曲線(xiàn)曲面基礎(chǔ)

關(guān)于曲線(xiàn)曲面基礎(chǔ)第1頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第2頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月工業(yè)產(chǎn)品外形分類(lèi)

一類(lèi)是僅由初等解析曲面（例如平面、圓柱面、圓錐面、球面、圓環(huán)面等）組成，大多數(shù)機(jī)械零件屬于這一類(lèi)，可以用畫(huà)法幾何與機(jī)械制圖的方法完全清楚表達(dá)和傳遞所包含的全部形狀信息。第二類(lèi)是不能由初等解析曲面組成，而以復(fù)雜方式自由變化的曲線(xiàn)曲面即所謂自由型曲線(xiàn)曲面組成，例如飛機(jī)、汽車(chē)、船舶的外形零件。這一類(lèi)形狀單純用畫(huà)法幾何與機(jī)械制圖是不能表達(dá)清楚的。自由曲線(xiàn)和曲面因不能由畫(huà)法幾何與機(jī)械制圖方法表達(dá)清楚，成為工程師們首要解決的問(wèn)題。人們一直在尋求用數(shù)學(xué)方法唯一定義自由曲線(xiàn)和曲面的形狀。第3頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月曲面造型（SurfaceModeling）是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)（ComputerAidedGeometricDesign，CAGD）和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容，主要研究在計(jì)算機(jī)圖形系統(tǒng)的環(huán)境下對(duì)曲線(xiàn)曲面的表示、設(shè)計(jì)、顯示和分析。它起源于汽車(chē)、飛機(jī)、船舶、葉輪等的外形放樣工藝，由Coons、Bezier等大師于二十世紀(jì)六十年代奠定其理論基礎(chǔ)。經(jīng)過(guò)三十多年的發(fā)展，曲面造型現(xiàn)在已形成了以有理B樣條曲面（RationalB-SplineSurface）為基礎(chǔ)的參數(shù)化特征設(shè)計(jì)和隱式代數(shù)曲面（ImplicitAlgebraicSurface）表示這兩類(lèi)方法為主體，以插值（Interpolation）、逼近（Approximation）這兩種手段為骨架的幾何理論體系。第4頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.曲線(xiàn)曲面基礎(chǔ)-16.1認(rèn)識(shí)曲線(xiàn)與曲面6.2曲面造型的發(fā)展歷程6.3曲線(xiàn)曲面的參數(shù)表達(dá)6.4Bezier曲線(xiàn)6.5B樣條曲線(xiàn)6.6NURBS曲線(xiàn)第5頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.2曲線(xiàn)曲面發(fā)展歷程1963年美國(guó)波音飛機(jī)公司的佛格森（Ferguson）最早引入?yún)?shù)三次曲線(xiàn)，將曲線(xiàn)曲面表示成參數(shù)矢量函數(shù)形式，構(gòu)造了組合曲線(xiàn)和由四角點(diǎn)的位置矢量、兩個(gè)方向的切矢來(lái)定義的佛格森雙三次曲面片。1964年，美國(guó)麻省理工學(xué)院的孔斯（Coons）用封閉曲線(xiàn)的四條邊界定義一張曲面。同年，舍恩伯格（Schoenberg）提出了參數(shù)樣條曲線(xiàn)、曲面的形式。

第6頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1971年，法國(guó)雷諾（Renault）汽車(chē)公司的貝塞爾（Bezier）發(fā)表了一種用控制多邊形定義曲線(xiàn)和曲面的方法。1974年，美國(guó)通用汽車(chē)公司的戈登（Gorden）和里森費(fèi)爾德（Riesenfeld）將B樣條理論用于形狀描述，提出了B樣條曲線(xiàn)和曲面。

u10101010101010Ni+3，3（u）Ni，3（u）Ni+1，3（u）Ni+2，3（u）titi＋3ti＋1ti＋2ti＋4ti＋5ti＋6ti＋7第7頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1975年，美國(guó)錫拉丘茲（Syracuse）大學(xué)的佛斯普里爾（Versprill）提出了有理B樣條方法。80年代后期皮格爾（Piegl）和蒂勒（Tiller）將有理B樣條發(fā)展成非均勻有理B樣條（NURBS）方法，并已成為當(dāng)前自由曲線(xiàn)和曲面描述的最廣為流行的技術(shù)。第8頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月非均勻有理B樣條（NURBS）成為當(dāng)前大多數(shù)商用CAD軟件系統(tǒng)的內(nèi)部表達(dá)技術(shù)。SolidEdge

CATIAUGNXPro/EInventor第9頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.曲線(xiàn)曲面基礎(chǔ)-16.1認(rèn)識(shí)曲線(xiàn)與曲面6.2曲面造型的發(fā)展歷程6.3曲線(xiàn)曲面的參數(shù)表達(dá)6.4Bezier曲線(xiàn)6.5B樣條曲線(xiàn)6.6NURBS曲線(xiàn)第10頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月曲線(xiàn)曲面的參數(shù)表示非參數(shù)表示有顯式和隱式之分。顯式表示如曲面方程z=f(x,y)，式中每個(gè)z值對(duì)應(yīng)唯一的x、y值，該表示計(jì)算非常方便，但無(wú)法描述多值或封閉面，如球。

隱式表示如曲面f(x,y,z)=0，這種表示不便于由已知的參量x、y計(jì)算z值。-1=0第11頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月曲線(xiàn)參數(shù)表示空間曲線(xiàn)上一點(diǎn)p的每個(gè)坐標(biāo)被表示成參數(shù)u的函數(shù)：x=x(u),y=y(u),z=z(u)合起來(lái)，曲線(xiàn)被表示為參數(shù)u的矢函數(shù)：p(u)=[xyz]=[x(u)y(u)z(u)]

最簡(jiǎn)單的參數(shù)曲線(xiàn)是直線(xiàn)段，端點(diǎn)為P1、P2的直線(xiàn)段參數(shù)方程可表示為：P(t)=P1+(P2-P1)tt∈[0,1];P(t)=(1-t)P1+tP2

t∈[0,1];第12頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月參數(shù)表示優(yōu)點(diǎn)易于滿(mǎn)足幾何不變性的要求，可以對(duì)參數(shù)方程直接進(jìn)行幾何變換，節(jié)省計(jì)算量。曲線(xiàn)曲面參數(shù)表示的幾何不變性是指它們不依賴(lài)于坐標(biāo)系的選擇或者說(shuō)在旋轉(zhuǎn)和平移變換時(shí)形狀保持不變。有更大的自由度來(lái)控制曲線(xiàn)、曲面的形狀。例如：一條二維三次曲線(xiàn)的顯式表示為：只有四個(gè)系數(shù)控制曲線(xiàn)的形狀。而采用二維三次曲線(xiàn)的參數(shù)表達(dá)式為：則有8個(gè)系數(shù)可用來(lái)控制此曲線(xiàn)的形狀。易于規(guī)定曲線(xiàn)、曲面的范圍。第13頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月參數(shù)表示優(yōu)點(diǎn)（續(xù)）易于處理多值問(wèn)題和斜率無(wú)窮大的情形。易于計(jì)算曲線(xiàn)、曲面上的點(diǎn)，而隱式方程需求解非線(xiàn)性或者超越方程。另外，求導(dǎo)、等距計(jì)算也被簡(jiǎn)化。參數(shù)方程中，代數(shù)、幾何相關(guān)和無(wú)關(guān)的變量是完全分離的，而且對(duì)變量個(gè)數(shù)不限制，從而便于用戶(hù)把低維空間中曲線(xiàn)、曲面擴(kuò)展到高維空間去。這種變量分離的特點(diǎn)使我們可以用數(shù)學(xué)公式處理幾何分量。第14頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月有關(guān)基本概念介紹位置矢量切矢法矢曲率、撓率插值：給定一組有序的數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi，i=0,1,…,n，構(gòu)造一條曲線(xiàn)順序通過(guò)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱(chēng)為對(duì)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行插值，所構(gòu)造的曲線(xiàn)稱(chēng)為插值曲線(xiàn)。常用插值方法有線(xiàn)性插值、拋物線(xiàn)插值等。逼近：構(gòu)造一條曲線(xiàn)使之在某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱(chēng)為對(duì)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行逼近，所構(gòu)造的曲線(xiàn)為逼近曲線(xiàn)。擬合：插值和逼近則統(tǒng)稱(chēng)為擬合（fitting）。第15頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.曲線(xiàn)曲面基礎(chǔ)-16.1認(rèn)識(shí)曲線(xiàn)與曲面6.2曲面造型的發(fā)展歷程6.3曲線(xiàn)曲面的參數(shù)表達(dá)6.4Bezier曲線(xiàn)6.5B樣條曲線(xiàn)6.6NURBS曲線(xiàn)第16頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Bezier曲線(xiàn)給定空間n+1個(gè)點(diǎn)的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），則Bezier參數(shù)曲線(xiàn)上各點(diǎn)坐標(biāo)的插值公式是：

其中，Pi構(gòu)成該Bezier曲線(xiàn)的特征多邊形，Bi,n(t)是n次Bernstein基函數(shù)，也稱(chēng)為調(diào)和函數(shù)：

第17頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三次Bezier曲線(xiàn)由P0、P1、P2、P3四個(gè)控制點(diǎn)構(gòu)成的控制多邊形來(lái)構(gòu)造。則三次Bezier曲線(xiàn)表示為：此時(shí)調(diào)和函數(shù)為：

上式展開(kāi)表示為：第18頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三次Bezier曲線(xiàn)性質(zhì)端點(diǎn)性質(zhì)曲線(xiàn)過(guò)控制頂點(diǎn)的首末頂點(diǎn)。將u＝0和1分別代入表達(dá)式p(u)中可知p(0)=P0,p(1)=P3。

第19頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.切矢性質(zhì)

曲線(xiàn)在首末兩點(diǎn)相切于多邊形的起、止邊。對(duì)三次Bezier曲線(xiàn)求一階導(dǎo)數(shù):第20頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4.凸包性

Bezier曲線(xiàn)不會(huì)越出特征多邊形的頂點(diǎn)所圍成的凸包。3.對(duì)稱(chēng)性

將控制頂點(diǎn)反序仍可得到同樣形狀的曲線(xiàn)。Q0Q1Q2Q3Q0Q1Q2Q3第21頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三次Bezier曲線(xiàn)實(shí)例第22頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Bezier曲線(xiàn)的計(jì)算及繪制在參數(shù)空間t∈[0,1]進(jìn)行均勻插值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)，然后連接成線(xiàn)，這條線(xiàn)就是折線(xiàn)逼近的Bezier曲線(xiàn)。

第23頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月編程實(shí)現(xiàn)：

第24頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月也可寫(xiě)成矩陣表達(dá)式，式中若求PX(t)的值，則取Pi的x坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，同理求Py(t)、Pz(t)的值，具體如下：

Px(t)＝[B0,3(t)B1,3(t)B2,3(t)B3,3(t)][P0xP1xP2xP3x]TPy(t)＝[B0,3(t)B1,3(t)B2,3(t)B3,3(t)][P0yP1yP2yP3y]TPz(t)＝[B0,3(t)B1,3(t)B2,3(t)B3,3(t)][P0zP1zP2zP3z]T注意：上式基函數(shù)的計(jì)算僅需一次，不必三次。Bezier曲線(xiàn)的繪制：例如利用上面的計(jì)算方法可分別求出t＝0.0，0.05，0.10，0.15，……，0.95，1.0時(shí)的曲線(xiàn)上的點(diǎn)，依次連接相鄰兩點(diǎn)為直線(xiàn)段，即可得近似的曲線(xiàn)圖形。第25頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Bezier曲線(xiàn)幾何作圖與分割特性給定參數(shù)t（t[0,1]），把定義域[0,1]分成長(zhǎng)度為t:(1-t)的兩段。依次對(duì)原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的定比分割，所得分點(diǎn)就是第一級(jí)遞推生成的中間頂點(diǎn)。對(duì)這些中間頂點(diǎn)構(gòu)成的控制多邊形再執(zhí)行同樣的定比分割，得第二級(jí)中間頂點(diǎn)。重復(fù)進(jìn)行下去，直到n級(jí)遞推得到一個(gè)中間頂點(diǎn)P0n即為所求曲線(xiàn)上的點(diǎn)P(t)。例如：對(duì)三次Bezier曲線(xiàn)（給定參數(shù)域t[0,1]）上t＝1/3的點(diǎn)。把定義域分成長(zhǎng)度為1/3:(1-1/3)的兩段。依次對(duì)原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的定比分割，所得分點(diǎn)就是第一級(jí)遞推生成的中間頂點(diǎn)P01、P11、P21。對(duì)這些中間頂點(diǎn)構(gòu)成的控制多邊形再執(zhí)行同樣的定比分割，得第二級(jí)中間頂點(diǎn)P02、P12。重復(fù)進(jìn)行下去，直到第3級(jí)遞推得到一個(gè)中間頂點(diǎn)P03，即為所求曲線(xiàn)上的點(diǎn)P(t)。第26頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月這一算法隱含說(shuō)明任一Bezier曲線(xiàn)均可被分割為兩段Bezier曲線(xiàn)。第一段由P0、P01、P02、P03確定，參數(shù)空間為[0,1/3];第二段P03、P12、P21、P3確定，參數(shù)空間為[1/3,1],分割后的曲線(xiàn)形狀保持不變。如圖所示。

第27頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Bezier曲線(xiàn)拼接，

工程實(shí)際中存在許多復(fù)雜形狀的曲線(xiàn)或曲面．不可能用一條Bezier曲線(xiàn)擬合出復(fù)雜的曲線(xiàn)，但可采用分段Bezier曲線(xiàn)經(jīng)拼接后擬合實(shí)際中存在的復(fù)雜曲線(xiàn)。工程應(yīng)用中，希望各段曲線(xiàn)在連接處光滑，即切矢連續(xù)(一階幾何連續(xù))或曲率連續(xù)(二階幾何連續(xù))。這里僅討論切矢連續(xù)的問(wèn)題。第28頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月，

下圖所示為兩段三次Bezier曲線(xiàn)的一階連續(xù)拼接：Q1’由圖中可以看出，Q1’的移動(dòng)只要滿(mǎn)足共線(xiàn)要求即可滿(mǎn)足二曲線(xiàn)的切矢光滑拼接（即一階幾何連續(xù)）。而不需滿(mǎn)足P’(1)＝Q’(0)（即一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)）。也就是說(shuō)一階幾何連續(xù)比一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)限制更寬松，也能滿(mǎn)足光滑連續(xù)的工程要求，這是參數(shù)表達(dá)的優(yōu)勢(shì)之一。第29頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Bezier曲線(xiàn)的不足Bezier曲線(xiàn)的不足：一是特征多邊形頂點(diǎn)數(shù)決定了Bezier曲線(xiàn)的階次，并且當(dāng)n很大時(shí)，特征多邊形對(duì)曲線(xiàn)形狀的控制將會(huì)減弱。二是Bezier曲線(xiàn)不能作局部修改，改變某一控制點(diǎn)將波及整條曲線(xiàn)。其原因是調(diào)和函數(shù)Bi,n(t)在整個(gè)區(qū)間內(nèi)均不為零。

三是繪制復(fù)雜曲線(xiàn)需要拼接，比較繁瑣。因此發(fā)展了B樣條曲線(xiàn)1972年Gordon等人拓展了Bezier曲線(xiàn)，用B樣條基代替Bernstein基函數(shù)，從而改進(jìn)了Bezier特征多邊形與Bernstein多項(xiàng)式次數(shù)有關(guān)、且整體逼近的弱點(diǎn)。第30頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.曲線(xiàn)曲面基礎(chǔ)-16.1認(rèn)識(shí)曲線(xiàn)與曲面6.2曲面造型的發(fā)展歷程6.3曲線(xiàn)曲面的參數(shù)表達(dá)6.4Bezier曲線(xiàn)6.5B樣條曲線(xiàn)6.6NURBS曲線(xiàn)第31頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月B樣條曲線(xiàn)n+1個(gè)控制點(diǎn)Pi(i=0,1,…,n)構(gòu)成特征多邊形的頂點(diǎn)，k+1階(k次)B樣條曲線(xiàn)的表達(dá)式是：其中Ni,k(u)是調(diào)和函數(shù)，也稱(chēng)為基函數(shù)，按照遞歸公式可定義為：第32頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月un+k+1u0u1un+k式中：U=[u0,u1,……,un+k,un+k+1]稱(chēng)為B樣條基函數(shù)的節(jié)點(diǎn)向量，ui為節(jié)點(diǎn)值，且應(yīng)滿(mǎn)足ui

ui＋1，即節(jié)點(diǎn)值應(yīng)滿(mǎn)足有序遞增（允許有重節(jié)點(diǎn)）。第33頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月均勻三次B樣條曲線(xiàn)由于B樣條曲線(xiàn)比較復(fù)雜，為分析的方便性，本文先以均勻三次B樣條為例進(jìn)行分析，其節(jié)點(diǎn)矢量等距分布(即ui＋1－ui＝常數(shù))。前面的B樣條基函數(shù)可展開(kāi)為：空間n+1個(gè)控制頂點(diǎn)Pi（i=0，1，……，n）可構(gòu)造n－2段三次（k＝3，四階）均勻B樣條曲線(xiàn)段，每相鄰四個(gè)點(diǎn)可定義一曲線(xiàn)段Pi(u)，（i=1，……

，n－2）。式中u＝[0,1]第34頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如任意四個(gè)頂點(diǎn)Pi、Pi+1、Pi+2、Pi+3作為特征多邊形構(gòu)造的均勻三次B樣條曲線(xiàn)段的方程Pi(u)可表達(dá)式為：式中：u∈[0,1]第35頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月均勻三次B樣條曲線(xiàn)的程序?qū)崿F(xiàn)第36頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月均勻三次B樣條曲線(xiàn)的幾何意義由前面可導(dǎo)出如下公式：()()()()()3i2i1ii1i3ii3i2i1iiP2PP1pPP211pP4PP611p+++++++++-=-=++=&&&

(1)曲線(xiàn)起點(diǎn)位于以PiPi+1和Pi+1Pi+2為兩鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)的1/6處。

(2)起點(diǎn)的切矢與Pi+2Pi平行，模為||Pi+2-Pi||/2。

(3)起點(diǎn)的二階導(dǎo)矢是以PiPi+1和Pi+1Pi+2為兩鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)方向。

(4)曲線(xiàn)段末點(diǎn)的情形與上述三點(diǎn)類(lèi)似，只是向前推移一個(gè)頂點(diǎn)。第37頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由前面的推導(dǎo)可知，第一段曲線(xiàn)的末點(diǎn)與第二曲線(xiàn)的首點(diǎn)滿(mǎn)足滿(mǎn)足二階函數(shù)連續(xù)。依次類(lèi)推，各曲線(xiàn)段的末點(diǎn)與下一個(gè)曲線(xiàn)段的首點(diǎn)均滿(mǎn)足滿(mǎn)足二階函數(shù)連續(xù)，這是B樣條曲線(xiàn)的優(yōu)勢(shì)之一。因此采用B樣條曲線(xiàn)直接能夠構(gòu)造光滑的復(fù)雜曲線(xiàn)。Pi＋4Pi＋5第38頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月均勻三次B樣條曲線(xiàn)的幾何作圖

根據(jù)B樣條曲線(xiàn)起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置、起點(diǎn)和終點(diǎn)的切矢方向即可近似的幾何作圖。四點(diǎn)共線(xiàn)二重頂點(diǎn)三重頂點(diǎn)第39頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月B樣條曲線(xiàn)性質(zhì)1.對(duì)稱(chēng)性

將控制頂點(diǎn)反序仍可得到同樣形狀的曲線(xiàn)。Q0Q4Q5Q8Q1,

Q2,Q3Q6,

Q7第40頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.凸包性

即B樣條曲線(xiàn)不越出特征多邊形頂點(diǎn)所圍成的凸包（如圖中陰影所示）。Pi＋4Pi＋5第41頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月B樣條曲線(xiàn)具有局部性質(zhì)。對(duì)均勻三次B樣條曲線(xiàn)任意段修改時(shí)，只被相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)控制，與其它的控制點(diǎn)無(wú)關(guān)。換句話(huà)說(shuō)，每段k次B樣條曲線(xiàn)只涉及k＋1個(gè)基函數(shù)，并由k＋1個(gè)頂點(diǎn)所定義。

如圖，當(dāng)修改P5時(shí)，只影響P2至P8之間的四條樣條段(A至B)，對(duì)其它段則不產(chǎn)生影響。這一特點(diǎn)對(duì)曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)和修改非常有利。

第42頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月連續(xù)性均勻三次B樣條曲線(xiàn)段連接處具有二階連續(xù)性。一般來(lái)說(shuō)，k次B樣條曲線(xiàn)具有k－1階函數(shù)連續(xù)性。由前面的作圖過(guò)程可知，當(dāng)出現(xiàn)重復(fù)控制頂點(diǎn)時(shí)，曲線(xiàn)幾何連續(xù)性可能下降（但函數(shù)導(dǎo)數(shù)仍連續(xù)），甚至產(chǎn)生尖點(diǎn)。當(dāng)節(jié)點(diǎn)矢量出現(xiàn)重復(fù)節(jié)點(diǎn)時(shí)，在其重節(jié)點(diǎn)處曲線(xiàn)連續(xù)性將逐次下降。如當(dāng)在P2處為二重節(jié)點(diǎn)時(shí)，連接處為一階連續(xù)，而當(dāng)P2為三重節(jié)點(diǎn)時(shí)，導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，此時(shí)將出現(xiàn)尖點(diǎn)。5.造型的靈活性性質(zhì)4的特點(diǎn)說(shuō)明，只要靈活選用控制點(diǎn)的位置和節(jié)點(diǎn)的重復(fù)數(shù)，可以獲得特殊要求的曲線(xiàn)段。第43頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月B樣條曲線(xiàn)的拼接第44頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月B樣條曲線(xiàn)的反算由：得：第45頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第46頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于開(kāi)曲線(xiàn)，則首末點(diǎn)邊界切矢可由用戶(hù)隨意交互給定對(duì)于封閉曲線(xiàn)，則首末的位置相同，且邊界切矢方向相同邊界條件補(bǔ)充時(shí)應(yīng)注意：第47頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月B樣條曲線(xiàn)與Bezier曲線(xiàn)的比較1、Bezier曲線(xiàn)的基函數(shù)的次數(shù)等于控制頂點(diǎn)數(shù)減一，而B(niǎo)樣條曲線(xiàn)的基函數(shù)的次數(shù)與控制點(diǎn)數(shù)無(wú)關(guān)，即可用任意多的控制點(diǎn)來(lái)擬合三次均勻B樣條曲線(xiàn)。原因是B樣條曲線(xiàn)是分段擬合的，這樣構(gòu)造復(fù)雜曲線(xiàn)更方便。2、Bezier曲線(xiàn)的起點(diǎn)和終點(diǎn)正好是控制多邊形的首末控制點(diǎn)，控制形狀直觀方便。而B(niǎo)樣條曲線(xiàn)不經(jīng)過(guò)控制多邊形頂點(diǎn)。第48頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3、為使B樣條曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)控制多邊形首末控制頂點(diǎn)，使之具有Bezier類(lèi)似的優(yōu)點(diǎn)。實(shí)際應(yīng)用中常引入準(zhǔn)均勻B樣條，即在節(jié)點(diǎn)矢量中兩端節(jié)點(diǎn)具有k＋1個(gè)重復(fù)度。例如：當(dāng)控制點(diǎn)數(shù)n＝7，次數(shù)k＝3的準(zhǔn)均勻三次B樣條曲線(xiàn)的節(jié)點(diǎn)矢量可定義為u＝[0，0，0，0，1，2，3，3，3，3]。第49頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4、若三次B樣條曲線(xiàn)n＝4，k＝3的節(jié)點(diǎn)矢量u＝[0，0，0，0，1，1，1，1]，此時(shí)三次B樣條曲線(xiàn)轉(zhuǎn)化為三次Bezier曲線(xiàn)。

因此，可以說(shuō)Bezier曲線(xiàn)僅是B樣條曲線(xiàn)的特例，也就是說(shuō)B樣條表達(dá)能力完全覆蓋了Bezier表達(dá)。第50頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2