人教A版高中數(shù)學二同步學習講義：1.1空間幾何體的結構特征 第1課時 含答案

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精第1課時棱柱、棱錐、棱臺的結構特征學習目標1.通過對實物模型的觀察，歸納認知棱柱、棱錐、棱臺的結構特征。2.理解棱柱、棱錐、棱臺之間的關系。3。能運用棱柱、棱錐、棱臺的結構特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結構和有關計算．知識點一空間幾何體的定義、分類及相關概念思考觀察下面兩組物體，你能說出各組物體的共同點嗎？答案(1）幾何體的表面由若干個平面多邊形圍成．（2)幾何體的表面由平面圖形繞其所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉而成．梳理（1)空間幾何體的定義及分類①定義：如果只考慮物體的形狀和大小，而不考慮其他因素,那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體．②分類：常見的空間幾何體有多面體與旋轉體兩類．(2)多面體與旋轉體類別多面體旋轉體定義由若干個平面多邊形圍成的幾何體由一個平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉所形成的封閉幾何體圖形相關概念面:圍成多面體的各個多邊形棱:相鄰兩個面的公共邊頂點：棱與棱的公共點軸:形成旋轉體所繞的定直線知識點二棱柱的結構特征思考觀察下列多面體,有什么共同特點?答案(1）有兩個面相互平行;(2)其余各面都是平行四邊形；(3)每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行．梳理棱柱的結構特征名稱定義圖形及表示相關概念分類棱柱有兩個面互相平行,其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱如圖可記作：棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′底面（底）：兩個互相平行的面?zhèn)让妫浩溆喔髅鎮(zhèn)壤猓合噜弬让娴墓策呿旤c：側面與底面的公共頂點按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱柱、四棱柱、……知識點三棱錐的結構特征思考觀察下列多面體，有什么共同特點?答案（1)有一個面是多邊形；（2）其余各面都是有一個公共頂點的三角形．梳理棱錐的結構特征名稱定義圖形及表示相關概念分類棱錐有一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的三角形,由這些面所圍成的多面體叫做棱錐如圖可記作：棱錐S—ABCD底面(底）：多邊形面?zhèn)让?有公共頂點的各個三角形面?zhèn)壤猓合噜弬让娴墓策呿旤c:各側面的公共頂點按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱錐、四棱錐、……知識點四棱臺的結構特征思考觀察下列多面體，分析其與棱錐有何區(qū)別與聯(lián)系？答案(1）區(qū)別：有兩個面相互平行．（2)聯(lián)系:用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，其底面和截面之間的部分即為該幾何體．梳理棱臺的結構特征名稱定義圖形及表示相關概念分類棱臺用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫做棱臺如圖可記作：棱臺ABCD—A′B′C′D′上底面：原棱錐的截面下底面：原棱錐的底面?zhèn)让妫浩溆喔髅鎮(zhèn)壤猓合噜弬让娴墓策呿旤c：側面與上(下）底面的公共頂點由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺分別叫做三棱臺、四棱臺、五棱臺……知識點五棱柱、棱錐、棱臺之間的關系類型一棱柱、棱錐、棱臺的結構特征eq\x（命題角度1棱柱的結構特征)例1下列關于棱柱的說法:①所有的面都是平行四邊形；②每一個面都不會是三角形；③兩底面平行，并且各側棱也平行；④被平行于底面的平面截成的兩部分可以都是棱柱．其中正確說法的序號是________．答案③④解析①錯誤，底面可以不是多邊形；②錯誤,底面可以是三角形；③正確，由棱柱的定義可知；④正確，被平行于底面的平面截成的兩部分可以都是棱柱．反思與感悟關于棱柱的辨析（1）緊扣棱柱的結構特征進行有關概念辨析．①兩個面互相平行；②其余各面是四邊形；③相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行．(2）多注意觀察一些實物模型和圖片便于反例排除．特別提醒:求解與棱柱相關的問題時，首先看是否有兩個平行的面作為底面,再看是否滿足其他特征．跟蹤訓練1關于棱柱，下列說法正確的是________．①有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱；②棱柱的側棱長相等，側面都是平行四邊形；③各側面都是正方形的四棱柱一定是正方體．答案②解析①不正確，反例如圖所示．②正確，由棱柱定義可知，棱柱的側棱相互平行且相等，所以側面均為平行四邊形．③不正確,上、下底面是菱形,各側面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方體．eq\x(命題角度2棱錐、棱臺的結構特征)例2(1）判斷如圖所示的物體是不是棱錐,為什么？解該物體不是棱錐．因為棱錐的定義中要求:各側面有一個公共頂點，但側面ABC與側面CDE沒有公共頂點,所以該物體不是棱錐．（2)如圖所示的多面體是不是棱臺？解根據(jù)棱臺的定義，可以得到判斷一個多面體是棱臺的標準有兩個:一是共點，二是平行．即各側棱延長線要交于一點,上、下兩個底面要平行，二者缺一不可．據(jù)此,圖(1）中多面體側棱延長線不相交于同一點，故不是棱臺;圖（2）中多面體不是由棱錐截得的，不是棱臺；圖（3)中多面體雖是由棱錐截得的，但截面與底面不平行，因此也不是棱臺．反思與感悟棱錐、棱臺結構特征問題的判斷方法（1）舉反例法結合棱錐、棱臺的定義舉反例直接說明關于棱錐、棱臺結構特征的某些說法不正確．（2)直接法棱錐棱臺定底面只有一個面是多邊形，此面即為底面兩個互相平行的面,即為底面看側棱相交于一點延長后相交于一點跟蹤訓練2有下列三個命題：①用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺；②兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺；③有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺．其中正確的有(）A．0個B．1個C．2個D．3個答案A解析①中的平面不一定平行于底面，故①錯;②③可用反例去檢驗，如圖所示，側棱延長線不能相交于一點，故②③錯．故選A。類型二多面體的識別和判斷例3如圖，已知長方體ABCD－A1B1C1D1.用平面BCFE把這個長方體分成兩部分后，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱?如果不是，說明理由．解截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1,其中△BEB1和△CFC1是底面．截面BCFE下方部分也是棱柱,且是四棱柱ABEA1－DCFD1,其中四邊形ABEA1和四邊形DCFD1是底面．引申探究用一個平面去截本例中的四棱柱，能截出三棱錐嗎?解如圖．幾何體B－A1B1C1就是三棱錐．反思與感悟解答此類題目的關鍵是正確掌握棱柱的幾何特征，在利用幾何體的概念進行判斷時，要緊扣定義,注意幾何體間的聯(lián)系與區(qū)別，不要認為底面就是上下位置．跟蹤訓練3如圖所示，關于該幾何體的正確說法有________．①這是一個六面體;②這是一個四棱臺；③這是一個四棱柱;④此幾何體可由三棱柱截去一個三棱柱得到;⑤此幾何體可由四棱柱截去一個三棱柱得到．答案①③④⑤解析①正確，因為有六個面，屬于六面體的范疇；②錯誤，因為側棱的延長線不能交于一點，所以不正確；③正確，若把幾何體放倒就會發(fā)現(xiàn)是一個四棱柱；④⑤都正確，如圖所示．類型三多面體的表面展開圖例4（1）請畫出如圖所示的幾何體的表面展開圖；(2)如圖是兩個幾何體的表面展開圖，請問各是什么幾何體?解(1)展開圖如圖所示．(答案不唯一）(2）根據(jù)表面展開圖，可知①為五棱柱，②為三棱臺．反思與感悟(1)繪制展開圖:繪制多面體的平面展開圖要結合多面體的幾何特征，發(fā)揮空間想象能力或者是親手制作多面體模型．在解題過程中，常常給多面體的頂點標上字母,先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側面,便可得到其平面展開圖．（2)由展開圖復原幾何體：若是給出多面體的平面展開圖，來判斷是由哪一個多面體展開的,則可把上述過程逆推．同一個幾何體的平面展開圖可能是不一樣的，也就是說，一個多面體可有多個平面展開圖．跟蹤訓練4如圖所示，不是正四面體(各棱長都相等的三棱錐)的展開圖的是（)A．①③B．②④C．③④D．①②答案C解析可選擇陰影三角形作為底面進行折疊，發(fā)現(xiàn)①②可折成正四面體，③④不論選哪一個三角形作底面折疊都不能折成正四面體．1．下面多面體中，是棱柱的有()A．1個B．2個C．3個D．4個答案D解析根據(jù)棱柱的定義進行判定知,這4個圖都滿足．2．有一個多面體，共有四個面圍成,每一個面都是三角形，則這個幾何體為()A．四棱柱 B．四棱錐C．三棱柱 D．三棱錐答案D解析四個面都是三角形的幾何體只能是三棱錐．3．三棱柱的平面展開圖是(）答案B解析兩個全等的三角形，在側面三個長方形的兩側，這樣的圖形圍成的是三棱柱,故選B。4．下列敘述,其中正確的有()①兩個底面平行且相似，其余的面都是梯形的多面體是棱臺；②如圖所示，截正方體所得的幾何體是棱臺；③棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐．A．0個B．1個C．2個D．3個答案A解析①不正確，因為不能保證各側棱的延長線交于一點，如圖（1)所示；②不正確，因為側棱延長后不能交于一點，還原后也并非棱錐;③不正確，如圖（2)所示，用一個過頂點的平面截四棱錐得到的是兩個三棱錐．（1)（2）5．一個棱柱有10個頂點，所有的側棱長的和為60cm，則每條側棱長為________cm.答案12解析因為棱柱有10個頂點，所以棱柱為五棱柱,共有五條側棱，所以側棱長為eq\f（60，5)＝12(cm）．1．棱柱、棱錐定義的關注點（1)棱柱的定義有以下兩個要點，缺一不可：①有兩個平面（底面）互相平行；②其余各面（側面)每相鄰兩個面的公共邊(側棱）都互相平行．（2）棱錐的定義有以下兩個要點,缺一不可:①有一個面（底面)是多邊形;②其余各面（側面)是有一個公共頂點的三角形．2．棱柱、棱錐、棱臺之間的關系在運動變化的觀點下,棱柱、棱錐、棱臺之間的關系可以用下圖表示出來(以三棱柱、三棱錐、三棱臺為例）．3．根據(jù)幾何體的結構特點判定幾何體的類型，首先要熟練掌握各幾何體的概念，把握好各類幾何體的性質,其次要有一定的空間想象能力．課時作業(yè)一、選擇題1．在棱柱中（）A．只有兩個面平行B．所有的棱都平行C．所有的面都是平行四邊形D．兩底面平行，且各側棱也互相平行答案D解析對于A，如果是長方體，可能不止有兩個面平行,故錯；對于B，如果是長方體，不可能所有的棱都平行，只是所有的側棱都平行,故錯；對于C，上、下底面不一定是平行四邊形，故錯；對于D，據(jù)棱柱的定義知其正確，故對．故選D.2．下面多面體中有12條棱的是（）A．四棱柱 B．四棱錐C．五棱錐 D．五棱柱答案A解析∵n棱柱共有3n條棱，n棱錐共有2n條棱,∴四棱柱共有12條棱；四棱錐共有8條棱；五棱錐共有10條棱；五棱柱共有15條棱．故選A。3．有兩個面平行的多面體不可能是(）A．棱柱 B．棱錐C．棱臺 D．以上都錯答案B解析由棱錐的結構特征可得．4．棱臺不具有的性質是（）A．兩底面相似B．側面都是梯形C．側棱都平行D．側棱延長后都交于一點答案C解析根據(jù)棱臺的定義：用平行于底面的平面截棱臺，截面與底面之間的部分叫做棱臺，∴棱臺具有的性質是：上、下底面多邊形相似，每個側面都是梯形，側棱延長后交于一點，故選項A、B、D排除，∴棱臺的側棱都不平行，故選C。5．如圖所示，在三棱臺A′B′C′－ABC中，截去三棱錐A′－ABC，則剩余部分是（)A．三棱錐 B．四棱錐C．三棱柱 D．三棱臺答案B解析由題圖知剩余的部分是四棱錐A′－BCC′B′.6．下面圖形中是正方體展開圖的是（）答案A解析由正方體表面展開圖性質知A是正方體的展開圖；B折疊后第一行兩個面無法折起來，而且下邊沒有面，故不能折成正方體；C缺少一個正方形;D折疊后有一個面重合，另外還少一個面，故不能折成正方體．故選A.7．若棱臺上、下底面的對應邊之比為1∶2，則上、下底面的面積之比是()A．1∶2B．1∶4C．2∶1D．4∶1答案B解析由棱臺的結構特征知，棱臺上、下底面是相似多邊形，面積比為對應邊之比的平方，故選B.8．五棱柱中,不同在同一個側面且不同在同一個底面的兩頂點的連線稱為它的對角線，那么一個五棱柱對角線的條數(shù)共有（）A．20B．15C．12D．10答案D解析如圖，在五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中,從頂點A出發(fā)的對角線有兩條：AC1，AD1，同理從B，C，D,E點出發(fā)的對角線均有兩條，共2×5＝10（條)．二、填空題9．以三棱臺的頂點為三棱錐的頂點,這樣可以把一個三棱臺分成________個三棱錐．答案3解析如圖，分割為A1－ABC，B－A1CC1，C1－A1B1B,3個棱錐．10．一個長方體共頂點的三個面的面積分別是eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6）,則這個長方體對角線的長是________．答案eq\r(6）解析設長方體長、寬、高為x，y，z，則yz＝eq\r（2），xz＝eq\r（3),yx＝eq\r(6)，三式相乘得x2y2z2＝6，即xyz＝eq\r(6）,解得x＝eq\r(3)，y＝eq\r(2），z＝1，所以eq\r（x2＋y2＋z2）＝eq\r(3＋2＋1）＝eq\r(6）.11．如圖，已知正三棱錐P－ABC的側棱長為eq\r（2)，底面邊長為eq\r（2）,Q是側棱PA的中點,一條折線從A點出發(fā)，繞側面一周到Q點，則這條折線長度的最小值為________．答案eq\f(3\r(2）,2）解析沿著棱PA把三棱錐展開成平面圖形，所求的折線長度的最小值就是線段AQ的長度，令∠PAB＝θ，則θ＝60°，在展開圖中，AQ＝eq\f(3\r（2)，2），故答案為eq\f(3\r(2),2).三、解答題12．試從正方體ABCD－A1B1C1D1的八個頂點中任取若干，連接后構成以下空間幾何體，并且用適當?shù)姆柋硎境鰜恚?1）只有一個面是等邊三角形的三棱錐；（2）四個面都是等邊三角形的三棱錐；（3)三棱柱．解（1)如圖所示，三棱錐A1－AB1D1（答案不唯一）．(2)如圖所示,三棱錐B1－ACD1（答案不唯一）．（3）如圖所示,三棱柱A1B1D1－ABD（答案不唯一)．13．在一個長方體的容器中，里面裝有少量水，現(xiàn)將容器繞著其底部的一條棱傾斜，在傾斜的過程中．（1)水面的形狀不斷變化，可能是矩形，也可能變成不是矩形的平行四邊形，對嗎?(2）水的形狀也不斷變化,可以是棱柱，也可能變?yōu)槔馀_或棱錐，對嗎?(3）如果傾斜時，不是繞著底部的一條棱,而是繞著其底部的一個頂點，上面的第（1)題和第(2）題對不對？解