情況表序號(hào)

選題

序號(hào)

選題

序號(hào)

選題

序號(hào)

選題

序號(hào)

選題

序號(hào)

選題

序號(hào)

選題

序號(hào)

選題

序號(hào)

選題

序號(hào)

選題AA0507A0801A1001BA1501AC24012804CBBA0802BA1302A1502B20022402D2805BAB0803BBA1503B2003D24032806DABBA1004A1304A1504AD2404D2901ABA0805BA1305B1505B2005D2405D2902DBBCBBB1601B20062406D2903BACBBA1602B2007D24072904DAA0514D0808BA1308B1603B210125012905DBAD0809A1009BB1604AD2502DDBBBA1010BB1605AD25032907CAAA0811B1101BB1606B210425042908CBBBB1102BA1607B2105D2505DDAAA0813A1103A1313A1701AD25063002CBBBA1104A1314B1702AD26013003CAAA0815B1105BB1703AD2602DDBBBB1106BA1704AC2603D3005DAAA0817A1107A1402A170822022604D3101AAA0818B1108A1403B1709B22032605D3102BAA0819B1109BB1710AD26063103CBBBB1110BA1801B2205D26073104DABBBA1406B1802B220626083201CBAA0902A1202BB1803B22072701D3202DBBBA1203BB1804B220827023301CBAAB1204B1409B1805AD2703DDBBA1205B1410AA27043303CAA0707AAAA1807B2301D2705DABB0907A1207ADB230227063402DBAB0908AB14131901AD28013501CBAAAB14141902B23042802DAA0711AB1210ADAC2803D--

附錄2lingo程序代碼4-18-

附錄

matlab

作圖程序代碼%{plot(JData2(1:10,1),JData2(1:10,3));holdon;plot(JData2(1:10,1),JData2(1:10,5));holdon;plot(JData2(1:10,1),JData2(1:10,7));holdon;%}JS=JDataEvg=JSEvg=zeros(7);JSCount=zeros(7);for=1:length(JData2)cnt=JData2(i,1);jsarr=JData2(i,:);JDataEvg(i)=(jsarr(3)+jsarr(3)+jsarr(3))/3.