《高等數(shù)學(xué)(下冊)》教案 第24課 格林公式及其應(yīng)用

24第24第課格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用第課24PAGE8 PAGE8PAGE7 PAGE7格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用第課24

課題格林公式及其應(yīng)用課時2課時（90min）教學(xué)目標(biāo)知識技能目標(biāo)：（1）理解格林公式是聯(lián)系曲線積分與二重積分的橋梁（2）掌握格林公式的應(yīng)用（3）理解平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件思政育人目標(biāo)：通過講解格林公式及其應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考和深度思考的良好習(xí)慣；樹立學(xué)生實(shí)事求是、一絲不茍的科學(xué)精神教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：格林公式及其證明教學(xué)難點(diǎn)：格林公式的應(yīng)用教學(xué)方法講授法、問答法、討論法、演示法、實(shí)踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計(jì)第1節(jié)課：第2節(jié)課：知識講解（30min）→課堂小結(jié)（5min）教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計(jì)意圖第一節(jié)課考勤

（2min）【教師】清點(diǎn)上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報(bào)請假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況知識講解

（33min）【教師】講解格林公式的相關(guān)定義、定理，及其應(yīng)用定義設(shè)為平面區(qū)域，如果內(nèi)任意一條閉曲線所圍成的部分都屬于，則稱為平面單連通區(qū)域（即內(nèi)部不含有“洞”），否則稱為復(fù)連通區(qū)域．例如，區(qū)域和是單連通區(qū)域；環(huán)狀區(qū)域是復(fù)連通區(qū)域．關(guān)于平面區(qū)域邊界曲線的正負(fù)向規(guī)定如下：設(shè)平面區(qū)域的邊界曲線為，當(dāng)沿著邊界曲線運(yùn)動時，平面區(qū)域總在其左側(cè)，此運(yùn)動方向即為的正向，此時的反向即為的負(fù)向．對于單連通區(qū)域來說，逆時針方向?yàn)檎颍畬τ谌鐖D12-7所示的復(fù)連通區(qū)域來說，圖中的箭頭指向即為邊界正向．圖12-7定理1（格林公式）設(shè)函數(shù)，在閉區(qū)域上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有，（12-4）其中為的正向邊界曲線．證將區(qū)域分為單連通區(qū)域和復(fù)連通區(qū)域兩種情形來證明．論．①平行于坐標(biāo)軸的直線和最多有兩個交點(diǎn)．如圖12-8所示，若將區(qū)域表示為型區(qū)域，則．圖12-8因?yàn)檫B續(xù)，所以根據(jù)二重積分的計(jì)算方法有根據(jù)對坐標(biāo)的曲線積分計(jì)算方法及性質(zhì)，有由此可得．（12-5）若將區(qū)域表示為型區(qū)域，同理可得．（12-6）由于式（12-5）和式（12-6）同時成立，兩式相加即得式（12-4）．②平行于坐標(biāo)軸的直線和曲線有兩個以上的交點(diǎn)．對于這種情況，可引入輔助曲線，把區(qū)域分成有限個小區(qū)域，使每個小區(qū)域都滿足①的條件．例如，如圖12-9所示，對于閉區(qū)域，它的邊界曲線為，引進(jìn)一條輔助線，把分成三個部分．對于每個部分應(yīng)用公式（12-4），得，，．圖12-9把以上三個等式相加，注意相加時沿輔助線來回的曲線積分相互抵消，便得，其中是的正向邊界曲線．（2）如果是復(fù)連通區(qū)域，則可用輔助線把區(qū)域劃分成單連通區(qū)域．如圖12-10所示，在復(fù)連通區(qū)域引入直線段，則是以，為邊界曲線的單連通區(qū)域，從而圖12-10通過格林公式，我們可得到曲線積分的另一種計(jì)算方法，即將曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分進(jìn)行計(jì)算．通過格林公式，曲線積分還可以用來計(jì)算平面圖形的面積．在格林公式中取，，得平面圖形的面積為．（12-7）例1求橢圓所圍成圖形的面積．解根據(jù)式（12-7）得橢圓面積為．例2計(jì)算，其中為和所圍成區(qū)域的正向邊界曲線．解應(yīng)用格林公式得（例3、例4詳見教材）【學(xué)生】掌握格林公式的相關(guān)定義、定理，及其應(yīng)用學(xué)習(xí)格林公式。邊做邊講，及時鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測驗(yàn)（10min）【教師】出幾道測試題目，測試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題過程【學(xué)生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學(xué)生對知識點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對本節(jié)課知識的印象第二節(jié)課知識講解

（30min）【教師】講解平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件設(shè)在平面區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)．是內(nèi)任意給定的兩點(diǎn)，如果對于內(nèi)從起點(diǎn)到終點(diǎn)的任意兩條曲線與，等式恒成立，則稱曲線積分在區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān)，否則稱與路徑有關(guān)．在內(nèi)，若起點(diǎn)為、終點(diǎn)為，則與路徑無關(guān)的曲線積分可簡記為．定理2設(shè)是單連通區(qū)域，若函數(shù)在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則以下四個命題等價：（1）對于內(nèi)任意光滑閉曲線，有；（2）在區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān)，只與起止點(diǎn)有關(guān)；（3）為某二元函數(shù)的全微分，即；（4）在內(nèi)每一點(diǎn)處有成立．證要證明以上四個命題等價，只需按照（1）（2）（3）（4）（1）的模式，分四步證明即可．（1）（2）．設(shè)和為內(nèi)任意兩條從A點(diǎn)到B點(diǎn)的有向分段光滑曲線，此時形成一條閉曲線，則，因?yàn)樗裕丛趨^(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān)，只與起止點(diǎn)有關(guān)．（2）（3）．在內(nèi)取定點(diǎn)和任一動點(diǎn)，如圖12-13所示，因積分與路徑無關(guān)，故該曲線的積分可記為，圖12-13當(dāng)起點(diǎn)固定時，該積分的值取決于終點(diǎn)，即該積分與構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，把該函數(shù)記為，則，取從點(diǎn)B沿著平行于x軸的直線段到點(diǎn)C，則，因?yàn)橹本€段的方程為，根據(jù)對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法，上式成為，應(yīng)用定積分中值定理，得，于是．同理可證，從而有．（3）（4）．設(shè)存在函數(shù)使得，則，，由于P，Q在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，因此在內(nèi)每一點(diǎn)處有．（4）（1）．設(shè)為中任一分段光滑閉曲線，所圍區(qū)域?yàn)椋瑒t由格林公式，得．例5計(jì)算曲線積分，其中為上從點(diǎn)到點(diǎn)的曲線弧，如圖12-15所示．解由于，因此原積分與路徑無關(guān)．為了計(jì)算簡便，選取平行于坐標(biāo)軸的折線為積分路徑，則有．圖12-14圖12-15（例6、例7詳見教材）【學(xué)生】掌握平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件學(xué)習(xí)平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件。邊做邊講，及時鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測驗(yàn)（10min）【教師】出幾道測試題目，測試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題過程【學(xué)生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學(xué)生對知識點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對本節(jié)課知識的印象課堂小結(jié)

（5min）【教師】簡要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課主要介紹了格林公式及其證明、格林公式的應(yīng)用，平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件。課后要多加練習(xí)，鞏固認(rèn)知。【學(xué)生