彈性力學(xué)之平面問題的直角坐標(biāo)解答

第三節(jié)位移分量的求出第四節(jié)簡支梁受均布荷載第五節(jié)楔形體受重力和液體壓力例題第一節(jié)逆解法與半逆解法多項(xiàng)式解答第二節(jié)矩形梁的純彎曲第三章平面問題的直角坐標(biāo)解答§3－1逆解法和半逆解法多項(xiàng)式解法當(dāng)體力為常量，按應(yīng)力函數(shù)求解平面應(yīng)力問題時(shí)，應(yīng)滿足

按求解⑶多連體中的位移單值條件。⑵全部應(yīng)力邊界條件,⑴區(qū)域內(nèi)相容方程對于單連體，位移單值條件通常是自然滿足的。只須滿足(2-25),(2-15)。由求應(yīng)力的公式是(2-24)2.逆解法──先滿足(2-25),再滿足(2-15)。步驟:逆解法⑴先找出滿足的解⑶在給定邊界形狀S下，由式(2-15)反推出各邊界上的面力，⑵代入(2-24),求出從而得出，在面力(e)作用下的解答，就是上述和應(yīng)力。逆解法逆解法沒有針對性，但可以積累基本解答。例2二次式，分別表示常量的應(yīng)力和邊界面力。如圖示。例1一次式對應(yīng)于無體力，無面力，無應(yīng)力狀態(tài)。故應(yīng)力函數(shù)加減一次式，不影響應(yīng)力。逆解法2a2aoyxoyxoyxbbbb2c2c⑶代入，解出；3.半逆解法

步驟：半逆解法⑵由應(yīng)力(2-24)式，推測的函數(shù)形式；⑴假設(shè)應(yīng)力的函數(shù)形式（根據(jù)受力情況，邊界條件等）；⑷由式（2-24），求出應(yīng)力；半逆解法⑸校核全部應(yīng)力邊界條件（對于多連體，還須滿足位移單值條件）。如能滿足，則為正確解答；否則修改假設(shè)，重新求解?！?-2矩形梁的純彎曲梁l×h×1，無體力，只受M作用（力矩/單寬，與力的量綱相同）。本題屬于純彎曲問題。問題提出

h/2

h/2lyx(l>>h)oMM⑴由逆解法得出，可取，且滿足⑵求應(yīng)力(a)求解步驟：本題是平面應(yīng)力問題,且為單連體，若按求解，應(yīng)滿足相容方程及上的應(yīng)力邊界條件。⑶檢驗(yàn)應(yīng)力邊界條件，原則是:邊界條件b.后校核次要邊界（小邊界），若不能精確滿足應(yīng)力邊界條件，則應(yīng)用圣維南原理，用積分的應(yīng)力邊界條件代替。a.先校核主要邊界（大邊界），必須精確滿足應(yīng)力邊界條件。主要邊界

從式(a)可見，邊界條件(b)均滿足。滿足。主要邊界次要邊界

x=0,l,(c)的邊界條件無法精確滿足。次要邊界用兩個(gè)積分的條件代替當(dāng)時(shí)，即使在邊界上面力不同于的分布，其誤差僅影響梁的兩端部分上的應(yīng)力。式(d)的第一式自然滿足，由第二式得出最終得應(yīng)力解(e)§3-3位移分量的求出

在按應(yīng)力求解中，若已得出應(yīng)力，如何求出位移？以純彎曲問題為例，已知試求解其位移。問題提出1.由物理方程求形變求形變2.代入幾何方程求位移求位移⑴對式(a)兩邊乘積分,⑵對式(b)兩邊乘積分,求位移⑶再代入(c),并分開變量，上式對任意的x,y

都必須成立，故兩邊都必須為同一常量。求位移由此剖解出求位浴移得出格位移靠為3.禁待定鄭的剛彎體位株移分冶量柴，須由殖邊界東約束刊條件監(jiān)來確排定。2.辣代入確幾何勺方程計(jì)，積描分求聲；歸納首：從應(yīng)維力求嫌位移耀步驟藏：3.繪由邊距界約和束條井件確索定確搬定剛夕體位綠移分局量由物術(shù)理方秤程求科出形密變；2.搜鉛蹤蝶直線億的轉(zhuǎn)取角故在美任一仙截面x處，融平面判截面衡假設(shè)做成立羨。純彎票曲問趨題的趣討論街：1.埋彎塊應(yīng)力擁與材鋤料力書學(xué)的安解相券同。3.縱師向纖龍維的跑曲率沙同材率料力雷學(xué)的貌結(jié)果。隱故在純席彎曲蠻情況罰下，涂彈性刷力學(xué)六解與建材料雞力學(xué)解擊相同朋?！?撞-4液簡支叮梁受植均布衫荷載簡支所梁傘，隸受均忙布荷乒載壺及兩擺端支竊撐反獻(xiàn)力膠。。問題yxollh/損2h/剃2現(xiàn)采岔用此欲假設(shè)。半逆蠅解法按半逆來解法求解胳。⑴寇假設(shè)渴應(yīng)力顫分量芳。由乘材料低力學(xué)因?yàn)橐驗(yàn)樗匀?，可驢假設(shè)所以留，可漏假設(shè)因?yàn)樗詺?，可雨假設(shè)⑵郵由應(yīng)串力分毅量推冬出應(yīng)欄力函懇數(shù)的數(shù)形式百。由對x積分尸，對x再積柴分，(a)半逆說解法⑶琴將若代造入相些容方鹿程，湊求解怕:相容松方程指對于銳任何咐均應(yīng)木滿足濤,故的系件數(shù)均喚應(yīng)等偏于0捐，由遷此得勤三個(gè)嶺常微鍬分方眠程。半逆攀解法式(b)中已棵略去聰對于壞的一傳次式焦。將式粗(b)代入忌式(a)短，即得帳。(b)半逆雪解法解出朽:對稱際性條網(wǎng)件─跨由于紙結(jié)構(gòu)堅(jiān)和荷乞載對棚稱于軸，猶故栗應(yīng)斜為邁的穴偶函昏數(shù)，案為x的奇疑函數(shù)壯，故罷。⑷傘由但求渣應(yīng)力騙。半逆椒解法在無竟體力喜下，鋸應(yīng)力猴公式掀如書裕中式(f),(g)等,(某h)所示叨。⑸咱考察礦邊界靠條件間。由此丟解出攜系數(shù)A腳,幼B藍(lán),門C冶,駱D偏。主要弊邊界主要自邊界次要肆邊界次要茅邊界由此宿解出H，湖K.另一戲次要眉邊界踩(x=許-l)的板條件睛，自謎然滿刮足。應(yīng)用擴(kuò)圣維寸南原轎理，共列出問三個(gè)禾積分扒條件線，最后襲應(yīng)力從解答爺：應(yīng)力應(yīng)力檔的量告級當(dāng)渾時(shí)濃,x~l同階難，y落~撲h同階旁.第一嫂項(xiàng)況同階甜,（拘與材但料力粉學(xué)解昌同）龍;第二請項(xiàng)戰(zhàn)同倍階,詢（彈確性力冰學(xué)的床修正榮項(xiàng)）同階念,企（震與材值料力現(xiàn)學(xué)解營同）應(yīng)力袖的量末級同階泄,千（垃材料渴力學(xué)圾中不猛計(jì)）當(dāng)?shù)跁r(shí)它,圍量腹級的親值很居小,菜可以僵不計(jì)幅。應(yīng)力賄與材逢料力尚學(xué)解乖比較:最主圾要量券級甚,悟和次舌要量劃級慣,赴在材孫料力常學(xué)中廉均已召反映嘆，且英與彈繭性力澇學(xué)相首同。最小堅(jiān)量級晚~陽,馬在材足料力揮學(xué)中象沒有補(bǔ)。當(dāng)御時(shí),儉僅館占主鄙項(xiàng)糟的步1/愈15瓦(麗6獨(dú)%)帶,應(yīng)力忘比較中的越彈性此力學(xué)割修正康項(xiàng)：彈性哥力學(xué)翅與材唐料力脫學(xué)的頂解法賀比較企:應(yīng)力米比較彈性飼力學(xué)免嚴(yán)格乎考慮萬并滿挖足了A內(nèi)的俗平衡雷微分斧方程相,不幾何括方程項(xiàng)和物譜理方顫程,抵以及S上的稅所有活邊界圈條件(在夠小邊街界上蔑盡管撐應(yīng)用眨了圣彼維南笑原理啟,但縱只影訓(xùn)響小皆邊界悶附近研的局好部區(qū)顫域)昏。材料吼力學(xué)別在許爬多方必面都夸作了壺近似額處理犧,所摔以得棟出的耐是近豆似解油答。幾何蹤蝶條件中引僑用平嘴截面弊假定薦－－沿絞為抖直線匪分布蔬；例如誼：邊界當(dāng)條件也沒寄有嚴(yán)果格考促慮；平衡膏條件中沒舊有考漿慮微艇分體貓的平頑衡，趙只考慮系的內(nèi)蜂力平區(qū)衡；材料們力學(xué)抗解往往童不滿藍(lán)足相列容條載件。對于淋桿件挪，材修料力張學(xué)解列法及吹解答伶具有泉足夠誰的精字度；對于社非桿土件，諷不能贏用材料壞力學(xué)解法僵求解語，應(yīng)測采用彈性績力學(xué)解法犧求解濁?！?核-5鋸楔宣形體吐受重懼力及豎液體蔽壓力設(shè)有牙楔形頸體，揭左面宮垂直雜，頂決角為α，下端燙無限客長，厲受重的力及狐齊頂兼液體剩壓力獅。oyxnαα用半逆手解法求解擱。因?yàn)橛鋺?yīng)力,而應(yīng)黎力的精量綱蜘只比高一港次（L），所以貴應(yīng)力(x抱,講y一次鋪式）野,=即可年假設(shè)漏應(yīng)力刑為x搖,娘y的一剩次式。（1茫）用量事綱分雹析法偉假設(shè)慌應(yīng)力首:（2兆）由煙應(yīng)力~關(guān)系列式，蝕應(yīng)奴為x,弦y的三騙次式胖，（3秧）滿足嚴(yán)相容罰方程（4桌）由滲求應(yīng)閑力，（5眨）考須察邊副界條龍件--本題安只有街兩個(gè)大邊界，均阻應(yīng)嚴(yán)臟格滿爪足應(yīng)蕉力邊如界條六件。x=堵0鉛直矛面，解出解出斜邊策界上基，須按豈一般企的應(yīng)傻力邊伙界條崇件來闖表示鋼，有其中由式蘿（b)解出a、b,最后噸的應(yīng)力福解答企,應(yīng)力水平向截面隨上的枝應(yīng)力索分布絲式如圖潮所示肆。楔形案體解毅答的肝應(yīng)用染:作為潔重力者壩的救參考絨解答馳；分逢許重力超壩接拉近平宗面應(yīng)隱力問吸題；在壩塵體中案部的演應(yīng)力冰，接設(shè)近楔磨形體軍的解旨答。重力狡壩規(guī)青范規(guī)追定的津解法——煤材料鵝力學(xué)館解法散（重肢力法星）.重力遣壩的診精確筆分析雜，可憶按有忙限單紀(jì)元法循進(jìn)行袍。第三槽章例疫題例題1例題2例題3例題4例題霉8例題免7例題即6例題道5例題已1設(shè)單呀位厚猾度的瘋懸臂艷梁在促左端夕受到俱集中叛力和霞力矩忘的作饒用，撐體力厚可以挖不計(jì)瓜，摧圖瞧3-牌5，特試用容應(yīng)力行函數(shù)龜求解應(yīng)力魄分量且。圖3折-5ydyyxlh/2h/2o解：本題賴是較芬典型遣的例英題，傅已經(jīng)仇給出染了應(yīng)眠力函難數(shù)連，可類按下準(zhǔn)列步算驟求冠解。1.缺將急代保入相頂容方聾程，藍(lán)顯然刃是滿斗足的毅。2.松將難代痛入式你(2續(xù)-2攻4)牽，求或出應(yīng)痰力分櫻量?？疾烀C邊界坦條件尸：主要狡邊界枯上應(yīng)爽精確峽滿足謹(jǐn)式(緊2-贏15帖),在次由要邊園界x=0上，背只給捷出了喊面力爪的主寧矢量繭和主晝矩，蓮應(yīng)用巨圣維奸南原全理，稿用三畜個(gè)積獸分的附邊界釋條件味代替足。注意x=0是負(fù)x面，喇圖3貫-5告中表銷示了恨負(fù)x面上誦的撲的媽正方怠向，肉由此塔得：由(a)物,(勇b)解出最后叉一個(gè)綁次要駱邊界膽條件回(x=娛l上)，在平跟衡微宇分方井程和干上述摔邊界幕條件油均已肝滿足緞的條當(dāng)件下拖，是墓必然夫滿足葛的，妥故不石必再救校核糖。代入犧應(yīng)力螺公式嗽，得例題2擋水框墻的叔密度肯為治，德厚度蟻為b,圖示孫,水帆的密昨度為改，滑試求少應(yīng)力駕分量哄。yox解：用半逆列解法求解近。假設(shè)針應(yīng)力箱分量搶的函牛數(shù)形厚式。因?yàn)轱炘趛=露-b耗/2邊界最上，y=叨b/2邊界欲上，垮，系所以聚可假移設(shè)在妨區(qū)域掩內(nèi)沿x向問也是煙一次要式變喊化，轉(zhuǎn)即2.姜按應(yīng)等力函填數(shù)的以形式電，由著推盈測彩的形恢式，所以3.其由相唇容方爬程求巴應(yīng)力雄函數(shù)摘。代拼入溪得要使資上式終在任塌意的x處都揪成立嘉，必只須代入脫，誦即得接應(yīng)力回函數(shù)哈的解礎(chǔ)答，推其中游已略霉去了晶與應(yīng)校力無樸關(guān)的亦一次姿式。4.墳由堅(jiān)應(yīng)力觸函數(shù)禾求解東應(yīng)力權(quán)分量銜。將森代合入式辮(2伸-2品4)棒,注意，抓體力冶求得庸應(yīng)力濤分量速為考察定邊界云條件質(zhì)：主要來邊界上,漫有得得得由上匆式得升到求解鳥各系陜數(shù)，良由得得得得由此磨得又有代入A,得在次要眉邊界（小覽邊界綱）x=0上，墊列出廚三個(gè)砍積分威的邊碑界條斃件：由式感(g),炮(h)解出代入脖應(yīng)力明分量平的表容達(dá)式糾得最馬后的粒應(yīng)力壘解答韻：例題3已知試問術(shù)它們?nèi)缒芊褚嘧鳛樨毱矫嫣褑栴}叉的應(yīng)污力函窮數(shù)？解：作為照應(yīng)力乎函數(shù)不，必?fù)漤毷遵{先滿鏈足相恐容方丈程，將遇代入屢，(a)其中A=攜0，才可合能成徒為應(yīng)逮力函貿(mào)數(shù)；(b紐奉)必須耳滿足抗3(A+E)+C=0股,才可凝能成毅為應(yīng)鴉力函淘數(shù)。例題4圖中僵所示毀的矩搭形截絨面柱遷體，鋼在頂幸部受泥有集無中力F和力眨矩叨的段作用還，試細(xì)用應(yīng)遠(yuǎn)力函其數(shù)求解附圖示譯問題創(chuàng)的應(yīng)朽力及春位移隱，設(shè)爺在A點(diǎn)的居位移據(jù)和轉(zhuǎn)棍角均驕為零償。bbAyxhOFFb/2解：應(yīng)用塵應(yīng)力國函數(shù)父求解送：(1似)掏校甲核穗相容棕方程曬，滿士足.(2辜)賭求自應(yīng)力努分量岔，怠在無賣體力溝時(shí)，砌得(3疊)衡考狡察主要湊邊界矮條件，均已豬滿足考察次要紛邊界婦條件，在y=0上，滿足脾。得得上述謹(jǐn)應(yīng)力師已滿寸足了撥和全延部邊凈界條癢件，責(zé)因而監(jiān)是上門述問器題的憤解。代入璃，得另應(yīng)力灰的解愉答，(4衫)星求應(yīng)神變分劃量，(5景)糧求位舒移分押量，將u,v代入偷幾何抬方程延的第男三式笨，兩邊丑分離策變量桑，并仗全都旬等于常數(shù)臂，即從上架式分咱別積斤分，連求出代入u,v,得再由拆剛體斷約束儉條件盲，得得得代入u,v,得到丑位移姻分量境的解陸答在頂蝦點(diǎn)x=y=0洗，例題5圖中語矩形蹲截面森的簡戶支梁缸上，幟作用菜有三世角形疲分布家荷載姜。試何用下遇列應(yīng)培力函斬?cái)?shù)求解背應(yīng)力劫分量深。yxoh/臥2h/磁2l解：應(yīng)用