數(shù)學主干知識與基礎(chǔ)知識

高中數(shù)學主干知識與基礎(chǔ)知識歸類

一.集合與簡易邏輯

集合表示一集合中的關(guān)系一集合運算，命題形式一四種命題關(guān)系一充分、必要條件

1.注意區(qū)分集合中元素的形式.如：｛x|y=lgx｝一函數(shù)的定義域；｛y|y=lgx｝一函數(shù)的值域。

2.集合的性質(zhì)：①任何一個集合A是它本身的子集,記為A=A.②空集是任何集合的子集,記為

0aA.③空集是任何非空集合的真子集：注意:條件為A^B,在討論的時候不要遺忘了A=0的

情況，如：A=一2%-1=0｝,如果&R+=0,求a的取值.(答：a<0)

④偌⑺B)=G/ACuB,Cu(AB)=CuACc,B；(AB)C=A(BC)；

(AB)C=A(BC).

⑤A8=AoA8=8oAuBoCuBuQA<=>AQ./?=0<=>CWAB=R.

@A8元素的個數(shù)：card(AB)=cardA+cardB-card(AB).

⑦含〃個元素的集合的子集個數(shù)為2"；真子集(非空子集)個數(shù)為2"-1；非空真子集個數(shù)為

2"-2.

3.補集思想常運用于解決否定型或正面較復雜的有關(guān)問題。

如：已知函數(shù)/(%)=4/一2(〃-2)x—2〃2—〃+1在區(qū)間［-1,1］上至少存在一個實數(shù)c,使

/(。)>0,求實數(shù)P的取值范圍.(答：(-3」))

2

4.原命題：p=>q；逆命題：qnp；否命題：逆否命題：7=7；互為逆

否的兩個命題是等價的.如：“sine。sin/?”是“a工/?”的條件.(答：充分非必要條件)

5.若pnq且qP,則p是q的充分非必要條件(或(?是p的必要非充分條件).

6.注意命題p=q的否定形式與它的否命題的區(qū)別：命題p=q的否定形式是0n「4；否命

題是->2=「4.命題“'或4”的否定是且r”；“P且4”的否定是“力或F”.

如：“若。和b都是偶數(shù)，則a+b是偶數(shù)”的否命題是“若a和6不都是偶數(shù)，則。+匕是奇數(shù)”

否定是“若。和b都是偶數(shù)，則a+〃是奇數(shù)”.

7.常見結(jié)論的否定形式

原結(jié)論否定原結(jié)論否定

是不是至少有一個一個也沒有

都是不都是至多有一個至少有兩個

大于不大于至少有〃個至多有個

小于不小于至多有〃個至少有〃+1個

對所有X,成立存在某X,不成立p或q且F

對任何X,不成立存在某X,成立〃且q—jp或一q

二.函數(shù)

函數(shù)概念一函數(shù)圖象一函數(shù)性態(tài)（定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)、對稱性、周期性）

一特殊函數(shù)圖象與性質(zhì)一應(yīng)用（內(nèi)部應(yīng)用、應(yīng)用題）

1.①映射f8是：⑴“一對一或多對一”的對應(yīng)；⑵集合A中的元素必有象且A中不

同元素在8中可以有相同的象；集合5中的元素不一定有原象（即象集=8）.

②一一映射8：⑴“一對一”的對應(yīng)；⑵A中不同元素的象必不同，8中元素都有原

象.

2.函數(shù)/:AfB是特殊的映射.特殊在定義域4和值域8都是非空數(shù)集！據(jù)此可知函數(shù)圖像

與x軸的垂線至多有一個公共點，但與y軸垂線的公共點可能沒有,也可能有任意個.

3.函數(shù)的三要素：定義域,值域,對應(yīng)法則.研究函數(shù)的問題一定要注意定義域優(yōu)先的原則.

4.求定義域:使函數(shù)解析式有意義（如：分母工0;偶次根式被開方數(shù)非負；對數(shù)真數(shù)＞0,底數(shù)

〉0且工1；零指數(shù)幕的底數(shù)70）；實際問題有意義；若"X）定義域為由,切，復合函數(shù)〃g（x）］定

義域由aVg（x）。解出;若f［g（x）］定義域為則/（%）定義域相當于xe［a,6］時g（x）的值域.

5.求值域常用方法：①配方法（二次函數(shù)類）；②逆求法（反函數(shù)法）；③換元法（特別注意新元的

范圍）.④三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運用三角函數(shù)有界性來求值域；⑤不等式法;

⑥單調(diào)性法；⑦數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合的方法來求值域；⑧判別式法（慎

用）：⑨導數(shù)法（一般適用于高次多項式函數(shù)）.

6.求函數(shù)解析式的常用方法：⑴待定系數(shù)法(已知所求函數(shù)的類型)；⑵代換(配湊)法；

⑶方程的思想一一對已知等式進行賦值，從而得到關(guān)于/(x)及另外一個函數(shù)的方程組。

7.函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性

⑴函數(shù)有奇偶性的必要條件是其定義域是關(guān)于原點對稱的,確定奇偶性方法有定義法、圖像法

等；⑵若“X)是偶函數(shù)，那么f(x)=f(-x)=/(|x|)；定義域含零的奇函數(shù)必過原點("0)=0)；

⑶判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價形式：/(%)±/(-%)=0gg=±1(/(%)0)；

fix)

注意：若判斷較為復雜解析式函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先化簡再判斷；既奇又偶的函數(shù)有無數(shù)個

(如/(x)=0定義域關(guān)于原點對稱即可).

⑸奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性；

⑹確定函數(shù)單調(diào)性的方法有定義法、導數(shù)法、圖像法和特值法(用于小題)等.

⑺復合函數(shù)單調(diào)性由“同增異減”判定.(提醒：求單調(diào)區(qū)間時注意定義域)

如：函數(shù)y=log,(-V+2x)的單調(diào)遞增區(qū)間是.(答：(1,2))

2

8.函數(shù)圖象的幾種常見變換⑴平移變換：左右平移一一“左加右減”(注意是針對x而言)；

上下平移一一“上加下減”(注意是針對/(九)而言).⑵翻折變換：/(x)-?|/(x)|;/(x)f/(|x|).

⑶對稱變換：①證明函數(shù)圖像的對稱性,即證圖像上任意點關(guān)于對稱中心(軸)的對稱點仍在圖像上.

②證明圖像c與c2的對稱性，即證G上任意點關(guān)于對稱中心(軸)的對稱點仍在G上,反之亦然.

③函數(shù)y=/(x)與y=/(-X)的圖像關(guān)于直線x=0()，軸)對稱；函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=f(-x)的

圖像關(guān)于直線y=0(無軸)對稱；④若函數(shù)y=/(x)對xeR時，/(4+用=式分.或

/(x)=/(2a-x)恒成立,則y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對稱；

⑤若),=/(x)對xeR時，/(a+x)=/S—幻恒成立,則y=/(x)圖像關(guān)于直線x=±e對稱；

2

⑥函數(shù)y=f(a+x),y=/(A-x)的圖像關(guān)于直線％=也"對稱(由a+x=〃一x確定)；

2

⑦函數(shù)y=f(x),>=A-/(x)的圖像關(guān)于直線y=<對稱(由y=/⑴”一"幻確定)；

22

⑧函數(shù)y=f(x)與y=-/(-%)的圖像關(guān)于原點成中心對稱；函數(shù)

y=f(x),3；=“一/(加一幻的圖像關(guān)于點('，)對稱；

22

⑨函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=/T(x)的圖像關(guān)于直線y=x對稱；曲線G：f(x,y)=O,關(guān)于

y=x+a(或y=-x+a)的對稱曲線C2的方程為/'(y—a,x+a)=0(或/(一y+a,-x+a)=0；

曲線G：/(兌月=0關(guān)于點(4力)的對稱曲線6方程為：f(2a-x,2b-y)=0.

9.函數(shù)的周期性：⑴若y=/(x)對xeR時f(x+a)=f(x-a)恒成立,則f(x)的周期為2|4；

⑵若y=〃x)是偶函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對稱,則/(x)的周期為2|“|；

⑶若y=f(x)奇函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線X=a對稱,則/(X)的周期為4|“|；

⑷若y=/(x)關(guān)于點(a,0),(6,0)對稱,則/(x)的周期為2|〃一勿；

(5)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a,x=h(ab)對稱，則函數(shù)y=/(x)的周期為；

(6)y=/'(x)對xeR時，/(x+a)=-/(x)或/(x+a)=-^—,貝！Jy=f{x}的周期為2|a|；

/(x)

10.對數(shù)：

⑴log“b=log),b"(a>0,a^\,b>0,neR+)；

⑵對數(shù)恒等式ai-N=N(a>0,a*l,N>0)；

M

⑶log“(M?N)=log,,M+log?N;log“一=log,,M—log,,N;log?M"=nlog,M；

N(

logqa=」log“M；⑷對數(shù)換底公式logaN=lQg/,N(a>0,awl,b>0,Aw1)；

nlog/,a

推論：log/log〃c」ogca=lnlog《出log/a.??log-%=log,"”?

a

(以上Af>(),N>0M>()Mwl,〃>0,/?wl,c>0,cwl,a1,a,,an>0且01M2，n均不等于1)

1L方程Z=/(x)有解。左￡。。為/(x)的值域)；a>/(無)恒成立=a之［/(%)］最大值，

a<f(x)恒成立=a4"(x)%小值.

12.恒成立問題的處理方法：⑴分離參數(shù)法(最值法)；⑵轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布問題；

13.處理二次函數(shù)的問題勿忘數(shù)形結(jié)合；二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值,求最值問題用“兩看法”:

一看開口方向；二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系；

14.二次函數(shù)解析式的三種形式：①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a^0)；②頂點式:

/(x)=a(x-h)~+k(a0)；③零點式：/(x)=a(x-xy)(x-x2)(a0).

15.一元二次方程實根分布:先畫圖再研究△>()、軸與區(qū)間關(guān)系、區(qū)間端點函數(shù)值符號;

16.復合函數(shù)：⑴復合函數(shù)定義域求法：若/(x)的定義域為[凡加，其復合函數(shù)/[g(x)]的定義域

可由不等式a4g(x)4b解出；若/[g(x)]的定義域為[a,勿，求/(x)的定義域，相當于xe[a,用時,

求g(x)的值域；⑵復合函數(shù)的單調(diào)性由“同增異減”判定.

17.對于反函數(shù)，應(yīng)掌握以下一些結(jié)論：⑴定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)：⑵奇函數(shù)的反函數(shù)

也是奇函數(shù)：⑶定義域為非單元素集的偶函數(shù)不存在反函數(shù)；⑷周期函數(shù)不存在反函數(shù)：

⑸互為反函數(shù)的兩個函數(shù)在各自的定義域具有相同的單調(diào)性；⑹y=/(x)與y=/-'(x)互為

反函數(shù)，設(shè)f(x)的定義域為A,值域為8,則有/|/-'(x)]=x(xeB),/'[f(x)]=x(xeA).

18.依據(jù)單調(diào)性,利用一次函數(shù)在區(qū)間上的保號性可解決求一類參數(shù)的范圍問題：

f(u)=g(x)u+h(x)>0(或40)(a4"4b)o乃?(或

1/0)^0[/(^)<0

19.函數(shù)y="土的圖像是雙曲線：①兩漸近線分別直線x=—4(由分母為零確

cx+dc

定)和

直線卜=旦(由分子、分母中X的系數(shù)確定)；②對稱中心是點(-&,與；③反函數(shù)為y=比@；

cccex-a

20.函數(shù)y=力>0)：增區(qū)間為(-oo,+oo),減區(qū)間為0),(0,g].

如：已知函數(shù)/(x)=上士1在區(qū)間(-2,+8)上為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是(答：

x+2

(l,+oo)).

2

三.數(shù)列

數(shù)列概念一數(shù)列通項、前〃項和一特殊數(shù)列的通項、前〃項和及性質(zhì)一應(yīng)用(內(nèi)部應(yīng)用、應(yīng)用題)

⑸(”=1)

1.由S.求a,,,1*注意驗證4是否包含在后面的公式中，若不符合

[S“-)

要單獨列出.如：數(shù)列｛4｝滿足4=4,S“+S“M=2%,求可(答：?！?殷，工)”>6)?

3I，-I"—乙)

2.等差數(shù)列｛%｝=?！ㄒ籥,』=d(d為常數(shù))o2a〃=an+l+aH_t(n>2,neTV*)

3.等差數(shù)列的性質(zhì)：①a“=an)4-(77-m)d,d=%

m—n

②m+n=l+k^>am+an=q+/（反之不一定成立）；特別地，當m+n=2p時，有

金+?！?2與；

③若｛??｝,｛b?｝是等差數(shù)列，則｛3“+的,｝a、t是非零常數(shù)）是等差數(shù)列；

④等差數(shù)列的“間隔相等的連續(xù)等長片斷和序列”即Sm,s2m-sm,s3n-s2m,仍是等差數(shù)歹U；

⑤等差數(shù)列｛4｝,當項數(shù)為2〃時，S佃-S奇=加，①=2；項數(shù)為2〃-1吐

5禺—S奇=%,=a,,（〃€N*），Sa,-=（2"-l）a“，且￡A=_1_；=/（?）=>=/（2n-l）.

S伙n—\紇

⑥首項為正（或為負）的遞減（或遞增）的等差數(shù)列前D項和的最大（或最?。﹩栴},轉(zhuǎn)化為解不等

(I>0a<0

\，1~(或1〃一).也可用S,=41+5〃的二次函數(shù)關(guān)系來分析.

3,用<0K.^0

⑦若an=tn,am=n(tn豐n),則am+n=0；若S“=Sm=n(rn^n),則S,』=-｛tn+n)；

若Sm-Sn(m+〃),則S“+n=0；S3.=3(S2m—Sm)；S?,+n=Sm+S“+mnd.

n

4.等比數(shù)列｛a,,｝o~=q(qw0)=a；=a^a,^(">2,neN*)=an=a｝q~'.

a?

5.等比數(shù)列的性質(zhì)

①a,L",q=■衽;②若｛風｝、他』是等比數(shù)列，貝I」｛①,,｝、｛《也,｝等也是等比數(shù)列；

〃2(4=1)［放向=1)

〃，+④"+〃=，+$/"=-(反之不一

1-q1-q\-qI-q

m

定成立）；Sm+n=Sm+qSn=Sn+q"Sm.⑤等比數(shù)列中邑,名,-邑,$-邑“（注：各項均不

為0）仍是等比數(shù)列.⑥等比數(shù)列｛4｝當項數(shù)為2〃時，1=4；項數(shù)為2〃-1時，紅1少=心

s在S便

6.①如果數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，則數(shù)列｛A"｝（A冊總有意義）是等比數(shù)列；如果數(shù)列｛4｝是等比

數(shù)列,則數(shù)列｛loga\an\｝(a>O,a^1)是等差數(shù)列；

②若既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則｛為｝是非零常數(shù)數(shù)列；

③如果兩個等差數(shù)列有公共項,那么由他們的公共項順次組成的數(shù)列也是等差數(shù)列，且新數(shù)列的

公差是原兩個等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)；如果一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列有公共項，那么由他

們的公共項順次組成的數(shù)列是等比數(shù)列，由特殊到一般的方法探求其通項；

④三個數(shù)成等差的設(shè)法：a-d,a,a+d；四個數(shù)成等差的設(shè)法：a-3d,a-d,a+d,a+3d；

三個數(shù)成等比的設(shè)法：-,a,aq；四個數(shù)成等比的錯誤設(shè)法：之二的,0(為什么？)

qqq

7,數(shù)列的通項的求法：⑴公式法：①等差數(shù)列通項公式；②等比數(shù)列通項公式.

⑵已知S“(即4+%+="〃))求用作差法：)?

[S?-Sn.t,(n>2)

7(1),(n=l)

⑶已知qy-y=/(〃)求用作商法：an=<f(n)(n>2y

J("-D—

⑷若4向一%=/(〃)求a“用迭加法.⑸已知%=/(〃)，求a“用迭乘法.

⑹已知數(shù)列遞推式求可，用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列)：①形如％=如“一1+"

+8(k力為常數(shù))的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列

后,再求4.②形如凡=上」的遞推數(shù)列都可以用“取倒數(shù)法”求通項.

3T+b

8.數(shù)列求和的方法：①公式法：等差數(shù)列,等比數(shù)列求和公式；②分組求和法；③倒序相加；④

錯位相減；⑤分裂通項法.公式：1+2+3+〃L〃=?i；

2

222333/!2|2

1+2+3++〃2=1〃(〃+1)(2〃+1)；1+2+3++?3=[21)]2,1+3+5++n=n；常

62

見裂項公式一^」---;一^」「---)；——'——=![—--------1——]:

n(n+1)nn+1〃(〃+&)knn+kn(n-1)(/?+1)2/?(w+1)(n+l)(w+2)

---=————!——o常見放縮公式：2(J〃+1—G)—-p———廠<；<—廠=2(\[n—.

5+1)!/?!(〃+1)!+1+xln1

9.“分期付款”、“森林木材”型應(yīng)用問題

⑴這類應(yīng)用題一般可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題,但在求解過程中，務(wù)必“卡手指”，細心

計算“年限”.對于“森林木材”既增長又砍伐的問題，則常選用“統(tǒng)一法”統(tǒng)一到“最后”解決

⑵利率問題：①單利問題：如零存整取儲蓄（單利）本利和計算模型：若每期存入本金P元,每期

利率為廣，則〃期后本利和為：S?=p（l+r）+p（l+2r）+M1+"）=05+四上（等差數(shù)列問

2

題）；②復利問題：按揭貸款的分期等額還款（復利）模型：若貸款（向銀行借款）p元，采用分期等

額還款方式,從借款日算起,一期（如一年）后為第一次還款日，如此下去,分n期還清.如果每期利

率為r（按復利），那么每期等額還款x元應(yīng)滿足：

p（1+r）"=x（l++Ml+++x（l+r）+x（等比數(shù)列問題）.

四.三角函數(shù)

1.a終邊與0終邊相同oa=6+2kKkeZ）；a終邊與0終邊共線oa=6+eZ）；a終

邊與。終邊關(guān)于x軸對稱oa=-8+）br0teZ）；a終邊與。終邊關(guān)于y軸對稱

oa=7r-02k冰心a終邊與。終邊關(guān)于原點對稱oa=萬+6+2%1（無eZ）；a終邊與。

終邊關(guān)于角夕終邊對稱oe=2#-6+2版■（AeZ）.

2.弧長公式：l=\0\r；扇形面積公式：5扇形=,廠='。|產(chǎn)；1弧度（Irad）弋57.3。.

3.三角函數(shù)符號（“正號”）規(guī)律記憶口訣：“一全二正弦，三切四余弦”.

5.對于誘導公式，可用“奇變偶不變，符號看象限”概括;

（注意：公式中始終視a為銳角）

6.角的變換：已知角與特殊角、已知角與目標角、已知角

與其倍角或半角、兩角與其和差角等變換.

如：a=(a+/3)-0；2a=(a+〃)+(a—/7)；2a=(/?+。)一(/7—a)；+/?=2-a；

巴吆=3-四一(？一⑨等；“1”的變換：1=sin2x+cos2x=tanx-cotx=2sin30°=tan45°；

222

7.重要結(jié)論：asinx+Z?cosx=〃ZT^sin(x+e)其中tan°=")；重要公式sii?a=

I+cos2aasina1-cosai——：—Le?.一、2.o.o

cos2a=tan——--------------?±sin6=J(cos一±sin-)=|cos-±tsin—t|.

221+cosasina\2222

2

.乙、匕八T.c2tan?c1-tana_2tana

萬能公式：sin2a=--x—；cos2a=-；tan2a=——r—.

1+tana1+tan-a1-tan,-a

TC

k冗+----（p

8.正弦型曲線y=Asin（ox+<p）的對稱軸x=——2一（左eZ）；對稱中心（合二,0）伏eZ）；

（oco

k兀+(p

余弦型曲線y=Acos(g+0)的對稱軸工=了盤(2￡2)；對稱中心(2,0)(^GZ)；

coco

9.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正、余弦定理，處理三角形內(nèi)的三角函數(shù)問題勿

忘三內(nèi)角和等于180。，一般用正、余弦定理實施邊角互化；正弦定理：—=—=^=2/?；

sinAsinBsinC

,222“，、22

人iAAb+C—a\b—Cl

余弦7E理：a2=h24-c2-c2,hccosA,cosA=---------=---+--C*-)-----I1；

2bc2bc

正弦平方差公式：sin2-sin2=sin(A+B)sin(A-B)；三角形的內(nèi)切圓半徑r=2sA悠；

a+b+c

面積公式：=-absinC=(lfK-；射影定理：a=bcosC+ccosB.

24R

10.AABC中，易得：A+B+C=7rf(l)sinA=sin(B+C),cosA=-cos(B+C),

tanA=-tan(B+C).

.AB+CA.B+CA3+Cj....

(2)sin—=cos----,cos—=sin-----,tan—=cot-----.③。oA>3nosinA>sin3D

222222

222

④銳角AABC中，A+B>—,sinA>cosB,cosA<cosBya+b>c1類比得鈍角AABC結(jié)論.

2

⑤lanA+tanB4-tanC=tanAtanBtanC.

ii.角的范圍：異面直線所成角(o,n；直線與平面所成角［o二］;二面角和兩向量的夾角［。,淚；

22

直線的傾斜角［0,%)；4到/，的角［0,萬)；4與/,的夾角(0二］.注意術(shù)語:坡度、仰角、俯角、方位

2

角等.

五.平面向量

向量概念一向量的表示一向量運算及其幾何意義一應(yīng)用：作為工具，解決幾何問題、三角問題

等，關(guān)鍵是“線段向量化”

1.設(shè)。=(X］，X),人=(%2，%).

(1)allb<^>xxy2-x2y}=0；

(2)a-Lh<=>ah=0<=>x［x2+兇力=0.

2.平面向量基本定理：如果,和.是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量,那么對該平面內(nèi)的任一

向量。,有且只有一對實數(shù)4、4，使a=4q+為弓,

3.設(shè)。=(%,/),/?=(/,%)，則。2=1〃11。|85夕=玉9+'］%；其幾何意義是。?匕等于。的長

度與b在a的方向上的投影的乘積；a在b的方向上的投影|a|cos。=里2=為：+)'跖.

聞庶返

4.三點A、B、C共線OAB與AC共線；與AB共線的單位向量：t*.

I叫

5.平面向量數(shù)量積性質(zhì)：設(shè)a=(x“x)"=(x,,%)MJcose=-^-=,卬4”2；

…⑷網(wǎng)店港府商

注意：〈。力〉為銳角o〃?〃>(),a,b不同向；〈。,力為直角oa/=0；〈a,?！禐殁g角

OQ-bv0,不反向.

6.。為同向或有00|。+6|=|。|+|6珅〃|-|川二|〃-。|；a?。反向或有0

=|a-|=|a|+1〃|之卜a|-1川=|a+/?|；a-b不共線oka|-1可<|a±6|<|a|+聞.

7.平面向量數(shù)量積的坐標表示：

⑴若a=(5,y),人=(毛,%),則4,。=中2+凹以；IA5|=\/區(qū)一々:+(M—必產(chǎn)；

⑵若a=(x,y),則a"=a?a=x2+V.

8.熟記平移公式和定比分點公式.①當點P在線段月月上時，九＞0：當點P在線段瓶（或

麗）延長線上時，2＜-1或-1＜彳＜0.②分點坐標公式：若FJP/P2；且

片（%,%P（x,y）P,（x2,y2）；

_x,+AXX+X

2r,12

2(2=1)

則'（2工一1），中點坐標公式：＜

_）1+Z＞2

yU2

[1+2

③《，P,6三點共線O存在實數(shù)4、〃使得OP=/LOq+且?guī)?〃=1.

9.三角形中向量性質(zhì)：①AB+AC過邊的中點：("

IAB||AC||AB||AC|

②尸6=1(尸4+尸8+;>00&4+63+6。=0。6為兇8。的重心；

3

③PA-PB=PBPC=PA?PCoP為MBC的垂心；

AftAr

@|3。|~4+|。4|/>8+|43|"?=0=/>為18。的內(nèi)心；A(+q)(4w0)所在直線過

\AB\\AC\

AABC內(nèi)心.⑤設(shè)人(孫必),8(%2，%)，

1

SMOB=；IS%一修以I?5叢時=gLIIAC|sinA=；yj\AB^AC^-(ABAC).

⑥。為A4BC內(nèi)一點，則OA+SMOCOB+SMOBOC=0.

10.P(x,y)切嚴穢>P'(x',y'),有[：='+"(PP'=a)；

[y=y+k

y=k=f(x-h).

六.不等式

不等式的基本性質(zhì)一幾個重要不等式一不等式的證明一幾類不等式的解法一應(yīng)用（內(nèi)部應(yīng)用、

應(yīng)用題）

1.掌握課本上的幾個不等式性質(zhì)，注意使用條件，另外需要特別注意:

①若M>0,8>a,則L>!.即不等式兩邊同號時,不等式兩邊取倒數(shù),不等號方向要改變.

ah

②如果對不等式兩邊同時乘以一個代數(shù)式,要注意它的正負號，如果正負號未定,要注意分類討

論.

2.掌握幾類不等式（一元一次、二次、絕對值不等式、簡單的指數(shù)、對數(shù)不等式）的解法，尤其注

意用分類討論的思想解含參數(shù)的不等式；勿忘數(shù)軸標根法,零點分區(qū)間法.

3.掌握重要不等式，（1）均值不等式：若a,b>0,則審2選之產(chǎn)了（當且僅當

ab

a=6時取等號）使用條件：“一正二定三相等”，常用的方法為：拆、湊、平方等;②ahcwR,

a2+b2+c2>ab+bc+ca（當且僅當“=匕=。時，取等號）；⑶公式注意變形如：

22

?/,<（—）2；⑷若a>b>0,m>0,則然j（真分數(shù)的性質(zhì)）；

222aa+m

4.含絕對值不等式：a/同號或有0o|a+Z?|=|a|+|/?|w||4|-網(wǎng)；。力異號或有0

<^\a-bHa\+\b\>^a\-\b^a+b\.

5.證明不等式常用方法：⑴比較法：作差比較：A-840=448.注意：若兩個正數(shù)作差比

較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小；⑵綜合法：由因?qū)Ч?；⑶分析法：?zhí)果索因.基本步

驟：要證…需證…，只需證…；⑷反證法：正難則反；⑸放縮法：將不等式一側(cè)適當?shù)姆糯蠡蚩s小

以達證題目的.

放縮法的方法有：①添加或舍去一些項，如：廬北>|。|；而不〉〃.②將分子或分母放大（或

縮?。劾没静坏仁?，如：血丁~1<）"+（"+」.④利用常用結(jié)論：1°

2

->[k=.——；2°=——1——<-!-<——1——=（程度大）；3°

ylk+\+xlk2akk+\（4+1）2k2（k-\）kk-\k

⑹換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡,常用的換元有三角

換元、代數(shù)換元.如：知x2+y2=a,可設(shè)，尸asfl；知f+Vwi,可設(shè)

2222

x=rcos^,y=rsin，（0<r<1）；知=+2T=1,可設(shè)x=acos8,y=0sin〃；已知三一二=1,可設(shè)

a~b~a~b~

x=asec6,y=blan0.

⑺最值法，如：a>/（x）最大值，則a>f（x）恒成立.a</（x）最小值，則a</（x）恒成立.

七.直線和圓的方程

直線、圓的方程一直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系一

曲線與方程一應(yīng)用

1.直線的傾斜角a的范圍是［0,乃）；

2.直線的傾斜角與斜率的變化關(guān)系左=tana（a豐"）（如右圖）：

2

3.直線方程五種形式：⑴點斜式：已知直線過點（%,為）斜率為2，則直線

方程為y-%=k（x-xn）,它不包括垂直于x軸的直線.⑵斜截式：已知直線在y軸上的截距為

6和斜率左，則直線方程為丁=履+乩它不包括垂直于x軸的直線.⑶兩點式：已知直線經(jīng)過

y）、B（x,,力）兩點,則直線方程為上』=，它不包括垂直于坐標軸的直線.

>2一）'1々一看

⑷截距式：已知直線在尤軸和y軸上的截距為。/，則直線方程為歲+2=1,它不包括垂直于坐

ab

標軸的直線和過原點的直線.⑸一般式：任何直線均可寫成Ar+5y+C=0（A,8不同時為0）的形

式.

提醒：⑴直線方程的各種形式都有局限性.（如點斜式不適用于斜率不存在的直線，還有截距式

呢？）⑵直線在坐標軸上的截距可正、可負、也可為0.直線兩截距相等O直線的斜率為-1或直線

過原點；直線兩截距互為相反數(shù)O直線的斜率為1或直線過原點；直線兩截距絕對值相等O

直線的斜率為±1或直線過原點.⑶截距不是距離,截距相等時不要忘了過原點的特殊情形.

4.直線4：Ax++G=o與直線：&x+=0的位置關(guān)系：

⑴平行O4為-=（）（斜率）且用G-32GH（）（在）軸上截距）；

⑵相交O4與一尸0；（3）重合O—4月=o且4c2-B2G=0.

5.直線系方程：①過兩直線4：Ax+耳y+G=0,4：4x+32），+C2=0.交點的直線系方程

可設(shè)為G）=o；②與直線/：Ax+5），+c=o平行的直線系方程可設(shè)

為

Ax+By+m=0(zn*c)；③與直線I:Ax+By+C=0垂直的直線系方程可設(shè)為Bx-Ay+n=0.

6.到角和夾角公式:⑴4到的角是指直線4繞著交點按逆時針方向轉(zhuǎn)到和直線'重合所轉(zhuǎn)的角

0,?！?0,乃)且tan8=—餐(占匕。一1)；

1+格"

(2)/,與I,的夾角是指不大于直角的角0,0e(0,-］且tan0=|&二勺|伏水,工-1).

7.點P(x0,%)到直線Ax+By+C=0的距離公式d=如。；.可］；

VA2+B2

兩條平行線Ar+砂+G=0與Ar+3y+C,=0的距離是d=單二St.

VA2+B2

8.設(shè)三角形AA3C三頂點A(x「y),8(孫％)，C(W，%)，則重心G(旦亨二?，入節(jié)土耳);

9.有關(guān)對稱的一些結(jié)論

⑴點(a,b)關(guān)于x軸、y軸、原點、直線y=x的對稱點分別是

(a-b,(-a,b),(-a,-b),(b,a).

⑵曲線/(x,y)=0關(guān)于下列點和直線對稱的曲線方程為：①點(凡加：八2"x,26-y)=0；

②x軸：,f(x,—y)=0；③y軸：f(-x,y)=0；④原點：f(-x,-y)-0；⑤直線丁=%：

f(y,x)=0；⑥直線y=-x：/(-y,-x)=0；⑦直線x=a：f(2a-x,^)=0.

10.⑴圓的標準方程：(x—4+3—4=/.⑵圓的一般方程：

x2+/+Dx+Ey+F^0(D2+E2-4尸>0).特別提醒：只有當￡>:+］一46>0時,方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0才表示圓心為,半徑為1萬+E?-4F的圓(二元二次方程

222

而2+80+02+瓜+4+尸=0表示圓04=。W0,且3=0,。2+七2-4/1尸>0).

v*-zy_i_rccsf)

(3)圓的參數(shù)方程：一，,八(。為參數(shù))，其中圓心為(。,勿，半徑為人圓的參數(shù)方程主要應(yīng)

y=/?+rsin^

用是三角換元：x24-y2=r2-^>x=rcos0,y=rsind；

x2+y2=r—>x=rcos0,y=rsin0(0<r<\/t).

⑷以A(X|,y)、802，必)為直徑的圓的方程。一%)(了一工2)+(丁一,)()一%)=0；

1L點和圓的位置關(guān)系的判斷通常用幾何法(計算圓心到直線距離).點P(%,y0)及圓的方程

(x-a)2+(y-b)2=r2.①(%)-a)2+(%-h)2>r2<=>點尸在圓外；

②（$-a）2+（%-4<，。點P在圓內(nèi)；③（X。—a）2+（%-6）2=ro點P在圓上.

12.圓上一點的切線方程：點P（X。,%）在圓/+/=/上，則過點p的切線方程為：

i

x^x+yoy=r-,

過圓（x-a）2+（y-b）2=r~上一點「（%,%）切線方程為（毛一4）（X一4）+（%-6）（y-6）=產(chǎn).

13.過圓外一點作圓的切線,一定有兩條,如果只求出了一條,那么另外一條就是與x軸垂直的直

線.

14.直線與圓的位置關(guān)系,通常轉(zhuǎn)化為圓心距與半徑的關(guān)系,或者利用垂徑定理,構(gòu)造直角三角形

解決弦長問題.①4>r0相離②］」。相切③相交

15.圓與圓的位置關(guān)系，經(jīng)常轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距與兩圓的半徑之間的關(guān)系.設(shè)兩圓的圓心距為

</,兩圓的半徑分別為r,R：+兩圓相離；4=R+rv兩圓相外切；

|R—r|<d</?+ro兩圓相交；d=\R-r\o兩圓相內(nèi)切；d<|R—r|o兩圓內(nèi)含；d=0=兩

圓同心.

22

16.過圓G：x+y+Dtx+Ety+Ft=O,C2：f+產(chǎn)++居=0交點的圓（相交弦）

2

系方程為（%+/+Dtx+Ely+耳）+〃￥+/+D2X+E2y+月）=0.A=-l時為兩圓相交弦所在直

線方程.

17.解決直線與圓的關(guān)系問題時，要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質(zhì)的作用（如半徑、半弦長、弦心距

構(gòu)成直角三角形,切線長定理、割線定理、弦切角定理等等）.

18.求解線性規(guī)劃問題的步驟是：（1）根據(jù)實際問題的約束條件列出不等式：（2）作出可行域,寫

出目標函數(shù)（判斷幾何意義）；（3）確定目標函數(shù)的最優(yōu)位置，從而獲得最優(yōu)解.

八.圓錐曲線方程

2

fv

1.橢圓焦半徑公式：設(shè)P（x0,y0）為橢圓=+4=1（“>。>0）上任一點，焦