2021年北京市朝陽區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷

第1頁（共1頁）2021年北京市朝陽區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1．（4分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝（1﹣i）2+1對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（4分）下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（）A．y＝cosx B．y＝x2 C．y＝ln|x| D．y＝ex﹣e﹣x3．（4分）已知雙曲線C：x2﹣＝1的一個焦點為（﹣2，0），則雙曲線C的一條漸近線方程為（）A．x+y＝0 B．x+y＝0 C．x+y﹣1＝0 D．x+y﹣1＝04．（4分）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分圖象如圖所示，則f（x）的表達(dá)式為（）A． B． C． D．5．（4分）某四棱錐的三視圖如圖所示，已知網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則該四棱錐的5個面的面積中，最大的是（）A．2 B． C． D．36．（4分）設(shè)x＞0，y＞0，則“x+y＝1”是“xy≤”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．（4分）某地對生活垃圾使用填埋和環(huán)保兩種方式處理．該地2020年產(chǎn)生的生活垃圾為20萬噸，其中15萬噸以填埋方式處理，5萬噸以環(huán)保方式處理．預(yù)計每年生活垃圾的總量比前一年增加1萬噸，同時，因垃圾處理技術(shù)越來越進(jìn)步，要求從2021年起每年通過環(huán)保方式處理的生活垃圾量是前一年的q倍，若要使得2024年通過填埋方式處理的生活垃圾量不高于當(dāng)年生活垃圾總量的50%，則q的值至少為（）A． B． C． D．8．（4分）若圓O：x2+y2＝1上存在點P，直線l：y＝k（x+2）上存在點Q，使得＝，則實數(shù)k的取值范圍為（）A．[，] B．[﹣，] C．{﹣，} D．{﹣，}9．（4分）集合A＝{1，2，3，4，5}的所有三個元素的子集記為B1，B2，…，Bn（n∈N*）．記bi為集合Bi（i＝1，2，3，…，n）中的最大元素，則b1+b2+b3+…+bn＝（）A．10 B．40 C．45 D．5010．（4分）已知拋物線C的焦點F到準(zhǔn)線l的距離為2，點P是直線l上的動點．若點A在拋物線C上，且|AF|＝5，過點A作直線PF的垂線，垂足為H，則|PH|?|PF|的最小值為（）A．2 B．6 C． D．2二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）已知向量＝（2，m），＝（﹣1，2），且+2＝，則m＝．12．（5分）在等差數(shù)列{an}中，已知a2＝5，a5＝2，則a3+a5+a7+a9＝．13．（5分）已知sinα＝，則sin（2α+）＝．14．（5分）已知函數(shù)f（x）＝3x，g（x）＝|x+a|﹣2（a∈R）．若函數(shù)y＝f（g（x））是偶函數(shù)，則a＝；若函數(shù)y＝g（f（x））存在兩個零點，則a的一個取值是．15．（5分）“S”型函數(shù)是統(tǒng)計分析、生態(tài)學(xué)、人工智能等領(lǐng)域常見的函數(shù)模型，其圖象形似英文字母“S”，所以其圖象也被稱為“S“型曲線．某校生物興趣小組在0.5毫升培養(yǎng)液中放入5個大草履蟲，每隔一段時間統(tǒng)計一次大草履蟲的數(shù)量，經(jīng)過反復(fù)試驗得到大草履蟲的數(shù)量y（單位：個）與時間t（單位：小時）的關(guān)系近似為一個“S“型函數(shù)y＝．已知函數(shù)f（t）＝（t≥0）的部分圖象如圖所示，f′（t）為（t）的導(dǎo)函數(shù)．給出下列四個結(jié)論：①對任意t1∈（0，24），t3∈（96，144），存在t2∈（24，96），使得f'（t2）＞；②對任意t1∈（0，24），t3∈（96，144），存在t2∈（24，96），使得f'（t2）＝；③對任意t2∈（24，96），存在t1∈（0，24），t3∈（96，144），使得f（t2）＞；④對任意t2∈（24，96），存在t1∈（0，24），t3∈（96，144），使得f'（t2）＝．其中所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16．（13分）在△ABC中，b2+c2﹣a2＝bc．（Ⅰ）求tanA的值；（Ⅱ）若3csinA＝asinB，且△ABC的面積S＝2，求c的值．17．（14分）為迎接2022年冬奧會，某地區(qū)高一、高二年級學(xué)生參加了冬奧知識競賽．為了解知識競賽成績優(yōu)秀（不低于85分）學(xué)生的得分情況，從高一、高二這兩個年級知識競賽成績優(yōu)秀的學(xué)生中分別隨機(jī)抽取容量為15、20的樣本，得分情況統(tǒng)計如圖所示（滿分100分，得分均為整數(shù)），其中高二年級學(xué)生得分按[85，90），[90，95），[95，100]分組．（Ⅰ）從抽取的高二年級學(xué)生樣本中隨機(jī)抽取一人，求其得分不低于90分的概率；（Ⅱ）從該地區(qū)高二年級參加知識競賽成績優(yōu)秀的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，用頻率估計概率，記為取出的3人中得分不低于90分的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）由于高二年級學(xué)生樣本原始數(shù)據(jù)丟失，請根據(jù)統(tǒng)計圖信息，判斷高二年級學(xué)生樣本得分的最高分至少為多少分時，高二年級學(xué)生樣本得分的平均分一定超過高一年級學(xué)生樣本得分的平均分，并說明理由．18．（13分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四邊形AA1C1C是邊長為4的正方形，AB＝3．再從條件①、條件②、條件③中選擇兩個能解決下面問題的條件作為已知，并作答．（Ⅰ）求證：AB⊥平面AA1C1C；（Ⅱ）求直線BC與平面A1BC1所成角的正弦值．條件①：BC＝5；條件②：AB⊥AA1；條件③：平面ABC⊥平面AA1C1C．19．（15分）已知函數(shù)f（x）＝（x﹣1）ex﹣ax2+1（a∈R）．（Ⅰ）當(dāng)a＝0時，求曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）的極值點的個數(shù)，并說明理由；（Ⅲ）若對任意x∈R，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．20．（15分）已知F為橢圓C：＝1的左焦點，直線l：y＝k（x﹣2）與橢圓C交于不同的兩點M，N．（Ⅰ）當(dāng)k＝﹣時，求△FMN的面積；（Ⅱ）設(shè)直線FM，F(xiàn)N分別與直線x＝1交于兩點P、Q，線段MN，PQ的中點分別為G，H、點A（，0）．當(dāng)k變化時，證明A，G，H三點共線．21．（15分）已知各項均為整數(shù)的數(shù)列AN：a1，a2，…，aN（N≥3，N∈N*）滿足a1aN＜0，且對任意i＝2，3，…，N，都有|ai﹣ai﹣1|≤1．記S（AN）＝a1+a2+…+aN．（Ⅰ）若a1＝3，寫出一個符合要求的A6；（Ⅱ）證明：數(shù)列AN中存在ak使得ak＝0；（Ⅲ）若S（AN）是N的整數(shù)倍，證明：數(shù)列AN中存在ar，使得S（AN）＝N?ar．

2021年北京市朝陽區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷參考答案與試題解析一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1．（4分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝（1﹣i）2+1對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義即可得出．【解答】解：在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝（1﹣i）2+1＝﹣2i+1對應(yīng)的點（1，﹣2）位于第四象限，故選：D．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（4分）下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（）A．y＝cosx B．y＝x2 C．y＝ln|x| D．y＝ex﹣e﹣x【分析】根據(jù)題意，依次分析選項中函數(shù)的奇偶性，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，y＝cosx，是余弦函數(shù)，是偶函數(shù)，不符合題意，對于B，y＝x2，是二次函數(shù)，是偶函數(shù)，不符合題意，對于C，y＝ln|x|，其定義域為{x|x≠0}，有l(wèi)n|﹣x|＝lnx，是偶函數(shù)，不符合題意，對于D，y＝ex﹣e﹣x，其定義域為R，ex﹣e﹣x＝﹣（y＝ex﹣e﹣x），則函數(shù)為奇函數(shù)，符合題意，故選：D．【點評】本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，注意函數(shù)奇偶性的定義，屬于基礎(chǔ)題．3．（4分）已知雙曲線C：x2﹣＝1的一個焦點為（﹣2，0），則雙曲線C的一條漸近線方程為（）A．x+y＝0 B．x+y＝0 C．x+y﹣1＝0 D．x+y﹣1＝0【分析】利用雙曲線的焦點坐標(biāo)，求解c，然后求解b，即可求解雙曲線的漸近線方程．【解答】解：雙曲線C：x2﹣＝1的一個焦點為（﹣2，0），所以c＝2，因為a＝1，所以b＝，所以雙曲線的漸近線方程為：．故選：B．【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．4．（4分）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分圖象如圖所示，則f（x）的表達(dá)式為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）的部分圖象，求出T、ω和φ的值，即可得出f（x）的解析式．【解答】解：由函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）的部分圖象知，T＝﹣＝π，解得T＝π，所以ω＝＝2；又2×+φ＝+2kπ，k∈Z；解得φ＝+2kπ，k∈Z；由|φ|＜，所以k＝0時，φ＝滿足題意，所以f（x）＝sin（2x+）．故選：A．【點評】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．5．（4分）某四棱錐的三視圖如圖所示，已知網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則該四棱錐的5個面的面積中，最大的是（）A．2 B． C． D．3【分析】首先把三視圖和幾何體的直觀圖之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，進(jìn)一步利用幾何體的表面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為四棱錐體；如圖所示：求出：BC＝1，CD＝2，AD＝2，AB＝，PC＝2，PD＝2，AP＝2，PB＝3，在△ABP中，利用余弦定理：，故，，，，故最大面積為3．故選：D．【點評】本題考查的知識要點：三視圖和幾何體的直觀圖之間的轉(zhuǎn)換，幾何體的表面積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．6．（4分）設(shè)x＞0，y＞0，則“x+y＝1”是“xy≤”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)基本不等式的性質(zhì)和舉實例，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：①當(dāng)x+y＝1時，∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2，∴xy≤，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時取等號，∴xy≤，∴充分性成立，②當(dāng)xy≤時，比如x＝1，y＝時，xy≤成立，但x+y＝1不成立，∴必要性不成立，∴x+y＝1是xy≤的充分不必要條件．故選：A．【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．7．（4分）某地對生活垃圾使用填埋和環(huán)保兩種方式處理．該地2020年產(chǎn)生的生活垃圾為20萬噸，其中15萬噸以填埋方式處理，5萬噸以環(huán)保方式處理．預(yù)計每年生活垃圾的總量比前一年增加1萬噸，同時，因垃圾處理技術(shù)越來越進(jìn)步，要求從2021年起每年通過環(huán)保方式處理的生活垃圾量是前一年的q倍，若要使得2024年通過填埋方式處理的生活垃圾量不高于當(dāng)年生活垃圾總量的50%，則q的值至少為（）A． B． C． D．【分析】由題意分析可知，2024年的生活垃圾為24萬噸，根據(jù)題意列出不等關(guān)系，即可解出．【解答】解：由題意可知2024年的生活垃圾為24萬噸，有題意可知2024年通過環(huán)保方式處理的生活垃圾量為5×q4（萬噸），∴，解得：，故選：C．【點評】本題考查了函數(shù)的實際應(yīng)用，方程思想，學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（4分）若圓O：x2+y2＝1上存在點P，直線l：y＝k（x+2）上存在點Q，使得＝，則實數(shù)k的取值范圍為（）A．[，] B．[﹣，] C．{﹣，} D．{﹣，}【分析】利用已知條件推出直線與圓相交，轉(zhuǎn)化為圓的到直線的距離小于等于半徑，轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：圓O：x2+y2＝1上存在點P，直線l：y＝k（x+2）上存在點Q，使得＝，可得：≤1，解得k∈[﹣，]．故選：B．【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題．9．（4分）集合A＝{1，2，3，4，5}的所有三個元素的子集記為B1，B2，…，Bn（n∈N*）．記bi為集合Bi（i＝1，2，3，…，n）中的最大元素，則b1+b2+b3+…+bn＝（）A．10 B．40 C．45 D．50【分析】本題可以用列舉法分析問題，但是用排列組合知識求解更簡單．【解答】解：由題意知：集合A中含三個元素的子集共個，∴n＝10，則在集合Bi中含最大元素為3的共有1個，在集合Bi中含最大元素為4的共有＝3個，在集合Bi中含最大元素為5的共有＝6個，∴3×1+4×3+5×6＝45，故選：C．【點評】本題考查子集的問題，借助排列組合知識來分析求解更好．10．（4分）已知拋物線C的焦點F到準(zhǔn)線l的距離為2，點P是直線l上的動點．若點A在拋物線C上，且|AF|＝5，過點A作直線PF的垂線，垂足為H，則|PH|?|PF|的最小值為（）A．2 B．6 C． D．2【分析】方法一：由題意首先求得拋物線的方程，設(shè)出直線PF與AH的方程，求出點H的坐標(biāo)，根據(jù)點與點的距離公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出．方法二：由方法一可得A（4，4），F(xiàn)（1，0），設(shè)P（﹣1，t），根據(jù)向量的投影的定義即可求出．【解答】解：方法一：∵拋物線C的焦點F到準(zhǔn)線l的距離為2，∴p＝2，∴拋物線方程為y2＝4x，∴F1（1，0），準(zhǔn)線x＝﹣1，設(shè)A（x1，y1），∵點A在拋物線C上，且|AF|＝5，∴x1+＝5，∴x1＝4，∴A（4，4），設(shè)直線PF：x＝my+1，①，直線AH：y﹣4＝﹣m（x﹣4），②，聯(lián)立方程①②可得yH＝，∴|PH|＝?|﹣﹣|，|PF|＝?|﹣|，∴|PH|?|PF|＝（1+m2）?||?||＝2|5++|，設(shè)＝t，則|PH|?|PF|＝2|2t2+4t+5|＝2|2（t+1）2+3|＝4（t+1）2+6，當(dāng)t＝﹣1，即m＝﹣1時，|PH|?|PF|取得的最小值6，方法二：由方法一可得A（4，4），F(xiàn)（1，0），設(shè)P（﹣1，t），∴＝（5，4﹣t），＝（2，﹣t），∴||?||＝||??||＝?＝10﹣t（4﹣t）＝t2﹣4t+10＝（t﹣2）2+6≥6，當(dāng)且僅當(dāng)t＝2時，取得最小值，最小值為6．故選：B．【點評】本題考查了根據(jù)拋物線的弦長求參數(shù)，拋物線中最短距離，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）已知向量＝（2，m），＝（﹣1，2），且+2＝，則m＝﹣4．【分析】根據(jù)向量的運算性質(zhì)計算即可．【解答】解：∵＝（2，m），＝（﹣1，2），且+2＝，∴+2＝（2，m）+2（﹣1，2）＝（0，m+4）＝，∴m+4＝0，解得：m＝﹣4，故答案為：﹣4．【點評】本題考查了向量的坐標(biāo)運算，是基礎(chǔ)題．12．（5分）在等差數(shù)列{an}中，已知a2＝5，a5＝2，則a3+a5+a7+a9＝4．【分析】直接利用已知條件建立方程組求出數(shù)列的通項公式．【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d，∵a2＝5，a5＝2，∴，解得a1＝6，d＝﹣1，∴an＝7﹣n，∴a3+a5+a7+a9＝4a6＝4，故答案為：4．【點評】本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分）已知sinα＝，則sin（2α+）＝．【分析】由已知利用誘導(dǎo)公式，二倍角公式化簡所求即可得解．【解答】解：因為sinα＝，所以sin（2α+）＝cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×＝．故答案為：．【點評】本題主要考查了誘導(dǎo)公式，二倍角公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）已知函數(shù)f（x）＝3x，g（x）＝|x+a|﹣2（a∈R）．若函數(shù)y＝f（g（x））是偶函數(shù)，則a＝0；若函數(shù)y＝g（f（x））存在兩個零點，則a的一個取值是﹣3．【分析】f（g（x））＝3|x+a|﹣2為偶函數(shù)，則|x+a|＝|﹣x+a|，由此解得a的值；g（f（x））＝|3x+a|﹣2，a≥0時，顯然不合題意，則a＜0，故，則g（f（x））min＝g（log3（﹣a））＝﹣2＜0，【解答】解：f（g（x））＝3|x+a|﹣2為偶函數(shù)，則f（g（﹣x））＝3|﹣x+a|﹣2＝f（g（x）），∴|x+a|＝|﹣x+a|，則a＝0；g（f（x））＝|3x+a|﹣2，①若a≥0，則g（f（x））＝3x+a﹣2在R上為增函數(shù)，至多有一個零點，不合題意；②若a＜0，則，則g（f（x））min＝g（log3（﹣a））＝﹣2＜0，又x＜log3（﹣a）時，﹣3x﹣a＜﹣a，∴﹣a﹣2＞0，解得a＜﹣2，∴a的一個取值可以是﹣3（答案不唯一）．故答案為：0；﹣3．【點評】本題考查函數(shù)零點與方程根的關(guān)系，考查偶函數(shù)的定義，考查分類討論思想及運算求解能力，屬于中檔題．15．（5分）“S”型函數(shù)是統(tǒng)計分析、生態(tài)學(xué)、人工智能等領(lǐng)域常見的函數(shù)模型，其圖象形似英文字母“S”，所以其圖象也被稱為“S“型曲線．某校生物興趣小組在0.5毫升培養(yǎng)液中放入5個大草履蟲，每隔一段時間統(tǒng)計一次大草履蟲的數(shù)量，經(jīng)過反復(fù)試驗得到大草履蟲的數(shù)量y（單位：個）與時間t（單位：小時）的關(guān)系近似為一個“S“型函數(shù)y＝．已知函數(shù)f（t）＝（t≥0）的部分圖象如圖所示，f′（t）為（t）的導(dǎo)函數(shù)．給出下列四個結(jié)論：①對任意t1∈（0，24），t3∈（96，144），存在t2∈（24，96），使得f'（t2）＞；②對任意t1∈（0，24），t3∈（96，144），存在t2∈（24，96），使得f'（t2）＝；③對任意t2∈（24，96），存在t1∈（0，24），t3∈（96，144），使得f（t2）＞；④對任意t2∈（24，96），存在t1∈（0，24），t3∈（96，144），使得f'（t2）＝．其中所有正確結(jié)論的序號是①②．【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象作出導(dǎo)數(shù)的圖象，根據(jù)切線的變化刻畫出導(dǎo)數(shù)的圖象、研究導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合能求出結(jié)果．【解答】解：根據(jù)函數(shù)的圖象知導(dǎo)數(shù)的圖象如下圖所示：設(shè)導(dǎo)數(shù)f′（t）在t＝t0取最大值，結(jié)合f（t）的圖象可知24＜t0＜96，且當(dāng)t∈（0，t0）時，f′（t）為增函數(shù)，在（t0，+∞）上f′（t）為減函數(shù)，對于①，任意t1∈（0，24），t3∈（96，144），取t2＝t0，則，故①成立；對于②，設(shè)A（t1，f（t1）），B（t2，f（t2）），由f（t）的圖象的性質(zhì)可平移直線B至C處，此時平移后的直線與f（t）圖象相切，且xC∈（24，96），取t2＝xC，∴，故②正確；對于③，取如圖所示的t3，設(shè)Q（t3，f（t3）），S（t3，），過S作橫軸的平行線，交f（t）的圖象于T，由函數(shù)的圖象特征可得xT∈（24，96），取t2＝xT，則2f（t2）＝f（t3）＜f（t1）+f（t3），故③不成立；對于④，取N（t0，f（t0）），（t0為①中f′（t）最大值點），則過N的切線“穿過”曲線y＝f（x），曲線上不存在與該切線平行的割線，否則與導(dǎo)數(shù)存在唯一的最大值點矛盾，故④錯誤．故答案為：①②．【點評】本題考查命題真假的判斷，考查導(dǎo)數(shù)的原函數(shù)的圖象、切線的變化刻畫出導(dǎo)數(shù)的圖象、研究導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是難題．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16．（13分）在△ABC中，b2+c2﹣a2＝bc．（Ⅰ）求tanA的值；（Ⅱ）若3csinA＝asinB，且△ABC的面積S＝2，求c的值．【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理可求cosA的值，結(jié)合范圍A∈（0，π），利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解．（Ⅱ）由已知利用正弦定理可求b＝c，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解c的值．【解答】解：（Ⅰ）因為b2+c2﹣a2＝bc，所以cosA＝＝，因為A∈（0，π），所以sinA＝＝＝，可得tanA＝＝．（Ⅱ）因為3csinA＝asinB，由正弦定理可得3ac＝ab，所以b＝c，因為△ABC的面積S＝2＝bcsinA，可得×＝2，所以c2＝8，所以c＝2．【點評】本題主要考查了余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦定理，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．17．（14分）為迎接2022年冬奧會，某地區(qū)高一、高二年級學(xué)生參加了冬奧知識競賽．為了解知識競賽成績優(yōu)秀（不低于85分）學(xué)生的得分情況，從高一、高二這兩個年級知識競賽成績優(yōu)秀的學(xué)生中分別隨機(jī)抽取容量為15、20的樣本，得分情況統(tǒng)計如圖所示（滿分100分，得分均為整數(shù)），其中高二年級學(xué)生得分按[85，90），[90，95），[95，100]分組．（Ⅰ）從抽取的高二年級學(xué)生樣本中隨機(jī)抽取一人，求其得分不低于90分的概率；（Ⅱ）從該地區(qū)高二年級參加知識競賽成績優(yōu)秀的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，用頻率估計概率，記為取出的3人中得分不低于90分的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）由于高二年級學(xué)生樣本原始數(shù)據(jù)丟失，請根據(jù)統(tǒng)計圖信息，判斷高二年級學(xué)生樣本得分的最高分至少為多少分時，高二年級學(xué)生樣本得分的平均分一定超過高一年級學(xué)生樣本得分的平均分，并說明理由．【分析】（Ⅰ）設(shè)事件A：從抽取的高二年級學(xué)生樣本中隨機(jī)抽取一人，其得分不低于90分．利用古典概率計算公式即可得出P（A）．（II）由（I）可知：從該地區(qū)高二年級參加知識競賽成績優(yōu)秀的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，其得分不低于90分的概率為0.4．由題意可得：X～B（3，0.4），X的可能取值為0，1，2，3．利用二項分布列概率計算公式即可得出分布列，進(jìn)而得出數(shù)學(xué)期望．（III）由題意可得：高一年級學(xué)生樣本得分的平均分＝87.5．設(shè)高二年級學(xué)生樣本得分的最高分為m，由圖可知：要使得高二年級學(xué)生樣本得分的平均分一定超過高一年級樣本得分的平均分，只需＞87.4，解得m即可得出結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)事件A：從抽取的高二年級學(xué)生樣本中隨機(jī)抽取一人，其得分不低于90分．則P（A）＝＝．∴從抽取的高二年級學(xué)生樣本中隨機(jī)抽取一人，其得分不低于90分的概率為．（II）由（I）可知：從該地區(qū)高二年級參加知識競賽成績優(yōu)秀的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，其得分不低于90分的概率為0.4．由題意可得：X～B（3，0.4），X的可能取值為0，1，2，3．∴P（X＝0）＝×0.40×0.63＝0.216；P（X＝1）＝×0.41×0.62＝0.432；P（X＝2）＝×0.42×0.6＝0.288；P（X＝3）＝×0.43＝0.064．可得X分布列：X0123P0.2160.4320.2880.064E（X）＝3×0.4＝1.2．（III）由題意可得：高一年級學(xué)生樣本得分的平均分＝＝＝87.5．設(shè)高二年級學(xué)生樣本得分的最高分為m，由圖可知：要使得高二年級學(xué)生樣本得分的平均分一定超過高一年級樣本得分的平均分，只需＞87.4，解得m＞98．∴高二年級學(xué)生樣本得分的最高分至少為99分時，高二年級學(xué)生樣本得分的平均分一定超過高一年級學(xué)生樣本得分的平均分．【點評】本題考查了二項分布列及其數(shù)學(xué)期望的計算公式、平均分計算公式、古典概率計算公式、頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．18．（13分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四邊形AA1C1C是邊長為4的正方形，AB＝3．再從條件①、條件②、條件③中選擇兩個能解決下面問題的條件作為已知，并作答．（Ⅰ）求證：AB⊥平面AA1C1C；（Ⅱ）求直線BC與平面A1BC1所成角的正弦值．條件①：BC＝5；條件②：AB⊥AA1；條件③：平面ABC⊥平面AA1C1C．【分析】（Ⅰ）若選擇①②，先由勾股定理可得AB⊥AC，再結(jié)合AB⊥AA1，AC∩AA1＝A，即可得證；若選擇①③，先由勾股定理可得AB⊥AC，再利用面面垂直的性質(zhì)定理即可得證；（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求得各點的坐標(biāo)，進(jìn)而求得平面A1BC1的法向量，再利用向量的夾角公式求解即可．【解答】解：若選擇①②，（Ⅰ）證明：∵AC＝4，AB＝3，BC＝5，∴AB⊥AC，又∵AB⊥AA1，AC∩AA1＝A，∴AB⊥平面AA1C1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AB⊥AC，AB⊥AA1，∵四邊形AA1C1C是正方形，∴AC⊥AA1，如圖，以A為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（3，0，0），C（0，0，4），A1（0，4，0），C1（0，4，4），∴，設(shè)平面A1BC1的一個法向量為，則，則可取，設(shè)直線BC與平面A1BC1所成角為θ，則，∴直線BC與平面A1BC1所成角的正弦值為．若選擇①③，（Ⅰ）證明：∵AC＝4，AB＝3，BC＝5，∴AB⊥AC，又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，∴AB⊥平面AA1C1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AB⊥AC，AB⊥AA1，∵四邊形AA1C1C是正方形，∴AC⊥AA1，如圖，以A為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（3，0，0），C（0，0，4），A1（0，4，0），C1（0，4，4），∴，設(shè)平面A1BC1的一個法向量為，則，則可取，設(shè)直線BC與平面A1BC1所成角為θ，則，∴直線BC與平面A1BC1所成角的正弦值為．【點評】本題考查線面垂直的判定以及利用空間向量求解線面角的正弦值，考查邏輯推理能力以及運算求解能力，屬于中檔題．19．（15分）已知函數(shù)f（x）＝（x﹣1）ex﹣ax2+1（a∈R）．（Ⅰ）當(dāng)a＝0時，求曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）的極值點的個數(shù)，并說明理由；（Ⅲ）若對任意x∈R，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．【分析】（Ⅰ）代入a的值，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f（1），f′（1），求出切線方程即可；（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值點的個數(shù)即可；（Ⅲ）通過討論a的范圍，求出函數(shù)的最小值，確定a的取值范圍即可．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a＝0時，f（x）＝（x﹣1）ex+1，f（1）＝1，又f′（x）＝ex+（x﹣1）ex＝xex，故f′（1）＝e，故曲線y＝f（x）在點（0，f（1））處的切線方程是ex﹣y+1﹣e＝0；（Ⅱ）∵f（x）＝（x﹣1）ex﹣ax2+1，∴f′（x）＝xex﹣ax＝x（ex﹣a），（i）當(dāng)a≤0時，有ex﹣a＞0，令f′（x）＝0，解得：x＝0，x，f′（x），f（x）的變化如下：x（﹣∞，0）0（0，+∞）f′（x）﹣0+f（x）遞減極小值遞增∴當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）只有1個極值點，（ii）當(dāng)a＞0時，令f′（x）＝0，解得：x＝0或x＝lna，①當(dāng)0＜a＜1時，lna＜0，x，f′（x），f（x）的變化如下：x（﹣∞，lna）lna（lna，0）0（0，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）遞增極大值遞減極小值遞增故當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)f（x）有2個極值點，②當(dāng)a＝1時，f′（x）＝x（ex﹣1）≥0恒成立，故f（x）在R上單調(diào)遞增，故當(dāng)a＝1時，函數(shù)f（x）無極值點，③當(dāng)a＞1時，lna＞0，x，f′（x），f（x）的變化如下：x（﹣∞，0）0（0，lna）lna（lna，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）遞增極大值遞減極小值遞增故當(dāng)a＞1時，函數(shù)f（x）有2個極值點，綜上：當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）有1個極值點，當(dāng)0＜a＜1或a＞1時，函數(shù)f（x）有2個極值點，當(dāng)a＝1時，函數(shù)f（x）無極值點；（Ⅲ）（1）若a≤0，由（Ⅱ）可知，f（x）在（﹣∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，故f（x）≥f（x）min＝f（0）＝0，故a≤0符合題意，（2）若a＞0，當(dāng)x＜0時，∵（x﹣1）ex＜0，∴f（x）＝（x﹣1）ex﹣ax2+1＜﹣ax2+1，又f（﹣）＜﹣a+1＝0，故f（x）≥0不恒成立，故a＞0不合題意，綜上：a的取值范圍是（﹣∞，0]．【點評】本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是難題．20．（15分）已知F為橢圓C：＝1的左焦點，直線l：y＝k（x﹣2）與橢圓C交于不同的兩點M，N．（Ⅰ）當(dāng)k＝﹣時，求△FMN的面積；（Ⅱ）設(shè)直線FM，F(xiàn)N分別與直線x＝1交于兩點P、Q，線段MN，PQ的中點分別為G，H、點A（，0）．當(dāng)k變化時，證明A，G，H三點共線．【分析】（Ⅰ）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，解得交點M，N，|MN|，結(jié)合點到直線的距離公式和三角形大面積公式，可得所求值；（Ⅱ）聯(lián)立直線l的方程和橢圓方程，運用判別式大于0和韋達(dá)定理，結(jié)合直線的斜率公式和中點坐標(biāo)公式，三點共線的條件，即可得證．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)k＝﹣時，由，解得M（0，1），N（，），|MN|＝＝，因為F（﹣1，0）到直線y＝﹣（x﹣2）的距離為d＝，所以△FMN的面積為|MN|d＝××＝1；（Ⅱ）證明：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），由，可得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2＝0，由Δ＝（﹣8k2）2﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）＞0，解得k2＜，所以x1+x2＝，x1x2＝，y1y2＝k（x1+x2﹣4）＝﹣，所以G（，），由題意可得k2≠，直線AG的斜率kAG＝＝，直線FM的方程為y＝（x+1），則點P的坐標(biāo)為（1，），同理可得Q（1，），因為+＝＝＝，所以H（1，），所以直線AH的斜率kAH＝＝，因為kAG＝kAH，所以A，G，H三點共線．【點評】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，以及直線和橢圓的位置關(guān)系，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．21．（15分）已知各項均為整數(shù)的數(shù)列AN：a1，a2，…，aN（N≥3，N∈N*）滿足a1aN＜0，且對任意i＝2，3，…，N，都有|a