對面積的曲面積分

第四節(jié)對面積的曲面積分4.1學(xué)習(xí)目標(biāo)了解對面積的曲面積分的概念、性質(zhì)，掌握對面積的曲面積分的計算方法，會用曲面積分求一些幾何量與物理量.4.2內(nèi)容提要1?定義設(shè)函數(shù)f(x,y,z)在光滑曲面工上有界，將曲面工任意分成n小塊AS(ASii也表示第i小塊曲面的面積)，在as上任取一點m憶，耳,匚)，作乘積f(匚，n,C.)ASi iiii iiii(i=1,2,L,n)，并作和￡fG，n,匚)?As，記各小曲面直徑的最大值為九，如果對曲iii ii=1面的任一分法和點點,n,C)的任意取法，當(dāng)九t0時，上述和式的極限都存在且相等，則iii稱此極限值為函數(shù)f(x,y,z)在曲面工上對面積的曲面積分或第一類曲面積分，記JJf(x,y,z)dS=lim2f點“,匚)AS.2 Xt0i=1 iiii2【注】定義中的“AS”是面積元素，因此，AS>0.ii性質(zhì)關(guān)于曲面具有可加性，若￡=￡+工，且工與工沒有公共的內(nèi)點，則1212JJf(x,y,z)dS=JJf(x,y,z)dS+JJf(x,y,z)dS；2 21 22當(dāng)被積函數(shù)為1時，積分結(jié)果在數(shù)值上等于曲面￡的面積S，即JJf(x,y,z)dS=S.2對面積的曲面積分的計算設(shè)曲面工由z=z(x,y)給出，工在xoy面上的投影區(qū)域為D，函數(shù)z=z(x,y)在xyf(5z)2[5zyf(5z)2[5zy,z(x,叫1+(T￥dxdyJJf(x,y,z)dS=JJf(x,2 Dxy同樣地JJf(xJJf(x,y,z)dS” f[x(y,z),y,z2 DyzVxG丿(dx\2dydz，y(z,x),zdx丿y(z,x),zdx丿Qz丿對面積的曲面積分的應(yīng)用設(shè)曲面X上任意一點C,y,z）處的面密度是p（x,y,z），則①曲面的質(zhì)量②曲面的質(zhì)心￡亍,②曲面的質(zhì)心￡亍,z）m二JJp(x,y,z.XzzX4.3典型例題與方法基本題型I：計算對面積的曲面積分例1填空題設(shè)工：X2+y2+z2-4，則JJ（x2+y2）dS- .解由積分區(qū)域的對稱性知乙2dS-JJy2dS-?z2dS，于是E E E乙x2+y2）dS=—JJ（x2+y2+z2）dSEEy-一JJyp(x，y,z)dS z=y-一JJyp(x，y,z)dS z=—JJzp(x,y,z)dSmmXXmX曲面的轉(zhuǎn)動慣量Ix-JJ(y2+z2)p(x,y,z)dS,I-JJ(x2+z2)p(x,y,z)dS,I-JJ(x2+y2)p(x,y,z)dS,I-JJCx2+y2+z2)p(x,y,z)dS而積分在e上進(jìn)行，x2+y2+z2-4，代入上式得,128故應(yīng)填丁兀-例2選擇題設(shè)E:x2+y2+z2-a2（z>0），E］為E在第一卦限中的部分，則有（）（A）JJxdS-4JJxdS；（B）JJydS-4JJxdS；（C）JJzdS-4JJxdS；（D）JJxyzdS-4JJxyzdS.E E1 E E1解因為曲面是上半球面，E關(guān)于yoz面對稱且被積函數(shù)f1（x,y,z）-x，厶（x，y,z）=xyz都是變量x的奇函數(shù)，于是JJxdS-JJxyzdS-0.類似地，E關(guān)于xoz

面對稱且f3(x，y，z)=y是變量y的奇函數(shù)，于是JJydS=0.而JJxdS>0,JJxyzdS>0,故應(yīng)選(C).事實上，由對稱性，乞 厶 厶 厶【方法點擊】在計算對面積的曲面積分時，應(yīng)注意下列技巧：利用對稱性，但要注意，曲面z關(guān)于某坐標(biāo)面對稱，被積函數(shù)關(guān)于相應(yīng)變量具有奇偶性，兩者缺一不可．利用積分曲面［的方程化簡被積函數(shù).例3計算曲面積分JJ(2x+2y+z)ds，其中E是平面2x+2y+z-2二0被三個坐標(biāo)面所截下的在第一卦限的部分.解法一X:z二2-2x-2y,z'=-2,z'=-2.X在xoy平面上的投影是三角形，記為xyD:0<x<1，0<y<1-x.+zS+zSdxdy=JJ6dxdy=3.xJJ(2+zS+zSdxdy=JJ6dxdy=3.x乞 D解法二JJ(2x+2y+z)ds=JJ【方法點擊】在解法二中，將曲面方程代入到了曲面積分里，因為積分曲面是一個三角形，最后用到了三角形的面積公式.例4計算I=JJ(x2+y2)dS,Z為立體、：x2+y2<z<1的邊界.X【分析】］根據(jù)積分曲面X的方程，確定投影區(qū)域，計算曲面面積微元dS，將曲面積分轉(zhuǎn)化為投影區(qū)域上的二重積分進(jìn)行計算．解設(shè)E=E+E,工為錐面z=\；'x2+y2,0<z<1，在工上,12^1空丫Q空丫Qy丿dxdy二、dxdy,圖4-1工2為z=1上x2+y2<1部分，在工2上,dS二加兒工,工在xOy面的投影區(qū)域為D:x2+y2<1，所以12I=JJ(x2+y2)dS+JJ(x2+y2)dS工 工12=(\2+1)JJ(x2+y2)dxdy=(1+、2)Jdofp3dp=—(1+、2)D 1 0例5計算ffz2dS，其中X為x2+y2=4介于z=0,z=6之間的部分.

【分析】積分曲面丫如圖11-13所示，此積分為對面積的曲面積分，積分曲面丫關(guān)于xoz面，yoz面對稱，被積函數(shù)是偶函數(shù)，則有uz2dS=4JJz2dS，故可利用對稱性解之； 「0<y<2解設(shè)2:x=#4—y2,其在yoz面的投影域為D:\ ，1 yz[0<z<6z2dS=4JJz2dS=4JJz2 dzdy=4f6z2dzJ2”2dy=288兀21D J4—y2 0o(4—y21Dyz圖4-2【注】該題不能將積分曲面2向xoy面作投影，因為投影為曲線，不是區(qū)域.基本題型II：對面積的曲面積分的應(yīng)用1例6求物質(zhì)曲面S:z=-(x2+y2)(0<z<1)的質(zhì)量，其面密度P=z((x,y,z)eS).2解S在xoy平面上的投影區(qū)域D:x2+y2<(弋'2)2.于是，所求質(zhì)量為M= JJ(x2+y2)Jl+x2+y2dxdy222D例7試求半徑為R的上半球殼的質(zhì)心，已知其各點的密度等于該點到鉛錘直徑的距離．解以球心為原點，鉛錘直徑為z軸建立直角坐標(biāo)系，則球面方程為x2+y2+z2=R2，且任意點M(x,y,z)處的密度為yx2+y2.設(shè)球殼的質(zhì)心坐標(biāo)為(x，y,z)，由對稱性知，x=y=0JJzpdSz=7W，(Qz其中工為上半球面z(Qz其中工為上半球面z二序-x2-y2，亦=屮+|寸Qx2dxdy=.Rdxdy,丿 弋R2_x2_y2而2兀R4--_3 故_1P兀2R32解：假設(shè)U(x,y,z)在曲面丫上連續(xù),應(yīng)用元素法，在曲面上任取一直徑很小的曲面塊于是球殼的質(zhì)量為其中D為工在xoy面上的投影域：x2+y2<R2.利用極坐標(biāo)計算上述二重積分，得4R 4R3兀，于是半球殼的質(zhì)心坐標(biāo)為(0'0'3廠)?4.4教材習(xí)題解答1.有一個分布著質(zhì)量的曲面Y，在點(x,y,z)處它的面密度u(x,y,z)，用對面積的曲面積分表示這曲面對于x軸轉(zhuǎn)動慣量。dS，設(shè)(x,y,z)使曲面塊dS內(nèi)的一點,曲面塊dSdS，設(shè)(x,y,z)使曲面塊dS內(nèi)的一點,曲面塊dS的質(zhì)量近似等于u(x,y,z)dS，這部分質(zhì)量可近似看作集中在點(x,y,z)上，該點到x軸的距離等于x2+y2，于是曲面對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量為dI=(z2+y2)u(x,y,z)dS，所以轉(zhuǎn)動慣量為：I=U(y2+z2)u點到x軸的距離等于x2+y2，x2．按對面積的曲面積分的定義證明公式JJf(x,y,z)dS f(x,y,z)dS+JJf(x,y,z)dS，其中S由S和Z組成12S S1 S2證明：因為/(x,y,z)在曲面上對面積的積分存在，所以不論把曲面S怎樣分割，積分和總保持不變，因此在分割曲面丫時，可以永遠(yuǎn)把耳和込的邊界曲線作為分割線，從而保證AS.整個位于S上，于是S上的積分和等于S上的積分和加上S上的積分和，即i112令各小塊的直徑的最大值趨向于0，去極限得到：JJf(x,y,z)dS=JJf(x,y,z)dS+JJf(x,y,z)dSSSS3.當(dāng)S時xoy面內(nèi)的一個閉區(qū)域D時，曲面積分JJf(x,y,z)dS和二重積分有什么關(guān)系。S解：當(dāng)S時xoy面內(nèi)的一個閉區(qū)域D時，S在xoy上的投影區(qū)域即為D，S上的f(x,y,z)恒為f(x,y,0)，并且z=z=0，所以JJf(x,y,z)dS=JJf(x,y,0)dxdy，xy即曲面積分與二重積分相等。

4.計算曲面積分JJf(x,y,z，其中E為拋物面z二2-(x2+y2)在xoy面上方的部E(3)f(x,y,z)二(3)f(x,y,z)二3z.(2)f(x,y,z)二x2+y2；解(2)JJf(x,y,z》s= (x2+y2),1+z2+z2dxdy,其中D為E在xoy面上xy xyDxyDxy的投影區(qū)域，即D:x2+y2<2(z=0).xy于是JJfC，y,z=JJC+y2)1+4(x2+y2)dxdy=J2兀d0J2p2.1+4p2pdp=149冗-0030E (Dxy)(3)JJf(x,y,z)dSE=JJ3C-x2-y2X1+4(x2+y2)dxdy=J2K3doJ'2C-p2).1+4p2pdp=史0010Dxy5.計算JJ'x2+y2d，其中E是：E(1)錐面z=廠2+y2及平面z=1所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面.(2)錐面z2二3(x2+y2)被平面z=0和2=3所截部分。解⑴設(shè)丫中屬于錐面部分為E1,上底面部分為E2，而E1與E2在xoy面上的投影區(qū)域均為D:x2+y2<1(z=0),所以xyJJ(x2+y2)dS=JJ(x2+y2+JJ(2+y2E E1 E2(2)所截的錐面為：z=勇護(hù)2+y2(D:x2+y2<3),xy所以JJ(x2+y2)dS=JJ2(x2+y2)dxdy=9兀E Dxy6.計算下列對面積的曲面積分：4 xyz⑴"(z+2x+3y)dS'其中E為平面2+-+4-1在第一卦限中的部分.TOC\o"1-5"\h\z4 ~ J61解z二4-2x——y，dS=：1+(-2)2+(-—)2dxdy=—— y3 H 3 3U(2xy—2x2-x+z)dS，其中S為平面2x+2y+z=6在第一卦限中的部分.s解z=4-2x-4y，dS=\：'1+(-2)2+(-2)2dxdy=3dxdyU(x+y+z)dS，其中S為球面x2+y2+z2=a2上z>h(0<h<a)的部分.解z=a2-x2-解z=a2-x2-y2,dS=1+(2、:a2-x2-y2 2a2-x2-y2(4)A(xy+yz+zx)dS,其中工為錐面z=Jx2+y2被柱面x2+