高等數(shù)學(xué)二重積分

1第二節(jié)二重積分的計(jì)算一直角坐標(biāo)系中的計(jì)算方法二極坐標(biāo)系中的計(jì)算方法2一直角坐標(biāo)系中的計(jì)算方法計(jì)算二重積分的根本思想：化為兩次定積分oxyabcd

分別用平行于x軸和y軸的直線對區(qū)域進(jìn)行分割，如圖。ΔxΔyΔσ

可見，除邊緣外，其余均為矩形，其面積為可以證明：其中dxdy稱為面積元素。3利用二重積分的幾何意義化二重積分為二次積分〔1〕當(dāng)積分區(qū)域?yàn)橐韵戮O(shè)函數(shù)且在D上連續(xù)。如下圖：oxyabDoxyabzD相應(yīng)的曲頂柱體如右圖。4

在區(qū)間[a，b]內(nèi)任取一點(diǎn)x，過此點(diǎn)作與yoz面平行的平面，它與曲頂柱體相交得到一個(gè)一個(gè)曲邊梯形：底為高為x其面積為所以根據(jù)平行截面面積為的立體的立體公式，得oxyabzD5于是，得二重積分的計(jì)算公式：類似地，假設(shè)積分區(qū)域?yàn)槿缬覉D所示，oxyDcd那么二重積分的計(jì)算公式為6

總結(jié)：二重積分的計(jì)算就是轉(zhuǎn)化為二次定積分，顯然，確定積分次序和積分上、下限是關(guān)鍵。這主要由積分區(qū)域D所確定。所謂先積線，后積點(diǎn)以第一種情況為例加以說明：如圖：oxyabDx區(qū)間[a,b]是x的取值范圍。

在此區(qū)間內(nèi)任取一點(diǎn)x，過該點(diǎn)自下而上作一條平行于y軸的射線，先穿過的邊界是y的積分下限，7后穿過的邊界是y的積分上限。第二種情形可同理討論。

對于其他情形，都可化為這兩種情況加以轉(zhuǎn)化。如以下圖：oxyD1D2D3oxyD1D3D28例1計(jì)算D為直線與拋物線所圍的區(qū)域。不妨用兩種情形分別進(jìn)行計(jì)算，加以比較。法一先y后x。解：積分區(qū)域D如圖。1oxyD

將積分區(qū)域投影到x軸上，得到x的范圍[0，1].在[0，1]上任取一點(diǎn)x，過該點(diǎn)作一條平行于y軸的射線，x先穿過的邊界作y的積分下限，后穿過的邊界作y的上限，這樣就有9所以法二oxyD

將積分區(qū)域投影到y(tǒng)軸上，得到y(tǒng)的范圍[0，1].1在[0，1]上任取一點(diǎn)y，過該點(diǎn)作一條平行于x軸的射線，y則先穿過的邊界為x的下限，后穿過的邊界為x的上限，于是10所以

小結(jié)：在二重積分的計(jì)算中，有時(shí)積分次序的選擇顯得相當(dāng)重要，因而具體計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意觀察積分區(qū)域的特征和被積函數(shù)的特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)姆e分次序，以便使計(jì)算盡可能簡單。11例2將化成二次積分，其中D由圍成。解：解方程組得這條直線和拋物線的交點(diǎn)為(8,4),(2,-2)，如右圖。oxy1〕先對y后對x積分：8得所以12oxy2）先對x后對y積分：得如圖。-24所以小結(jié)：顯然1〕較2〕麻煩。13例3計(jì)算其中D由圍成。

解：此三條直線的交點(diǎn)分別為(1,1)，(0,1)，(0,0)，所圍區(qū)域如右。oxy1先對x后對y積分：注意：假設(shè)先對y后對x積分：14

的原函數(shù)無法用初等函數(shù)表示出來，因而此二重積分不能計(jì)算出來。例4交換以下二重積分的積分次序：解：這是先對y后對x的積分，積分區(qū)域?yàn)榭芍e分區(qū)域由所圍成，如下圖：15oxy12-2故改變積分次序后得二、極坐標(biāo)系中的計(jì)算方法1直角坐標(biāo)系中的二重積分化為極坐標(biāo)系中的二重積分

如下圖的極坐標(biāo)系中的積分區(qū)域D，Ao

過極點(diǎn)O引射線和以極點(diǎn)為圓心的同心圓，

它們將區(qū)域D分成許多16小區(qū)域，除去含有邊界點(diǎn)的小區(qū)域，其余小區(qū)域的面積為：Ao在圓周上任取一點(diǎn)，其中設(shè)其直角坐標(biāo)為，它們的關(guān)系為所以17因此此公式可將直角坐標(biāo)系下的二重積分化為極坐標(biāo)系下的二重積分，其中為極坐標(biāo)系中的面積元素。2化為二次積分

一般均是先對r積分再對θ積分，因而主要是確定r、θ的積分上下限，分情況討論：18〔1〕極點(diǎn)在區(qū)域D外，如圖：oAD那么〔2〕極點(diǎn)在區(qū)域D的邊界上，如圖。oAD那么19〔1〕極點(diǎn)在區(qū)域D內(nèi)，如圖：oAθ那么例5計(jì)算，其中D：

解：積分區(qū)域是如下圖的環(huán)域，用極坐標(biāo)計(jì)算方便。oxy12因而20例6計(jì)算，其中