初一數(shù)學(xué)整體復(fù)習(xí)

初一數(shù)學(xué)

目錄

第1講有理數(shù)基本概念....................................2

第2講有理數(shù)的加減法...................................17

第3講有理數(shù)的乘除法...................................23

第4講乘方、科學(xué)記數(shù)法、近似數(shù)與有效數(shù)字...............33

第5講整式的加減.......................................41

第6講一元一次方程.....................................50

第7講二元一次方程組...................................56

第8講不等式與不等式組.................................68

第9講圖形認(rèn)識(shí)初步.....................................78

第10講相交線與平行線..................................91

第11講三角形..........................................105

第12講期末測(cè)評(píng).......................................113

第1講有理數(shù)基本概念

1.1正數(shù)和負(fù)數(shù)

1引入負(fù)數(shù)的意義

我們?cè)谏?、生產(chǎn)、科研活動(dòng)中，經(jīng)常遇到相反意義的量。如：零上5℃和零下2℃；

前進(jìn)2m和后退3m；收入1000元和支出100元；提高10%和降低10%；盈15元和虧20元；

勝3個(gè)球和輸2個(gè)球；高出海平面8848m和低于海平面155m....若再用前面學(xué)過的數(shù)表

示各對(duì)量已不能準(zhǔn)確地表達(dá)它們的意義或關(guān)系，因此，需要引入正負(fù)數(shù)，它是既能表示相反

意義的量，又能拓展數(shù)學(xué)運(yùn)算，促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展和應(yīng)用，是人類文明進(jìn)步、科學(xué)發(fā)展的需

要，是歷史發(fā)展的必然。

2相反意義的量的表示方法

把一對(duì)相反意義的量，其中一個(gè)“意義”規(guī)定用“+”表示，則另一個(gè)“意義”必定用

“一”表示。

“+”讀作“正”是正號(hào)；“一”讀作“負(fù)”是負(fù)號(hào)，都是性質(zhì)符號(hào)，“+”和“一”的

分界用零“0”表示。

一般地，用正負(fù)表示的意義如下：

(1)收入、前進(jìn)、零上、上升、提高、增加、盈利、勝、高出、上、東、北、右......都

用“+”表示。

(2)支出、后退、零下、下降、降低、減少、虧損、輸、低于、下、西、南、左......都

用“一”表示。

(3)不投入也不支出；不前進(jìn)也不后退；不盈也不虧；不增加也不減少；海平面的

高度；水結(jié)冰的溫度；某一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)或基準(zhǔn)........般都用“0”表示。

3正負(fù)數(shù)的概念

3

形如+1,+0.5,+—，10.1,0,001,196,n,???的數(shù)都是正數(shù)。

2

形如一3,-2,-0.1,-1-,-100,一%???的數(shù)都是負(fù)數(shù)，或者說，把正

32

數(shù)前面添上“一”所得的數(shù)是負(fù)數(shù)。

“0”既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，是中性數(shù)。

由正負(fù)數(shù)的定義可知，一個(gè)正數(shù)和負(fù)數(shù)都是由兩部分組成，一部分為性質(zhì)符號(hào)“+”或

“一”，另一部分是數(shù)字

如+2,是“+”和“2”組成,讀作“正2”，通?！?2”省略“+”寫為“2”，讀作

“2”。

如一5,是“一”和“5”組成，讀作“負(fù)5”，“一”不能省略。

注意：帶“+”號(hào)的數(shù)不一定全是正數(shù)；帶“一”號(hào)的數(shù)也不一定全是負(fù)數(shù)。如在“0”的

前面添加上“+”或“一”，它仍是0。

4數(shù)的分類

「正數(shù)】

，非負(fù)數(shù)

數(shù)＜0：

布界」非正數(shù)

L負(fù)數(shù)J

例1選擇題

(1)下列說法正確的是()。

A.帶正號(hào)的數(shù)是正數(shù)B.帶負(fù)號(hào)的數(shù)是負(fù)數(shù)

C.a不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)D.數(shù)a和負(fù)a的意義不同

(2)下列說法錯(cuò)誤的是()。

A.增加一10%與減少10%的意義不同

B.若向東2km記作2km,則一2km是向西2km

C.王華體重減少1kg,也就是王華的體重增加-1kg

D.若下降2m記作一2m,則不升不降記作0m

解析：(1)A,如“+0”有正號(hào)，而不是正數(shù)；B,如“一0”有負(fù)號(hào)，而不是負(fù)數(shù)；C,a

可能是0；D,“數(shù)a”說明a是數(shù)，而“負(fù)a”的意義是“一a”，因此，A、B、C是不正確

的，應(yīng)選D。

說明：要說明一個(gè)問題是不正確的，只要舉出一個(gè)符合條件而不符合結(jié)論的反例即可。

(2)A,“增加一10%”即“減少10%”它們意義相同。應(yīng)選A。

點(diǎn)撥：用正數(shù)表示一個(gè)量時(shí)，負(fù)數(shù)就表示其意義相反的量。

例2填空題

(1)盈利100元，記作100元，則一10元表示：

(2)足球比賽勝一場(chǎng)記為1,則輸2場(chǎng)記為：

(3)如+50元表示收入50元，則一30元表示：

(4)甲對(duì)乙說“你欠我負(fù)10元，應(yīng)該還了”，乙說該還，實(shí)際上是欠10元錢。

(5)在2004年，A、B、C、D四國(guó)的軍費(fèi)開支比上年的變化情況是

A.A國(guó)增長(zhǎng)14%B.B國(guó)減少1.5%

C.C國(guó)與上年持平D.D國(guó)增加21.5%

則這四個(gè)國(guó)家軍費(fèi)增長(zhǎng)率分別為,增長(zhǎng)率最小的國(guó)家是。

解析：(1)盈利100元記為100元，這說明把盈利記為“+”，所以“虧”應(yīng)記為“一”，

故“一”表示“虧”，一10元表示虧10元。

(2)因?yàn)閯儆洝?”，則輸應(yīng)記“一”，所以輸2場(chǎng)應(yīng)記為一2.

(3)“+”表示了收入，則“一”應(yīng)表示支出，故一30元表示支出30元。

(4)若甲對(duì)乙說“你欠我10元”，則是乙欠甲10元；而甲對(duì)乙說“你欠我負(fù)10元”,

則意義與上一種說法相反，所以甲欠乙10元。

(5)注意：減少相對(duì)增長(zhǎng)是“負(fù)二

所以，四個(gè)國(guó)家軍費(fèi)增長(zhǎng)率分別是14%,-1.5%,0.21.5%o增長(zhǎng)率最小的國(guó)家是B國(guó)。

例3某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，成績(jī)?cè)?5分(含85分)以上為優(yōu)秀，老師以85分為起點(diǎn)，把5名班

委的成績(jī)間記為-5,+10,0,-2,+9,則這個(gè)班委的數(shù)學(xué)成績(jī)有幾人優(yōu)秀？為什么？

解析：有3人優(yōu)秀。因?yàn)?人成績(jī)分別為80,95,85,83,94,又因?yàn)椴坏陀?5分為優(yōu)秀,

所以有3人。

點(diǎn)撥：這5個(gè)數(shù)中的非負(fù)數(shù)個(gè)數(shù)就表示優(yōu)秀人數(shù)。

隨堂練習(xí)：

一、選擇題

1.在下列各數(shù)中負(fù)數(shù)個(gè)數(shù)是（）。

—16,0.04,+,—0.5,—,0,—1

A.lB.2C.3D.4

2,下列說法不正確的是（）。

A.0是自然數(shù)B.溫度0℃就是沒有溫度

C.數(shù)可分為正數(shù)、負(fù)數(shù)和0D.正數(shù)和負(fù)數(shù)都有無(wú)數(shù)多個(gè)

二、填空題

1.某水庫(kù)正常水位25m,在三次記錄水位的數(shù)據(jù)為+0.8,0,一0.3這三次記錄的實(shí)際水位

是o

2.甲、乙兩冷庫(kù)，甲冷庫(kù)的溫度是一8℃,乙冷庫(kù)的溫度是一10℃,則甲冷庫(kù)的溫度比乙冷

庫(kù)的溫度低℃o

3.在水中，一條小魚所在高度為一6m,一條大魚在小魚下方2m處，則大魚的所在高度為

1.2有理數(shù)

1.2.1有理數(shù)

1整數(shù)：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)

正整數(shù)：如1、2、3、.

負(fù)整數(shù)：如一1、一2、一3、....

即整數(shù)為0、±1、±2、±3,???-

2分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù)

正分?jǐn)?shù)：1-S0.1、3.14、0.3,.

22

27

負(fù)分?jǐn)?shù)：一0.1、一一、一一、.....

36

（這里的分?jǐn)?shù)是指分母不為1的）

3有理數(shù)

整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，或有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)。

因?yàn)橛邢扌?shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可華為分?jǐn)?shù)，而有限小數(shù)中包含整數(shù)，整數(shù)可看作是分

母為1的分?jǐn)?shù)，所以，任何有理數(shù)都可化為分?jǐn)?shù)，凡是能用分?jǐn)?shù)表示的數(shù)都是有理數(shù)。

注意：由于n=3.1215926???是無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)，它不能化成分?jǐn)?shù)形式，所以n不是有理

數(shù)。

4有理數(shù)的分類

（1）按整數(shù)、分?jǐn)?shù)分類（2）按正負(fù)分類

?一整數(shù)

整數(shù)J（）r正行理數(shù)比：

I止分?jǐn)?shù)

?負(fù)整數(shù)

有理數(shù).仃理數(shù).（）

負(fù)整數(shù)

■負(fù)有理數(shù)

負(fù)分?jǐn)?shù)

5字母表示數(shù)

若a為正數(shù)，則a>0；若a為負(fù)數(shù)，則a<0。反之亦成立。

例1判斷正誤

(1)0和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù)。

(2)—0.1是分?jǐn)?shù)，是負(fù)有理數(shù)。

(3)若a是有理數(shù)，則一a是有理數(shù)。

(4)若a是有理數(shù)，則上是有理數(shù)。

a

(5)有理數(shù)包括整數(shù)、分?jǐn)?shù)和0.

(6)整數(shù)和小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)。

(7)一個(gè)有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)。

(8)有限小數(shù)和無(wú)限小數(shù)都是有理數(shù)。

解析：(1)V(2)V(3)V(4)X(5)X(6)X(7)V(8)X

說明：(4)當(dāng)a=0時(shí)，1無(wú)意義。(5)整數(shù)中已包含0,分類錯(cuò)誤。(6)整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱

a

有理數(shù)，小數(shù)不一定是分?jǐn)?shù)，而分?jǐn)?shù)一定是小數(shù)，小數(shù)中包含無(wú)限不循環(huán)的數(shù)，這種數(shù)到后

面才能學(xué)到，它是無(wú)理數(shù)。(8)由有理數(shù)的分類可知無(wú)限小數(shù)不一定是有理數(shù)。

例2把下列個(gè)數(shù)分別填在相應(yīng)的大括號(hào)里。

111

1.8、-42、0.01、一5—、0、-3.14、一、1

212

整數(shù)集合｛???｝

分?jǐn)?shù)集合｛???｝

正數(shù)集合｛???｝

負(fù)數(shù)集合｛???｝

自然數(shù)集合｛???｝

非負(fù)數(shù)集合｛???)

有理數(shù)集合｛???｝

解析：整數(shù)集合｛-42、0、1???)

分?jǐn)?shù)集合｛1.8、0.01、-5-,-3.14、—???｝

212

正數(shù)集合｛1.8、0.01、￡、1)

負(fù)數(shù)集合｛-42、-5-,-3.14???｝

2

自然數(shù)集合｛0、1???｝

非負(fù)數(shù)集合｛1.8、0.01、0、—>1???)

12

有理數(shù)集合｛1.8、一42、0.01、-5-0、-3.14、—,1???)

212

6

點(diǎn)撥：在正數(shù)集合，自然數(shù)集合，非負(fù)數(shù)集合中易把0漏掉。

隨堂練習(xí):

一、選擇題

1.對(duì)。的說法不正確的是()。

A.0是偶數(shù)BQ是自然數(shù)CQ是有理數(shù)D.0不是偶數(shù)

2.下列說法不正確的是()?

A.整數(shù)是正數(shù)B.分?jǐn)?shù)是有理數(shù)C.整數(shù)是有理數(shù)D.非負(fù)數(shù)是正數(shù)或0

3.對(duì)一1.6下列說法不正確的是()?

A.是負(fù)數(shù)不是整數(shù)B.是分?jǐn)?shù)不是自然數(shù)

C.是有理數(shù)不是分?jǐn)?shù)D.是負(fù)有理數(shù)且是負(fù)分?jǐn)?shù)

4.下列說法正確的是()。

A.一個(gè)有理數(shù)，不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)B.一個(gè)有理數(shù)，不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)

C.有理數(shù)可分為非負(fù)有理數(shù)和非正有理數(shù)D.整數(shù)和小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)

二、填空題

5.大于一2且小于2的非負(fù)整數(shù)是

6.把下列各數(shù)填在相應(yīng)的大括號(hào)內(nèi)。

5

9、一3、0、一、3.14、-0.1、一28、-2、2000、一、

正數(shù)集合｛???｝

負(fù)數(shù)集合｛???)

非正數(shù)集合｛???｝

非負(fù)數(shù)集合｛???)

自然數(shù)集合｛?-?)

負(fù)整數(shù)集合｛???｝

正整數(shù)集合｛???｝

整數(shù)集合｛???｝

正分?jǐn)?shù)集合｛???)

負(fù)分?jǐn)?shù)集合｛???｝

分?jǐn)?shù)集合｛???)

正有理數(shù)集合｛???)

負(fù)有理數(shù)集合｛???｝

有理數(shù)集合｛???)

7

1.2.2數(shù)軸

1數(shù)軸(numberaxis)

用一條直線上的點(diǎn)表示數(shù)，這條直線叫做數(shù)軸(numberaxis),它滿足以下要求：

(1)在直線上任取一個(gè)點(diǎn)表示數(shù)0,這個(gè)點(diǎn)叫原點(diǎn)；

(2)通常規(guī)定直線上從原點(diǎn)向右(或上)為正方向，從原點(diǎn)向左(或下)為負(fù)方向；

(3)選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度。

有時(shí)，也用一句話將數(shù)軸概括為：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸。

2數(shù)軸畫法

(1)畫一條水平直線。(一般地)

(2)在直線上選取一點(diǎn)作原點(diǎn)，并在原點(diǎn)下方標(biāo)上數(shù)0。注意：原點(diǎn)表示0,原點(diǎn)

用字母。來(lái)表示，把字母一般寫在數(shù)軸上方。

(3)選取直線上，從原點(diǎn)向右為正方向，在直線右端畫出箭頭。

說明：一般選取向右為正方向。

由此可知，數(shù)軸分為兩部分：①原點(diǎn)向右的正方向部分(包括原點(diǎn))，即正半軸；②從

原點(diǎn)向左的負(fù)方向部分(包括原點(diǎn))，即負(fù)半軸。

數(shù)軸上的點(diǎn)可分為三類：①正向上的點(diǎn)，表示正數(shù)；②負(fù)向上的點(diǎn)，表示負(fù)數(shù)；③原點(diǎn),

表示0。

所畫箭頭要瘦、長(zhǎng)、尖。

(4)選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度，在直線上從原點(diǎn)向右，依次每隔一個(gè)單位取一個(gè)點(diǎn)，

這些點(diǎn)依次表示為1、2、3,??-,從原點(diǎn)向左每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一點(diǎn)，這些點(diǎn)依次對(duì)應(yīng)表

示一1、一2、-3>,?,標(biāo)在下方。

說明：①標(biāo)刻度時(shí)，同一數(shù)軸上的單位長(zhǎng)度要一致。②所畫刻度線，每條都垂直直線，長(zhǎng)約

1mm的線段，從直線上方，畫到直線為止。如圖

-200-120-5040150

200-1000100~~200

3用數(shù)軸表示數(shù)

由畫數(shù)軸可知，數(shù)軸上的點(diǎn)都能表示數(shù)，在正半軸上的點(diǎn)表示的數(shù)都是正數(shù)；在負(fù)半軸

上的點(diǎn)，表示的數(shù)都是負(fù)數(shù)；原點(diǎn)表示0。

在數(shù)軸的正半軸和負(fù)半軸上都有無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn)，而每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)數(shù)，不同的點(diǎn)所表

示的數(shù)不同；不同的數(shù)用不同的點(diǎn)來(lái)表示。任何一個(gè)有理數(shù)都能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示。而數(shù)軸

上的點(diǎn)表示的數(shù)不一定是有理數(shù)，還可能是無(wú)理數(shù)(初二學(xué)到)。

4利用數(shù)軸比較兩數(shù)大小

規(guī)定：在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.

方法：把要比較的兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上標(biāo)出它們的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)大于左邊的點(diǎn)

表示的數(shù)。

8

注意：①左、右是數(shù)軸上任意兩點(diǎn)的相對(duì)位置，由規(guī)定可知，正數(shù)＞0＞負(fù)數(shù)。②在數(shù)軸上,

根據(jù)數(shù)a、b、c???所在的位置，可判定它們的負(fù)號(hào)及大小。

5數(shù)的特性

(1)自然數(shù)有最小的數(shù)0,無(wú)最大的；

(2)正整數(shù)有最小的數(shù)1,無(wú)最大的；

(3)負(fù)整數(shù)有最大的數(shù)一1,無(wú)最小的；

(4)整數(shù)無(wú)最大的數(shù)，也無(wú)最小的數(shù)；

(5)有理數(shù)無(wú)最大的數(shù)，也無(wú)最小的數(shù);

6在數(shù)軸上表示運(yùn)動(dòng)狀況

例如：畫圖表示一個(gè)點(diǎn)按下列條件運(yùn)動(dòng)后到達(dá)的終點(diǎn)，并說出它表示什么數(shù)。

(1)從原點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左運(yùn)動(dòng)6個(gè)單位長(zhǎng)度：

I1-6.

+4~

-3-2-10-12345--------

圖1-2-2

由圖1-2-2可看出，到達(dá)的終點(diǎn)是表示一2的點(diǎn)。

(2)從原點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左運(yùn)動(dòng)兩個(gè)單位長(zhǎng)度，最后向右運(yùn)動(dòng)5個(gè)

單位。

一2|一3?

65432-101234

圖1-2-3

由圖1-2—3也可看出到達(dá)的終點(diǎn)是原點(diǎn)，是表示數(shù)0的點(diǎn)。

例1如圖1—2-5,在數(shù)軸上讀出點(diǎn)A、B、C、D、0表示的數(shù)：

CDoAB

1」?」,?1

-2-10123

圖1-2-5

解析：點(diǎn)A、B、C、D、。所表示的數(shù)分別是1,1.5,-1,-0.5,0。

例2在數(shù)軸上表使下列各數(shù)，并用“＞”連接下列各數(shù)：

11

—2—、2—、0、-1、—0.1

22

解析：2——2—

22

9

注意：①用“>”連接，而不能改為用連接，否則不合要求。②在比較三個(gè)以上數(shù)的大

小時(shí)，要么只用“>”連接，要么只用連接,絕不能用“>”和混聯(lián)。如：

--5<-3>-4;1>0<2O

例3(1)在數(shù)軸上，表示一1和3的兩點(diǎn)間的距離是。

(2)在數(shù)軸上，表示數(shù)_______的點(diǎn)，到表示一5的點(diǎn)距離是3。

解析：(1)

4」

-10123

圖1-2-6

如圖1—2—6,由數(shù)軸可知，在數(shù)軸上，表示一1和3的兩點(diǎn)間的距離是4個(gè)單位長(zhǎng)度。

(2)

I，J「卜J___.

-8-7-6-5-4-3-2-10

圖1-2-7

如圖1—2—7,由數(shù)軸可知，在數(shù)軸上，表示數(shù)一8或一2的點(diǎn)，到一5點(diǎn)的距離是3。

點(diǎn)撥：在數(shù)軸上，到表示數(shù)a的點(diǎn)的距離是b的點(diǎn)應(yīng)該有兩個(gè)，不能漏掉其中一個(gè)。

例4填空題

(1)大于一2的負(fù)整數(shù)有。

(2)不大于2的非負(fù)整數(shù)有。

(3)寫出三個(gè)非負(fù)整數(shù)。

(4)在數(shù)軸上，一點(diǎn)P由原點(diǎn)出發(fā)正向移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向負(fù)向移動(dòng)5個(gè)單位

長(zhǎng)度。這時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)是。

解析：在解答以上四個(gè)問題時(shí)要借助數(shù)軸。

(1)-1(2)0、1、2(3)0、1、2(4)如圖1一2一8

-5

-3-2-1012

圖1一2一8

由移動(dòng)情況可知，P點(diǎn)表示的數(shù)是一3。

點(diǎn)撥：兩次移動(dòng)，其起始點(diǎn)不同，不能認(rèn)為都是原點(diǎn)。

10

隨堂練習(xí)：

一、判斷正誤

1.在數(shù)軸上，離開原點(diǎn)3個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)表示的數(shù)是3。()

2.數(shù)a在數(shù)軸的正向上，數(shù)一a在數(shù)軸的負(fù)向上。()

3.不大于0且大于一乃的整數(shù)是0、一1、-2、-3o()

4.在數(shù)軸上，一4點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是4個(gè)單位長(zhǎng)度。()

二、填空題

5.在數(shù)軸上，點(diǎn)P所表示的數(shù)是一1,到點(diǎn)P是4個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)表示的數(shù)是一。

6.點(diǎn)A由原點(diǎn)向右移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度，到達(dá)的點(diǎn)所表示的數(shù)是

7.最大的負(fù)整數(shù)是—；最小的正整數(shù)是__；最小的自然數(shù)是—；最小的非負(fù)數(shù)是

—；最大的非正數(shù)是—O

1.2.3相反數(shù)

1相反數(shù)(oppositenumber)

只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù)，0的相反數(shù)是0。

注意：由定義可知：①相反數(shù)成對(duì)出現(xiàn)；②只有性質(zhì)符號(hào)不同，若一個(gè)為正，則另一個(gè)為負(fù);

③+0與-0互為相反數(shù)，且+0=—0=0。所以0的相反數(shù)是它本身；相反數(shù)為本身的數(shù)是

0°

2相反數(shù)的求法

求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只要在它的前面添上負(fù)號(hào)“一”即得原數(shù)的相反數(shù)，當(dāng)原數(shù)是多個(gè)

數(shù)和差時(shí)，要用括號(hào)括起來(lái)再添“一”，若原數(shù)是單個(gè)數(shù)且前面有“一”，則也應(yīng)先括起來(lái)再

添“一”，然后都要化簡(jiǎn)。

如：①一a的相反數(shù)是一(一a),即a；

②x+y-1的相反數(shù)是一(x+y—1)。

③一(一3)的相反數(shù)是一[—(—3)]

3相反數(shù)的性質(zhì)與判定

(1)任何數(shù)都有相反數(shù)，且只有一個(gè)。

(2)0的相反數(shù)是0。

(3)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)之和為0,何為0的兩數(shù)互為相反數(shù)。即a、b互為相反數(shù)oa

+b=0。

說明：O為互推符號(hào)，即由a、b互為相反數(shù)可以推出a+b=0,反過來(lái)，由a+b=0,也

可以推出a、b互為相反數(shù)。

4相反數(shù)的幾何意義

在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn)所表示的兩個(gè)數(shù),是互為相反數(shù);互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù),

11

在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)(0除外)在原點(diǎn)兩旁，并且與原點(diǎn)的距離相等。0的相反數(shù)對(duì)應(yīng)原點(diǎn);

原點(diǎn)表示。的相反數(shù)。

說明：在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

5多重符號(hào)的化簡(jiǎn)法則

“一”的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)結(jié)果為負(fù)，“一”的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為正。如：

-(+2)=—2("一"的個(gè)數(shù)是1)；

-(-2)=2(“一”的個(gè)數(shù)是2)；

-[-(-2)]=-2(“一”的個(gè)數(shù)是3)；

一{一[一(-2)]}=2("一"的個(gè)數(shù)是4)。

例1填空題

(1)的相反數(shù)是它本身。

(2)的相反數(shù)大于它本身。

(3)的相反數(shù)不大于它本身。

(4)在數(shù)軸上，點(diǎn)A、B表示的數(shù)互為相反數(shù)，且AB=6,則A、B表示的數(shù)分別為

(A在B左邊

解析：(1)設(shè)這個(gè)數(shù)為a,則一a=a,2a=0,

(2)設(shè)這個(gè)數(shù)為a,則一a>a,...2a<0,a<0。.?.負(fù)數(shù)的相反數(shù)大于它本身。

(3)設(shè)這個(gè)數(shù)為a,則一aWa,...aNO。.?.非負(fù)數(shù)的相反數(shù)不大于它本身。

(4)?.?點(diǎn)A、B表示的數(shù)互為相反數(shù)，，A、B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等，..飛8=6,，A、

B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都是3,「A在B左邊，；.A是一3,B是3.

例2化簡(jiǎn)符號(hào)填空

(1)—(+a)=_______；

(2)—(—a)=_______；

(3)—[―(—a)]=_______；

(4)(-a)]}-_______;

(5)—{+L(+a)]}=_______；

(6)—{+[—(a—5)]}=________;

解析：(1)一a；(2)a；(3)—a；(4)a；(5)a；(6)a—5。

例3寫出下列式子的化簡(jiǎn)結(jié)果

(1)-(-3)+[-(-4)]

(2)-(+a)H-[―-(-b)]—{一[+(-m)]}

解析：(1)原式=3+4=7；

(2)原式=-a+[b]—{—[―m]}=-a+b—{m}=-a+b—m

說明：(1)可利用相反數(shù)的意義逐步化簡(jiǎn)。

(2)也可根據(jù)負(fù)號(hào)的個(gè)數(shù)(奇數(shù)個(gè)為負(fù)，偶數(shù)個(gè)為正)來(lái)確定符號(hào)。

12

隨堂練習(xí):

一、選擇題

1.下列敘述正確的是（）

A.符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做相反數(shù)B.一個(gè)數(shù)的相反數(shù)一定是負(fù)數(shù)

C.非負(fù)數(shù)的相反數(shù)是非正數(shù)D.整數(shù)的相反數(shù)是分?jǐn)?shù)

2.下列判斷正確的是（）

A.正數(shù)與負(fù)數(shù)互為相反數(shù)B.正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)

C.a是有理數(shù)，一a是負(fù)有理數(shù)D.一個(gè)數(shù)的相反數(shù)一定小于原數(shù)

3.一個(gè)數(shù)相反數(shù)是非負(fù)數(shù)，則這個(gè)數(shù)一定是（）

A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.正數(shù)或0D.負(fù)數(shù)或0

4.一個(gè)數(shù)比它的相反數(shù)小，這個(gè)數(shù)是（）

A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.非正數(shù)D.非負(fù)數(shù)

5.a—3的相反數(shù)是（）

A.a+3B.3-aC.一a-3D.a—3

三、解答題

6.求下列各數(shù)的相反數(shù)

1/、

——,0,1,0.1,—(—2),—a,-2xy,a-b

7.化簡(jiǎn)

(1)+(+-)(2)+(--)(3)一(--)

232

(4)-[+(-2)](5)+{-[-(-2)]}

13

1.2.4絕對(duì)值

1絕對(duì)值的幾何意義(absolutevalue)

一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作IaI?

如在數(shù)軸上表示+5的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是5,即+5的絕對(duì)值是5,記為I+5|=5；表

示一5的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是5,即一5的絕對(duì)值是5,記作I-5|=5；表示0點(diǎn)與原點(diǎn)的距

離是0,記作I0I=0。

如圖1-2-10：

|0|

k------1-5|-----------------15]-----?

?I1111。1,,8]?

-5-4-3-2-10123456

圖1-2-10

即線段A0的長(zhǎng)為I-5I,即A。=5。同理0B=I+5I=5。

2絕對(duì)值的代數(shù)定義

22

(1)一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身。如：I+3|=3,I0.1|=0.1,I+2—|=2—

33

(2)一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)。如：I-3I=-(-3)=3,I|

2

(3)0的絕對(duì)值是0。

可用字母表示為：①如果a>0,那么Ia|=a；②如果a<0,那么IaI=-a；③如果

a=0,那么IaI=0。

即

a(。>0)?

|uI-J0(u?0).A1?ia(a^O),「a(a>0),

或lai-//—或.一、

I—a(aVO)；]—a(a、0);1—a(a^O),

可歸納為：a?0OIa|=a?非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它本身；絕對(duì)值等于本身的數(shù)是非

負(fù)數(shù)。

aWOOIa|=-a。非正數(shù)的絕對(duì)值等于其相反數(shù)；絕對(duì)值等于其相反數(shù)的數(shù)是非正

數(shù)。

注意：①求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，首先確定這個(gè)數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是零，再根據(jù)絕對(duì)值的意義,

去掉絕對(duì)值符號(hào)，求出該數(shù)的絕對(duì)值。②對(duì)于一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值可進(jìn)行加、減、乘、除等運(yùn)算,

適用運(yùn)算定律。

3利用絕對(duì)值比較大小

我們知道，在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，其含義可理解為三個(gè)

方面：

(1)正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0,正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；

(2)兩個(gè)正數(shù)，在右邊的點(diǎn)表示的數(shù)大；(也可用小學(xué)的比較法)

(3)兩個(gè)負(fù)數(shù)，在右邊的點(diǎn)表示的數(shù)大。

14

對(duì)于兩個(gè)負(fù)數(shù)，利用絕對(duì)值比較大小較簡(jiǎn)單。

比較法則：兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。

比較步驟:①分別計(jì)算兩數(shù)的絕對(duì)值；②比較絕對(duì)值的大?。虎叟卸▋蓴?shù)的大小。

4絕對(duì)值的性質(zhì)

(1)0的絕對(duì)值是0,絕對(duì)值是0的數(shù)是0。即a=00Ia|=0

(2)一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，絕對(duì)值最小的數(shù)是。.即Ia|20

(3)任何數(shù)的絕對(duì)值都不小于原數(shù)。即Ia|2a

(4)絕對(duì)值是正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)。若IxI=a(a>0),則x=±a

(5)互為相反數(shù)兩數(shù)的絕對(duì)值相等。I-a1=Ia|或若a+b=0,則IaI=IbI

(6)絕對(duì)值相等的兩數(shù)相等或互為相反數(shù)。若Ia|=Ib|,則a=b或a=-b

(7)若即個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的和等于0,則這即個(gè)數(shù)就同時(shí)為。.若Ia|+Ib|=0,則

a=0且b=0

5絕對(duì)值的化簡(jiǎn)

(1)依據(jù)絕對(duì)值定義

①當(dāng)a>0時(shí)，Ia|=a；②當(dāng)a<0時(shí)，IaI=-a.

(2)零點(diǎn)法，令絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的式子為0,求得字母的值，從而將數(shù)軸分為兩部分，

在每一部分上再進(jìn)行化簡(jiǎn)。

例如：化簡(jiǎn)IX—3I

第一步，取0點(diǎn)，令x-3=0,的x=3；第二步，取范圍，xW3和x>3,或x<3和x23；

第三步，在各范圍內(nèi)化簡(jiǎn)。

解：①當(dāng)x43時(shí)，X—3<0/.|X—3|=—(X—3)?(到后面再化簡(jiǎn)括號(hào))

②當(dāng)x>3時(shí)，X—3>0|X—3|=x—3。

例1填空題

(1)在數(shù)軸上一5的意義是—,I-5|的意義是一。

(2)—的絕對(duì)值是它本身?！慕^對(duì)值等于其相反數(shù)。

(3)一I-3I=_

(4)若Ia|=a,則a=___；若IaI=-a,則a=

(5)絕對(duì)值是5的數(shù)是一。

(6)數(shù)一1,0,-(-2),—n的絕對(duì)值分別是

解析：(1)-5的意義：在數(shù)軸的負(fù)方向上，離原點(diǎn)5個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)所表示的數(shù).|一5|

的意義：在數(shù)軸上表示一5的點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離。

(2)非負(fù)數(shù)，非正數(shù)

(3)-3

(4)a>0,a<0

(5)±5

(6)I—1I,lo|,I—(—2)I,I—nI即1,012,n

點(diǎn)撥：絕對(duì)值等于其相反數(shù)的數(shù)包括負(fù)數(shù)和0,不能將0漏掉。

15

例2填空題

l||x|

(1)當(dāng)x<0時(shí)，口x=_；若貝ijx_

XX

(2)當(dāng)x>2時(shí)，Ix-2|=_,I2-x|=_

(3)若Ix—1|+Iy+2|=0,貝ijx=—,y=—

解析：(1)???x<0,?,?IxI=-x,J?=二'=—1(由除法的定義可知)vtl=l,

XXX

Z.IxI=x,Ax>O.XVx^O,???x>0.

(2)x>2,x—2>0,2一x<0.**.Ix—2I=x—2.I2—xI——(2一x)—x—2

(最后化簡(jiǎn)暫不要求)

(3)Ix-1|+Iy+2|=0,又：Ix-1|>0,Iy+2I>0?由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得

Ix—1|=0,Iy+2|=0..*.x—1=0,y+2=0,/.x=l,y=—2.

說明：在(2)中，xN2時(shí)，x—2為正數(shù)或。即x-220,2—x為負(fù)數(shù)或0,BP2-x<0.

隨堂練習(xí)：

一、選擇題

1.下列判斷不正確的是（）

A.若a+b=0,則Ia|=Ib|B.若Ia|=Ib|,則a±b=0

xD.若兇=一1,貝！|x<0

C.若門=1,則x?0

lxlx

2.下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.任何一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值都不是負(fù)數(shù)

B.有理數(shù)a的相反數(shù)等于a的絕對(duì)值

C.在數(shù)軸上，數(shù)a的絕對(duì)值就是表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離

D.正數(shù)和0的絕對(duì)值等于本身

3.若a為最小的正整數(shù)，b為a的相反數(shù)，c為絕對(duì)值最小的數(shù)，求代數(shù)式2004（a+b）+

2005c的值

16

第2講有理數(shù)的加減法

2.1有理數(shù)的加法

1加法意義

求幾個(gè)數(shù)的和的運(yùn)算是加法運(yùn)算。

幾個(gè)有理數(shù)相加，其和仍是有理數(shù)。

和的意義可借助數(shù)軸理解。

如：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，規(guī)定向正向運(yùn)動(dòng)為正，向負(fù)向運(yùn)動(dòng)為負(fù)，在數(shù)軸上表示

下列的運(yùn)動(dòng)情況，并用算式表示。

(1)點(diǎn)P由原點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右運(yùn)動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度。如圖1—3—L

+5一?

―+3-+2.

012345

(+3)+(+2)=5

圖1一3一1

(2)點(diǎn)P由原點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左運(yùn)動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度。如圖1―3—2.

.-5_______

-2*3

-5-4-3-2-10

(一3)+〈一2)=—5

圖1-3-2

(3)點(diǎn)P由原點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右運(yùn)動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度。如圖1―3—3.

-3-2-10

(―3)+(+2)=—1

圖1—3—3

(4)點(diǎn)P由原點(diǎn)向左或向右運(yùn)動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左或向右運(yùn)動(dòng)0個(gè)單位長(zhǎng)度，則

得算式：3+0=3,—3+0=-3.由以上運(yùn)動(dòng)情況及運(yùn)算規(guī)律得有理數(shù)的加法法則如下。

2加法法則：

(1)同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加.

(2)絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值

減去較小的絕對(duì)值，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0.

(3)一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù).

有理數(shù)加法法則用字母表示為

①若a>0,b>0,a+b=+(IaI+IbI)；若a<0,b<0,a+b=—(IaI+IbI)0

17

②若a>0,b<0,且IaI>IbI,則a+b=+(IaI—IbI)；若a>b,b<0且IaI<I

b|,則a+b=—(Ib|-Ia|)；若a>0,b<0,且IaI=IbI,則a+b=O.

③a+O=a.

說明：①兩個(gè)正數(shù)相加，和為正數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)相加，和為負(fù)數(shù)；異號(hào)兩數(shù)相加，和的符號(hào)與

絕對(duì)值較大的加數(shù)符號(hào)相同。②運(yùn)算步驟：先定和的符號(hào)，再定和的絕對(duì)值。

3加法運(yùn)算律

(1)加法交換律：兩數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。用字母表示：a+b=b+a

(2)加法結(jié)合律：三數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變。

用字母表示：(a+b)+c=a+(b+c)

在以上運(yùn)算律式子中的字母a、b、c,表示任意有理數(shù)，可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)或0.

由以上運(yùn)算可知，幾個(gè)有理數(shù)相加，可任意交換加數(shù)的位置，可先把其中幾個(gè)數(shù)相加，

再把其余幾個(gè)相加，和不變。

4加法性質(zhì)

一個(gè)數(shù)加正數(shù)和比原數(shù)大；加負(fù)數(shù)和比原數(shù)??；加0和等于原數(shù)。即：

(1)當(dāng)b>0時(shí)，a+b>a；(2)當(dāng)b<0時(shí)，a+b<a；(3)當(dāng)b=O時(shí)，a+b=a。

5加法運(yùn)算的綜合運(yùn)用

例：若IxI=3,Iy|=2,且x<y,求x+y的值

分析：有絕對(duì)值的意義|x|=3,Iy]—2,知學(xué)X—+3或-3,y=+2或一2,因?yàn)閤<y,

，x=-3,y=+2或一2,所以分兩種情況計(jì)算：

(1)X——3,y=2時(shí)，x+y=(—3)+(+2)=—1；

(2)x=-3,y=-2時(shí)=x+y=(-3)+(-2)=-5

例1計(jì)算

131

(1)—3—+(—7—)+3—+7.75

646

21

(2)(+1.125)+(-3-)+(--)+(-0.6)

58

3

(3)(—2-)+(+2.47)+(+1-)+(―1-)+(-1.07)

425

2

(4)4.4+(--)+(-13)+(-3-)+(-2.4)

33

33

解：(1)原式=(-3-4-3-)+(-7-+7-)=0.

6644

(2)原式=[1.125+(--)]+[-3.4+(-0.6)]=1+(-4)=-3.

8

321

(3)原式=[(—2—)+1-]+[2.47+(—1.4)+(—1.07)]=-1---F[2.47+(一

444

2.47)]=-1-

4

1?

(4)原式=[(——)+(-3—)]+[4.4+(—13)+(—2.4)]=(—4)+(—11)

33

=-15.

18

隨堂練習(xí)：

一、選擇題

1.下列說法正確的有（）個(gè)

①兩整數(shù)相加，和為正②兩負(fù)數(shù)相加，和為負(fù)③異號(hào)兩數(shù)相加，和的符號(hào)與較大

加數(shù)的符號(hào)相同④兩數(shù)和是整數(shù)，則這兩個(gè)有理數(shù)都是正數(shù)⑤兩數(shù)的和大于每一

個(gè)加數(shù)⑥若兩數(shù)的和小于每個(gè)加數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)都是負(fù)數(shù)。

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

2.絕對(duì)值小于2004的所有整數(shù)的和是

3.計(jì)算（-2）+4+（-6）+8+???+（-98）+100=

三、計(jì)算下列各題（注意用簡(jiǎn)便運(yùn)算）

1332

4.3—+（-2—）+5-F（一8一）

4545

1、1

5.++--)+)

12