電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答完全版

1.根據(jù)算符的微分性與矢量性r (AB)B(A)(B)AA(B)(A r A(A)

(A)vv v

解 (AB)B(A)(B)AA(B)(A首先算符是一個(gè)微分算符其具有對(duì)其后所有表達(dá)式起微分的作用 又是一個(gè)矢量算 具有矢量的所v性 v因此利用c(ab)a(cb)(ca)b可得上式其中右邊前兩項(xiàng)是作用 根據(jù)第一個(gè)令 B可得設(shè)u是空間坐標(biāo) z的函 f(u)df A(u)urr A(u)u 1 f(u) f(u) f(u)

u

u

u

dff(u)

ex

ey

ezduxexduyey

du rA(u)

Ax(u)Ay(u)Azz(u)dAx(u)udAy(u)udAz(u)uu 3

r r

r r

Ay

Az

AxA(u)

(yz)ex(zx)ey(xy)ezAx(u r(

u u

udAzu

yy

udAxur

du duz (du dux (du duy 設(shè)r 為源點(diǎn)x'到場(chǎng)點(diǎn)x的距離r的方向規(guī)定為從證明下列結(jié)果并體會(huì)對(duì)源變數(shù)求微商(' )與對(duì)場(chǎng)變數(shù)r 微商( )的關(guān)ex ey ez

e x

yy

zz r'rr,1'1r,r0,r'r0.(r 0點(diǎn)不成立見(jiàn)第二章第五節(jié)求 r r r rrra)r(ar[E0sin(kr)]及[E0sin(kr)],其中ak及E0證明r(xx')yy(zz')rrrrrrxx'yy rrr

v )r[(axexayeyazez)(xexyeyzez)][(xx')ex(yy')ey(zz')ez

)[(xz

x'

(yy')r(z

z')ezx

x y zaaevaevx y zar)r)(r)(a

r(a)r(a))(a(a)

v

arr(a)(r) r r [E0sin(kr)][(sin(kr)]E0sin(kr)(E0)[sin(rr)

sin(rr

sin(r

r)r r

r

kr

krez)r r) r

cos(kr)(kxexkyeykzez)E0cos(kr)(kr r [E0sin(kr)][sin(kr)]E0sin(kr) VdVfSdS應(yīng) SdSLdl證明1)由定 dS r dSV即

g

gz)dV

gxdSS

gydS

gzdS [( 而VfdVyfzzfy)izfxxfzjxfyyfx)k[ r r fzj y(fzifxk)z(fxjfyi 又SdSfSfzdSyfydSz)ifxdSzfzdSxjfydSxfxdSy)k (fykfzj)dSx(fzifxk)dSy(fxjfyi)dS Hx

fykfzj,Hyfzifxk,HZfxjfy HdV dSH 定理 r r lfdlSf lfdll(fxdlxfydlyfzdlz r (

f

(

f

(

ffSr

S

fz

fx

fy r ( )

)

)( SzdSyydSzixdSzzdSxjydSxxdSy((r (r (ry

zj

z

xk

x

yi)dSfxi,fyj,fz已知一個(gè)rrr P(t)V(x,t)xdV 利用電荷守恒定律J r

dP J(x',t)dVr r r證 P x'dV''j'x'dV V r(P

'

r 'r

rr ' rr jxdV[(xj)(x)j]dVV(jx(xj xSjdV'xSr

xj S,則(xjdS0,(

S 同理(t)yjydVt)zjzdVrr dP

j(x,

m 若m是常矢量證明除 0點(diǎn)以外矢量A 的旋度等于標(biāo)量 的 度的負(fù)值

rAR m A

[m

)](m)

(mr

[()]mr

rv(mv

1,(r

)[m

)]m[r

r

[(1

v

v) vA有一內(nèi)外半徑分別為r1和r2的空心介質(zhì)球介質(zhì)的電容率為 由電荷f S解 DdSfdV S D4r24(r3r3 f (r3r3 fE

rr1 由EdS

(r2r1)f,(rr2 (r3r3 E 1fr,(rr2)30r3rrr1時(shí) 2) 0 0r

E(0 (r3r3 r3PP(0)E(0) fr] f(r1r0 PP1n

(30)(0

考慮外球殼時(shí) n從介質(zhì)1指向介質(zhì) 介質(zhì)指向真 P2nr3r

0r3r2PP1n(0 1frrr(12

) 1考慮到內(nèi)球殼時(shí)

r3r P(0 1frrr 內(nèi)外半徑分別為r1和r2的無(wú)窮長(zhǎng)中空導(dǎo)體圓柱沿軸向流有恒定均勻自由電流Jf導(dǎo)體的磁導(dǎo)率為 lHdlIfdtSDdSI 當(dāng)rr1時(shí)If0,故HB r2>r>r1時(shí)lHdl2rHSjfdSjf(rr1) jf(r2r2 (r2r2) B 2rHjf(r2r2 0(r2r2) B 1jf

jf 0) rr2rJMM(MH) )H

1)(jfr 1)2r21)r( rrf 1)j,f rr (M r2r在內(nèi)表面上M10,M2( 1)rrrrr故 0,(rrr

nM 在上表面

r2r2

r2

r

r2 Mn(M1)nM1r

1jfr 2r2

1

2

r( r2r2r( 1) 1j 的10)P

證明PP(0)E(0)E(0) (1)(但兩個(gè)電流元之間的相互作用力一般并從第三定律)線(xiàn)圈 v4B2 042

r3r dF12I1dl1 v

r I

v rv

12

l1II

v

l1 v 01 l1

線(xiàn)圈2圈1的磁場(chǎng)中受的同 可 II

rr rr

2

分析表達(dá)式 和 rr3 rr3r

v2

v2

l1

(dl12)

dl12 12 l1

r)一周r同理 式中第一 dl(dl2231)rrl2 r dl dl

I 01

12(dlvr rl1l2平行板電容器內(nèi)有兩層介 它們的厚度分別為l1和 電容率為1和接上電動(dòng)勢(shì)為的電 電容器兩板上的自由電荷密度

介質(zhì)分界面上的自由電荷密度若介質(zhì)是漏電的電導(dǎo)率分別為1和

何解在相同介質(zhì)中電場(chǎng)是均勻 并且都有相同指 E E 故E

1 ,E

l2l l2l 又根據(jù)D1nD2n 1D1D21即 D

D2是金屬板故

l2l f而 f2fD'D'DD'是下極板金屬故D'

ll 1 2若是漏電 j1,

rl l

j2j 又1 2 j1nj2nj1j2,穩(wěn)定流 電荷不堆 jj

Ej1 ,即:

E 2

ll 1 2 D D l2l l2l DD2121 l2l 當(dāng)兩種絕緣介質(zhì)得分界面上不帶面自由電荷時(shí)

其中1和2分別為兩種介質(zhì)的介電常數(shù)1和2當(dāng)兩種導(dǎo)電介質(zhì)內(nèi)流有恒定電流時(shí)

證明(1)根據(jù)邊界條 n(E2E1)0,即E2sin2E1 由于邊界面上f 故n(D2D1) 即2E2cos21E1有tg

tg1,

JE可得電場(chǎng)方向與電流密度同方由于電流I是恒定

2

而nE2E10即E2sin2E1 1 試用邊值關(guān)系證明在絕緣介質(zhì)與導(dǎo)體的分界面上在靜電情況下導(dǎo)體外的電場(chǎng)線(xiàn)總是垂直于導(dǎo)體表面在恒定電流的情況下 證 導(dǎo)體在靜電條件下達(dá)到靜電平v導(dǎo)體內(nèi)E1 n(E2E1)vvvnE2

導(dǎo)體中通過(guò)恒定電流 導(dǎo)體表面fvE20,

D2 n(D2D1)f0,即:nD1n0E1vvvnE1導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)方向和法線(xiàn)垂直ab的無(wú)限長(zhǎng)圓柱形電容器單位長(zhǎng)度電荷為為

證明在介質(zhì)中任何一點(diǎn)傳導(dǎo)電流與位移電流嚴(yán)格抵消求frl的一段介質(zhì)總的能量耗散功率ff 證明

r f JD

J

D JD)0.JD 解 D2rdlf f D2rer,E2rD r DJt0,JEDt t E 0,EEe t er 0e

fef0 解

J (f0e)

2能量耗散功率密度J解

2J

22單位體積dVl P(

)2l2rdr flna

b1 b1 1 靜電能W DEdV fdr fa a2 2 Wlfln

l2ln減少率

r1.一個(gè)半徑為R的電介質(zhì)球極化強(qiáng)度P=K

解(1) PPKrK( rK/r

Pn(P2P1) r外無(wú)極化電荷rP2 pnP1Rn

RK/ D D0Er r r ()r 對(duì)于球外電 由定理可 Eds0 r2r

4r2f

( 0 0

r

)r30 r0 球外電勢(shì)

R

E

ln 1

0 02

2

r

r 2 2

2()0 000 外dVR2(00

0

)( W 0

R0導(dǎo)體球上接有電 當(dāng)導(dǎo)體球上接有電池與地保持電勢(shì)差0時(shí)以地為電勢(shì)零 R= R>外

0是未置入導(dǎo)體

外Rnnn根據(jù)有關(guān)的數(shù)理知識(shí)可解得 nnn

R Pcos外由于 E0外 aaRcos

0aRnP(cos)b0b1cos

bnP(cos ERcos

R

故而有a00a1E0an0(n1),bn0(n

E0Rcos b1 R

又 0,即

0

b1cos外

外R R

R R

1E1R 0R

cos

20得 b(00)R,

ER 0最后( E ERcos 0 00cos(RR Q時(shí) 0(RR 0(RR0 內(nèi)

E0Rcos0(0

外R

Q(RR0 aRnP

內(nèi)

Rn 由于外R的表達(dá)式中只出現(xiàn)了P1 cos項(xiàng) bn0(n

E0Rcos b1 R

0又有0

RR是一個(gè)常數(shù)外

0

b1cos R0101E0

cosb1cos0R20R2

bER

b0E RE000E000又由邊界條件s

rds b0

0,R E 00

R0外4 R 0均勻介質(zhì)球的中心置一點(diǎn)電荷 球的電容率為 球外為真空試用分離變數(shù)法空間電 f提示空間各點(diǎn)的電勢(shì)是點(diǎn)電荷Q的電勢(shì)f疊加后者滿(mǎn)足方

解一 在球外RR,由定理0而言束縛電荷QP

rr QQ 0E rE

積分后得 C.(C是積分常0 40又由于外R0,C

(RR0 在球內(nèi)RR0,由介質(zhì)中 定理DdsQ DE,E積分后得到

由于

外

,故而

(RR0 二.

0

(RR0本題所求的電勢(shì)是由點(diǎn)電荷Qf與介質(zhì)球的極化電荷兩者各自產(chǎn)生的電勢(shì)的疊加 著球?qū)ΨQ(chēng)性因 其解可寫(xiě)

由于是球?qū)ΨQ(chēng)的其通解為aR由于球心有Qf的存在所以有內(nèi) 即 在球外有外 即 ,即

外R

, 00

0bR20R2

00

1),

(

10b 0

4R0

,R 4

0 ,R

0

00 均勻介質(zhì)球電容率為

球外充滿(mǎn)了另一種介質(zhì)容率為 P

1提示1

4R解

內(nèi)

22 又

R1 3lA 00

l

(2Pfcos RR2RR

1

l 0 2fA22f22B1,及 1

R

1R A1

)R3,B14

2 1

2A 3B2,A12

R R 1 )1所以A20,B20

AlBl0,(l

R

Rcos

R

)f

,(RR 4 4(2 4 4

2

fR cosfR2(1

R 3f

,(RR 4 4(2)R 4 4

4(

1

1 rPP1nP2n,n從2指向 如果取外法線(xiàn)方 rpP外nP球n20)外)]n10)(

R( 6f ()[6(02)fcos2(12)2(122)cos 04(2 4(2 4(2

61(02)62(10)cos 4(2 2(2 1

Pfql可以看成兩個(gè)點(diǎn)電荷相距 對(duì)每一個(gè)點(diǎn)電荷運(yùn) 定 就得到在每 (0

(01)(q

PP 1r 3131

球殼上帶電 求空間各20,3r3 r r

r0 r P ', r

10

BlP(cos

3rRrR

rf

1 ArlP(cos) 3

0B0B1cosB2PL

cos

3R2RA

cosL1 111R2 AB0C,(AR )cos0,B0(l1.2.3L),A0(l1R2 1 又12PfcoslA PfcosAcos l

(l1)Bl

B02B1cos

R R 2則rdSR2dSR2dS4R1R211 dS2

cosR2sindd2

cosR2sindd00

004 故3dS故

4B0B

,A ,A

4 4R

0 0r

P

Pf

,(rR 3

,(rR2

,(R1rR2在 P

Pfcos

Pf1 1

Pfcos11在 11P0

22r在均勻外電場(chǎng)E0中置入一帶均勻自由電荷f的絕緣介質(zhì)球 求空間各點(diǎn)的電 (Alrl

r2 2'

r外r

r0 E0rcos

1r2crlP(cos 外rR0) ERcosB0B1B2P 1R2ccRcoscR2P0

R R

1 2

06R0c00ERB1cR0 1R0B2cRR 2R0

0R

lcRl1P(cos)

fRccos2cRP l 20

cos(l1)BlPlRlRlEcos0B020B1cos30B2P0 R R R 1 1

R3 R0 R3

C10E0 R0R

2C2R0 R

BR3

CR2(

10 0

3E 33B 000E3

C 0 2

0

2及2C2R030 即C2(2R030R0) C2B2同理ClBl l ErcosR3

3ER

cos 000cos,r

得

fr2R2( rcos,r0 f 0在一個(gè)很大的電解槽中充滿(mǎn)電導(dǎo)率為2的液體使其中流著均勻的電流f0 體中置入一個(gè)電導(dǎo)率為1的小 求穩(wěn)衡時(shí)電流和電荷分 討論1221 r 因?yàn)閮?nèi) 外n(rR0 穩(wěn)恒電流認(rèn)為表面無(wú)電流堆積即流入n流出故

r

即外rE0r (j

0r有限可以理解為在恒流時(shí)r0的小封閉曲面流入0rcos,r這時(shí)的解即為

1 ErcosER3(121

,r 0

2 2求內(nèi)外電場(chǎng)E(2er2e e rsin2內(nèi) 內(nèi)

r

e)1

E0(cosersine12

E E(cosesine) 00 2)2cose E E(cosesine) 00 2)3cosecose

3Ecos

1v 2ER3 2 e 2 0

r3 1E j 及( r Ercosr2

r)r

r

j, 2

r f 0f1 1

E) )30E0cos( 12 8.半徑為R0的導(dǎo)體球外充滿(mǎn)均勻絕緣介質(zhì) 離球心為a處(aR0)置一點(diǎn)電荷Qf 1 1(R)nP(cos).(RRR2a22aR解 分離變數(shù)由電勢(shì)疊加原

an0 外

,arO2'0,(rarO

r

外r ' l1Pl(cos),(rR0l

BlP(cos a2a2r22ar

rl1rl

(r)nP(cos)

BlP(cos),(r4a

l

rl1 R0 又外rR[ ( )l1]Pl(cos)o n0 o

0, R0

0,...,

(R0)l

4a

RR0 RR0

02l1BR ,B ,B 0 a 代 式得 r0 內(nèi)r0f作用由對(duì)稱(chēng)性Q'在OQ的連線(xiàn) fP1在球面上

QfQ

r0,即

Q

QQQ r QQQ 將Q'的位置選在使Q' QfP1O,則rQ'R0常 為達(dá)到這一目 令Q'距圓心為 Q R 0 0,r0 并

R0

Q'

Qf QfR這樣滿(mǎn)足條件的像電荷就找到 空間各點(diǎn)電勢(shì)R2

Q 1

RQf0ar2RQf0ar2(0)2 0RRaa外外

Legend R1R2a(a<R0)Q用鏡像法求電勢(shì)導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷有多少分布在內(nèi)表面還是外表面10而球內(nèi)電勢(shì)只要滿(mǎn)足rR0即可因此做法及答案與上題同解略1 內(nèi)4

因?yàn)榍蛲?故感應(yīng)電荷集中在內(nèi)表 并且 上題的導(dǎo)體球殼不接地而是帶總電荷Q0,或使其有確定電勢(shì)勢(shì)又問(wèn)0Q0是何種關(guān)系時(shí)

1a解由于球殼上有自由電荷 并且又是導(dǎo)體球殼故整個(gè)球殼應(yīng)該是等勢(shì)體其電勢(shì)1a

Q的電勢(shì)像電荷

殼的電勢(shì)疊加而成球外電勢(shì)利用就可得[ QQ0].(RR[內(nèi)

R1QR1

,(RR2[ [

R2a22RaaR2a22RaaR2Ra1 a 內(nèi)或

R2外 ,(RR外 當(dāng)QQ0

0 在接地的導(dǎo)體平面上有一半徑為a的半球凸部如圖半球的球心在導(dǎo)體平面上點(diǎn)電荷Q位于系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)軸上并與平面相距為bb>a試用電象法求空間電勢(shì)QPQPORQaQ,ra2r a2 Q2 Q,r2 QQ,r Q 2 ],(02

,RzP(x,y,azP(x,y,aby解可以構(gòu)造如圖所示的三個(gè)象電荷來(lái)代替 [0(x(xx0)2(ya)2(z

1

(x(xx0)2(ya)2(z

1(1(xx0)2(ya)2(z1(xx0)21(xx0)2(ya)2(z設(shè)有兩平面圍成的直角形無(wú)窮容器其內(nèi)充滿(mǎn)電導(dǎo)率為的液體取該兩平面為xzyz面在x0,y0,z0和x0,y0,-z0兩點(diǎn)分別置正負(fù)電極并通以電流I求導(dǎo)電液體中的電勢(shì)解本題的物理模型是由外加電源在 B兩點(diǎn)間建立電場(chǎng)使溶液中的載流子運(yùn)動(dòng) I,當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)是恒定場(chǎng)對(duì)于恒定的電流可按靜電場(chǎng)的方式處理于是在A點(diǎn)取包圍A的包圍面

jt I dsE dsn

而又有i

irE

1I

E 1IQ1 對(duì) QQBQr又在容器壁 jn0,即元電流流入容器 j 有jn0時(shí)En 的圖說(shuō)明(P)(x)是一個(gè)位于原點(diǎn)的偶極子的電荷密0,x解(x)

,xd(x)lim(xx) d

x0x0

x

0b)x0,d(x)lim0 x01 (ax) (x).(aa x(x)

證明 根據(jù)[(x)]

(x '(xka'(xka 從(xf(x),f(xxF(xf(x)x(x)dxf(x)xx0r一塊極化介質(zhì)的極化矢量為P(x 根據(jù)偶極子靜電勢(shì)的極化介質(zhì)所產(chǎn)生的

r

P(x)rdVV40r r r另外根據(jù)極化電 r' '及r

r r'

P(x

nPrOPrO P(x)dV' P(x) rr' r

P(x)rdV'

dV

3 r

r '又有

(P)

P' r'

r

' 則

1

PdV' r'

'(P)dV']rr

PdV'r

PdSS

PdV'

dS]1[PsdV'

dS V S證明下述結(jié) 并熟悉面電荷和面偶極層兩側(cè)電勢(shì)和電場(chǎng)的變?cè)诿骐姾蓛蓚?cè)電勢(shì)法向微商有躍 而電勢(shì)是連續(xù)r在面偶極層兩側(cè)r1r n0而電勢(shì)的法向微商是連續(xù) 各帶等量 電荷密度而靠的很近的兩個(gè)面形成 偶極層而偶極矩密度Pliml證明 如圖可

2Ess E

,12

z z 0面 E 0201 201

E22(ez12

r 0r r

r

l0

nln又

118.一個(gè)半徑為R0的球面在球坐標(biāo)0的半球面上電勢(shì)為 在

球面上電勢(shì)為 1P(x)dx 0 提示Pn(1)Pn(0) 解

n偶數(shù) 外

,02

f()

這是內(nèi)按球函數(shù)展開(kāi)的廣 2l1 [

RPl(cos)dcos

2l2

0R0AlRlfl

002l

P(cos)sind0 02l

P(x)dx0

1P

01 0 P(x)dx1P0 1 0Pl(x1)lPl1 ARl2l1 P(x)dx1l

2l10[(1)l11]1Pl 0當(dāng)l為偶數(shù) AlRl0當(dāng)l為奇數(shù) ARl2l1[(1)l1

(2l 0l 0

1]Pl l 135 l1135(l[(1) (1) 246(l 246(l 135 l1135(l[(1) (1) 246(l 246(ll1135(l l1135(l l (1)2 1) l 246(l l1135(l

246(l

(2lRl Al 0(1)Rl0

246(l

(2l

l1135(l 0

2 (2l

)lPl(cosl取奇數(shù)rR00 246(l 0 BlP(cos rl1 2l1

l1135(ll

RPl(cos0(1)

(2l

246(l l1135l2)(2l1)(R0)l1P(cosl即

(1)

246(l

rR0 試用A表示一個(gè)沿z方向的均勻恒定磁場(chǎng) 寫(xiě)出A的兩種不同表示式證明兩者 解B0是沿z方向的均勻的恒定磁場(chǎng)即B0 且B0 Ay Az Ax在直角坐標(biāo)系中A(yz)ex(zx)ey(xy

Ay

如果用A在直角坐標(biāo)系中表示 即zx r由此組方程可看出A有多組

x解 AyAZ0,AxB0yf A[B0yf解 AxAz0,AYB0xg( A[B0xg( 12之差為AB0yf(x)]exB0xg則r

[(A)0

(A)

(A)

(A)

均勻無(wú)窮長(zhǎng)直圓柱形螺線(xiàn)管每單位長(zhǎng)度線(xiàn)圈匝數(shù)為n 電流強(qiáng)度為I 理求管內(nèi)外磁感應(yīng)強(qiáng)度B 解根據(jù)題 得右 取螺線(xiàn)管的中軸線(xiàn)為z 本題給定了空間中的電流分布故可由B

JrdV求解磁場(chǎng)分布又J在導(dǎo)r3 線(xiàn) 所以B

Jdlrr3螺線(xiàn)管內(nèi)由于螺線(xiàn)管是無(wú)限長(zhǎng)理想螺線(xiàn)管故由電磁學(xué)的有關(guān)知識(shí)知場(chǎng)是均勻強(qiáng)磁場(chǎng)故只須求出其中軸線(xiàn)上的磁感應(yīng)強(qiáng)度即可知道管內(nèi)磁場(chǎng)由其無(wú)限長(zhǎng)的特性不妨取場(chǎng)點(diǎn)為零點(diǎn) racos'exasin'ey dlad'sin'exad'cos

asinr (ad' ad'cos'ey (acos

z'ex az'cos'd'exaz'sin'd'eyad z'z'dz'的以小段 nJdz'(az'cos

az'sin'd

a2dB

[a2(z')2]

'ez a nI d(a

n0I z

4 [a2(z')2] a

1]螺線(xiàn)管外部:由于是無(wú)限長(zhǎng)螺線(xiàn)管xoyP(,.0)(r

(cosa(cosacos')2(sinasin')22a2z'22acos(rrr rrrxx'(cosacos')ex(sinasin')eyz'ez dlrad'sin'exad'cos r r r[a2a 'd' 'd )]dB B

az'cos'd' az'sin'd' exdz'd' a2acos(' rd' dz'ezr r 故不會(huì)有磁力線(xiàn)穿出螺線(xiàn) 上述積分為 所以BIz軸流動(dòng)以z<0的均勻介質(zhì)z>0區(qū)B然后求出磁化電流分布解2

A

0J,J,J,rA1

z

0 2z 0

1z由本題具有軸對(duì)稱(chēng) 可得出兩個(gè)泛定方程的特解A(x) A(x) 4 A(x)

4

0Ir2re,(z

I e,(z2 驗(yàn)證邊界條 A1A2z0,即n(B2B1) 題中nez,且eze 所以邊界條件 滿(mǎn)

z00

A1z0即nH2H1本題中介質(zhì)分界面上無(wú)自由電流密 rr1I1r

r2

I

H2H10,nH2H10I r2re, 綜上所 由唯一性定理可 本題有唯一

I e,(z2

rB

r

0 I 0即M 2r

2re2r(

介質(zhì)界rr rI(

e

2r 2r 2 0總的感應(yīng)電 JMMdl2r(1)erdeI( 0z<0的空間中z

x<0的均勻介質(zhì)x>0Iz動(dòng)I解假設(shè)本題中得場(chǎng)分布仍呈軸對(duì) 則可寫(xiě)IB2r n(B2B1)即可 v

(H2H1)vB

Ie2rv v

B

e 在x<0的介質(zhì) vI0 0v則IM 取積分路線(xiàn)為BCAB的半ee

0 0(IIM)B 0由0(IIM)evv Iv B2r 可得0 0 I0B0

rIM0 0

C(z212 2B0為常量 提示用B0,并驗(yàn)證所得結(jié)果滿(mǎn)足

解由B具有軸對(duì)稱(chēng) 設(shè)BBeB 其中BB0 z QB01(B)B 即1(B)2cz Bcz2A(常數(shù) 取A 得B Bcze[B0

B2BQv0,v

v0即

Bz)ev 代入 式可 式成立B c為常a的同軸線(xiàn)圈形線(xiàn)圈zL面上La提示z2Bz解 由畢薩定 L處線(xiàn)圈在軸線(xiàn)上z處產(chǎn)生得磁感應(yīng)強(qiáng)度vB1

vB1zez

1

sin Iavvvv4Idlrr3

同 L處線(xiàn)圈在軸線(xiàn)上z處產(chǎn)生得磁感應(yīng)強(qiáng)度[(Lz)2a2][(Lz)2a2]3B2B2z 2 BBzez 0Ia 3

v QB

[(Lz)2a2] (B)(B)2B 2 又B B0,z2Bz0代入 式 1

1 [(Lz)2a2

2(Lz)2[(Lz)2a2]2[(Lz)2a2]36(Lz)2[(Lz)2a2[(Lz)2a2 1 [(Lz)2a20取

2(Lz)2[(Lz)2a2]2[(Lz)2a2]36(Lz)2[(Lz)2a2][(Lz)2a2 (L2a2)3[2(L2a2)2L22(L2a2)2]12(L2a2)2L25L2L2aL12r半徑為a的無(wú)限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體上有恒定電流J均勻分布于截面上 設(shè)導(dǎo)體的磁導(dǎo)率為0 導(dǎo)體外的磁導(dǎo)率為 2AJ,(rA0,(rA內(nèi)0A外

A內(nèi)a 1

A內(nèi) 選取柱坐標(biāo)系該問(wèn)題具有軸對(duì)稱(chēng) 且解與z無(wú) AA內(nèi)

1(rA內(nèi)(r))r r 1 ) A(r)1Jr2Clnr A外(r)C3lnrA內(nèi)(rr0得C1 0A內(nèi)A外得C320 由A外aA內(nèi) 令A(yù)外aA內(nèi)a0得C2

0Ja,C44

Jaln2 A內(nèi)40J(arvv v2ln 假設(shè)存在磁單極子m

r

r 一個(gè)可能的表示 r 1r H 40r 40r2由vvvQm 0

4r2(sinA)A]2rsin[ 2[ [r

)] 1[(rA)

r] 令A(yù)

0, (sinA)Qm

sinAQmsin AQm1 顯 evQm1cose 討 當(dāng)0

A Qm當(dāng)2v

A4r 當(dāng) A 故A的表達(dá)式在具有奇異 A不合 將一磁導(dǎo)率為 半徑為R0的球體放入均勻磁場(chǎng)H0內(nèi)求總磁感應(yīng)強(qiáng)度B和誘r 解根據(jù)題意以球心為原點(diǎn)建立球坐標(biāo)取H0的方向?yàn)?的影響下極化產(chǎn)生一個(gè)極化場(chǎng)并與外加均勻場(chǎng)相互作用最后達(dá)到平衡保持在一個(gè)靜止的狀態(tài)呈現(xiàn)球?qū)ΨQ(chēng)

0,R0,R

2m,2

1

0 m2,(RR

R0RH0RmanRnPn(cos11

P(cos 0Rcos aRnP(cos)HRcos

dnP(cos

n0

0 n0 (nRanRn1P(cos)Hcos nP(cosR得

0

0a30H

dR0 dR0 0andn0,(n H0Rcos,R HRcos 0 0Hcos,R R 0v Hcosev Hsinev 00

0 0

00 0B1H12H0 H 0 0]Hcose[1 0 0]H

R

R

v 0R3[3(H0R)RH00 v 0 33(H0 B20H20H0

20H0,(RR0

v B 3(H H 0 0],(RR v

0 R

R BR>R0時(shí) 0 0Hcos可看作偶極子m產(chǎn)生的0 R 01即 1

vmR0v

Hcos0R0H3 R R 3 0 0m40

r有一個(gè)內(nèi)外半徑為R1和R2的空心球位于均勻外磁場(chǎng)H0內(nèi)球的磁導(dǎo)率為 求r 解根據(jù)題意以球心為原點(diǎn)取球坐標(biāo)選取H0的方向?yàn)? v殼極化產(chǎn)生一個(gè)附加場(chǎng) 并與外場(chǎng)相互作用最后達(dá)到平衡B的分布呈現(xiàn)軸對(duì)稱(chēng) mm2

0,R0,R1R0,R m

RR,m 1

m3

, m3 0R

R0HR 由于物理模型為軸對(duì) 再有兩個(gè)自然邊界條 三個(gè)泛定方程的解的形式manRnPn(cos11 (bRn

)P(cosnmn2

3 H0Rcos3

n1Pn(cosv因?yàn)榉憾ǚ匠痰慕馐前旬a(chǎn)生磁場(chǎng)的源H0做頻譜分解而得出的分解所選取的基本函數(shù)系是其本征函數(shù)系{Pn(cos)} 在本題中源的表示是所以上面的解中anbncndn0,(n 解的形式簡(jiǎn)化 aR (bRc1)

RRcos R

代入銜接條 aRbR11 1 R1 b1R2R2H0R2R

2

21 R

R32R3

2c1R32R3a13(2)HR33()Ha1 2()2

0 0(2)(2 3(2)Hb12()2

0

23()HR3c12(

3

02

)

d1 HR3(2)HR63(d1 HR 0 02 2()2R3(2)(2 0 i Bi0Hi0m,(ii B1[1

1(R1 (

)(2 0(122(0) 20(20)(20)12(0)2vB1即球殼腔中無(wú)磁 類(lèi)似于靜電場(chǎng)中的靜電屏 BH0M0M0H無(wú)關(guān)的量 M0為常值浸入磁導(dǎo)率為'的無(wú)限介質(zhì)中求磁感 解根據(jù)題意取球心為原點(diǎn)做球坐標(biāo)M0的方向?yàn)閑z

0,R0,R ,mmR11m

202011

RM00

R

R 11

m2

(bn

代入銜接條 對(duì)比Pn(cos)對(duì)應(yīng)項(xiàng)前的系數(shù)a1ab0,(n

0M 2 b 0m1

2

Rcos,(RR0

2 2m 0cos,(RR0)2R22 由此RR

M20M 2 v RR,B 0R0[3(M0R)RM0

2 2 20v02 B

v R33(M 00 0],(RR 2又n(BB 其中 2010v代入B的表達(dá) M r 結(jié)果如 解根據(jù)題意H0M0z

0,R0,R mm 1

M 0

0 R0m

RH0Rm a1Rcos,(RR0m12mH0Rcos2

d1cos,(RR0RaRH0

R1 R0H2d1aR R0

得 a1

0M030H0d0M0(0)H0 0 0M030H0Rcos,(RR0 M()HmH0Rcos 0cos,(RR00 00 01Hm11

coser

0M030H20 B1H0M0

H0 2

M0,(RR0 M( H [(Hcos 0cos)e R mM( rr m(Hsin 0sin)e]H3(mR)R0

rr

R m m

BH[H3(mR)R m 0M0R3 0R3

有一個(gè)均勻帶電的薄導(dǎo)體 其半徑為 總電荷為 今使球殼繞自身某一直徑r角速度轉(zhuǎn)動(dòng)r提示本題通過(guò)解A或m的方程都可以解決也可以比較本題 5例2的電流分解根據(jù)題意取球體自轉(zhuǎn)軸為z軸建立坐標(biāo)系

0,R0,R1 1

2( 1)2

m2,(RR

0 R0

R其 m a1Rcos,(RR0m12m2R

cos,(RR0RaRb1R

1 2b

a

1R3R0b 解 a b

11

Rcos,(RR02m 0cos,(RR0)2 1Hm11

coser

sine Q0B10H1

vv 3(mH 0cose 0sine R)Rm 其中 QR2m 0 vv 3(mB20H2[

R)Rm] 電荷按體均勻分布的剛性小球其總電荷為Q 半徑為R0 它以角速度繞自身某以直徑轉(zhuǎn)動(dòng)求它的磁矩與自轉(zhuǎn)動(dòng)量矩之 v解 磁矩m2xJ v 又xR J(x)v3

0

1 r(v 1 m R2

R)Rsindrdd24R3(ere)Rsin 又reesinezcos(cosexsineye 3Q2R0[sinvcos(cosvsinv)R4sin2e m 0

00 3Qev2R QR2 00

0

0sin3R4drdd 050vv0

v vvvvdm

3M4eev

R2(vvv

e e 40

R2(sin

er

3M40

ee

)R2

3M02

00 3M02

R0R

2M00

00 vv

QR20 00 2M0R2 2M05rmrv解根據(jù)題意r很大r可推出在平面上H類(lèi)比于靜電場(chǎng)vvv

m 2cos sin Be04 v

err3e]4r3(cosersine F(m)

r

0(1cos2)e d和d的線(xiàn)偏振平面波它們都沿z軸方向求合成波證明波的振幅不是常 而是一個(gè)求合成波的相位速度和振幅速 E1(x,t)E0(x)cos(k1x E2(x,t)E0(x)cos(k2x EE1(x,t)E2(x,t)E0(x)[cos(k1x1t)cos(k2x k1 12t)cos(k1

x 2E0(x) x2

其中k1kdkk2kdk;1d,2 E2E0(x)cos(kxt)cos(dkxd E2E0(xcos(dkxd相速kxtvp群速dkxdt

一平面電磁波以45o從真空入射到r2的介質(zhì)電場(chǎng)強(qiáng)度垂直于入射 求反r S,S',S''分別為入射波反射波和折射波的玻S'S'SnnE'R nTS''nT r

E2E00n2cos2E''2n1cosE20又根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度垂直于入射面的可1cos cos1R

2cos cos241412coscos(1cos 1sin2 10,2022 22 2

R( 2)222T

22222 ( 2 2

32有一可見(jiàn)平面光波由水入射到空氣入射角為60 證明這時(shí)將會(huì)發(fā)生全反射并求折射波沿表面的相速度和透入空氣的深度 設(shè)該波在空氣中的波長(zhǎng)為06.28105 水的折射率為 1解由折射定律得臨界角c kk 相速度vpk 2

) 6.28 sin2601投入空氣的深度 sin2601 vvv 頻率為的電磁波在各向同性介質(zhì) 時(shí)若E,D,B,H仍按ei(kxt)變化但 E平行DEv v vkBkDBDBE0,但一般kE

v 2 vv 2[kE(kE)k 證明 由麥?zhǔn)戏匠? E H D B得0 v v v v0B

ei(kxt)ikBei(kxt)ikB kB 同 kDv[evv]

vvi0 i(kxt 0 ikB

vv1v(vv) v[evv]

vvi i(kxtv 1

vBE(kE)E Eik vQD E一般 即kE一般B 1 B 由E B(kD D另由H D(kv

[k ( [k(kE)] [(kE)k]

kEk 1 B(k

得H(k 2 vvSEHE(kE)[Ek(kQv

2 kE一般0S一般E 有兩個(gè)頻率和振幅都相等的單色平面波沿z軸一個(gè)波沿x方向偏 方向偏振2

反之一個(gè)圓偏振可以分解為怎樣的兩個(gè)線(xiàn)偏振解偏振方向在x軸上的波可記為xA0cos(tkz)A0cos(t0xyAcos(tkz

)Acos(t 00y0x2

0x2y2A2[cos2(t )cos2(t0y 00A2[cos2(t0000即x2y20

所以合成的振動(dòng)是一個(gè)圓頻率為的沿z軸方 的右旋圓偏振反之一個(gè)圓振可以分解為兩個(gè)偏振方向垂直同振 同頻 相位差為2的線(xiàn)偏振的合證明設(shè)在z>0z<0的空間中垂直于導(dǎo)體表面入射 zi(ztEE0 于是由 0的表 單位面積進(jìn)入導(dǎo)體的能量v

1 1 ) E 其中HkEinv

2

H)2 zi(ztJE dQ

E)

2122 作積分Q2E00 dz4 又Q 2QE2 E 原題得證 已知海水的r1,1S 試計(jì)算頻率為50,106和109Hz的三種電磁波在解22透射深 Qr0r0422 250410722 2504107222106410222106410723109Hz時(shí):3 2

22221094107 平面電磁波由真空傾斜入射到導(dǎo)電介質(zhì)表面上入射角為1相速度和衰減長(zhǎng)度若導(dǎo)電介質(zhì)為金屬 v提示導(dǎo)電介質(zhì)中 量ki,只有z分量為什zv vzv vkv

vt0 EE xei(0 k''x與介質(zhì)中的有關(guān)比較可2 22 2x根據(jù)邊界條件得k''x

ix

x又kxkxksin1 vv

c 故k,k無(wú)y分 y0,y v有與 其中 c 2222(csin1 有 z

2212

22 2

22222 c

c2 212 2 12( c

1 2

c

)2222]

1v1v如果是良導(dǎo)體

sin2122c 2 c 2

z

2

1

4222 2c2sin2 2[c4 2

21

4

2222 2c2 2[c2 2無(wú)限長(zhǎng)的矩形波導(dǎo)管在在 0處被一塊垂直地插入地理想導(dǎo)體平板完全封閉求z到 0這段管內(nèi)可能存在的波解在此中結(jié)構(gòu)得波導(dǎo)管 電磁波的依舊滿(mǎn)足亥姆方 2Ek2Ek0

v E(x,y,z)(C1sinkxxD1coskxx)(C2sinkyyD2coskyy)(C3sinkzzD3coskzEyEz0,(x0, ExEz0,(y0,

0,(x0,

0,(y0,

0,(zExA1coskxxsinkyysinkz故EyA2sinkxxcoskyysinkzEzA3sinkxxsinkyycoskzE其

m,m0,2Lakn,n,2L kxkykz 00c2A1aA2bA3kz綜上

E(x,y,z,t)E(x,y)ei(k2zt)在波導(dǎo)管中沿z方向傳 試使 Ei0H及Hi0EEx(xy)和Hz(xy這兩證 沿z軸的電磁波其電場(chǎng)和磁場(chǎng)可寫(xiě) E(x,y,z,t)E(x,y)ei(kzzt H(x,y,z,t)H(x,y)ei(kzztvE H

Bi v vEEiE0

ikz

H

ikzH

0 由 消去H得E

kEzi(2k2

yzc 由 消去Hx得

i(2k2

(H

kEzzc 由

Hx

0Ez1i( 1由

c1Hy 1

2

y

z0zi( kc v 對(duì)于定態(tài)波磁場(chǎng)為v(v,)

v()Hx Hx

EDiE由麥?zhǔn)戏匠探M 得H)(H2H2Hi 又EB

Ev(

vk)H0, HvHv 由nB0得nH Hn利用viv和電場(chǎng)的邊界條件可 Ht

HnHv證明E

yeikzEyA2sinkxxcoskyyeikz

A3sinkxxsinkv

yeikzHE Hx(A3kyiA2kz)sinkxxcosk

yeikzHH

A3kx)coskxxsink

yeikzH

(A

Ak)cos

yeikz 2 1 本題討論TM波故 A2kxA1ky故 若n0,則kyb0,A2kx又kxa0,那么 HxHy 若m0,則kxa0,A1ky又kyb0,那么A1HxHy頻率為30109Hz的微波在0.7cm0.4cm的矩形波導(dǎo)管中能以什么波 解 30109 波導(dǎo)為0.7cmc (m)c (m)2(nb當(dāng)a0.7102mb0.4102mm1,n1時(shí),4.31010Hzm1,n0時(shí)2.11010Hzm0n1時(shí),3.71010Hz 30109Hz 波導(dǎo)為0.7cm0.6cmm1,n1時(shí),2.11010Hzm1,n0時(shí)2.51010Hzm0n1時(shí),3.31010Hz一對(duì)無(wú)限大的平行理想導(dǎo)體板相距為b 電磁波沿平行與板面的z方向設(shè)波在x方向是均勻的求可能的波模和每種波模的截止頻率解在導(dǎo)體板之 的電磁波滿(mǎn)足亥姆方 2Ek2Ek0v 令 是E的任意一個(gè)直角分 由于E在x方向上是均勻U(x,y,z)U(y,z)Y(y)Z又在y方向由于有金屬板作為邊界是取駐波解在z方向是空間取行波解得通解U(xyz)(C1sink

y

y)eikz由邊界條件nE0,和n0EAsin(

y)ei(kzzt i(kzt

n E

且k2

k,n0,2L E

y)ei(kzzt

c 又由E0得A1獨(dú)立與A2,A3無(wú) bA2ikz令 0得截止頻率cbv證明在諧振腔 電場(chǎng)E的分布

yeikzEyA2sinkxxcoskyyeikz

A3sinkxxsinkv

yeikzHE Hx(A3kyiA2kz)sinkxxcosk

yeikzHH

A3kx)coskxxsink

yeikzHzz

(A

Ak)cos

yeikz 2 1 1 由 (EDHB)有諧振腔21 電場(chǎng)能流密 1 E 1 *

v* 2[

4[A2cos2kxsin2kysin2kzA2sin2kxcos2kysin2kzA2sin2kxsin2kycos2k

v H BRe(H*B4 [(AkA

)2sin2kxcosk2kycos2kz 3 z

(A1kzA3kx)2cos2kxxsin2k