南理工數(shù)學(xué)系概率論課后習(xí)題答案概率論(第四,五章習(xí)題課)

第四、五章復(fù)習(xí)小結(jié)

（一）特征函數(shù)的概念及其意義

（二）特征函數(shù)的性質(zhì)（1）?（7）及反演

公式及唯一性定理的應(yīng)用。

（三）隨機序列的收斂性；

（1）依概率收斂。

（2）依分布收斂及二者間的相互關(guān)

系。

（四）理解依分布收斂的充分必要條件（勒

維一克拉美定理）。特征函數(shù)在極限

定理中的作用。

（五）幾種常見形式的大數(shù)定律與中心極限

定理的證明。

數(shù)字特征與特征函數(shù)都是概率分布的某種

表征，它們不但深化了對隨機變量的認(rèn)識，同時

也為以后的研究作了必要的準(zhǔn)備。

特征函數(shù)與分布函數(shù)是一一對應(yīng)的，它雖然

不象分布函數(shù)那樣有直觀的概率變化,但卻有很

好的分析性質(zhì)。因此它是解決某些分布問題的有

力工具。特別是處理隨機序列獨立和分布問題上

有極重要的地位。

第五章研究了極限定理,這是概率論基礎(chǔ)中

比較深入的結(jié)果,前幾章學(xué)到的知識在這里得到

了綜合應(yīng)用。

收斂性概念與特征函數(shù)這一工具是深入研

究極限定理所不可缺少的。

強大數(shù)定理與一般場合的中心極限定理是

概率率相當(dāng)深刻的結(jié)果,前者的證明通過建立比

車貝雪夫不等式更為銳利的不等式而實現(xiàn),后者

的證明則得力于特征函數(shù)這一有力的工具。

13.解/(Xy^-CeH?(x-5)2+2(x-5)(y-3)+5(y-3)2]

(尤Q])2r(X一。])()；一的)?(y一生)

2

r=-2cr1cr2(l-r)

(1一/)5%

222

r=-2-((l-r)<r1o-；)

(2萬一產(chǎn))o-^d-r2)

而

故

V76.5

，2=」X76=T；八(c>0)

4萬24/2%

此例中f{x,y）為W（5，C,3，C，2建）,

1.2.

2

8（1-/）13810(1-r)19'

20

1

相應(yīng)的特征函數(shù),J）=E［e。。+也曷］

=殖"2g仇+我）

H)

=/?向33）］修；"扁一會"吟

E《）=5,E⑺=3；

14.解a）〃的分布律為1,=p("〃)(〃=0』,…)，則〃

的母函數(shù)

8

%（s）=Z””

而縱這pj

〃=0\k=0)

1

〃=0

故

1?23

（1一5>%。）=%+%>'+g2sH—++q2s+

=%+(5-%)S+(%-$1)$2+(%-%)d

8

=4o+Z(->s"

71=1

而

g°=pqK0)=P也=0)=p0-,q?-qn_^P^<n)-P^<n-1)

=P(n-1<^<H)=P(4=n)=p〃》

故

005

(1—s)%,(s)=Po+EA/=EPnS"=匕6)

n=In=2

e)q.=Pe=2〃)的母函數(shù)

800

/G)=Z"=zP2,F

n=0n=0

j

co(\_y

匕（S）=ZP2，F(xiàn)=；ZP“,2pn-52

〃=0n=0n=0I7

(I\\\

12-$5

2As+K

\

8(n\n

化NEP?Po+P/2+〃2$1+…+p/2+…

\7n=0\)

/+|\00/_1Y,[n

R2222

一/=￡pa-S=P()+p^+p2s'+--?+pn(-iy-S+■-?

\7〃=07

故

/1\(1A

22

化S+%-5=2〃0+2〃2§1+2P4s2H+2〃2〃S〃+???

\7k7

=25P2"s"=24〃(s)

〃二0

例重復(fù)擲一個骰子5次,求所得點數(shù)之和

為15的概率？

解設(shè)白為第i次擲出的點數(shù)，則總和”女。

/=1

而《的母函數(shù)

%(5)，+4*..+小J引

,6666占

顯然*4相互獨立，故。的母函數(shù)

5

匕（s）=n%G）

i=\

.,2.c6\51c5

+s+???s)=—s?.(1-S6)(1一S)T

—>

55e5

S35

,3「(l+?)5.(l-.v)-5=—.+s+s2)5(1+5)

=不

所求概率P叱⑸為匕⑶中一項的系數(shù)，即

“")(0)651

P(〃=15)=

15!65

18.解",“(')=fl-專(。

f=l

a-\1?-111_

fl-sa]

匕⑺I=;

(a(l-s))

作業(yè)中的問題

p271

1.利用特征函數(shù)法求ECC)

4.因為

c力+e力；tx

COS”---二

,k

1+產(chǎn)+產(chǎn)

21+COSIt21-2it112/7

cost=-----------=----------------=-^7+-+-eJ

22424

由唯一性定理的

-117-202

pk

22J__L_L

Pk424

此時J|cos?力=+00,

即cost不是絕對可積的。

5.解

砸=w身收的.屈斌?必?[”嗎儂

令y=/(x),注意題目/(x)為嚴(yán)格單調(diào)上升函

數(shù)，貝算二尸6)

%?)="J-"y="二。。。

?外(f)=E*=慶八"(。=匚e"""d/(x)

々y=F(x),

洛Q)={ej(iny),dy=(Y'dy=-??

6.解首先%?)=(ej,xdG(x)=￡ejtxGf(x)dx

=J'ejtx-^-[F(x+h)-F(x-h)^dx

(提示：變量套換。)

8.解首先

F(-x+O)=limF(-x+—)=limp\^<-x+—

oo幾8幾

=PC<-x)

“n”必要性。由/(x)=l-b(-x+。)，得

PC<x)=l-P(^<-x)=P/>-x)=P(g<x)

即舉(x)=Fg(x)。則

q)N)=E*-Pe'txdF{x)-「e',txdF_^(x)

W00W00

(Pg(t、=E*g)=(pg

故經(jīng)⑺為實函數(shù)。

“<=”充分性。由于R⑺為實函數(shù)，則

乙⑺=%?)=Ee，優(yōu),即Q。)=Ee一四二%。)。

則J與一4的特征函數(shù)相同，則由唯一性定

理。

舉(%)=”式%)

即

P也<x)=P(g<x)=P(J〉_%)=1_PCK_%)=1-4(-X+0)

即

/(%)=1—基(—x+0);

p270

1解

0000

。⑺=Eejt^=26陽-pqk=p?，("")"

k=0k=0

二1二p

Pl-qejtl-qeJt

(0<qe"?q<1)

則

0'。)=[，(1一qe"f1]=p(-1)?{~qjejt)(1-qejt)-2

=pqj*.Q-q*)-2

故

0'3)=j?pqQ-q)-2=j—

p

又

。〃⑺=pqj'jejt-(!-qej,)-2+(pqjeJ,)?(~2)(—qje")(1-qe"『

故

9〃(0)=(-1)^(1-qX2+(pqj)?(―2)?(―%)?(1-q)-3

則

E@=但"=工

]P

ft/M\22

QC)=E(自2)—(埼)2=g—4=V(0)-4

J~pp

q、rqqq、qPQ+Qq(p+q)q

pppppppp

2.解因為J的特征函數(shù)

〃1

（）ejkt

pa=jt

n(l-e)k=\n

由唯一性定理，此為分布列0=5（攵=1,2/，〃）的

特征函數(shù)。

4.解因為

ejt+e~jt

cost=--=--—-1--e--it-H,——1e/(-O

222

的特征函數(shù)，由唯一性定理，分布律為

因為

Ie_j2t

r

2l+cos2r

cost=-----------=------2力-2）、2/（。"1為

2244

4-202

2_22_

Pk

444

的特征函數(shù)。

5.解(a)

jt(aF+b)jtbjtaF

%。)二Ee聞二Ee^=Ee-e^

=ejtb-E(e“@)=ejtb-j

這里｝二/C)為[0,1]上的均勻分布。

故

j,b

?,盧8.|.()

JtbJtayJ,bPJ,ayJtbe'"y/y=1e-

%⑴=e-￡edF.(y)=e-[edy=e-——_=—(e"“-1)

j/yJta

(b)

(Pg3=Ee滋=E/n%)=「e川"/q)(y)dy=^dy

"1+力/y=。1+。

&解

(0=rjtx

cpG*dG(x)=「e-G\x)dx

、7J-ooJ-oo

ejtx-[F(x+h)-F(x-h)]dx

F(x+h)-F(x-h),(ejJtx、ejtx(F(x+/z)-F(x-/z)^

------------=---------a-----d1-------------------------

2h、0)jtI2/zJ

jtx

—F「*?dF(x+h)—「edF(x-h)

2碩LL°

—r「*x-h)dF(x)—「/5+嘰/(幻

2碩LL°Lo

1叫?次)—(P(W

2hjtL

jthjth

/、sin

e-e-二力ht加,、

8.證明：(必要性)由/(x)=l一/(一x+O)

得

PC<X)=1—PC<-x)=PC>-x)

<x)=PT<%)

即今(x)=￡j(x)。所以其特征函數(shù)

(pg)=Ee涯=￡°ejtx，dFg(x)=-dF_^(x)=E

=E[ejt^]=(p(t)

故。?)為實函數(shù)。

(充分性)由于經(jīng)⑺是實值函數(shù)。則

%?)=%。)=EM優(yōu)=Ee-儲=。3⑺。

故4與一4的特征函數(shù)相同，則由唯一性定理

F^x)=F_^(x)o則

對Vx￡女，

P(&<幻=P1</)=PC>-x)=i-p(j<-%)

即/0)=1—/(一工+0)。

9.證明因為。?)是實值函數(shù)，復(fù)數(shù)部分

為0,故只需對實部計算。

(p(t)=EeJti=E[cos^+jsin?=￡(cos《)=「costxdF(x)

1一°(2。=「(1-cos2tx)dF(x)

P2(1-cos2tx)dF(x)

J-00

<4p(1-costx)dF(x)=4(1-(p(t))

J-00

l+0(2f)=P(1+cos2tx)dF(x)=2cos2txdF(x)

J-00■00

>2

(這里利用到不等式

[J7(x)-g(x)d%x)，＜「2(幻"(辦人2(燈"(幻)

7.解

I=limJ；(p(t)e~j,xdt=limJ；(「?e~J,xdt

=lim—「r*』F(y)dt

rf82rLTJ-OO'

由于=1,所以關(guān)于乘積測度

?x〃-T,T]絕對可積，由富比尼定理知可交換上

式中積分次序，得

丁典…力)

I"

記g(T?,y)=。"1)力，則

當(dāng)y=x時，有

1rT

g(T,x,y)=--^dt=l

21AT

當(dāng)時，有

g(T,x,y)=—f=—fcostly-x)dt

2TJ-T2TJ-T

2%"7)力二則AZ

T)T(y—x)；

0,ywx

由此，|g(T,羽小1,且翹—，＞)=1,y=x由

控制收斂定理，得

/=￡himg(T,x,y)pF(y)=jJF(y)=P(x=x)

00f{x}

=F(x+O)-F(x)=F(%+O)-F(x-O)

11.解因為5，…，當(dāng)相互獨立同分布

NQ1),故

，2

%?)=?2(k=1,2,…，及)

則

(P菰⑦=es=e

而正久;萬全…，樂,也相互獨立，故

―_nt2~nt2

。(t)=%Q)=2e2〃=e2

]n

由唯一性定理，而與短服從N(0/)。

第五章

5.解(1)對Ve>0,V5>0

尸低-w刊=尸M-4喙+4之￡]

=尸{/一〃臨+4*臨上M}+P{康—娟*，蜀<M

<P{\^>M}+P^n-a\\^+a\>^\^\<M}

“尸{閡2"}+尸"唱人|

選充分大的正數(shù)M,使得

5(]8

「{回2孫<萬，自]<5

尸{肩_。2*}-0+0(當(dāng)〃-。0)

(2)因為

P{|4么一回冷}=么—聞N4

二P低刀〃-仞〃-b^n+ab+ar/n+妁-2ab\>耳

=P{|(^?-d)(r)n-b)+a(?jn-b)+b^n-a)\>s］

<P，|Z—H1%-。|z；￡>+P{同I4一M2技+PW?-。)|n；，

W「上一42程1+P^n-b\>看［+尸〔同_司2+>

+P卜臨-?，敳?。，故④％=~^ab

1尸》］

再證，若短一1，則多，因為

故!41,再證，

若默」-4,則

因為左二。，則顯然左

當(dāng)上。0時,

P｛貽〃一冏*｝=尸｛用低一尸卜〃.司〉網(wǎng)->0

綜上，若%一SwO）則

b

1p>1

ai%

則

1p1

------F

7?b,又注

12.證明：對DS>0,可取M>。及N1,

使〃〉Ni時有

而g(x)在［-2M,2M］上一致連續(xù)，則對

VE>0,相>0,使當(dāng)x1,x2G［-2M,2M］時，

且其一司<￡1時有，卜(再)一8(%2)|<￡。

再取N>M,使〃>N時，有

1

{團卜2M}u{團2M}“周<加，凰"A/}

u{同2"}“七

而佃V2M,蜀《2M,|g@)-ge)|*}u{*/M}

故當(dāng)">N］有,

P\\g^n)-g^)\>^}<P^\>2M}+P^n\>2M}

+P{?<2",惶卜2",|gg)-g?|>4

333

故g(4)上今g(J)。

13.證明因為

[|幾k=lI\nk=l<〃A=1

，1〃

Da

5k=l11

<30

222

￡sn\k=\

18.證明因為

11

0(4)=磯費)_(￡,)2=￡(4)=/九+左2X=左2九

乙乙

對V￡>°,而

pJliVfA-F.^\>A<

kJs1￡2n2￡

Jn_J___1_

—21-22

sn￡n

,故服從大數(shù)定

當(dāng)'<5時，｛5｝

律。

19.解因為

j_

,If00a

E(&。=[%/(%)=「X?za—^dx=——x?-----7dx=+oo

J—CD?r~~OOx2]TiaLKa+X

711+

a~)

故辛欽大數(shù)定律不適用,D

p

6.乂，是否有￡?)p皿)。

解不一定。設(shè)。=(°/，尸為。的

Bor包子集,P為乙測度,

八1

n,0<(D<-Y

1"4(⑼=0

o,-<^<n

n

顯然，對7?！?°』.

有,C(⑼—久。)

(〃foo)。又對

<—^0(〃—00)

n

故多—，但黨〃=〃一=1，而

器二0。

15.解因為服從大數(shù)定律，即

jE&)

因為｛%｝服從大數(shù)定律，即萬〃二今月（萬〃）

則

己±%=（C±%）—E氐）±E（7?）,

即｛￡±“｝也服從大數(shù)定律。

7.證設(shè)當(dāng)~>0,則對De>°

limP｛|^|>4=0

￡[/（歸M=J/（x）?陽⑴+//⑴陽⑴

|x|>（T|x|<（7

V".p低Md+/（b）.p[凰0,

-oo,b—0）

反過來，

P｛凰*｝=J^F（x）<J祟陽⑴

\X\L段/⑶

〃＜吐川蜀)]TO

——TU

于⑹f⑹

16.解設(shè)以?)為短的特征函數(shù)，由

~b(n,p)。則

_it~\n

?！á?(%+p,e')'=(1—p〃+p])"=i+--

由條件，當(dāng)孔900時，叩〃—幾。貝u

?！á艘粸閰?shù)2的泊松分布的特

征函數(shù)，故由勒維-克拉美定理得

短」尸(㈤。

20.解：設(shè)J為事件A在1000次試驗中

出現(xiàn)的次數(shù)。

1；第，?次試驗中A發(fā)生

0；第砍試驗中A不發(fā)生"=1，…，100°)

;可利用隸莫佛爾一拉普拉斯定

理，所求概率為

P(400<q<600)=P400<Z。<60。

400-1000x1￡^,.-1000x-600-1000x1

2<*2<2

JlOOOx-x-JlOOOx-x-JlOOOx-x-

,100,100

<5710

21.解

1〃1fl1_LA\1

E^k)=0,D^k)=4\-￡D^k)=-￡邛=—三一=—(4向一4)一+s

nk=ink=\〃4-13n

22.解

1(〃、1(〃、

~DZ—F￡O?)+Z<D值一酸,)?-(5))

“\z=lJ〃ki=li。jj

/I2b八

《——,n?cr=------>0

滿足大數(shù)定律。

23.解：蟲-普切泊卜!。（女

1（〃\1（八.\

n

「=1）n1曰i巧

1

<+2(〃-1)?。?).7)&)]二—(wM+2(n-l)92)->0

幾1

(nfoo)

—丁型）

外⑺-e2

35,解、忙3）

Vk=l

Z低+%)一￡[(Z?+4))]幻

宿=

江3+%)

24.解由題目條件可得，對

8

VcOJN,當(dāng)j-i>N時，P)?〈無(設(shè)

c>0)

貝1J

n1cv-

+/2工PijOQj

nk=lnk=i

12y

<--H-C+—?'p

幾!</<;<?

c22

■E\pnwEIRw

j-i<Nnj-i>N

i<Ji<j

在上式前一和式中，，可依次取L2,…/，對

每人固定的，來說，由于JrYN,且

i<j<i+N,所以至多對應(yīng)N項，從而和式

中至多有九N項。在后一和式中，由于/>"

所以對，取L2,???，〃，至多依次對應(yīng)

n-l,n-2,---,2,l項，從而和式中至多有

(1)+5-2)+…+2+1=^^項,利用Pij<1,

可得

122n(n-V)s

<-+nN'CA

222

n\k=lnnn24c

c2Nc

=——I-----+G--lx-

nnnJ4

當(dāng)'f心l充分大時，上式右方之和可以小于

所以

-0(〃-00)

2心

n\k=\

即馬爾可夫條件成立，故大數(shù)定律成立。

例設(shè){4}〃=L2,???，是獨立的r.v.序

列，它們的方差存在，若

2

<c?;^D(^)>?n(c,<z>0,n=l,2,---)o證明：

k=lk=l

對{&}

①中心極限定理不成立,

②大數(shù)定理亦不成立。

解①設(shè)從k=E(G。；=D(GB；=工X>a/；

k=\

由則后區(qū)以卜石:￡低《巴

口k=\八"U=1)k=l

故

n(nA\nn

I.

ZX-EZJJSX+EIX9.9.

瓦卒i)=一瓦一二一豆—5F

則

可高**-*制=1，對7〃均成立

(*)

由此可知,對中心極限定理不成立,

事實上，若對中心極限定理成立。則,

limP

8

于是當(dāng)兒充分大時，有

力I1同〃孕學(xué)2產(chǎn)C與(*)式矛盾。

②先證明：若441,則對VE＞。，有

事實上,

E($)=「x2dF(x)=jx2dF(x)+Jx2dF(x)

J-oo

l>|x|>6<0<|x|<6,

<jdF(x)+j^2dF(x)<P[\^\>^}

以乖￡X\<￡

又

"(n、孔

+￡恪短卜2M

k=l\k=lJk=l

所以

之短—E之短

k=l1k=l<1

2cn

\t^-E

a

p<k=Tl&=1)

2cn2?

幾

￡。（幻

k=la

4c218?

anaa

>--------------=—>0

4c2/8c28c2

由此可知,

1n(1n、>

?

即陽尸監(jiān)…您斗臥。不成立,即

對J大數(shù)定律不成立。

例設(shè)｛￡｝為任意14,試證｛5｝

Z=1

服從大數(shù)定律的充分必要條件

(S〃-ESnf

limE-二0

8n2+(Sn-ESn)2

證(充分性)令

ii(?)

%=—3「ES〃)=—Z?—轉(zhuǎn))苴分

n幾3=i),具刀

布函數(shù)為￡a),貝U對Ve>°。

一監(jiān)?)*}=。{|%|2耳=J陽⑴

H"，=1>\x\-￡

4f"JdF<x)

1+/

z2

因為恐是國單增函數(shù)‘當(dāng)W-￡'9^-1

、

>8>

x12l+￡2x2

dFM<

降」+/n+x2

-(Sn-ESn)

叱石，L=i+g2n

/i+琮￡21

1+士(Sn—ESn)

n

1+/￡(Sn-ESnf

-0

/'n?+(Sn-ESnf

(當(dāng)〃f+oc)

故尸■[%?-E>“=。即{C}服從大數(shù)定

律（必要性）。由于K)服從大數(shù)定律，知對

VE>0。有

=p\^Sn-ESn)

財后一掙泊n

二尸｛|%|*｝二。

而

2

<(%)>J,/<W

尸{%*}=J2

乖￡刎泊1+X

2x2

0-[r-<(x)

=￡12叱cr

J-81+/id1+-

>E

1+琮1+/

故

772

0<E-^--<P{%*}+124PM*}+￡

1+%i)1+e[)

再令￡-0,則

，先令8,

「1I2

一(S「ESn)

〃2

limE-=limE-.U------工二lim⑸一2)二Q

…i+4〃一>00]幾->8n+(S—FS)

1+-(Sn-ESn)"W—J

_n

26.解類似上例可證。

38.解此時

11

二0,D(G=W))92T.9

ak=EJk二

123，

n1n1

=應(yīng)仆+1)(2〃+1)

k=i3攵=113

對rg〉o,有

[〃,1nr

瓦§Ll＞叫(X_%)2*(x)-B：.嗎.g1|＞叫國"2J")dx

—dx=dx

2k

0(/)

----"-f-8---＞0

故林德貝格條件成立，㈤服從中心極限定理。

41.解：1)項短)=。，。(4)=：］(1_五)2+(6)2］二左

1

2-」

1cn(l+n)

Bn2：=l+2+---+n=-------

2;取b=l,

則

3.A(5\

-+1

0n20n-

\)-0

D

nk=\Dny—0(/)

I2)

22\B；=^D&)=w力2a=0(/7)

2)石媒=0,D^k)=-k

k=l3k=l

取cr=l得，

1.0oD

白工電-op￡4.k3a

紇k=lk=l3(3?n

0n+2

IJ

則I"/丘i滿足中心極限定理。

例1設(shè)/(X)在(°，°°)上連續(xù)，嚴(yán)格單

調(diào)上升，“0)=。，S：/⑴<8,證明:

:___p_

n>0olimE/(^)=0

n—>oo

證明充分性，由題設(shè)知,/(%)在(0,00)

上是有界函數(shù)。設(shè)°V/（，）—M,

F（尤）

的分布函數(shù)為,則

E[〃凰）]=￡/（附第（x）=工〃附第（x）

=J/（附陽（x）+1/（⑷陽⑴

國之￡\x\<￡

2/（辦⑴=/（辦P（閡*）

昨￡

由于吧野啕）=0,且對

Ve>0,f（￡）>0,故

limP低|*）=0

7?—>00''o

由的連續(xù)性，

（必要性）,/（X）對

使

Va>0,36>>0>

此時，

號（蜀）=「J（M）陽（外二⑷陽（、）+J"⑷陽⑴

|x|>f|木￡

<M.J陽（X）+/（￡）J陽（1）="。｛凰*｝+/⑶

WMP｛凰*｝十三

由于當(dāng)-。，則對上述o>03N,

當(dāng)nfN時，尸｛闔*｝“粉。

故，當(dāng)對Dcr〉OJN,當(dāng)n>N時有:

0<^（|C|）<|-+|-=0-,B

lim硝蜀）=0

H—>00。

設(shè)歸〃｝是一列具有相同數(shù)學(xué)期望，方

例

差一致有界的r?v?且iwJ時，E隔”o,

證明｛4｝服從大數(shù)定律。

證明由題設(shè)，可設(shè)“與口。?"〃（，=1,2,…）,

因為

石［冬*〃)］=念(即~|1?

)-〃)=4(〃_〃)=0

_ni=i

(111、「］”~\1〃〃

Q=E_￡(§_〃)=(。-川低-")

1〃1JL〃,=1」ni=lJ=1

1n

二=￡。?)+2,EE(:一〃乂當(dāng)一〃)

“z=ll<z<j<n

1n

==個?)+2.Z(￡‘。務(wù)-〃2)

Hz=ll<z<j<n

11

一M

<2ED/"2?幾M=—

n日nn

\/￡>0

利用切比雷夫不等式，對O

Ui"17'(。一")

喘學(xué)小￡卜乜一

其ns->0(-當(dāng)孔-00)

即服從大數(shù)定律。

例設(shè)｛￡｝為獨立隨機變量序列，且服

從相同的普松分布，

P^=k）=~-e-A（4〉0,左二0,1,2,?一）

nk\

n

試用特征函數(shù)法求么=I面的極限分布。

解因為｛0｝相互獨立，則［兀;j也相

n

互獨立，故％=瘋=當(dāng)次的特征函數(shù)

為

〃nj4t（才、

。⑺=n入⑺=口/而/7y

日加日17n兒J

-e2⑺—e2（當(dāng)〃-oc）

所以,"n的極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)N(O,1)。

例3設(shè)Xn,i.id期望，方差都存在。令

n

=￡Xk一

是一列滿足,n的

k=l'n

常數(shù)（其中C為不依賴于n的正常數(shù)）。則

2}

服從大數(shù)定理

證明：不妨設(shè)E（X1）=O,E（X；）=/。對

De>°,由馬氏不等式，得

尸[3+…+〃￡]+…+q￡)2

kn

1〃

口過處ajE(S,Sj)+Ea；ES)

gi>jr=l

___n

2>14%j+i%

i>jr=l

CT2n/-I「2n

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nsz?=l17.=116Iz?=l1Iv