高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)資料教師版

高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)資料（老師版）第一章集合第一節(jié)集合的含義、表示及基本關(guān)系A(chǔ)組1．已知A＝{1,2}，B＝{∈A}，則集合A和B的關(guān)系為．解析：由集合B＝{∈A}知，B＝{1,2}．答案：A＝B2．若?{2≤a，a∈R}，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．解析：由題意知，x2≤a有解，故a≥0.答案：a≥03．已知集合A＝{＝x2－2x－1，x∈R}，集合B＝{－2≤x<8}，則集合A和B的關(guān)系是．解析：y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2≥－2，∴A＝{≥－2}，∴.答案：4．(2009年高考廣東卷改編)已知全集U＝R，則正確表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{2＋x＝0}關(guān)系的韋恩()圖是．解析：由{20}，得{-1,0}，則.答案：②5．(2010年蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)查)已知集合A＝{>5}，集合B＝{>a}，若命題“x∈A”是命題“x∈B”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．解析：命題“x∈A”是命題“x∈B”的充分不必要條件，∴AB，∴a<5.答案：a<56．(原創(chuàng)題)已知m∈A，n∈B，且集合A＝{＝2a，a∈Z}，B＝{＝2a＋1，a∈Z}，又C＝{＝4a＋1，a∈Z}，推斷m＋n屬于哪一個(gè)集合？解：∵m∈A，∴設(shè)m＝2a1，a1∈Z，又∵n∈B，∴設(shè)n＝2a2＋1，a2∈Z，∴m＋n＝2(a1＋a2)＋1，而a1＋a2∈Z，∴m＋n∈B.B組1．設(shè)a，b都是非零實(shí)數(shù)，y＝\f()＋\f()＋\f()可能取的值組成的集合是．解析：分四種狀況：(1)a>0且b>0；(2)a>0且b<0；(3)a<0且b>0；(4)a<0且b<0，探討得y＝3或y＝－1.答案：{3，－1}2．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B?A，則實(shí)數(shù)m＝.解析：∵B?A，明顯m2≠－1且m2≠3，故m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，∴m＝1.答案：13．設(shè)P，Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合P＋Q＝{a＋∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，則P＋Q中元素的個(gè)數(shù)是個(gè)．解析：依次分別取a＝0,2,5；b＝1,2,6，并分別求和，留意到集合元素的互異性，∴P＋Q＝{1,2,6,3,4,8,7,11}．答案：84．已知集合M＝{2＝1}，集合N＝{＝1}，若NM，那么a的值是．解析：M＝{＝1或x＝－1}，NM，所以N＝?時(shí)，a＝0；當(dāng)a≠0時(shí)，x＝\f(1)＝1或－1，∴a＝1或－1.答案：0,1，－15．滿意{1}A?{1,2,3}的集合A的個(gè)數(shù)是個(gè)．解析：A中肯定有元素1，所以A有{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．答案：36．已知集合A＝{＝a＋\f(1,6)，a∈Z}，B＝{＝\f(b,2)－\f(1,3)，b∈Z}，C＝{＝\f(c,2)＋\f(1,6)，c∈Z}，則A、B、C之間的關(guān)系是．解析：用列舉法找尋規(guī)律．答案：＝C7．集合A＝{≤4，x∈R}，B＝{<a}，則“A?B”是“a>5”的．解析：結(jié)合數(shù)軸若A?B?a≥4，故“A?B”是“a>5”的必要但不充分條件．答案：必要不充分條件8．(2010年江蘇啟東模擬)設(shè)集合M＝{＝2n，n∈N，且m<500}，則M中全部元素的和為．解析：∵2n<500，∴n＝0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M中全部元素的和S＝1＋2＋22＋…＋28＝511.答案：5119．(2009年高考北京卷)設(shè)A是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對(duì)于k∈A，假如k－1?A，且k＋1?A，那么稱k是A的一個(gè)“孤立元”．給定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3個(gè)元素構(gòu)成的全部集合中，不含“孤立元”的集合共有個(gè)．解析：依題可知，由S的3個(gè)元素構(gòu)成的全部集合中，不含“孤立元”，這三個(gè)元素肯定是相連的三個(gè)數(shù)．故這樣的集合共有6個(gè)．答案：610．已知A＝{x，，()}，B＝{0，，y}，且A＝B，試求x，y的值．解：由()知，>0，故x≠0，≠0，于是由A＝B得()＝0，＝1.∴A＝{x,1,0}，B＝{0，，\f(1)}．于是必有＝1，\f(1)＝x≠1，故x＝－1，從而y＝－1.11．已知集合A＝{2－3x－10≤0}，(1)若B?A，B＝{＋1≤x≤2m－1}，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若A?B，B＝{－6≤x≤2m－1}，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)若A＝B，B＝{－6≤x≤2m－1}，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：由A＝{2－3x－10≤0}，得A＝{－2≤x≤5}，(1)∵B?A，∴①若B＝?，則m＋1>2m－1，即m<2，此時(shí)滿意B?A.②若B≠?，則\b\\{\\(\a\4\\1(m＋1≤2m－1，,－2≤m＋1，,2m－1≤5.))解得2≤m≤3.由①②得，m的取值范圍是(－∞，3]．(2)若A?B，則依題意應(yīng)有\(zhòng)b\\{\\(\a\4\\1(2m－1>m－6，－6≤－2，,2m－1≥5.))解得\b\\{\\(\a\4\\1(m>－5，≤4，≥3.))故3≤m≤4，∴m的取值范圍是[3,4]．(3)若A＝B，則必有\(zhòng)b\\{\\(\a\4\\1(m－6＝－2，,2m－1＝5，))解得m∈?.，即不存在m值使得A＝B.12．已知集合A＝{2－3x＋2≤0}，B＝{2－(a＋1)x＋a≤0}．(1)若A是B的真子集，求a的取值范圍；(2)若B是A的子集，求a的取值范圍；(3)若A＝B，求a的取值范圍．解：由x2－3x＋2≤0，即(x－1)(x－2)≤0，得1≤x≤2，故A＝{1≤x≤2}，而集合B＝{(x－1)(x－a)≤0}，(1)若A是B的真子集，即AB，則此時(shí)B＝{1≤x≤a}，故a>2.(2)若B是A的子集，即B?A，由數(shù)軸可知1≤a≤2.(3)若，則必有2其次節(jié)集合的基本運(yùn)算A組1．(2009年高考浙江卷改編)設(shè)U＝R，A＝{>0}，B＝{>1}，則A∩?＝.解析：?＝{≤1}，∴A∩?＝{0<x≤1}．答案：{0<x≤1}2．(2009年高考全國(guó)卷Ⅰ改編)設(shè)集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，則集合?U(A∩B)中的元素共有個(gè)．解析：A∩B＝{4,7,9}，A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，?U(A∩B)＝{3,5,8}．答案：33．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{＝2a，a∈M}，則集合M∩N＝.解析：由題意知，N＝{0,2,4}，故M∩N＝{0,2}．答案：{0,2}4．(原創(chuàng)題)設(shè)A，B是非空集合，定義A?B＝{∈A∪B且x?A∩B}，已知A＝{0≤x≤2}，B＝{≥0}，則A?B＝.解析：A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[0,2]，所以A?B＝(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)5．(2009年高考湖南卷)某班共30人，其中15人寵愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)，10人寵愛(ài)乒乓球運(yùn)動(dòng)，8人對(duì)這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不寵愛(ài)，則寵愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)但不寵愛(ài)乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為．解析：設(shè)兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都寵愛(ài)的人數(shù)為x，畫(huà)出韋恩圖得到方程15108=303，∴寵愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)但不寵愛(ài)乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為15-3=12(人)．答案：126．(2010年浙江嘉興質(zhì)檢)已知集合A＝{>1}，集合B＝{≤x≤m＋3}．(1)當(dāng)m＝－1時(shí)，求A∩B，A∪B；(2)若B?A，求m的取值范圍．解：(1)當(dāng)m＝－1時(shí)，B＝{－1≤x≤2}，∴A∩B＝{1<x≤2}，A∪B＝{≥－1}．(2)若B?A，則m>1，即m的取值范圍為(1，＋∞)B組1．若集合M＝{x∈－3<x<1}，N＝{x∈－1≤x≤2}，則M∩N＝.解析：因?yàn)榧螻＝{－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－1,0}．答案：{－1,0}2．已知全集U＝{－1,0,1,2}，集合A＝{－1,2}，B＝{0,2}，則(?)∩B＝.解析：?＝{0,1}，故(?)∩B＝{0}．答案：{0}3．(2010年濟(jì)南市高三模擬)若全集U＝R，集合M＝{－2≤x≤2}，N＝{2－3x≤0}，則M∩(?)＝.解析：依據(jù)已知得M∩(?)＝{－2≤x≤2}∩{<0或x>3}＝{－2≤x<0}．答案：{－2≤x<0}4．集合A＝{3，2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，則A∪B＝.解析：由A∩B＝{2}得2a＝2，∴a＝4，從而b＝2，∴A∪B＝{2,3,4}．答案：{2,3,4}5．(2009年高考江西卷改編)已知全集U＝A∪B中有m個(gè)元素，(?)∪(?)中有n個(gè)元素．若A∩B非空，則A∩B的元素個(gè)數(shù)為．解析：U＝A∪B中有m個(gè)元素，∵(?)∪(?)＝?U(A∩B)中有n個(gè)元素，∴A∩B中有m－n個(gè)元素．答案：m－n6．(2009年高考重慶卷)設(shè)U＝{是小于9的正整數(shù)}，A＝{n∈是奇數(shù)}，B＝{n∈是3的倍數(shù)}，則?U(A∪B)＝.解析：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}，∴A∪B＝{1,3,5,6,7}，得?U(A∪B)＝{2,4,8}．答案：{2,4,8}7．定義A?B＝{＝＋\f()，x∈A，y∈B}．設(shè)集合A＝{0,2}，B＝{1,2}，C＝{1}，則集合(A?B)?C的全部元素之和為．解析：由題意可求(A?B)中所含的元素有0,4,5，則(A?B)?C中所含的元素有0,8,10，故全部元素之和為18.答案：188．若集合{(x，y)＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{(x，y)＝3x＋b}，則b＝.解析：由\b\\{\\(\a\4\\1(x＋y－2＝0，－2y＋4＝0.))?\b\\{\\(\a\4\\1(x＝0，＝2.))點(diǎn)(0,2)在y＝3x＋b上，∴b＝2.9．設(shè)全集I＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{2，＋1|}，?＝{5}，M＝{＝2}，則集合M的全部子集是．解析：∵A∪(?)＝I，∴{2,3，a2＋2a－3}＝{2,5，＋1|}，∴＋1|＝3，且a2＋2a－3＝5，解得a＝－4或a＝2，∴M＝{22，2|－4|}＝{1,2}．答案：?，{1}，{2}，{1,2}10．設(shè)集合A＝{2－3x＋2＝0}，B＝{2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}．(1)若A∩B＝{2}，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若A∪B＝A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，故集合A＝{1,2}．(1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，得a2＋4a＋3＝0?a＝－1或a＝－3；當(dāng)a＝－1時(shí)，B＝{2－4＝0}＝{－2,2}，滿意條件；當(dāng)a＝－3時(shí)，B＝{2－4x＋4＝0}＝{2}，滿意條件；綜上，a的值為－1或－3.(2)對(duì)于集合B，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)．∵A∪B＝A，∴B?A，①當(dāng)Δ<0，即a<－3時(shí)，B＝?滿意條件；②當(dāng)Δ＝0，即a＝－3時(shí)，B＝{2}滿意條件；③當(dāng)Δ>0，即a>－3時(shí)，B＝A＝{1,2}才能滿意條件，則由根和系數(shù)的關(guān)系得\b\\{\\(\a\4\\1(1＋2＝－2(a＋1),1×2＝a2－5))?\b\\{\\(\a\4\\1(a＝－\f(5,2)，2＝7，))沖突.綜上，a的取值范圍是a≤－3.11．已知函數(shù)f(x)＝\r(\f(6＋1)－1)的定義域?yàn)榧螦，函數(shù)g(x)＝(－x2＋2x＋m)的定義域?yàn)榧螧.(1)當(dāng)m＝3時(shí)，求A∩(?)；(2)若A∩B＝{－1<x<4}，求實(shí)數(shù)m的值．解：A＝{－1<x≤5}．(1)當(dāng)m＝3時(shí)，B＝{－1<x<3}，則?＝{≤－1或x≥3}，∴A∩(?)＝{3≤x≤5}．(2)∵A＝{－1<x≤5}，A∩B＝{－1<x<4}，∴有－42＋2×4＋m＝0，解得m＝8，此時(shí)B＝{－2<x<4}，符合題意．12．已知集合A＝{x∈2－3x＋2＝0}．(1)若A＝?，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若A是單元素集，求a的值及集合A；(3)求集合M＝{a∈≠?}．解：(1)A是空集，即方程2－3x＋2＝0無(wú)解．若a＝0，方程有一解x＝\f(2,3)，不合題意．若a≠0，要方程2－3x＋2＝0無(wú)解，則Δ＝9－8a<0，則a>\f(9,8).綜上可知，若A＝?，則a的取值范圍應(yīng)為a>\f(9,8).(2)當(dāng)a＝0時(shí)，方程2－3x＋2＝0只有一根x＝\f(2,3)，A＝{\f(2,3)}符合題意．當(dāng)a≠0時(shí)，則Δ＝9－8a＝0，即a＝\f(9,8)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x＝\f(4,3)，則A＝{\f(4,3)}．綜上可知，當(dāng)a＝0時(shí)，A＝{\f(2,3)}；當(dāng)a＝\f(9,8)時(shí)，A＝{\f(4,3)}．(3)當(dāng)a＝0時(shí)，A＝{\f(2,3)}≠?.當(dāng)a≠0時(shí)，要使方程有實(shí)數(shù)根，則Δ＝9－8a≥0，即a≤\f(9,8).綜上可知，a的取值范圍是a≤\f(9,8)，即M＝{a∈≠?}＝{≤\f(9,8)}其次章函數(shù)第一節(jié)對(duì)函數(shù)的進(jìn)一步相識(shí)A組1．(2009年高考江西卷改編)函數(shù)y＝\f(\r(－x2－3x＋4))的定義域?yàn)椋馕觯篭b\\{\\(\a\4\\1(－x2－3x＋4≥0，≠0，))?x∈[－4,0)∪(0,1]答案：[－4,0)∪(0,1]2．(2010年紹興第一次質(zhì)檢)如圖，函數(shù)f(x)的圖象是曲線段，其中點(diǎn)O，A，B的坐標(biāo)分別為(0,0)，(1,2)，(3,1)，則f(\f(1(3)))的值等于．解析：由圖象知f(3)＝1，f(\f(1(3)))＝f(1)＝2.答案：23．(2009年高考北京卷)已知函數(shù)f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(3x，x≤1，,－x，x>1.))若f(x)＝2，則x＝.解析：依題意得x≤1時(shí)，3x＝2，∴x＝32；當(dāng)x>1時(shí)，－x＝2，x＝－2(舍去)．故x＝32.答案：324．(2010年黃岡市高三質(zhì)檢)函數(shù)f：{1，\r(2)}→{1，\r(2)}滿意f[f(x)]>1的這樣的函數(shù)個(gè)數(shù)有個(gè)．解析：如圖．答案：15．(原創(chuàng)題)由等式x3＋a1x2＋a2x＋a3＝(x＋1)3＋b1(x＋1)2＋b2(x＋1)＋b3定義一個(gè)映射f(a1，a2，a3)＝(b1，b2，b3)，則f(2,1，－1)＝.解析：由題意知x3＋2x2＋x－1＝(x＋1)3＋b1(x＋1)2＋b2(x＋1)＋b3，令x＝－1得：－1＝b3；再令x＝0和x＝1得\b\\{\\(\a\4\\1(－1＝1＋b1＋b2＋b3,3＝8＋4b1＋2b2＋b3))，解得b1＝－1，b2＝0.答案：(－1,0，－1)6．已知函數(shù)f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(1＋\f(1)(x>1)，2＋1(－1≤x≤1)，,2x＋3(x<－1).))(1)求f(1－\f(1,\r(2)－1))，f{f[f(－2)]}的值；(2)求f(3x－1)；(3)若f(a)＝\f(3,2)，求a.解：f(x)為分段函數(shù)，應(yīng)分段求解．(1)∵1－\f(1,\r(2)－1)＝1－(\r(2)＋1)＝－\r(2)<－1，∴f(－\r(2))＝－2\r(2)＋3，又∵f(－2)＝－1，f[f(－2)]＝f(－1)＝2，∴f{f[f(－2)]}＝1＋\f(1,2)＝\f(3,2).(2)若3x－1>1，即x>\f(2,3)，f(3x－1)＝1＋\f(1,3x－1)＝\f(3x,3x－1)；若－1≤3x－1≤1，即0≤x≤\f(3,2)，f(3x－1)＝(3x－1)2＋1＝9x2－6x＋2；若3x－1<－1，即x<0，f(3x－1)＝2(3x－1)＋3＝6x＋1.∴f(3x－1)＝\b\\{\\(\a\4\\1(\f(3x,3x－1)(x>\f(2,3))，,9x2－6x＋2(0≤x≤\f(2,3))，,6x＋1(x<0).))(3)∵f(a)＝\f(3,2)，∴a>1或－1≤a≤1.當(dāng)a>1時(shí)，有1＋\f(1)＝\f(3,2)，∴a＝2；當(dāng)－1≤a≤1時(shí)，a2＋1＝\f(3,2)，∴a＝±\f(\r(2),2).∴a＝2或±\f(\r(2),2).B組1．(2010年廣東江門(mén)質(zhì)檢)函數(shù)y＝\f(1,\r(3x－2))＋(2x－1)的定義域是．解析：由3x－2>0,2x－1>0，得x>\f(2,3).答案：{>\f(2,3)}2．(2010年山東棗莊模擬)函數(shù)f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(－2x＋1，(x<－1)，,－3，(－1≤x≤2)，,2x－1，(x>2)，))則f(f(f(\f(3,2))＋5))＝_.解析：∵－1≤\f(3,2)≤2，∴f(\f(3,2))＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f(2)＝－3，∴f(－3)＝(－2)×(－3)＋1＝7.答案：73．定義在區(qū)間(－1,1)上的函數(shù)f(x)滿意2f(x)－f(－x)＝(x＋1)，則f(x)的解析式為．解析：∵對(duì)隨意的x∈(－1,1)，有－x∈(－1,1)，由2f(x)－f(－x)＝(x＋1)，①由2f(－x)－f(x)＝(－x＋1)，②①×2＋②消去f(－x)，得3f(x)＝2(x＋1)＋(－x＋1)，∴f(x)＝\f(2,3)(x＋1)＋\f(1,3)(1－x)，(－1<x<1)．答案：f(x)＝\f(2,3)(x＋1)＋\f(1,3)(1－x)，(－1<x<1)4．設(shè)函數(shù)y＝f(x)滿意f(x＋1)＝f(x)＋1，則函數(shù)y＝f(x)和y＝x圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能是個(gè)．解析：由f(x＋1)＝f(x)＋1可得f(1)＝f(0)＋1，f(2)＝f(0)＋2，f(3)＝f(0)＋3，…本題中假如f(0)＝0，那么y＝f(x)和y＝x有多數(shù)個(gè)交點(diǎn)；若f(0)≠0，則y＝f(x)和y＝x有零個(gè)交點(diǎn)．答案：0或多數(shù)5．設(shè)函數(shù)f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(2(x＞0)2＋＋c(x≤0)))，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，則f(x)的解析式為f(x)＝，關(guān)于x的方程f(x)＝x的解的個(gè)數(shù)為個(gè)．解析：由題意得\b\\{\\(\a\4\\1(16－4b＋c＝c,4－2b＋c＝－2))\b\\{\\(\a\4\\1(b＝4＝2))，∴f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(2(x＞0)2＋4x＋2(x≤0))).由數(shù)形結(jié)合得f(x)＝x的解的個(gè)數(shù)有3個(gè)．答案：\b\\{\\(\a\4\\1(2(x＞0)2＋4x＋2(x≤0)))36．設(shè)函數(shù)f(x)＝(a＞0，a≠1)，函數(shù)g(x)＝－x2＋＋c，若f(2＋\r(2))－f(\r(2)＋1)＝\f(1,2)，g(x)的圖象過(guò)點(diǎn)A(4，－5)及B(－2，－5)，則a＝，函數(shù)f[g(x)]的定義域?yàn)椋鸢福?(－1,3)7．(2009年高考天津卷改編)設(shè)函數(shù)f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(x2－4x＋6，x≥0＋6，x<0))，則不等式f(x)>f(1)的解集是．解析：由已知，函數(shù)先增后減再增，當(dāng)x≥0，f(x)>f(1)＝3時(shí)，令f(x)＝3，解得x＝1，x＝3.故f(x)>f(1)的解集為0≤x<1或x>3.當(dāng)x<0，x＋6＝3時(shí)，x＝－3，故f(x)>f(1)＝3，解得－3<x<0或x>3.綜上，f(x)>f(1)的解集為{－3<x<1或x>3}．答案：{－3<x<1或x>3}8．(2009年高考山東卷)定義在R上的函數(shù)f(x)滿意f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(2(4－x)，x≤0，(x－1)－f(x－2)，x＞0，))則f(3)的值為．解析：∵f(3)＝f(2)－f(1)，又f(2)＝f(1)－f(0)，∴f(3)＝－f(0)，∵f(0)＝24＝2，∴f(3)＝－2.答案：－29．有一個(gè)有進(jìn)水管和出水管的容器，每單位時(shí)間進(jìn)水量是肯定的，設(shè)從某時(shí)刻起先，5分鐘內(nèi)只進(jìn)水，不出水，在隨后的15分鐘內(nèi)既進(jìn)水，又出水，得到時(shí)間x和容器中的水量y之間關(guān)系如圖．再隨后，只放水不進(jìn)水，水放完為止，則這段時(shí)間內(nèi)(即x≥20)，y和x之間函數(shù)的函數(shù)關(guān)系是．解析：設(shè)進(jìn)水速度為a1升/分鐘，出水速度為a2升/分鐘，則由題意得\b\\{\\(\a\4\\1(5a1＝20,5a1＋15(a1－a2)＝35))，得\b\\{\\(\a\4\\1(a1＝42＝3))，則y＝35－3(x－20)，得y＝－3x＋95，又因?yàn)樗磐隇橹?，所以時(shí)間為x≤\f(95,3)，又知x≥20，故解析式為y＝－3x＋95(20≤x≤\f(95,3))．答案：y＝－3x＋95(20≤x≤\f(95,3))10．函數(shù)f(x)＝\r((1－a2)x2＋3(1－a)x＋6).(1)若f(x)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若f(x)的定義域?yàn)閇－2,1]，求實(shí)數(shù)a的值．解：(1)①若1－a2＝0，即a＝±1，(ⅰ)若a＝1時(shí)，f(x)＝\r(6)，定義域?yàn)镽，符合題意；(ⅱ)當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝\r(6x＋6)，定義域?yàn)閇－1，＋∞)，不合題意．②若1－a2≠0，則g(x)＝(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6為二次函數(shù)．由題意知g(x)≥0對(duì)x∈R恒成立，∴\b\\{\\(\a\4\\1(1－a2>0，,Δ≤0，))∴\b\\{\\(\a\4\\1(－1<a<1，,(a－1)(11a＋5)≤0，))∴－\f(5,11)≤a<1.由①②可得－\f(5,11)≤a≤1.(2)由題意知，不等式(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6≥0的解集為[－2,1]，明顯1－a2≠0且－2,1是方程(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6＝0的兩個(gè)根．∴\b\\{\\(\a\4\\1(1－a2<0，,－2＋1＝\f(3(1－a)2－1)，,－2＝\f(6,1－a2)，,Δ＝[3(1－a)]2－24(1－a2)>0))∴\b\\{\\(\a\4\\1(a<－1或a>1，＝2，＝±2<－\f(5,11)或a>1))∴a＝2.11．已知f(x＋2)＝f(x)(x∈R)，并且當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f(x)＝－x2＋1，求當(dāng)x∈[2k－1,2k＋1](k∈Z)時(shí)、f(x)的解析式．解：由f(x＋2)＝f(x)，可推知f(x)是以2為周期的周期函數(shù)．當(dāng)x∈[2k－1,2k＋1]時(shí)，2k－1≤x≤2k＋1，－1≤x－2k≤1.∴f(x－2k)＝－(x－2k)2＋1.又f(x)＝f(x－2)＝f(x－4)＝…＝f(x－2k)，∴f(x)＝－(x－2k)2＋1，x∈[2k－1,2k＋1]，k∈Z.12．在2008年11月4日珠海航展上，中國(guó)自主研制的21支線客機(jī)備受關(guān)注，接到了包括美國(guó)在內(nèi)的多國(guó)訂單．某工廠有216名工人接受了生產(chǎn)1000件該支線客機(jī)某零部件的總?cè)蝿?wù)，已知每件零件由4個(gè)C型裝置和3個(gè)H型裝置配套組成，每個(gè)工人每小時(shí)能加工6個(gè)C型裝置或3個(gè)H型裝置．現(xiàn)將工人分成兩組同時(shí)起先加工，每組分別加工一種裝置，設(shè)加工C型裝置的工人有x位，他們加工完C型裝置所需時(shí)間為g(x)，其余工人加工完H型裝置所需時(shí)間為h(x)．(單位：h，時(shí)間可不為整數(shù))(1)寫(xiě)出g(x)，h(x)的解析式；(2)寫(xiě)出這216名工人完成總?cè)蝿?wù)的時(shí)間f(x)的解析式；(3)應(yīng)怎樣分組，才能使完成總?cè)蝿?wù)的時(shí)間最少？解：(1)g(x)＝\f(2000,3x)(0<x<216，x∈N*)，h(x)＝\f(1000,216－x)(0<x<216，x∈N*)．(2)f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(\f(2000,3x)(0<x≤86，x∈N*).,\f(1000,216－x)(87≤x<216，x∈N*).))(3)分別為86、130或87、129.其次節(jié)函數(shù)的單調(diào)性A組1．(2009年高考福建卷改編)下列函數(shù)f(x)中，滿意“對(duì)隨意x1，x2∈(0，＋∞)，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)”的是．①f(x)＝\f(1)②f(x)＝(x－1)2③f(x)＝④f(x)＝(x＋1)解析：∵對(duì)隨意的x1，x2∈(0，＋∞)，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)．答案：①2．函數(shù)f(x)(x∈R)的圖象如右圖所示，則函數(shù)g(x)＝f()(0<a<1)的單調(diào)減區(qū)間是．解析：∵0<a<1，y＝為減函數(shù)，∴∈[0，\f(1,2)]時(shí)，g(x)為減函數(shù)．由0≤≤\f(1,2)\r(a)≤x≤1.答案：[\r(a)，1](或(\r(a)，1))3．函數(shù)y＝\r(x－4)＋\r(15－3x)的值域是．解析：令x＝4＋2α，α∈[0，\f(π,2)]，y＝α＋\r(3)α＝2(α＋\f(π,3))，∴1≤y≤2.答案：[1,2]4．已知函數(shù)f(x)＝＋\f()|(a∈R)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍．解析：當(dāng)a<0，且＋\f()≥0時(shí)，只需滿意e0＋\f(0)≥0即可，則－1≤a<0；當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝＝符合題意；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)＝＋\f()，則滿意f′(x)＝－\f()≥0在x∈[0,1]上恒成立．只需滿意a≤(e2x)成馬上可，故a≤1，綜上－1≤a≤1.答案：－1≤a≤15．(原創(chuàng)題)假如對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)隨意的x，都有f(x)≥M(M為常數(shù))，稱M為f(x)的下界，下界M中的最大值叫做f(x)的下確界，下列函數(shù)中，有下確界的全部函數(shù)是．①f(x)＝；②f(x)＝；③f(x)＝；④f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(1(x>0),0(x＝0),－1(x<－1)))解析：∵≥－1，∴f(x)＝的下確界為－1，即f(x)＝是有下確界的函數(shù)；∵f(x)＝的值域?yàn)?－∞，＋∞)，∴f(x)＝?jīng)]有下確界；∴f(x)＝的值域?yàn)?0，＋∞)，∴f(x)＝的下確界為0，即f(x)＝是有下確界的函數(shù)；∵f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(1(x>0),0(x＝0),－1(x<－1)))的下確界為－1.∴f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(1(x>0),0(x＝0),－1(x<－1)))是有下確界的函數(shù)．答案：①③④6．已知函數(shù)f(x)＝x2，g(x)＝x－1.(1)若存在x∈R使f(x)<b·g(x)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(2)設(shè)F(x)＝f(x)－(x)＋1－m－m2，且(x)|在[0,1]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：(1)x∈R，f(x)<b·g(x)x∈R，x2－＋b<0Δ＝(－b)2－4b>0b<0或b>4.(2)F(x)＝x2－＋1－m2，Δ＝m2－4(1－m2)＝5m2－4，①當(dāng)Δ≤0即－\f(2\r(5),5)≤m≤\f(2\r(5),5)時(shí)，則必需\b\\{\\(\a\4\\1(\f(m,2)≤0,－\f(2\r(5),5)≤m≤\f(2\r(5),5)))－\f(2\r(5),5)≤m≤0.②當(dāng)Δ>0即m<－\f(2\r(5),5)或m>\f(2\r(5),5)時(shí)，設(shè)方程F(x)＝0的根為x1，x2(x1<x2)，若\f(m,2)≥1，則x1≤0.\b\\{\\(\a\4\\1(\f(m,2)≥1(0)＝1－m2≤0))m≥2.若\f(m,2)≤0，則x2≤0，\b\\{\\(\a\4\\1(\f(m,2)≤0(0)＝1－m2≥0))－1≤m<－\f(2\r(5),5).綜上所述：－1≤m≤0或m≥2.B組1．(2010年山東東營(yíng)模擬)下列函數(shù)中，單調(diào)增區(qū)間是(－∞，0]的是．①y＝－\f(1)②y＝－(x－1)③y＝x2－2④y＝－解析：由函數(shù)y＝－的圖象可知其增區(qū)間為(－∞，0]．答案：④2．若函數(shù)f(x)＝2(x2－＋3a)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．解析：令g(x)＝x2－＋3a，由題知g(x)在[2，＋∞)上是增函數(shù)，且g(2)>0.∴\b\\{\\(\a\4\\1(\f(a,2)≤2，,4－2a＋3a>0，))∴－4<a≤4.答案：－4<a≤43．若函數(shù)f(x)＝x＋\f()(a>0)在(\f(3,4)，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍．解析：∵f(x)＝x＋\f()(a>0)在(\r(a)，＋∞)上為增函數(shù)，∴\r(a)≤\f(3,4)，0<a≤\f(9,16).答案：(0，\f(9,16)]4．(2009年高考陜西卷改編)定義在R上的偶函數(shù)f(x)，對(duì)隨意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有\(zhòng)f(f(x2)－f(x1)2－x1)<0，則下列結(jié)論正確的是．①f(3)<f(－2)<f(1)②f(1)<f(－2)<f(3)③f(－2)<f(1)<f(3)④f(3)<f(1)<f(－2)解析：由已知\f(f(x2)－f(x1)2－x1)<0，得f(x)在x∈[0，＋∞)上單調(diào)遞減，由偶函數(shù)性質(zhì)得f(2)＝f(－2)，即f(3)<f(－2)<f(1)．答案：①5．(2010年陜西西安模擬)已知函數(shù)f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1((x<0)，,(a－3)x＋4a(x≥0)))滿意對(duì)隨意x1≠x2，都有\(zhòng)f(f(x1)－f(x2)1－x2)<0成立，則a的取值范圍是．解析：由題意知，f(x)為減函數(shù)，所以\b\\{\\(\a\4\\1(0<a<1，－3<0，0≥(a－3)×0＋4a，))解得0<a≤\f(1,4).6．(2010年寧夏石嘴山模擬)函數(shù)f(x)的圖象是如下圖所示的折線段，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0)，定義函數(shù)g(x)＝f(x)·(x－1)，則函數(shù)g(x)的最大值為．解析：g(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(2x(x－1)(0≤x<1)，,(－x＋3)(x－1)(1≤x≤3)，))當(dāng)0≤x<1時(shí)，最大值為0；當(dāng)1≤x≤3時(shí)，在x＝2取得最大值1.答案：17．(2010年安徽合肥模擬)已知定義域在[－1,1]上的函數(shù)y＝f(x)的值域?yàn)閇－2,0]，則函數(shù)y＝f(\r(x))的值域是．解析：∵\(yùn)r(x)∈[－1,1]，函數(shù)y＝f(x)的值域?yàn)閇－2,0]，∴y＝f(\r(x))的值域?yàn)閇－2,0]．答案：[－2,0]8．已知f(x)＝3x＋2，x∈[1,9]，則函數(shù)y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值是．解析：∵函數(shù)y＝[f(x)]2＋f(x2)的定義域?yàn)閈b\\{\\(\a\4\\1(1≤x≤9，,1≤x2≤9，))∴x∈[1,3]，令3x＝t，t∈[0,1]，∴y＝(t＋2)2＋2t＋2＝(t＋3)2－3，∴當(dāng)t＝1時(shí)，＝13.答案：139．若函數(shù)f(x)＝(2x2＋x)(a>0，a≠1)在區(qū)間(0，\f(1,2))內(nèi)恒有f(x)>0，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為．解析：令μ＝2x2＋x，當(dāng)x∈(0，\f(1,2))時(shí)，μ∈(0,1)，而此時(shí)f(x)>0恒成立，∴0<a<1.μ＝2(x＋\f(1,4))2－\f(1,8)，則減區(qū)間為(－∞，－\f(1,4))．而必定有2x2＋x>0，即x>0或x<－\f(1,2).∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－\f(1,2))．答案：(－∞，－\f(1,2))10．試探討函數(shù)y＝2(\f(1,2)x)2－2\f(1,2)x＋1的單調(diào)性．解：易知函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)．假如令u＝g(x)＝\f(1,2)x，y＝f(u)＝2u2－2u＋1，那么原函數(shù)y＝f[g(x)]是由g(x)和f(u)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，而u＝\f(1,2)x在x∈(0，＋∞)內(nèi)是減函數(shù)，y＝2u2－2u＋1＝2(u－\f(1,2))2＋\f(1,2)在u∈(－∞，\f(1,2))上是減函數(shù)，在u∈(\f(1,2)，＋∞)上是增函數(shù)．又u≤\f(1,2)，即\f(1,2)x≤\f(1,2)，得x≥\f(\r(2),2)；u>\f(1,2)，得0<x<\f(\r(2),2).由此，從下表探討復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]的單調(diào)性：函數(shù)單調(diào)性(0，\f(\r(2),2))(\f(\r(2),2)，＋∞)u＝\f(1,2)xf(u)＝2u2－2u＋1y＝2(\f(1,2)x)2－2\f(1,2)x＋1故函數(shù)y＝2(\f(1,2)x)2－2\f(1,2)x＋1在區(qū)間(0，\f(\r(2),2))上單調(diào)遞減，在區(qū)間(\f(\r(2),2)，＋∞)上單調(diào)遞增．11．(2010年廣西河池模擬)已知定義在區(qū)間(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿意f(\f(x12))＝f(x1)－f(x2)，且當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)推斷f(x)的單調(diào)性；(3)若f(3)＝－1，解不等式f()<－2.解：(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，則\f(x12)>1，由于當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0，所以f(\f(x12))<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是單調(diào)遞減函數(shù)．(3)由f(\f(x12))＝f(x1)－f(x2)得f(\f(9,3))＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是單調(diào)遞減函數(shù)，由f()<f(9)，得>9，∴x>9或x<－9.因此不等式的解集為{>9或x<－9}．12．已知：f(x)＝3\f(x2＋＋)，x∈(0，＋∞)，是否存在實(shí)數(shù)a，b，使f(x)同時(shí)滿意下列三個(gè)條件：(1)在(0,1]上是減函數(shù)，(2)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，(3)f(x)的最小值是1.若存在，求出a、b；若不存在，說(shuō)明理由．解：∵f(x)在(0,1]上是減函數(shù)，[1，＋∞)上是增函數(shù)，∴x＝1時(shí)，f(x)最小，3\f(1＋a＋b,1)＝1.即a＋b＝2.設(shè)0＜x1＜x2≤1，則f(x1)＞f(x2)．即\f(x12＋1＋1)＞\f(x22＋2＋2)恒成立．由此得\f((x1－x2)(x1x2－b)1x2)＞0恒成立．又∵x1－x2＜0，x1x2＞0，∴x1x2－b＜0恒成立，∴b≥1.設(shè)1≤x3＜x4，則f(x3)＜f(x4)恒成立．∴\f((x3－x4)(x3x4－b)3x4)＜0恒成立．∵x3－x4＜0，x3x4＞0，∴x3x4＞b恒成立．∴b≤1.由b≥1且b≤1可知b＝1，∴a＝1.∴存在a、b，使f(x)同時(shí)滿意三個(gè)條件．第三節(jié)函數(shù)的性質(zhì)A組1．設(shè)偶函數(shù)f(x)＝－在(－∞，0)上單調(diào)遞增，則f(a＋1)和f(b＋2)的大小關(guān)系為．解析：由f(x)為偶函數(shù)，知b＝0，∴f(x)＝，又f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，所以0<a<1,1<a＋1<2，則f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(a＋1)>f(b＋2)．答案：f(a＋1)>f(b＋2)2．(2010年廣東三校模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是以2為周期的周期函數(shù)，則f(1)＋f(4)＋f(7)等于．解析：f(x)為奇函數(shù)，且x∈R，所以f(0)＝0，由周期為2可知，f(4)＝0，f(7)＝f(1)，又由f(x＋2)＝f(x)，令x＝－1得f(1)＝f(－1)＝－f(1)?f(1)＝0，所以f(1)＋f(4)＋f(7)＝0.答案：03．(2009年高考山東卷改編)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿意f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則f(－25)、f(11)、f(80)的大小關(guān)系為．解析：因?yàn)閒(x)滿意f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)，又因?yàn)閒(x)在R上是奇函數(shù)，f(0)＝0，得f(80)＝f(0)＝0，f(－25)＝f(－1)＝－f(1)，而由f(x－4)＝－f(x)得f(11)＝f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，又因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，所以f(1)>f(0)＝0，所以－f(1)<0，即f(－25)<f(80)<f(11)．答案：f(－25)<f(80)<f(11)4．(2009年高考遼寧卷改編)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)增加，則滿意f(2x－1)<f(\f(1,3))的x取值范圍是．解析：由于f(x)是偶函數(shù)，故f(x)＝f()，由f(|2x－1|)<f(\f(1,3))，再依據(jù)f(x)的單調(diào)性得|2x－1|<\f(1,3)，解得\f(1,3)<x<\f(2,3).答案：(\f(1,3)，\f(2,3))5．(原創(chuàng)題)已知定義在R上的函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，對(duì)x∈R，f(2＋x)＝f(2－x)，當(dāng)f(－3)＝－2時(shí)，f(2011)的值為．解析：因?yàn)槎x在R上的函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(2＋x)＝f(2－x)＝f(x－2)，故函數(shù)f(x)是以4為周期的函數(shù)，所以f(2011)＝f(3＋502×4)＝f(3)＝f(－3)＝－2.答案：－26．已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的周期函數(shù)，周期T＝5，函數(shù)y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函數(shù)，又知y＝f(x)在[0,1]上是一次函數(shù)，在[1,4]上是二次函數(shù)，且在x＝2時(shí)函數(shù)取得最小值－5.(1)證明：f(1)＋f(4)＝0；(2)求y＝f(x)，x∈[1,4]的解析式；(3)求y＝f(x)在[4,9]上的解析式．解：(1)證明：∵f(x)是以5為周期的周期函數(shù)，∴f(4)＝f(4－5)＝f(－1)，又∵y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函數(shù)，∴f(1)＝－f(－1)＝－f(4)，∴f(1)＋f(4)＝0.(2)當(dāng)x∈[1,4]時(shí)，由題意可設(shè)f(x)＝a(x－2)2－5(a>0)，由f(1)＋f(4)＝0，得a(1－2)2－5＋a(4－2)2－5＝0，∴a＝2，∴f(x)＝2(x－2)2－5(1≤x≤4)．(3)∵y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函數(shù)，∴f(0)＝0，又知y＝f(x)在[0,1]上是一次函數(shù)，∴可設(shè)f(x)＝(0≤x≤1)，而f(1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴k＝－3，∴當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝－3x，從而當(dāng)－1≤x<0時(shí)，f(x)＝－f(－x)＝－3x，故－1≤x≤1時(shí)，f(x)＝－3x.∴當(dāng)4≤x≤6時(shí)，有－1≤x－5≤1，∴f(x)＝f(x－5)＝－3(x－5)＝－3x＋15.當(dāng)6<x≤9時(shí)，1<x－5≤4，∴f(x)＝f(x－5)＝2[(x－5)－2]2－5＝2(x－7)2－5.∴f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(－3x＋15，4≤x≤6,2(x－7)2－5，6<x≤9)).B組1．(2009年高考全國(guó)卷Ⅰ改編)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x＋1)和f(x－1)都是奇函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是．①f(x)是偶函數(shù)②f(x)是奇函數(shù)③f(x)＝f(x＋2)④f(x＋3)是奇函數(shù)解析：∵f(x＋1)和f(x－1)都是奇函數(shù)，∴f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x－1)＝－f(x－1)，∴函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(1,0)，及點(diǎn)(－1,0)對(duì)稱，函數(shù)f(x)是周期T＝2[1－(－1)]＝4的周期函數(shù)．∴f(－x－1＋4)＝－f(x－1＋4)，f(－x＋3)＝－f(x＋3)，即f(x＋3)是奇函數(shù)．答案：④2．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿意f(x)＝－f(x＋\f(3,2))，且f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，f(1)＋f(2)＋…＋f(2009)＋f(2010)＝.解析：f(x)＝－f(x＋\f(3,2))?f(x＋3)＝f(x)，即周期為3，由f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，所以f(1)＝－1，f(2)＝－1，f(3)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2009)＋f(2010)＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝0.答案：03．(2010年浙江臺(tái)州模擬)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(1)＝1，若將f(x)的圖象向右平移一個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2010)＝.解析：f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，將f(x)的圖象向右平移一個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則滿意f(－2＋x)＝－f(x)，即f(x＋2)＝－f(x)，所以周期為4，f(1)＝1，f(2)＝f(0)＝0，f(3)＝－f(1)＝－1，f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2010)＝f(4)×502＋f(2)＝0.答案：04．(2010年湖南郴州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，那么關(guān)于x的不等式(x)<0的解集是．解析：在(0，＋∞)上有f′(x)>0，則在(0，＋∞)上f(x)是增函數(shù)，在(－∞，0)上是減函數(shù)，又f(x)在R上是偶函數(shù)，且f(－1)＝0，∴f(1)＝0.從而可知x∈(－∞，－1)時(shí)，f(x)>0；x∈(－1,0)時(shí)，f(x)<0；x∈(0,1)時(shí)，f(x)<0；x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)>0.∴不等式的解集為(－∞，－1)∪(0,1)答案：(－∞，－1)∪(0,1)．5．(2009年高考江西卷改編)已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函數(shù)，若對(duì)于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，f(x)＝2(x＋1)，則f(－2009)＋f(2010)的值為．解析：∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(－2009)＝f(2009)．∵f(x)在x≥0時(shí)f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)周期為2.∴f(－2009)＋f(2010)＝f(2009)＋f(2010)＝f(1)＋f(0)＝22＋21＝0＋1＝1.答案：16．(2010年江蘇蘇州模擬)已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，并且對(duì)于定義域內(nèi)隨意的x，滿意f(x＋2)＝－\f(1(x))，若當(dāng)2<x<3時(shí)，f(x)＝x，則f(2009.5)＝.解析：由f(x＋2)＝－\f(1(x))，可得f(x＋4)＝f(x)，f(2009.5)＝f(502×4＋1.5)＝f(1.5)＝f(－2.5)∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(2009.5)＝f(2.5)＝\f(5,2).答案：\f(5,2)7．(2010年安徽黃山質(zhì)檢)定義在R上的函數(shù)f(x)在(－∞，a]上是增函數(shù)，函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，當(dāng)x1<a，x2>a，且1－<2－時(shí)，則f(2a－x1)和f(x2)的大小關(guān)系為．解析：∵y＝f(x＋a)為偶函數(shù)，∴y＝f(x＋a)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，∴y＝f(x)的圖象關(guān)于x＝a對(duì)稱．又∵f(x)在(－∞，a]上是增函數(shù)，∴f(x)在[a，＋∞)上是減函數(shù)．當(dāng)x1<a，x2>a，且1－<2－時(shí)，有a－x1<x2－a，即a<2a－x1<x2，∴f(2a－x1)>f(x2)．答案：f(2a－x1)>f(x2)8．已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x(x＋1)．若f(a)＝－2，則實(shí)數(shù)a＝.解析：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x(x＋1)>0，由f(x)為奇函數(shù)知x<0時(shí)，f(x)<0，∴a<0，f(－a)＝2，∴－a(－a＋1)＝2，∴a＝2(舍)或a＝－1.答案：－19．(2009年高考山東卷)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿意f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)．若方程f(x)＝m(m＞0)在區(qū)間[－8,8]上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，則x1＋x2＋x3＋x4＝.解析：因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)，滿意f(x－4)＝－f(x)，所以f(4－x)＝f(x)，因此，函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱且f(0)＝0.由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)．又因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間[－2,0]上也是增函數(shù)，如圖所示，那么方程f(x)＝m(m＞0)在區(qū)間[－8,8]上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，不妨設(shè)x1＜x2＜x3＜x4.由對(duì)稱性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8.答案：-810．已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)＝－(2－x)，求f(x)的解析式．解：∵f(x)是奇函數(shù)，可得f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，由已知f(－x)＝(2＋x)，∴－f(x)＝(2＋x)，即f(x)＝－(2＋x)(x>0)．∴f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(－(2－x)(x<0)，,－(2＋x)(x≥0).))即f(x)＝－(2＋)(x∈R)．11．已知函數(shù)f(x)，當(dāng)x，y∈R時(shí)，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求證：f(x)是奇函數(shù)；(2)假如x∈R＋，f(x)<0，并且f(1)＝－\f(1,2)，試求f(x)在區(qū)間[－2,6]上的最值．解：(1)證明：∴函數(shù)定義域?yàn)镽，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x，∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．令x＝y(tǒng)＝0，∴f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0.∴f(x)＋f(－x)＝0，得f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)．(2)法一：設(shè)x，y∈R＋，∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，∴f(x＋y)－f(x)＝f(y)．∵x∈R＋，f(x)<0，∴f(x＋y)－f(x)<0，∴f(x＋y)<f(x)．∵x＋y>x，∴f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)．又∵f(x)為奇函數(shù)，f(0)＝0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)．∴f(－2)為最大值，f(6)為最小值．∵f(1)＝－\f(1,2)，∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.∴所求f(x)在區(qū)間[－2,6]上的最大值為1，最小值為－3.法二：設(shè)x1<x2，且x1，x2∈R.則f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)．∵x2－x1>0，∴f(x2－x1)<0.∴f(x2)－f(x1)<0.即f(x)在R上單調(diào)遞減．∴f(－2)為最大值，f(6)為最小值．∵f(1)＝－\f(1,2)，∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.∴所求f(x)在區(qū)間[－2,6]上的最大值為1，最小值為－3.12．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且滿意f(x＋2)＝－f(x)．(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)若f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝\f(1,2)x，求使f(x)＝－\f(1,2)在[0,2010]上的全部x的個(gè)數(shù)．解：(1)證明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴f(x)是以4為周期的周期函數(shù)．(2)當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝\f(1,2)x，設(shè)－1≤x≤0，則0≤－x≤1，∴f(－x)＝\f(1,2)(－x)＝－\f(1,2)x.∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－\f(1,2)x，即f(x)＝\f(1,2)x.故f(x)＝\f(1,2)x(－1≤x≤1)又設(shè)1<x<3，則－1<x－2<1，∴f(x－2)＝\f(1,2)(x－2)，又∵f(x－2)＝－f(2－x)＝－f[(－x)＋2]＝－[－f(－x)]＝－f(x)，∴－f(x)＝\f(1,2)(x－2)，∴f(x)＝－\f(1,2)(x－2)(1<x<3)．∴f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(\f(1,2)x(－1≤x≤1),－\f(1,2)(x－2)(1<x<3)))由f(x)＝－\f(1,2)，解得x＝－1.∵f(x)是以4為周期的周期函數(shù)．故f(x)＝－\f(1,2)的全部x＝4n－1(n∈Z)．令0≤4n－1≤2010，則\f(1,4)≤n≤502\f(3,4)，又∵n∈Z，∴1≤n≤502(n∈Z)，∴在[0,2010]上共有502個(gè)x使f(x)＝－\f(1,2).第三章指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)第一節(jié)指數(shù)函數(shù)A組1．(2010年黑龍江哈爾濱模擬)若a>1，b<0，且＋a－b＝2\r(2)，則－a－b的值等于．解析：∵a>1，b<0，∴0<<1，a－b>1.又∵(＋a－b)2＝a2b＋a－2b＋2＝8，∴a2b＋a－2b＝6，∴(－a－b)2＝a2b＋a－2b－2＝4，∴－a－b＝－2.答案：－22．已知f(x)＝＋b的圖象如圖所示，則f(3)＝.解析：由圖象知f(0)＝1＋b＝－2，∴b＝－3.又f(2)＝a2－3＝0，∴a＝\r(3)，則f(3)＝(\r(3))3－3＝3\r(3)－3.答案：3\r(3)－33．函數(shù)y＝(\f(1,2))2x－x2的值域是．解析：∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，∴(\f(1,2))2x－x2≥\f(1,2).答案：[\f(1,2)，＋∞)4．(2009年高考山東卷)若函數(shù)f(x)＝－x－a(a>0，且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．解析：函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)y＝和函數(shù)y＝x＋a交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由函數(shù)的圖象可知a>1時(shí)兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，0<a<1時(shí)兩函數(shù)圖象有惟一交點(diǎn)，故a>1.答案：(1，+∞)5．(原創(chuàng)題)若函數(shù)f(x)＝－1(a>0，a≠1)的定義域和值域都是[0,2]，則實(shí)數(shù)a等于．解析：由題意知\b\\{\\(\a\4\\1(0<a<12－1＝00－1＝2))無(wú)解或\b\\{\\(\a\4\\1(a>10－1＝02－1＝2))?a＝\r(3).答案：\r(3)6．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)＝\f(－2x＋b,2x＋1＋a)是奇函數(shù)．(1)求a，b的值；(2)若對(duì)隨意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范圍．解：(1)因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即\f(－1＋b,2＋a)＝0，解得b＝1.從而有f(x)＝\f(－2x＋1,2x＋1＋a).又由f(1)＝－f(－1)知\f(－2＋1,4＋a)＝－\f(－\f(1,2)＋1,1＋a)，解得a＝2.(2)法一：由(1)知f(x)＝\f(－2x＋1,2x＋1＋2)＝－\f(1,2)＋\f(1,2x＋1)，由上式易知f(x)在R上為減函數(shù)，又因f(x)是奇函數(shù)，從而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0?f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．因f(x)是R上的減函數(shù)，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.即對(duì)一切t∈R有3t2－2t－k>0，從而Δ＝4＋12k<0，解得k<－\f(1,3).法二：由(1)知f(x)＝\f(－2x＋1,2x＋1＋2)，又由題設(shè)條件得\f(－2t2－2t＋1,2t2－2t＋1＋2)＋\f(－22t2－k＋1,22t2－k＋1＋2)<0即(22t2－k＋1＋2)(－2t2－2t＋1)＋(2t2－2t＋1＋2)(－22t2－k＋1)<0整理得23t2－2t－k>1，因底數(shù)2>1，故3t2－2t－k>0上式對(duì)一切t∈R均成立，從而判別式Δ＝4＋12k<0，解得k<－\f(1,3).B組1．假如函數(shù)f(x)＝＋b－1(a>0且a≠1)的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，不經(jīng)過(guò)第三象限，那么肯定有．①0<a<1且b>0②0<a<1且0<b<1③a>1且b<0④a>1且b>0解析：當(dāng)0<a<1時(shí)，把指數(shù)函數(shù)f(x)＝的圖象向下平移，視察可知－1<b－1<0，即0<b<1.答案：②2．(2010年保定模擬)若f(x)＝－x2＋2和g(x)＝(a＋1)1－x在區(qū)間[1,2]上都是減函數(shù)，則a的取值范圍是．解析：f(x)＝－x2＋2＝－(x－a)2＋a2，所以f(x)在[a，＋∞)上為減函數(shù)，又f(x)，g(x)都在[1,2]上為減函數(shù)，所以需\b\\{\\(\a\4\\1(a≤1＋1>1))?0<a≤1.答案：(0,1]3．已知f(x)，g(x)都是定義在R上的函數(shù)，且滿意以下條件①f(x)＝·g(x)(a>0，a≠1)；②g(x)≠0；若\f(f(1)(1))＋\f(f(－1)(－1))＝\f(5,2)，則a等于．解析：由f(x)＝·g(x)得\f(f(x)(x))＝，所以\f(f(1)(1))＋\f(f(－1)(－1))＝\f(5,2)?a＋a－1＝\f(5,2)，解得a＝2或\f(1,2).答案：2或\f(1,2)4．(2010年北京朝陽(yáng)模擬)已知函數(shù)f(x)＝(a>0且a≠1)，其反函數(shù)為f－1(x)．若f(2)＝9，則f－1(\f(1,3))＋f(1)的值是．解析：因?yàn)閒(2)＝a2＝9，且a>0，∴a＝3，則f(x)＝3x＝\f(1,3)，∴x＝－1，故f－1(\f(1,3))＝－1.又f(1)＝3，所以f－1(\f(1,3))＋f(1)＝2.答案：25．(2010年山東青島質(zhì)檢)已知f(x)＝(\f(1,3))x，若f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)，則g(x)的表達(dá)式為．解析：設(shè)y＝g(x)上隨意一點(diǎn)P(x，y)，P(x，y)關(guān)于x＝1的對(duì)稱點(diǎn)P′(2－x，y)在f(x)＝(\f(1,3))x上，∴y＝(\f(1,3))2－x＝3x－2.答案：y＝3x－2(x∈R)6．(2009年高考山東卷改編)函數(shù)y＝\f(＋e－－e－x)的圖象大致為．解析：∵f(－x)＝\f(e－x＋－x－)＝－\f(＋e－－e－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)，解除④.又∵y＝\f(＋e－－e－x)＝\f(e2x＋12x－1)＝\f(e2x－1＋22x－1)＝1＋\f(22x－1)在(－∞，0)、(0，＋∞)上都是減函數(shù)，解除②、③.答案：①7．(2009年高考遼寧卷改編)已知函數(shù)f(x)滿意：當(dāng)x≥4時(shí)，f(x)＝(\f(1,2))x；當(dāng)x<4時(shí)，f(x)＝f(x＋1)，則f(2＋23)＝.解析：∵2<3<4＝22，∴1<23<2.∴3<2＋23<4，∴f(2＋23)＝f(3＋23)＝f(224)＝(\f(1,2))224＝2－224＝22\f(1,24)＝\f(1,24).答案：\f(1,24)8．(2009年高考湖南卷改編)設(shè)函數(shù)y＝f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)有定義，對(duì)于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(f(x)，f(x)≤K，，f(x)>K.))取函數(shù)f(x)＝2－，當(dāng)K＝\f(1,2)時(shí)，函數(shù)(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為．解析：由f(x)＝2－≤\f(1,2)得x≥1或x≤－1，∴(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(2－，x≥1或x≤－1，,\f(1,2)，－1<x<1.))則單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]9．函數(shù)y＝2的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)閇1,16]，當(dāng)a變動(dòng)時(shí)，函數(shù)b＝g(a)的圖象可以是．解析：函數(shù)y＝2的圖象如圖．當(dāng)a＝－4時(shí)，0≤b≤4，當(dāng)b＝4時(shí)，－4≤a≤0，答案：②10．(2010年寧夏銀川模擬)已知函數(shù)f(x)＝a2x＋2－1(a>0，且a≠1)在區(qū)間[－1,1]上的最大值為14，求實(shí)數(shù)a的值．解：f(x)＝a2x＋2－1＝(＋1)2－2，∵x∈[－1,1]，(1)當(dāng)0<a<1時(shí)，a≤≤\f(1)，∴當(dāng)＝\f(1)時(shí)，f(x)取得最大值．∴(\f(1)＋1)2－2＝14，∴\f(1)＝3，∴a＝\f(1,3).(2)當(dāng)a>1時(shí)，\f(1)≤≤a，∴當(dāng)＝a時(shí)，f(x)取得最大值．∴(a＋1)2－2＝14，∴a＝3.綜上可知，實(shí)數(shù)a的值為\f(1,3)或3.11．已知函數(shù)f(x)＝\f(－2,2x－a＋1).(1)求證：f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)M(a，－1)對(duì)稱；(2)若f(x)≥－2x在x≥a上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)證明：設(shè)f(x)的圖象C上任一點(diǎn)為P(x，y)，則y＝－\f(2,2x－a＋1)，P(x，y)關(guān)于點(diǎn)M(a，－1)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(2a－x，－2－y)．∴－2－y＝－2＋\f(2,2x－a＋1)＝\f(－2·2x－a,2x－a＋1)＝\f(－2,1＋2－(x－a))＝\f(－2,2(2a－x)－a＋1)，說(shuō)明點(diǎn)P′(2a－x，－2－y)也在函數(shù)y＝\f(－2,2x－a＋1)的圖象上，由點(diǎn)P的隨意性知，f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)M(a，－1)對(duì)稱．(2)由f(x)≥－2x得\f(－2,2x－a＋1)≥－2x，則\f(2,2x－a＋1)≤2x，化為2x－a·2x＋2x－2≥0，則有(2x)2＋2a·2x－2·2a≥0在x≥a上恒成立．令g(t)＝t2＋2a·t－2·2a，則有g(shù)(t)≥0在t≥2a上恒成立．∵g(t)的對(duì)稱軸在t＝0的左側(cè)，∴g(t)在t≥2a上為增函數(shù)．∴g(2a)≥0.∴(2a)2＋(2a)2－2·2a≥0，∴2a(2a－1)≥0，則a≥0.即實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≥0.12．(2008年高考江蘇)若f1(x)＝3－p1|，f2(x)＝2·3－p2|，x∈R，p1、p2為常數(shù)，且f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(f1(x)，f1(x)≤f2(x)，2(x)，f1(x)>f2(x).))(1)求f(x)＝f1(x)對(duì)全部實(shí)數(shù)x成立的充要條件(用p1、p2表示)；(2)設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，滿意a<b，且p1、p2∈(a，b)．若f(a)＝f(b)，求證：函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度之和為\f(b－a,2)(閉區(qū)間[m，n]的長(zhǎng)度定義為n－m)．解：(1)f(x)＝f1(x)恒成立?f1(x)≤f2(x)?3－p1|≤2·3－p2|?3－p1|－－p2|≤2?－p1|－－p2|≤32.(*)若p1＝p2，則(*)?0≤32，明顯成立；若p1≠p2，記g(x)＝－p1|－－p2|，當(dāng)p1>p2時(shí)，g(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(p1－p2，x<p2，,－2x＋p1＋p2，p2≤x≤p1，2－p1，x>p1.))所以g(x)＝p1－p2，故只需p1－p2≤32.當(dāng)p1<p2時(shí)，g(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(p1－p2，x<p1；,2x－p1－p2，p1≤x≤p2；2－p1，x>p2.))所以g(x)＝p2－p1，故只需p2－p1≤32.綜上所述，f(x)＝f1(x)對(duì)全部實(shí)數(shù)x成立的充要條件是1－p2|≤32.(2)證明：分兩種情形探討．①當(dāng)1－p2|≤32時(shí)，由(1)知f(x)＝f1(x)(對(duì)全部實(shí)數(shù)x∈[a，b])，則由f(a)＝f(b)及a<p1<b易知p1＝\f(a＋b,2).再由f1(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(3p1－x，x<p1，,3x－p1，x≥p1，))的單調(diào)性可知，f(x)在區(qū)間[a，b]上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度為b－\f(a＋b,2)＝\f(b－a,2).②當(dāng)1－p2|>32時(shí)，不妨設(shè)p1<p2，則p2－p1>32.于是，當(dāng)x≤p1時(shí)，有f1(x)＝3p1－x<3p2－x<f2(x)，從而f(x)＝f1(x)．當(dāng)x≥p2時(shí)，f1(x)＝3x－p1＝3p2－p1·3x－p2>332·3x－p2＝f2(x)，從而f(x)＝f2(x)．當(dāng)p1<x<p2時(shí)，f1(x)＝3x－p1及f2(x)＝2·3p2－x，由方程3x0－p1＝2·3p2－x0，解得f1(x)和f2(x)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0＝\f(p1＋p2,2)＋\f(1,2)32.①明顯p1<x0＝p2－\f(1,2)[(p2－p1)－32]<p2，這表明x0在p1和p2之間．由①易知f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(f1(x)，p1≤x≤x0，2(x)，x0<x≤p2.))綜上可知，在區(qū)間[a，b]上，f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(f1(x)，a≤x≤x0，2(x)，x0<x≤b.))故由函數(shù)f1(x)和f2(x)的單調(diào)性可知，f(x)在區(qū)間[a，b]上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度之和為(x0－p1)＋(b－p2)，由于f(a)＝f(b)，即3p1－a＝2·3b－p2，得p1＋p2＝a＋b＋32.②故由①②得(x0－p1)＋(b－p2)＝b－\f(1,2)(p1＋p2－32)＝\f(b－a,2).綜合①、②可知，f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度之和為\f(b－a,2).其次節(jié)對(duì)數(shù)函數(shù)A組1．(2009年高考廣東卷改編)若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝(a>0，且a≠1)的反函數(shù)，其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(\r(a)，a)，則f(x)＝.解析：由題意f(x)＝，∴a＝\f(1,2)＝\f(1,2)，∴f(x)＝\f(1,2)x.答案：\f(1,2)x2．(2009年高考全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)a＝3π，b＝2\r(3)，c＝3\r(2)，則a、b、c的大小關(guān)系是．解析：a＝3π>1，b＝2\r(3)＝\f(1,2)23∈(\f(1,2)，1)，c＝3\r(2)＝\f(1,2)32∈(0，\f(1,2))，故有a>b>c.答案：a>b>c3．若函數(shù)f(x)＝，則f(43)＝.解析：0<43<1，∴f(43)＝443＝3.答案：34．如圖所示，若函數(shù)f(x)＝－1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,2)，則函數(shù)g(x)＝\f(1＋1)的圖象是．解析：由已知將點(diǎn)(4,2)代入y＝－1，∴2＝a4－1，即a＝2\f(1,3)>1.又\f(1＋1)是單調(diào)遞減的，故g(x)遞減且過(guò)(0,0)點(diǎn)，∴④正確．答案：④5．(原創(chuàng)題)已知函數(shù)f(x)＝2x＋3x＋2，且f(\f(1,2010))＝4，則f(2010)的值為_(kāi)．解析：設(shè)F(x)＝f(x)－2，即F(x)＝2x＋3x，則F(\f(1))＝2\f(1)＋3\f(1)＝－(2x＋3x)＝－F(x)，∴F(2010)＝－F(\f(1,2010))＝－[f(\f(1,2010))－2]＝－2，即f(2010)－2＝－2，故f(2010)＝0.答案：06．若f(x)＝x2－x＋b，且f(2a)＝b，2f(a)＝2(a>0且a≠1)．(1)求f(2x)的最小值及相應(yīng)x的值；(2)若f(2x)>f(1)且2f(x)<f(1)，求x的取值范圍．解：(1)∵f(x)＝x2－x＋b，∴f(2a)＝(2a)2－2a＋b＝b，∴2a＝1，∴a＝2.又∵2f(a)＝2，∴f(a)＝4.∴a2－a＋b＝4，∴b＝2.∴f(x)＝x2－x＋2.∴f(2x)＝(2x)2－2x＋2＝(2x－\f(1,2))2＋\f(7,4).∴當(dāng)2x＝\f(1,2)，即x＝\r(2)時(shí)，f(2x)有最小值\f(7,4).(2)由題意知\b\\{\\(\a\4\\1((2x)2－2x＋2>2，2(x2－x＋2)<2.))∴\b\\{\\(\a\4\\1(2x<0或2x>1，,0<x2－x＋2<4.))∴\b\\{\\(\a\4\\1(0<x<1或x>2，,－1<x<2.))∴0<x<1.B組1．(2009年高考北京卷改編)為了得到函數(shù)y＝\f(x＋3,10)的圖象，只需把函數(shù)y＝的圖象上全部的點(diǎn)．解析：∵y＝\f(x＋3,10)＝(x＋3)－1，∴將y＝的圖象上的點(diǎn)向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)＝(x＋3)的圖象，再將y＝(x＋3)的圖象上的點(diǎn)向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)＝(x＋3)－1的圖象．答案：向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度2．(2010年安徽黃山質(zhì)檢)對(duì)于函數(shù)f(x)＝定義域中隨意x1，x2(x1≠x2)有如下結(jié)論：①f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)；②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；③\f(f(x1)－f(x2)1－x2)>0；④f(\f(x1＋x2,2))<\f(f(x1)＋f(x2),2).上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)是．解析：由運(yùn)算律f(x1)＋f(x2)＝1＋2＝1x2＝f(x1x2)，所以②對(duì)；因?yàn)閒(x)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，所以③正確；f(\f(x1＋x2,2))＝\f(x1＋x2,2)，\f(f(x1)＋f(x2),2)＝\f(1＋2,2)＝\r(x1x2)，∵\(yùn)f(x1＋x2,2)≥\r(x1x2)，且x1≠x2，∴\f(x1＋x2,2)>\r(x1x2)，所以④錯(cuò)誤．答案：②③3．(2010年棗莊第一次質(zhì)檢)對(duì)隨意實(shí)數(shù)a、b，定義運(yùn)算“*”如下：a*b＝\b\\{\\(\a\4\\1(a(a≤b)(a>b)))，則函數(shù)f(x)＝\f(1,2)(3x－2)*2x的值域?yàn)椋馕觯涸谕冀K角坐標(biāo)系中畫(huà)出y＝\f(1,2)(3x－2)和y＝2x兩個(gè)函數(shù)的圖象，由圖象可得f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(2x(0<x≤1)\f(1,2)(3x