基礎力學第八章節(jié)

1基礎力學第八章節(jié)2第8章扭轉(zhuǎn)返回§8—4受扭圓桿的強度條件和剛度條件§8—6矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)§8—2薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的應力和變形§8—3圓桿扭轉(zhuǎn)時的應力和變形§8—5等圓截面直桿在扭轉(zhuǎn)時的應變能§8—1扭矩和扭矩圖3內(nèi)容提要8-1扭矩和扭矩圖8-2薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的應力和變形8-3圓桿扭轉(zhuǎn)時的應力和變形4

扭轉(zhuǎn)變形特征：桿件的任意兩個橫截面發(fā)生繞軸線的相對轉(zhuǎn)動。受力特征：由大小相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面都垂直于桿軸的兩個力偶引起。MeMe5一、工程實例1、螺絲刀桿工作時受扭。2、汽車方向盤的轉(zhuǎn)動軸工作時受扭。工程實例MMFFM63、機器中的傳動軸工作時受扭。4、鉆井中的鉆桿工作時受扭。Mm78MeMeOO’AB§8-1扭矩和扭矩圖一、桿件在橫向平面內(nèi)的外力偶作用下發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形b’ab在兩個轉(zhuǎn)向相反的外力偶作用下發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形時，表面上原有直線ab變?yōu)槁菪€ab’。諸橫截面繞桿的軸線相對轉(zhuǎn)動。9nnmm?xm?x在n—n

截面處假想將軸截開，取左側(cè)為研究對象分析圖示圓軸任一橫截面n—n上的內(nèi)力。仍用

截面法。二、扭矩和扭矩圖10nnMeMe?xMe?xT橫截面上的內(nèi)力應是一個力偶稱為該橫截面上扭矩。Mex??T取右側(cè)為研究對象，其扭矩與取左側(cè)為研究對象時數(shù)值相同但轉(zhuǎn)向相反。統(tǒng)一標準11右手螺旋法則：使卷曲右手的四指轉(zhuǎn)向與扭矩轉(zhuǎn)向相同,若大拇指的指向離開橫截面則該扭矩為正;反之為負。扭矩符號的規(guī)定++nnMeMe?xMe?xTMe?x?T12用平行于桿軸線的x坐標表示橫截面的位置，用垂直于桿軸線的縱坐標表示橫截面上的扭矩，從而繪制出表示扭矩與截面位置關系的圖線，稱為扭矩圖。

13例題

:作用在傳動軸上的外力矩的大小分別為:MA=2KN.m,MB=3.5KN.m,MC=1KN.m,MD=0.5KN.m,試作該軸的扭矩圖.ABCDMAMBMCMD解:分別求出AB,BC,CD段任一橫截面上的扭矩14ABCDMAMBMCMDAB段:(假設扭矩為正

)11AMAT115ABCDMAMBMCMDBC段:(假設扭矩為正

)22AMAMBBT216ABCDMAMBMCMDCD段:(假設扭矩為正

)33DMDT317ABCDMAMBMCMD21.50.5++-單位：KN.m18R0

是薄壁圓筒的厚度，

R0是平均半徑。§8—2薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的應力和變形一、橫截面上的切應力19用截面法求任一橫截面n—n上的內(nèi)力MMlnn20MnnMMlnnT薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時其任一橫截面n-n上的內(nèi)力為扭矩T

。21實驗→變形規(guī)律→應力的分布規(guī)律→應力的計算公式。1、實驗：預先在圓筒的表面畫上等間距的縱向線和圓周線，從而形成一系列的正方格子。222、變形規(guī)律：圓周線——形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉(zhuǎn)動了一個不同的角度。縱向線——傾斜了同一個角度，小方格變成了平行四邊形。233、切應變（角應變、剪應變）：直角角度的改變量。244、定性分析橫截面上的應力（1）（2）因為同一圓周上切應變相同，所以同一圓周上切應力大小相等，方向必與圓周相切。

⑶因為壁厚遠小于直徑，所以可以認為切應力沿壁厚均勻分布,而且方向垂直于其半徑方向。25MM圓筒兩端截面之間相對轉(zhuǎn)動的角位移，稱為相對扭轉(zhuǎn)角

，用表示。26Mnnxr5、推導公式由上述分析，就可得出薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時，橫截面上任一點處的切應力都是相等的，而其方向與圓周相切。T27R0為薄壁圓筒平均半徑MnnxrT28上式為薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時橫截面上切應力的計算公式。MnnxrT29薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應力均勻分布，與半徑垂直，指向與扭矩的轉(zhuǎn)向一致。T30二、剪切胡克定律MABCDlM31MABCDlR為薄壁圓筒的外半徑M薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)試驗發(fā)現(xiàn)，當外力偶M

在某一范圍內(nèi)時，與M（在數(shù)值上等于T）成正比

32To從T與之間的線性關系，可推出

與

間的線性關系。該式稱為材料的

剪切胡克定律oP薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)試驗發(fā)現(xiàn)，當外力偶M

在某一范圍內(nèi)時，與M（在數(shù)值上等于T）成正比

33G

稱為材料的

剪切彈性模量

。其單位是Pa。剪切胡克定律只有在切應力不超過材料的剪切屈服極限P時才適用。即材料在線彈性范圍內(nèi)工作。34拉(壓)、剪切彈性模量與泊松比的關系35§8—3圓桿扭轉(zhuǎn)時的應力和變形一、橫截面上的應力

36預先在圓桿的表面畫上等間距的縱向線和圓周線，從而形成一系列的正方格子。實驗→變形規(guī)律→應力的分布規(guī)律→應力的計算公式。37MM兩圓周線繞桿件的軸線相對旋轉(zhuǎn)了一個角度，圓周線的形狀和大小均未改變;實驗結果：在變形微小的情況下，縱向線則傾斜了一個相同的角度。38MM剛性平面假設：變形前垂直于軸的圓形橫截面，在變形后仍保持為同樣大小的圓形平面。且半徑仍為直線。39導出這類桿件橫截面上切應力計算公式的關鍵在于確定切應力在橫截面上的變化規(guī)律，即與的關系?！渺o力學關系得出的計算公式。為確定切應力在橫截面上的變化規(guī)律，需首先觀察圓截面桿受扭時表面的變形情況，據(jù)此作出涉及桿件內(nèi)部變形情況的假設，推斷桿件內(nèi)任意處圓柱面上的切應變，最后還要利用切應力與切應變的物理關系。下面按照問題中的幾何關系、物理關系以及靜力學關系這三個方面來具體分析圓桿受扭時橫截面上的應力。40aabTTdxb1、幾何方面DA傾角

是橫截面圓周上任一點A處的切應變D1桿件內(nèi)任意點處圓柱面上的切應變41aabTTdxbDAD1d

是b—b截面相對于a—a截面象剛性平面一樣繞桿軸轉(zhuǎn)動的一個角度。42aabTTdxbDAD1經(jīng)過半徑O1A上任一點E的縱向線EG。GE43aabTTdxbDAD1EG也傾斜了一個角度

EG1是橫截面半徑上任一點

E

處的切應變。G44此式說明：同一半徑圓周上各點切應變

均相同，且其值與成正比。452、物理方面由剪切胡克定律46同一圓周上各點應力

均相同

，且其值與成正比，垂直于半徑。473、靜力學方面oTdA每個微元力對圓心的矩為所有微元力對圓心的矩之和等于橫截面上的扭矩T。48oTdA49oTdA上式為圓軸在扭轉(zhuǎn)時橫截面上任一點處的切應力計算公式50稱為橫截面對圓心的

極慣性矩式中：T

為橫截面上的扭矩；

為求應力的點到圓心的距離：51oT

橫截面周邊各點處，切應力將達到最大值。說明：切應力與成正比。且垂直于半徑。指向與T

的轉(zhuǎn)向一致。圓心處的切應力為零。52WP稱作抗扭截面系數(shù)，單位為mm3

或m3。53抗扭截面系數(shù)公式二、極慣性矩及抗扭截面系數(shù)極慣性矩公式54do實心圓截面

55Ddo空心圓截面56

應力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（實心截面）（空心截面）57圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形是用相對扭轉(zhuǎn)角來度量的是計算等直圓桿相對扭轉(zhuǎn)角的依據(jù)。三、扭轉(zhuǎn)角其中d

代表相距為dx

的兩橫截面間的相對扭轉(zhuǎn)角。58長為l的一段桿兩端面間的相對扭轉(zhuǎn)角

可按下式計算對于同一材料制成的等直圓軸（G，Ip為常量），當只在兩端受一對外力偶作用時（T為常量），從上式可得GIP

稱作抗扭剛度。59例題：圖示實心圓軸外徑d=60mm，在橫截面上分別受外力矩mB=3.8KN.m,mC=1.27KN.m作用，已知材料的剪切彈性模量G=8104MPa。求B截面對于A截面的相對扭轉(zhuǎn)角BA，C截面對于B截面的相對扭轉(zhuǎn)角CB，C截面對于A截面的相對扭轉(zhuǎn)角CA，并求C截面的絕對扭轉(zhuǎn)角C。mBmCABC0.7m1m60mBmCABC0.7m1m解：由截面法得知需分段計算相對扭轉(zhuǎn)角mB=3.8KN.m,mC=1.27KN.m61mBmCABC0.7m1m62mBmCABC0.7m1m63mBmCABC0.7m1m因A截面固定，C截面的絕對扭轉(zhuǎn)角C

，等于C截面相對于A截面的相對扭轉(zhuǎn)角CA

。64例題：一水輪機的功率為P=7350KW，其豎軸是直徑為d=650mm而長度為l=6000mm的等截面實心鋼軸，材料的切變模量為G=0.8105MPa，求當水輪機以轉(zhuǎn)速n=57.7r/min勻速轉(zhuǎn)動時，軸內(nèi)的最大切應力及軸的兩個端面間的相對扭轉(zhuǎn)角。解：將軸傳遞功率換算為功它應等于作用在軸上的外力偶在每分鐘作的功。M65M外力偶在每分鐘作的功等于外力偶矩M與軸在每分鐘轉(zhuǎn)動的角度的乘積，即與角速度的乘積。所以注意公式中M，P，n

的單位66本題中最大切應力相對扭轉(zhuǎn)角67低碳鋼試件：沿橫截面斷開。鑄鐵試件：沿與軸線約成45的螺旋線斷開。因此還需要研究斜截面上的應力。四、斜截面上的應力68xxAxxdabc從受扭桿件A點處取一單元體單元體的左、右兩側(cè)面屬于桿的橫截面，頂面和底面屬于桿的徑向截面，單元體的前后面屬于桿的切向平面。69xxAxxdabc由切應力互等定理，單元體的左、右、上、下四個側(cè)面作用著相等的切應力，單元體的前、后面上沒有切應力。單元體屬于純剪切應力狀態(tài)70xxdabc與單元體前、后面垂直的任意斜截面上的應力dabcnx也是斜截面的外法線n與x軸的夾角。71假設de的面積為dAdc

的面積為dAcosce

的面積為dAsin

dabcnxedcetnx72edCtnebetnx73斜截面上應力的計算公式dCedabcnxentx74abcdxnfe在=-450

和=+450

的兩斜截面上正應力分別為中的最大值和最小值，它們的絕對值都等于，但一個為拉應力，一個為壓應力。且在這兩截面上切應力等于零。75以上結論是純剪切應力狀態(tài)的特點，并不限于等直圓桿扭轉(zhuǎn)時這一特殊情況。tt′smaxsmin45°結論：如果材料的抗剪切能力差，構件就沿橫截面發(fā)生破壞（塑性材料）；

如果材料的抗拉壓能力差，構件就沿450