2020-2021學(xué)年上海市閔行區(qū)七寶中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2020-2021學(xué)年上海市閔行區(qū)七寶中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、填空題1．（3分）已知n∈N*，若，則n＝．2．（3分）直線（t為參數(shù)）的傾斜角為．3．（3分）在狂歡節(jié)上，有六名同學(xué)想報名參加三個智力項目，每項限報一人，且每人至多參加一項，每個項目都有人報名，則共有種不同的報名方法．4．（3分）已知A（1，0，0），B（2，3，1），C（3，0，2），則在上的投影為．5．（3分）如圖，矩形O'A'B'C'是水平放置的平面圖形OABC的直觀圖，其中O'A'＝6，O'C'＝3，則原圖形OABC的面積為．6．（3分）已知，，是空間三個不共面的向量，下列各組向量中不共面的是．①l，m，n（lmn≠0）；②+2，2+3，﹣9+3；③+2，+2，+2．7．（3分）公元前3世紀，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德研究過自然數(shù)的平方和，并得到公式12+22+32+?+n2＝．執(zhí)行如圖所示的程序，若輸出的結(jié)果為6，則判斷框中的實數(shù)k的取值范圍是．8．（3分）北緯30°線貫穿四大文明古國：是一條神秘而又奇特的緯線．在這條緯線附近有神秘的百慕大三角、著名的埃及金字塔、世界最高峰珠穆朗瑪峰、長江等，沿地球北緯30°線前行，會發(fā)現(xiàn)許多奇妙且神秘的自然是觀，在地球北緯30°圈上有A，B兩地，它們的經(jīng)度相差180°，A，B兩地沿緯線圈的弧長與A，B兩地的球面距離之比為．9．（3分）已知PA⊥矩形ABCD所在平面，且P到B，C，D三點的距離分別是，，，則P到矩形對角線BD的距離等于．10．（3分）已知a∈（1，），若不等式組表示的平面區(qū)域的面積為f（a），則f（a）＝．11．（3分）方程ay＝b2x2+c中的a，b，c∈{﹣3，﹣2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有條．12．（3分）小明在研究三棱錐的時候，發(fā)現(xiàn)下面一個真命題，在三棱錐A﹣BCD中，已知∠BAC＝α，∠CAD＝β，∠DAB＝γ（如圖），設(shè)二面角B﹣AC﹣D的大小為θ，則cosθ＝，其中f（γ）是一個與γ有關(guān)的代數(shù)式，請寫出符合條件的f（γ）＝．二、選擇題13．（3分）在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為（）A． B． C． D．14．（3分）參數(shù)方程（t為參數(shù)）表示的曲線是（）A．雙曲線 B．雙曲線的下支 C．雙曲線的上支 D．圓15．（3分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，下列結(jié)論正確的是（）①向量與的夾角是60°；②；③；④正方體ABCD﹣A1B1C1D1的體積為．A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④16．（3分）兩個相同的正四棱錐底面重合組成一個八面體，可放于棱長為1的正方體中，重合的底面與正方體的某一個圖平行，各頂點均在正方體的表面上（如圖），該八面體的體積可能值有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．無數(shù)個三、解答題17．（14分）如圖，已知點P在圓柱OO′的底面圓O上，∠AOP＝120°，圓O的直徑AB＝4，圓柱的高OO′＝3．（1）求圓柱的表面積和三棱錐A′﹣APB的體積；（2）求點A到平面A′PB的距離．18．（14分）2021年3月25日《人民日報》報道：“作為世界最大棉花消費國、第二大棉花生產(chǎn)國，我國2020﹣2021年度棉花產(chǎn)量約595萬噸．其中，新疆棉產(chǎn)量520萬噸，占國內(nèi)總產(chǎn)量約87%．除了新疆，河南、河北、山東、湖北等也是我國的棉花主要產(chǎn)地．”某公司為響應(yīng)國家扶貧號召，為某小型紡織工廠提供資金和技術(shù)的支持，并搭建銷售平臺．現(xiàn)該公司為該廠提供新疆棉2.5噸，河南棉12噸．該工廠打算生產(chǎn)兩種不同類型的抱枕，A款抱枕需要新疆棉100g，河南棉300g，B款抱枕需要新疆棉50g，河南棉400g，且一個A款抱枕的利潤為10元，一個B款抱枕的利潤為8元．假設(shè)工廠所生產(chǎn)的抱枕可全部售出．（1）求工廠生產(chǎn)A款抱枕和B款抱枕各多少個時，可獲得最大利潤，最大利潤是多少？（2）若工廠有兩種銷售方案可供選擇，方案一：自行出售抱枕，則所獲利潤需上繳公司10%；方案二：由公司代售，則公司不分抱枕類型，讓工廠每個抱枕獲得8元的利潤．請問該工廠選擇哪種方案更劃算？請說明理由．19．（14分）如圖，從左到右有5個空格．（1）若向這5個格子填入0，1，2，3，4五個數(shù)，要求每個數(shù)都要用到，且第三個格子不能填0，則一共有多少不同的填法？（2）若給這5個空格涂上顏色，要求相鄰格子不同色，現(xiàn)有紅黃藍3顏色可供使用，問一共有多少不同的涂法？（3）若向這5個格子放入7個不同的小球，要求每個格子里都有球，問有多少種不同的放法？20．（16分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1．E是PD中點．（1）求直線CE與平面ABCD所成角的大??；（2）求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值；（3）點Q是線段BP上的動點，當(dāng)直線CQ與DP所成的角最小時，求線段BQ的長．21．（18分）已知直線（t為參數(shù)，α≠kπ，k∈Z）經(jīng)過橢圓（φ為參數(shù)）的左焦點F．（1）求m的值；（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點，求|FA|?|FB|的最小值．（3）設(shè)△PQR的三個頂點在橢圓C上，求證，當(dāng)O是△PQR的重心時，△PQR的面積是定值．

2020-2021學(xué)年上海市閔行區(qū)七寶中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題1．（3分）已知n∈N*，若，則n＝5．【分析】直接利用組合數(shù)的計算公式求解即可．【解答】解：因為，所以，解得n＝5，n＝﹣4（舍）．故答案為：5．【點評】本題考查了組合數(shù)公式的應(yīng)用，考查了運算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（3分）直線（t為參數(shù)）的傾斜角為π﹣arctan2．【分析】直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，在參數(shù)方程和直角坐標方程之間進行轉(zhuǎn)換，最后利用直線的傾斜角和斜率之間的關(guān)系求出結(jié)果．【解答】解：直線（t為參數(shù)）轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為y＝1﹣2x，即y＝﹣2x+1，故tanθ＝﹣2，整理得θ＝π﹣crctan2，故答案為：π﹣arctan2．【點評】本題考查的知識要點：參數(shù)方程和直角坐標方程之間的轉(zhuǎn)換，直線的傾斜角和斜率之間的關(guān)系，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（3分）在狂歡節(jié)上，有六名同學(xué)想報名參加三個智力項目，每項限報一人，且每人至多參加一項，每個項目都有人報名，則共有120種不同的報名方法．【分析】根據(jù)題意，依次分析每個項目的報名方法，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，要求每項限報一人，且每人至多參加一項，則第一個項目有6種報名方法，第二個項目有5種報名方法，第三個項目有4種報名方法，則共有6×5×4＝120種不同的報名方法；故答案為：120．【點評】本題考查分步計數(shù)原理的應(yīng)用，注意分步、分類計數(shù)原理的不同，屬于基礎(chǔ)題．4．（3分）已知A（1，0，0），B（2，3，1），C（3，0，2），則在上的投影為．【分析】根據(jù)空間向量的坐標表示與投影的定義，計算即可．【解答】解：因為A（1，0，0），B（2，3，1），C（3，0，2），所以＝（1，3，1），＝（2，0，2），所以?＝2+0+2＝4，||＝＝2，所以在上的投影為||cosθ＝＝＝．故答案為：．【點評】本題考查了空間向量的坐標表示與投影的定義應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．5．（3分）如圖，矩形O'A'B'C'是水平放置的平面圖形OABC的直觀圖，其中O'A'＝6，O'C'＝3，則原圖形OABC的面積為36．【分析】求出直觀圖形的S′，再根據(jù)斜二測畫法規(guī)則求出原平面圖形的面積．【解答】解：矩形O'A'B'C'中，O'A'＝6，O'C'＝3，所以矩形O′A′B′C′的面積為S′＝O′A′?O′C′＝6×3＝18，所以原平面圖形OABC的面積為S＝2S′＝2×18＝36．故答案為：36．【點評】本題考查了斜二測畫法規(guī)則求出原平面圖形和對應(yīng)直觀圖的面積問題，是基礎(chǔ)題．6．（3分）已知，，是空間三個不共面的向量，下列各組向量中不共面的是①③．①l，m，n（lmn≠0）；②+2，2+3，﹣9+3；③+2，+2，+2．【分析】利用向量共面定理即可判斷出結(jié)論．【解答】解：對于①，∵，，是空間三個不共面的向量，∴l(xiāng)，m，n（lmn≠0）是不共面的向量，故①正確；對于②，假設(shè)存在實數(shù)s，t，使得﹣9+3＝s（+2）+t（2+3）＝s+（2s+2t）+3t，則s＝3，2s+2t＝0，3t＝﹣9，解得：s＝3，t＝﹣3，因此+2，2+3，﹣9+3是共面向量，故②不正確．對于③，假設(shè)存在實數(shù)s，t，使得+2＝s（+2）+t（+2）＝2t+s+（2s+t），則2t＝1，s＝2，2s+t＝0，無解，∴假設(shè)不成立，因此+2，+2，+2不共面，故③正確．故答案為：①③．【點評】本題考查了向量共面定理、方程組的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（3分）公元前3世紀，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德研究過自然數(shù)的平方和，并得到公式12+22+32+?+n2＝．執(zhí)行如圖所示的程序，若輸出的結(jié)果為6，則判斷框中的實數(shù)k的取值范圍是（55，91]．【分析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算S的值并輸出變量i的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【解答】解：模擬程序的運行，可得當(dāng)i＝5時，S＝1+22+32+42+52＝55＜k，繼續(xù)循環(huán)，當(dāng)i＝6時，S＝1+22+32+42+52+62＝91≥k，退出循環(huán)，輸出i的值為6，從而可得判斷框中的實數(shù)k的取值范圍是（55，91]．故答案為：（55，91]．【點評】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題．8．（3分）北緯30°線貫穿四大文明古國：是一條神秘而又奇特的緯線．在這條緯線附近有神秘的百慕大三角、著名的埃及金字塔、世界最高峰珠穆朗瑪峰、長江等，沿地球北緯30°線前行，會發(fā)現(xiàn)許多奇妙且神秘的自然是觀，在地球北緯30°圈上有A，B兩地，它們的經(jīng)度相差180°，A，B兩地沿緯線圈的弧長與A，B兩地的球面距離之比為．【分析】設(shè)地球半徑為r，則北緯30°圈對應(yīng)的小圓半徑為r，進而可得A，B兩地沿緯線圈的弧長，A，B兩地的球面距離，由此可得A，B兩地沿緯線圈的弧長與A，B兩地的球面距離之比為．【解答】解：設(shè)地球半徑為r，則北緯30°圈對應(yīng)的小圓半徑為，所以A，B兩地沿緯線圈的弧長，劣弧在大圓內(nèi)對應(yīng)的圓心角為，所以A，B兩地的球面距離，故A，B兩地沿緯線圈的弧長與A，B兩地的球面距離之比為．故答案為：．【點評】本題考查維度，球面距離比，解題中需要理清思路，屬于中檔題．9．（3分）已知PA⊥矩形ABCD所在平面，且P到B，C，D三點的距離分別是，，，則P到矩形對角線BD的距離等于2．【分析】設(shè)PA＝x，AB＝y(tǒng)，AD＝z，推出BC⊥PB，作AE⊥BD于E，連接PE，P到矩形對角線BD的距離為PE．轉(zhuǎn)化求解P到矩形對角線BD的距離即可．【解答】解：設(shè)PA＝x，AB＝y(tǒng)，AD＝z，因為PA⊥矩形ABCD所在平面，易得PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥BC，由BC⊥AB，AB∩PA＝A可證BC⊥平面PAB，從而BC⊥PB，在Rt△PAB中，，同理，，解得x＝1，y＝2，z＝2，所以PA＝1，AB＝2，AD＝2，所以，BD＝4，作AE⊥BD于E，連接PE，P到矩形對角線BD的距離為PE．AE＝＝，所以PE＝＝2，故答案為：2．【點評】本題考查直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，空間點、線、面距離的求法，是中檔題．10．（3分）已知a∈（1，），若不等式組表示的平面區(qū)域的面積為f（a），則f（a）＝．【分析】由題意畫出可行域，由兩個三角形面積作差得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，由圖可知B（1，0），聯(lián)立，解得A（），聯(lián)立，解得D（），聯(lián)立，解得C（2﹣a，2a﹣2）．，|AD|＝，＝，＝．∴f（a）＝＝．【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查運算求解能力，是中檔題．11．（3分）方程ay＝b2x2+c中的a，b，c∈{﹣3，﹣2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有62條．【分析】將方程轉(zhuǎn)化為拋物線形式，然后利用排列組合的知識進行求解．【解答】解：當(dāng)方程表示拋物線時，有ab≠0，故該方程等價為y＝，①若c＝0，從{﹣3，﹣2，1，2，3}，中任取2個數(shù)作為a，b的值，有種不同的方法，當(dāng)a一定，b的值互為相反數(shù)時，對應(yīng)的拋物線相同，這樣的拋物線共有4×3＝12條，重復(fù)6條，此時滿足條件的拋物線有20﹣6＝14條．②當(dāng)c≠0時，從{﹣3，﹣2，1，2，3}，中任取3個數(shù)作為a，b，c的值，有種不同的方法，當(dāng)a，c一定，b的值互為相反數(shù)時，對應(yīng)的拋物線相同，這樣的拋物線共有，重復(fù)12條，此時滿足條件的拋物線有60﹣12＝48條．綜上滿足條件的拋物線共有14+48＝62條．故答案為：62．【點評】本題主要考查排列組合知識，以及分類討論思想，利用正難則反的思想是解決本題的關(guān)鍵．12．（3分）小明在研究三棱錐的時候，發(fā)現(xiàn)下面一個真命題，在三棱錐A﹣BCD中，已知∠BAC＝α，∠CAD＝β，∠DAB＝γ（如圖），設(shè)二面角B﹣AC﹣D的大小為θ，則cosθ＝，其中f（γ）是一個與γ有關(guān)的代數(shù)式，請寫出符合條件的f（γ）＝cosγ．【分析】在平面ABC內(nèi)，作CB⊥AC于C，在平面ACD內(nèi)作CD⊥AC于C，連接BD，則∠BCD為二面角B﹣AC﹣D的平面角，大小為θ，設(shè)AB＝a，AD＝b，把BC，CD，BD用含有α，β，γ及a，b的代數(shù)式表示，利用余弦定理得答案．【解答】解：如圖，在平面ABC內(nèi)，作CB⊥AC于C，在平面ACD內(nèi)作CD⊥AC于C，連接BD，則∠BCD為二面角B﹣AC﹣D的平面角，大小為θ，設(shè)AB＝a，AD＝b，則BC＝asinα，CD＝bsinβ，BD2＝a2+b2﹣2abcosγ，∴在△BCD中，cosθ＝＝．在Rt△ACB中，AC＝cosα，在Rt△ACD中，AC＝bcosβ，∴a2cos2α＝b2cos2β＝AC2，∴a2cos2α+b2cos2β＝2AC2＝2abcosαcosβ，∴．∴f（γ）＝cosγ．故答案為：cosγ．【點評】本題考查二面角的平面角的求法，考查三角形的解法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．二、選擇題13．（3分）在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為（）A． B． C． D．【分析】由俯視圖和正視圖可以得到幾何體是一個簡單的組合體，是由一個三棱錐和被軸截面截開的半個圓錐組成，根據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)特征，得到組合體的側(cè)視圖．【解答】解：由俯視圖和正視圖可以得到幾何體是一個簡單的組合體，是由一個三棱錐和被軸截面截開的半個圓錐組成，∴側(cè)視圖是一個中間有分界線的三角形，故選：D．【點評】本題考查簡單空間圖形的三視圖，考查由三視圖看出原幾何圖形，再得到余下的三視圖，本題是一個基礎(chǔ)題．14．（3分）參數(shù)方程（t為參數(shù)）表示的曲線是（）A．雙曲線 B．雙曲線的下支 C．雙曲線的上支 D．圓【分析】直接把兩式平方作差消去參數(shù)t，注意y的范圍，即可得到曲線的形狀．【解答】解：由（t為參數(shù)），兩式平方作差可得，y2﹣x2＝4，又∵y＝et+e﹣t＞0，∴參數(shù)方程（t為參數(shù)）表示的曲線是雙曲線y2﹣x2＝4的上支．故選：C．【點評】本題考查參數(shù)方程化普通方程，注意y的范圍是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．15．（3分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，下列結(jié)論正確的是（）①向量與的夾角是60°；②；③；④正方體ABCD﹣A1B1C1D1的體積為．A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④【分析】①連接AC，D1C，可得△AD1C為等邊三角形，即可判斷出正誤；②利用++＝+＝，利用數(shù)量積運算性質(zhì)即可判斷出正誤；③?（﹣）＝?＝0，即可判斷出正誤；④利用⊥，可得?＝0，＝0，進而判斷出正誤．【解答】解：如圖，①連接AC，D1C，則△AD1C為等邊三角形，又A1B∥D1C，∴向量與的夾角是120°，不正確；②++＝+＝，∴＝＝3，正確；③?（﹣）＝?＝0，正確；④∵⊥，∴?＝0，∴＝0，而正方體ABCD﹣A1B1C1D1的體積V＝（AB）3，因此不正確．故選：B．【點評】本題考查了正方體的性質(zhì)、空間向量運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題16．（3分）兩個相同的正四棱錐底面重合組成一個八面體，可放于棱長為1的正方體中，重合的底面與正方體的某一個圖平行，各頂點均在正方體的表面上（如圖），該八面體的體積可能值有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．無數(shù)個【分析】把正子體分成兩個四棱錐，分別求兩個四棱錐的體積，根據(jù)底面的范圍，得到正子體的體積在一個取值范圍中，不是一個定值，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)ABCD與正方體的截面四邊形為A′B′C′D′，設(shè)AA′＝x（0≤x≤1），則AB′＝1﹣x，|AD|2＝x2+（1﹣x）2＝2（x﹣）2+故SABCD＝|AD|2∈[，1]V＝SABCD?h?2＝SABCD∈[，]．∴該八面體的體積可能值有無數(shù)個，故選：D．【點評】本題主要考查求棱錐的體積，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．三、解答題17．（14分）如圖，已知點P在圓柱OO′的底面圓O上，∠AOP＝120°，圓O的直徑AB＝4，圓柱的高OO′＝3．（1）求圓柱的表面積和三棱錐A′﹣APB的體積；（2）求點A到平面A′PB的距離．【分析】（1）直接由已知求得圓柱的表面積，求出三角形APB的面積，再由棱錐體積公式求三棱錐A′﹣APB的體積；（2）證明三角形A′PB為直角三角形，求其面積，再由等體積法求點A到平面A′PB的距離．【解答】解：（1）由已知可得，圓柱的底面半徑r＝2，又圓柱的高OO′＝3，∴圓柱表面積：S＝2πr2+2πrh＝2π×4+2π×2×3＝20π；∵AB為直徑，∴∠APB＝90°，在Rt△APB中，由∠AOP＝120°?∠ABP＝60°，則BP＝2，AP＝，∴，則＝；（2）設(shè)點A到平面A′PB的距離為h，由（1）知，BP＝2，AP＝，則A′P＝，由A′A⊥底面APB，AP⊥BP，可得BP⊥A′P，∴，又由（1）知，，由等體積法VA′﹣APB＝VA﹣A′PB，得2＝，解得：h＝．即點A到平面A′PB的距離為．【點評】本題考查圓柱表面積與棱錐體積的求法，訓(xùn)練了利用等體積法求點到平面的距離，考查空間想象能力與運算求解能力，是中檔題．18．（14分）2021年3月25日《人民日報》報道：“作為世界最大棉花消費國、第二大棉花生產(chǎn)國，我國2020﹣2021年度棉花產(chǎn)量約595萬噸．其中，新疆棉產(chǎn)量520萬噸，占國內(nèi)總產(chǎn)量約87%．除了新疆，河南、河北、山東、湖北等也是我國的棉花主要產(chǎn)地．”某公司為響應(yīng)國家扶貧號召，為某小型紡織工廠提供資金和技術(shù)的支持，并搭建銷售平臺．現(xiàn)該公司為該廠提供新疆棉2.5噸，河南棉12噸．該工廠打算生產(chǎn)兩種不同類型的抱枕，A款抱枕需要新疆棉100g，河南棉300g，B款抱枕需要新疆棉50g，河南棉400g，且一個A款抱枕的利潤為10元，一個B款抱枕的利潤為8元．假設(shè)工廠所生產(chǎn)的抱枕可全部售出．（1）求工廠生產(chǎn)A款抱枕和B款抱枕各多少個時，可獲得最大利潤，最大利潤是多少？（2）若工廠有兩種銷售方案可供選擇，方案一：自行出售抱枕，則所獲利潤需上繳公司10%；方案二：由公司代售，則公司不分抱枕類型，讓工廠每個抱枕獲得8元的利潤．請問該工廠選擇哪種方案更劃算？請說明理由．【分析】（1）設(shè)該工廠生產(chǎn)A款抱枕x個，B款抱枕y個時，獲得的利潤為z元，由題意列出x，y所滿足的不等式組，再由線性規(guī)劃知識求解；（2）分別計算采用方案一與方案二工廠的收益，比較大小得結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)該工廠生產(chǎn)A款抱枕x個，B款抱枕y個時，獲得的利潤為z元．則，即，目標函數(shù)z＝10x+8y，（x，y∈N）．由圖可知，當(dāng)直線z＝10x+8y經(jīng)過點（16000，18000）時，z取得最大值304000，即該工廠生產(chǎn)A款抱枕16000個，B款抱枕18000時可獲得最大利潤，最大利潤為304000元；（2）若工廠選擇方案一，則其收益為304000×（1﹣10%）＝273600元；若工廠選擇方案二，則工廠生產(chǎn)的抱枕越多越好，設(shè)其生產(chǎn)的抱枕個數(shù)為t，則t＝x+y，（x，y∈N），由（1）知即，由（1）圖可知，當(dāng)x＝16000，y＝18000時，t取得最大值，此時工廠的收益為（16000+18000）×8＝272000元，故選擇方案一更劃算．【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查運算求解能力，是中檔題．19．（14分）如圖，從左到右有5個空格．（1）若向這5個格子填入0，1，2，3，4五個數(shù)，要求每個數(shù)都要用到，且第三個格子不能填0，則一共有多少不同的填法？（2）若給這5個空格涂上顏色，要求相鄰格子不同色，現(xiàn)有紅黃藍3顏色可供使用，問一共有多少不同的涂法？（3）若向這5個格子放入7個不同的小球，要求每個格子里都有球，問有多少種不同的放法？【分析】（1）根據(jù)題意，分2步進行分析：①、分析0，易得0有4種選法；②、將其余的4個數(shù)字全排列，安排在其他四個格子中，由分步計數(shù)原理計算可得答案，（2）根據(jù)題意，依次分析5個格子的涂色方法數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案；（3）根據(jù)題意，分2步進行分析：①、將7個小球分成5組，有2種分法：即分成2﹣2﹣1﹣1﹣1的5組或分成3﹣1﹣1﹣1﹣1的5組，②、將分好的5組全排列，對應(yīng)5個空格，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，分2步進行分析：①、第三個格子不能填0，則0有4種選法；②、將其余的4個數(shù)字全排列，安排在其他四個格子中，有A44種情況，則一共有種不同的填法；（2）根據(jù)題意，第一個格子有3種顏色可選，即有3種情況，第二個格子與第一個格子的顏色不能相同，有2種顏色可選，即有2種情況，同理可得：第三、四、五個格子都有2種情況，則五個格子共有3×2×2×2×2＝48種不同的涂法；（3）根據(jù)題意，分2步進行分析：①、將7個小球分成5組，有2種分法：若分成2﹣2﹣1﹣1﹣1的5組，有種分法，若分成3﹣1﹣1﹣1﹣1的5組，有C73種分組方法，則有（+C73）種分組方法，②、將分好的5組全排列，對應(yīng)5個空格，有A55種情況，則一共有種放法．【點評】本題考查排列、組合的實際應(yīng)用，（3）要先分好5組，再對應(yīng)放到5個格子中．20．（16分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1．E是PD中點．（1）求直線CE與平面ABCD所成角的大??；（2）求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值；（3）點Q是線段BP上的動點，當(dāng)直線CQ與DP所成的角最小時，求線段BQ的長．【分析】（1）過E作EF⊥AD交AD于F，連結(jié)CF，∠ECF即為直線CE與平面ABCD所成角．通過求解三角形推出結(jié)果．（2）以A為坐標原點，分別以AB，AD，AP所在直線為x軸、y軸和z軸，說明是平面PAB的一個法向量，求出平面PCD的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值即可．（3）設(shè)直線CQ與DP所成的角為α，，設(shè)，求出，利用空間向量的數(shù)量積求解余弦函數(shù)值的表達式，利用基本不等式轉(zhuǎn)化求解最小值即可．【解答】解：（1）過E作