演示文稿庫埃特流動和泊肅葉流動

演示文稿庫埃特流動和泊肅葉流動目前一頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點2023/5/16（優(yōu)選）庫埃特流動和泊肅葉流動目前二頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點16.1引言平行流：流線是直的，且互相平行本章內容：N-S方程精確解，包括庫埃特和泊肅葉流基本概念：表面摩擦(skinfraction)

熱傳導(heattransfer)恢復因子(recoveryfactor)

雷諾比擬(Renoldsanalogy)目前三頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點庫埃特流動目前四頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點16.2COUETTEFLOW(庫埃特流):

GENERRALDISCUSSION

邊界條件Aty=D:u=ue,T=Te。上界流體和與動平板間的摩擦剪力e熱傳導qe平行流線（Paralelstreamline）Aty=0:u=0,T=Tw。下界流體和與動平板間的摩擦剪力w熱傳導qw目前五頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點y方向的熱流量qy=-kdT/dy(15.2)流動方向從溫度高的壁面流向溫度低的 冷壁：熱量傳輸從流體到壁面熱壁：熱量傳輸從壁面到流體溫度場：

1.平板上下溫度一般不同,產生溫度梯度

2.動能由摩擦消耗變成內能,內能的變化由溫度升高顯示出來（粘性耗散）目前六頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點無窮長平行流動特點任何特性沿x方向不變,(任何量如果變化,就會變到無窮大或者無窮小)

v=w=0u/x=T/x=p/x=0考慮定常流，應用到粘性流動方程組：目前七頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點得到：x-momentumequation:/y(u/y)=0(16.1)y-momentumequation:p/y=0(16.2)Energyequation:/y(kT/y)+/y(uu/y)=0(16.3)目前八頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點方程16.1到16.3是嚴格的由ns方程得來(16.2)p/y=0代表垂直方向沒有梯度,和以前的結果p/x=0聯(lián)系說明整個流場內部沒有壓力梯度.以前I和II章講的無粘流都需要壓力梯度來推動流動,現(xiàn)在討論的粘性流動系另外一種可以對流體施加外力的流動庫埃塔流動中運動平板對流體產生的剪力維持流體流動目前九頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點16.3不可壓流體庫埃特流動下面先講不可壓流體（可壓縮的不同，在16.4講）庫埃特流動中由于在x方向沒有變化,只有y方向的變化所以偏微分方程變成常微方程

d/dy(du/dy)=0然而實際上大多數(shù)粘性流動總是表達為偏微分方程,所以為了教學目的我們還繼續(xù)采用偏微分符號./y(u/y)=0(16.1)目前十頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點動量方程

,,都是常數(shù).

為常數(shù)（不可壓）,,都是溫度函數(shù)，T為常數(shù)時,為常數(shù).

d/dy(du/dy)=0

對為常數(shù)時,上式可以化為:

2u/y2=0.

積分得到u=ay+b

目前十一頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點代入邊界條件

Aty=0,u=0;=>b=0.

Aty=D,u=ue;=>a=ue/D.

所以u=ue(y/D).——x向速度線性分布

剪力e=du/dy.

代入u/y=ue/D.

所以e=(ue/D)——剪應力在全場為常值目前十二頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點目前十三頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點兩個重要的趨勢：由e=(ue/D)可知，Ue增加,剪力增加。板間距增加,剪力減小以上論述限于牛頓流體:符合牛頓內摩擦定律的流體稱牛頓流體。大部分航空氣動問題屬于牛頓流體。非牛頓流體,血液,有機化合物….。

目前十四頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點能量方程傅立葉熱傳導定律，qy=-kdT/dy(15.2)/y(kT/y)+/y(uu/y)=0(16.3)T變化不大時,,,變化不大,都看成是常數(shù)即使很小的溫度變化，也會引起明顯的熱通量為簡化研究，認為溫度T沿y方向變化，但忽略,,隨溫度的很小變化,認為其為常數(shù)目前十五頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點Aty=0:T=Tw。AtY=D:T=Te(k/)2T/y2+/y(uu/y)=0。應用焓h=CpT，Cp定壓比熱，常數(shù)壓力時Cpk/(Cp)2h/y2+/y(uu/y)=0代入普朗特數(shù)的定義Pr=Cp./k得:1/Pr2h/y2+/y(uu/y)=02h/y2+Pr/2/y(u2/y)=0注意：上述公式反映了普朗特數(shù)Pr的含義目前十六頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點對于庫艾特流能量方程

積分得到h+Pr/2u2=ay+b。代入邊條y=0，T=Tw。y=D，T=Te得到b=hwa=[he-hw+(Pr/2)ue2]/D目前十七頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點將a,b代入h+Pr/2u2=ay+b得代入u的結果，u=ue(y/D)目前十八頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點熱流量qy=-kT/y=-k/cph/y因h=hw+[he-hw+(Pr/2)ue2]y/D-(Pr/2)ue2(y/D)2微分得h/y=[he-hw+(Pr/2)ue2]/D-Prue2y/D2qy=-μ[(he-hw)/Pr+1/2ue2]/D+μue2y/D2目前十九頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點因μue2y/D2=τuey/D=τu，故qy=-μ[(he-hw)/Pr+1/2ue2]/D+τu

式中τu即為粘性耗散若忽略τu（ue很小時τu很?。?，上式為

qy=-μ(he-hw)/(PrD)壁面時僅考慮熱流量的絕對值

qw=-k/cp|h/y|w下壁面y=0

qw=μ|[(he-hw)/Pr+1/2ue2]/D|上壁面y=D

h/y=[he-hw+(Pr/2)ue2]/D-Prue2y/D=[he-hw-(Pr/2)ue2]/Dqw=μ|[(he-hw)/Pr-1/2ue2]/D|目前二十頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點分三種情況討論熱流量、焓、溫度

(1)忽略粘性耗散qy=-μ(he-hw)/(PrD)h=hw+[he-hw]y/DT=Tw+[Te-Tw]y/D下壁面y=0qw=μ|[(he-hw)/Pr]/D|上壁面y=Dqw=μ|[(he-hw)/Pr]/D|或qw=k

|(Te-Tw)/D|目前二十一頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點忽略粘性耗散溫度型——沿Y軸線性分布目前二十二頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點（2）等壁面溫度條件Te=Tw,he=hwh=hw+Pr/2ue2(y/D)-(Pr/2)ue2(y/D)2T=Tw+Pr/(2cp)ue2[(y/D)-(y/D)2]Y=D/2,Tmax=Tw+[Pr/(8cp)]ue2前面已知qy=-μ[(he-hw)/Pr+1/2ue2]/D+μue2y/D2下壁面y=0qw=-μ/2ue2/D上壁面y=D

qw=μ/2ue2/D變形后qw=μ/2ue2/D=τ（ue/2)結論目前二十三頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點等壁面溫度的溫度型

熱量傳輸由粘性耗散產生目前二十四頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點（3）絕熱壁

（以下壁為例）qw=μ|[(he-hw)/Pr+1/2ue2]/D|下壁面t=0,qw=μ/2ue2/Dt>0,qw<μ/2ue2/D絕熱壁qw=0(h/y)w=0.(T/y)w=0

he-haw+(Pr/2)ue2=0

絕熱壁焓haw=he+(Pr/2)ue2

絕熱壁溫度Taw=Te+(Pr/(2cp))ue2目前二十五頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點熱流密度變化

下璧溫度變化

最后達到平衡態(tài)此時he-haw+(Pr/2)ue2=0絕熱壁時hw=haw——絕熱壁焓因此流體焓h=haw+[he-haw+(Pr/2)ue2]y/D-(Pr/2)ue2(y/D)2=haw-(Pr/2)ue2(y/D)2流體溫度T=Taw-(Pr/2cp)ue2(y/D)2y=0,(T/y)w=0目前二十六頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點下璧絕熱壁的溫度型目前二十七頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點恢復因子recoveryFactor總焓h0=he+(1/2)ue2絕熱壁面焓haw=he+(Pr/2)ue2絕熱壁面溫度Taw=Te+[Pr/(2cp)]ue2通用化haw=he+r

ue2/2Taw=Te+r

ue2/(2cp)r稱為恢復因子r=(haw-he)/(h0-he)=(Taw-Te)/(T0-Te)目前二十八頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點雷諾類推reynoldsanalogy表面摩擦系數(shù)Cf=τw/(1/2ρeue2)=μ(ue/D)/(1/2ρeue2)=2μ/(ρeueD)=2/Re傳熱系數(shù)cH=qw/(ρeue(haw-he))

qw=μ[(he-hw)/Pr+1/2ue2]/D=μ/Pr

[(he-hw)+1/2Prue2]/D又haw=he+(Pr/2)ue2=μ/Pr

[hae-hw]/D

cH={μ/Pr

[haw-hw]/D}/(ρeue(haw-he))=1/(PrRe)故cH/Cf=Pr-1/2雷諾類推=傳熱系數(shù)/表面摩擦系數(shù)對不可壓流，僅為Pr的函數(shù)目前二十九頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點16.4可壓庫埃特流動定義速度變化很大，溫度變化必須考慮，T=T(y)μ,k是溫度函數(shù)，故為y的函數(shù)壓力像不可壓庫埃特流一樣全場為常數(shù)ρ=p/(RT),故ρ=ρ（T）目前三十頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點流動控制方程動量方程?（μ?u/?y）/?y=?τ/?y=0能量方程

?（k?T/?y）/?y+?（μu?u/?y）/?y=0改寫為（應用了動量方程）?（k?T/?y）/?y+τ

?u/?y=0

非線性常微分方程，無解析解，僅能求數(shù)值解目前三十一頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點按常微分方程的記法并利用μ=μ（T）dμ/dy=(dμ/dT)(dT/dy)d(kdT/dy）/dy+τ(du/dT)(dT/dy)=0邊界條件y=0,T=Tw;y=D,T=Te兩點邊界值問題整理后方程組為?（μ?u/?y）/?y=?τ/?y=0d(kdT/dy）/dy+τ(du/dT)(dT/dy)=0τ=μ（ue/D）邊界條件y=0,T=Tw;y=D,T=Te目前三十二頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點數(shù)值解法——打靶法假設τ,如τ=μ（ue/D）、u(y)——不可壓解為初值邊界條件y=0,T=Tw;y=D,T=Te變?yōu)檫吔鐥l件y=0,T=Tw;y=0,(dT/dy)w已知通常為不可壓流解求解d(kdT/dy）/dy+τ(du/dT)(dT/dy)=0直到y(tǒng)=D,檢查T=Te?,否則重假設(dT/dy)w，回到2步計算，重復直到T=Te得到了T=T(y)目前三十三頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點T=T(y)_——〉μ=μ(y)du/dy=τ/μ，利用1步的τ和邊界條件y=0,u=0求解上式直到y(tǒng)=D,檢查u=ue？，否則，另假設τ進行5步，反復直到u=ue用6步得到的τ，重新進行2-7,得到最終收斂的τ（大循環(huán)）目前三十四頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點時間相關有限差分法二維非定常流N-S方程目前三十五頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點能量方程目前三十六頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點MacCormack法網格劃分流入邊界條件，x=0,用不可壓流的解給u,v,p,T初始條件，t=0,u,v,p,T.用不可壓流解或均勻值目前三十七頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點預測-校正法，以x軸動量方程為例

預測步目前三十八頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點校正步

用向后查分目前三十九頁\總數(shù)五十八頁\編于十六點重復預測-校正在