矩陣的特征值和特征向量總結(jié)

2023/5/171第三章矩陣的特征值與特征向量§1方陣的特征值與特征向量§2

矩陣的對(duì)角化2023/5/172第1節(jié)方陣的特征值與特征向量2023/5/173定義3.13.1.1

特征值與特征向量的基本概念

2023/5/174例1解是不是2023/5/175命題1命題2命題3矩陣A的任一特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值是唯一的。2023/5/176它有非零解的充分必要條件是即怎樣求矩陣A的特征值與特征向量？2023/5/177矩陣的特征方程和特征多項(xiàng)式定義3.2A的特征方程A的特征多項(xiàng)式A的特征矩陣特征方程的根稱為A的特征根，也稱為A的特征值。2023/5/178求矩陣的特征值與特征向量的步驟求矩陣A的特征方程2.求特征方程的根，即特征值3.對(duì)每個(gè)特征值解方程組求出該齊次線性方程組的通解，除去0向量便得屬于的全部特征向量。2023/5/179例2：求矩陣的特征值和特征向量解A的特征多項(xiàng)式為A的特征值為2023/5/1710得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系2023/5/1711練習(xí):求下列矩陣的特征值和特征向量解A的特征多項(xiàng)式為A的特征值為即對(duì)應(yīng)的特征向量可取為2023/5/1712對(duì)應(yīng)的特征向量可取為2023/5/17133.1.2特征值與特征向量的性質(zhì)

定理1定理2推論若n階方陣有互不相同的特征值則其對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)。2023/5/1714定理32023/5/1715(2)由于2023/5/1716定理4設(shè)A是n階方陣，是的特征值.若為A

的特征值，則2023/5/17172023/5/1718例3設(shè)A是一個(gè)三階矩陣，1，2，3是它的三個(gè)特征值，試求（1）A的主對(duì)角線元素之和（2）解的特征值依次為2023/5/1719例4試證n階矩陣A是不可逆(奇異)矩陣的充要條件是A中至少有一個(gè)特征值為0。證明因?yàn)闉锳的特征值）所以的充分必要條件是至少有一個(gè)特征值為零。2023/5/1720第2節(jié)矩陣的對(duì)角化2023/5/1721定義3.3

設(shè)A和B為n階矩陣,如果存在n階可逆矩陣P，使得則稱A相似于B，或說A和B相似(similar),

記做AB.性質(zhì)（1）反身性A相似于A（2）對(duì)稱性A相似于B，可推出B相似于A（3）傳遞性A相似于B，B相似于C，可推出

A相似于C。3.2.1相似矩陣及其性質(zhì)

～2023/5/1722容易證明相似矩陣的如下性質(zhì)：（1）反身性，即（2）對(duì)稱性，即如果則,（3）傳遞性，即如果,則,證明證明證明2023/5/1723方陣的跡定義3.4方陣的跡是它的主對(duì)角線上的元素和例5tr(A)=2+(-3)+0=-1性質(zhì)：(1)tr(A+B)=tr(A)+tr(B)(2)tr(AB)=tr(BA)(性質(zhì)3.1)2023/5/1724性質(zhì)3.1(2)設(shè)

則證明

故2023/5/1725相似矩陣的性質(zhì)若A和B相似，則A和B有相等的秩。2.方陣A和B有相等的行列式。(性質(zhì)3.2)證明（1）2023/5/17263.方陣A和B有相等的跡。(性質(zhì)3.2)4.方陣A和B有相同的特征多項(xiàng)式，因而有相同的特征值。TH5推論如果矩陣A相似于一個(gè)對(duì)角矩陣，則對(duì)角矩陣的主對(duì)角線上的元素就是A的全部特征值。2023/5/1727易證對(duì)角形矩陣則是的全部特征值。2023/5/1728定理3.6n階矩陣A與n階對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。充分性3.2.2矩陣的對(duì)角化

2023/5/1729必要性設(shè)A相似于對(duì)角矩陣即存在可逆矩陣B，使得由B可逆便知：都是非零向量，因而都是A的特征向量，且線性無關(guān)。2023/5/1730推論如果n階矩陣A的特征值互不相同則A相似于對(duì)角矩陣定理3.7n階矩陣A與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是對(duì)于每一個(gè)重特征值,對(duì)應(yīng)著個(gè)線性無關(guān)的特征向量.2023/5/1731相似變換若A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量則A相似于對(duì)角陣2023/5/1732例矩陣能否相似于對(duì)角陣?解A的特征方程為得特征值為2023/5/1733對(duì)于解方程組解方程組可求得特征向量是對(duì)應(yīng)于的全部特征向量.不存在兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量.由定理可知A不能與對(duì)角陣相似.因?yàn)槭嵌馗?而對(duì)應(yīng)于特征根2023/5/1734將一個(gè)方陣A對(duì)角化,可以按P88如下步驟進(jìn)行:2023/5/1735注(1):若A的全部線性無關(guān)特征向量個(gè)數(shù)小于n個(gè),則不能對(duì)角化,此時(shí)A只能化為若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.2023/5/1736例

用相似變換化下列矩陣為對(duì)角陣解:A的特征方程為特征值為對(duì)于可求得特征向量對(duì)于可求得線性無關(guān)的特征向量這三個(gè)特征向量線性無關(guān)2023/5/17372023/5/1738練一練用相似變換化矩陣為對(duì)角形.2023/5/1739應(yīng)用:利用對(duì)角化計(jì)算矩陣的冪2023/5/1740設(shè)解:A的特征方程為特征值為對(duì)應(yīng)的特征向量為對(duì)應(yīng)的特征向量為例72023/5/1741練習(xí)已知

問滿足什么條件時(shí)，A可對(duì)角化？解首先

所以，A的特征值為2（重?cái)?shù)為1）和1（重?cái)?shù)為2）。2023/5/1742

考慮A的特征值1。對(duì)方程組，僅當(dāng)秩時(shí)，才能使基礎(chǔ)解系含2個(gè)解向量。又故。

所以，當(dāng)時(shí)，