吳贛昌 第五版 經(jīng)管類概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后習(xí)題 完整版

------------------------------------------------------------------------吳贛昌第五版經(jīng)管類概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后習(xí)題完整版隨機(jī)事件及其概率1.1隨機(jī)事件習(xí)題1試說明隨機(jī)試驗(yàn)應(yīng)具有的三個(gè)特點(diǎn)．習(xí)題2將一枚均勻的硬幣拋兩次，事件A，B，C分別表示“第一次出現(xiàn)正面”，“兩次出現(xiàn)同一面”，“至少有一次出現(xiàn)正面”，試寫出樣本空間及事件A，B，C中的樣本點(diǎn).現(xiàn)習(xí)題91.2隨機(jī)事件的概率1.3古典概型現(xiàn)習(xí)題3現(xiàn)習(xí)題4現(xiàn)習(xí)題5現(xiàn)習(xí)題6現(xiàn)習(xí)題7現(xiàn)習(xí)題8現(xiàn)習(xí)題9現(xiàn)習(xí)題101.4條件概率習(xí)題3空現(xiàn)習(xí)題41.5事件的獨(dú)立性現(xiàn)習(xí)題6現(xiàn)習(xí)題7現(xiàn)習(xí)題8總習(xí)題1習(xí)題3.證明下列等式：習(xí)題4.現(xiàn)習(xí)題5習(xí)題6.習(xí)題7習(xí)題8習(xí)題9習(xí)題10習(xí)題11現(xiàn)習(xí)題12習(xí)題13習(xí)題14習(xí)題15習(xí)題16習(xí)題17習(xí)題18習(xí)題19習(xí)題20習(xí)題21習(xí)題22現(xiàn)習(xí)題23現(xiàn)習(xí)題24第二章隨機(jī)變量及其分布2.1隨機(jī)變量習(xí)題1隨機(jī)變量的特征是什么？解答：①隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的一個(gè)實(shí)值函數(shù).②隨機(jī)變量的取值是隨機(jī)的，事先或試驗(yàn)前不知道取哪個(gè)值.③隨機(jī)變量取特定值的概率大小是確定的.習(xí)題2試述隨機(jī)變量的分類.解答：①若隨機(jī)變量X的所有可能取值能夠一一列舉出來，則稱X為離散型隨機(jī)變量；否則稱為非離散型隨機(jī)變量.②若X的可能值不能一一列出，但可在一段連續(xù)區(qū)間上取值，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量.習(xí)題3盒中裝有大小相同的球10個(gè)，編號(hào)為0,1,2,?,9,

從中任取1個(gè)，觀察號(hào)碼是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情況，試定義一個(gè)隨機(jī)變量來表達(dá)上述隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果，并寫出該隨機(jī)變量取每一個(gè)特定值的概率.2.2離散型隨機(jī)變量及其概率分布習(xí)題1設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2},求λ.習(xí)題2設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為

P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,試求(1)P{12<X<52;

(2)P{1≤X≤3};

(3)P{X>3}.習(xí)題3一袋中裝有5只球，編號(hào)為1,2,3,4,5.在袋中同時(shí)取3只，以X表示取出的3只球中的最大號(hào)碼，寫出隨機(jī)變量X的分布律.習(xí)題4(空)習(xí)題5某加油站替出租車公司代營(yíng)出租汽車業(yè)務(wù)，每出租一輛汽車，可從出租公司得到3元.因代營(yíng)業(yè)務(wù)，每天加油站要多付給職工服務(wù)費(fèi)60元，設(shè)每天出租汽車數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，它的概率分布如下：X10203040pi0.150.250.450.15求因代營(yíng)業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外支出費(fèi)用的概率.習(xí)題6設(shè)自動(dòng)生產(chǎn)線在調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為p=0.1,

當(dāng)生產(chǎn)過程中出現(xiàn)廢品時(shí)立即進(jìn)行調(diào)整，X代表在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)，試求：(1)X的概率分布；(2)P{X≥5};(3)在兩次調(diào)整之間能以0.6的概率保證生產(chǎn)的合格品數(shù)不少于多少?習(xí)題7設(shè)某運(yùn)動(dòng)員投籃命中的概率為0.6,求他一次投籃時(shí)，投籃命中的概率分布.習(xí)題8某種產(chǎn)品共10件，其中有3件次品，現(xiàn)從中任取3件，求取出的3件產(chǎn)品中次品的概率分布.習(xí)題9一批產(chǎn)品共10件，其中有7件正品，3件次品，每次從這批產(chǎn)品中任取一件，取出的產(chǎn)品仍放回去，求直至取到正品為止所需次數(shù)X的概率分布.習(xí)題10紡織廠女工照顧800個(gè)紡綻，每一紡錠在某一段時(shí)間τ內(nèi)斷頭的概率為0.005,在τ這段時(shí)間內(nèi)斷頭次數(shù)不大于2的概率.習(xí)題11設(shè)書籍上每頁的印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)X服從泊松分布，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)在某本書上，有一個(gè)印刷錯(cuò)誤與有兩個(gè)印刷錯(cuò)誤的頁數(shù)相同，求任意檢驗(yàn)4頁，每頁上都沒有印刷錯(cuò)誤的概率.2.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)習(xí)題1.解答：離散.由于F(x)是一個(gè)階梯函數(shù)，故知X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量.習(xí)題2習(xí)題3已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布為P{X=1}=0.3,P{X=3}=0.5,P{X=5}=0.2,試寫出X的分布函數(shù)F(x)，并畫出圖形.習(xí)題4習(xí)題5習(xí)題6在區(qū)間[0,a]上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以X表示這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo).設(shè)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)落在[0,a]中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比例，試求X的分布函數(shù).2.4連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度習(xí)題1習(xí)題2習(xí)題3習(xí)題4習(xí)題5設(shè)一個(gè)汽車站上，某路公共汽車每5分鐘有一輛車到達(dá)，設(shè)乘客在5分鐘內(nèi)任一時(shí)間到達(dá)是等可能的，試計(jì)算在車站候車的10位乘客中只有1位等待時(shí)間超過4分鐘的概率.習(xí)題6習(xí)題7(空)習(xí)題8習(xí)題9習(xí)題10習(xí)題112.5隨機(jī)變量函數(shù)的分布習(xí)題1習(xí)題2

習(xí)題3習(xí)題4習(xí)題5習(xí)題6總習(xí)題二1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、第三章多維隨機(jī)變量及其分布3.1二維隨機(jī)變量及其分布1、2、⑴⑵⑶3、⑴⑵⑶4、5、6、7、8、9、3.2條件分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性1、2、3、4、5、6、7、3.3二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布1、2、7、4、復(fù)習(xí)總結(jié)與總習(xí)題解答1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、（空）15、16、17、第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征4.1數(shù)學(xué)期望1、2、3、45、6、7、8、9、10、11、4.2方差1、2、3、4、5、6、7、8、4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)1、2、3、4、5、6、7、8、4.4大數(shù)定理與中心極限定理1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、總習(xí)題四解答1、2、3、4、5、6、X表示每件產(chǎn)品的利潤(rùn)，則X取-2,10,求每件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)，即X的數(shù)學(xué)期望.E(X)=-2×0.1+10×0.9=8.8.7、8、9、10、11、12、13、14、15、故cov(X,Y)=0.16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、第五章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)5.1數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念習(xí)題1已知總體X服從[0,λ]上的均勻分布(λ未知),X1,X2,?,Xn為X的樣本，則().(A)1/n∑i=1nXi-λ2是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量；(B)1/n∑i=1nXi-E(X)是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量；(C)X1+X2是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量；(D)1/n∑i=1nXi^2-D(X)是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量.解答：應(yīng)選(C).由統(tǒng)計(jì)量的定義：樣本的任一不含總體分布未知參數(shù)的函數(shù)稱為該樣本的統(tǒng)計(jì)量.(A)(B)(D)中均含未知參數(shù).習(xí)題2觀察一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，抽到100株“豫農(nóng)一號(hào)”玉米的穗位(單位：cm),得到如下表中所列的數(shù)據(jù).按區(qū)間[70,80),[80,90),?,[150,160),將100個(gè)數(shù)據(jù)分成9個(gè)組，列出分組數(shù)據(jù)計(jì)表(包括頻率和累積頻率),并畫出頻率累積的直方圖.解答：分組數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表組序號(hào)123456789組限組中值組頻率組頻率%累計(jì)頻率%70~807533380~9085991290~10095131325100~110105161641110~120115262667120~130125202087130~1401357794140~1501454498150~16015522100頻率直方圖見圖(a),累積頻率直方圖見圖(b).習(xí)題3測(cè)得20個(gè)毛坯重量(單位：g),列成如下簡(jiǎn)表：毛坯重量185187192195200202205206頻數(shù)11111211毛坯重量207208210214215216218227頻數(shù)21112121將其按區(qū)間[183.5,192.5),?,[219.5,228.5)組，列出分組統(tǒng)計(jì)表，并畫出頻率直方圖.解答：分組統(tǒng)計(jì)表見表組序號(hào)12345組限183.5,～192.5192.5,～201.5201.5,～210.5210.5,～219.5219.5,～228.5組中值188197206215224組頻數(shù)32861組頻率/%151040305頻率直方圖見下圖習(xí)題4某地區(qū)抽樣調(diào)查200個(gè)居民戶的月人均收入，得如下統(tǒng)計(jì)資料：月人均收入(百元)5-66-77-88-99-1010-1111-12合計(jì)戶數(shù)18357624191414200求樣本容量n,樣本均值Xˉ，樣本方差S^2.解答：對(duì)于抽到的每個(gè)居民戶調(diào)查均收入，可見n=200.這里，沒有給出原始數(shù)據(jù)，而是給出了整理過的資料(頻率分布),我們首先計(jì)算各組的“組中值”，然后計(jì)算Xˉ和S2的近似值：月人均收入(百元)5-66-77-88-99-1010-1111-12合計(jì)組中值ak5.56.57.58.59.510.511.5-戶數(shù)fk18357624191414200Xˉ=1n∑kakfk=1200(5.5×18+?+11.5×14)=7.945,S2≈1n-1∑k(ak-Xˉ)2fk=1n-1∑kak2fk-Xˉ2=1199(5.52×18+?+11.52×14)-7.945≈66.0402-63.123025=2.917175.習(xí)題5設(shè)總體X服從二項(xiàng)分布B(10,3100),X1,X2,?,Xn為來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，Xˉ=1n∑i=1nXi與Sn2=1n∑i=1n(Xi-Xˉ)2分別表示樣本均值和樣本二階中心矩，試求E(Xˉ),E(S2).解答：由X～B(10,3100),得E(X)=10×3100=310,D(X)=10×3100×97100=2911000,所以E(Xˉ)=E(X)=310,E(S2)=n-1nD(X)=291(n-1)1000n.習(xí)題6設(shè)某商店100天銷售電視機(jī)的情況有如下統(tǒng)計(jì)資料日售出臺(tái)數(shù)k23456合計(jì)天數(shù)fk2030102515100求樣本容量n,經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn(x).解答：(1)樣本容量n=100;(2)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn(x)={0,x<20.20,2≤x<30.50,3≤x<40.60,4≤x<50.85,5≤x<61,x≥6.習(xí)題7設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x),概率密度為f(x),X1,X2,?,Xn為來自總體X的一個(gè)樣本，記X(1)=min1≤i≤n(Xi),X(n)=max1≤i≤n(Xi),試求X(1)和X(n)各自的分布函數(shù)和概率密度.解答：設(shè)X(1)的分布函數(shù)和概率密度分別為F1(x)和f1(x),X(n)的分布函數(shù)和概率密度分別為Fn(x)和fn(x),則Fn(X)=P{X(n)≤x}=P{X1≤x,?,X(n)≤x}=P{X1≤x}P{X2≤x}?P{Xn≤x}=[F(x)]n,fn(x)=F′n(x)=n[F(x)]n-1f(x),F1(x)=P{X(1)≤x}=1-P{X(1)>x}=1-P{X1>x,X2>x,?,Xn>x}=1-P{X1>x}P{X2>x}?P{Xn>x}=1-[1-P{X1≤x}][1-P{X2≤x}]?[1-P{Xn≤x}]=1-[1-F(x)]n,F′1(x)=f1(x)=n[1-F(x)]n-1f(x).習(xí)題8設(shè)總體X服從指數(shù)分布e(λ),X1,X2是容量為2的樣本，求X(1)，X(2)的概率密度.解答：f(x)={λe-λx,x>00,其它,F(x)={1-e-λx,x>00,x≥0,X(2)的概率密度為f(2)(x)=2F(x)f(x)={2λe-λx(1-e-λx),x>00,其它,又X(1)的概率密度為f(1)(x)=2[1-F(x)]f(x)={2λe-2λx,x>00,其它.習(xí)題9設(shè)電子元件的壽命時(shí)間X(單位：h)服從參數(shù)λ=0.0015的指數(shù)分布，今獨(dú)立測(cè)試n=6元件，記錄它們的失效時(shí)間，求：(1)沒有元件在800h之前失效的概率；(2)沒有元件最后超過3000h的概率.解答：(1)總體X的概率密度f(x)={(0.0015)e-0.0015x,x>00,其它,分布函數(shù)F(x)={1-e-0.0015x,x>00,其它,{沒有元件在800h前失效}={最小順序統(tǒng)計(jì)量X(1)>800},有P{X(1)>800}=[P{X>800}]6=[1-F(800)]6=exp(-0.0015×800×6)=exp(-7.2)≈0.000747.(2){沒有元件最后超過3000h}={最大順序統(tǒng)計(jì)量X(6)<3000}P{X(6)<3000}=[P{X<3000}]6=[F(3000)]6=[1-exp{-0.0015×3000}]6=[1-exp{-4.5}]6≈0.93517.習(xí)題10設(shè)總體X任意，期望為μ,方差為σ2,若至少要以95%的概率保證∣Xˉ-μ∣<0.1σ,問樣本容量n應(yīng)取多大？解答：因當(dāng)n很大時(shí)，Xˉ-N(μ,σ2n),于是P{∣Xˉ-μ∣<0.1σ}=P{μ-0.1σ<Xˉ<μ+0.1σ}≈Φ(0.1σσ/n)-Φ(-0.1σσ/n)=2Φ(0.1n)-1≥0.95,則Φ(0.1n)≥0.975,查表得Φ(1.96)=0.975,因Φ(x)非減，故0.1n≥1.96,n≥384.16,故樣本容量至少取385才能滿足要求.5.2常用統(tǒng)計(jì)分布習(xí)題1對(duì)于給定的正數(shù)a(0<a<1),設(shè)za,χa2(n),ta(n),Fa(n1,n2)分別是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，χ2(n),t(n),F(n1,n2)分布的上a分位點(diǎn)，則下面的結(jié)論中不正確的是().(A)z1-a(n)=-za(n);(B)χ1-a2(n)=-χa2(n);(C)t1-a(n)=-ta(n);(D)F1-a(n1,n2)=1Fa(n2,n1).解答：應(yīng)選(B).因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布和t分布的密度函數(shù)圖形都有是關(guān)于y軸對(duì)稱的，而χ2分布的密度大于等于零，所以(A)和(C)是對(duì)的.(B)是錯(cuò)的.對(duì)于F分布，若F～F(n1,n2),則1-a=P{F>F1-a(n1,n2)}=P{1F<1F1-a(n1,n2)=1-P{1F>1F1-a(n1,n2)由于1F～F(n2,n1),所以P{1F>1F1-a(n1,n2)=P{1F>Fa(n2,n1)=a,即F1-a(n1,n2)=1Fa(n2,n1).故(D)也是對(duì)的.習(xí)題2(1)2.設(shè)總體X～N(0,1),X1,X2,?,Xn為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，問下列各統(tǒng)計(jì)量服從什么分布?(1)X1-X2X32+X42;解答：因?yàn)閄i～N(0,1),i=1,2,?,n,所以：X1-X2～N(0,2),X1-X22～N(0,1),X32+X42～χ2(2),故X1-X2X32+X42=(X1-X2)/2X32+X422～t(2).習(xí)題2(2)2.設(shè)總體X～N(0,1),X1,X2,?,Xn為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，問下列各統(tǒng)計(jì)量服從什么分布?(2)n-1X1X22+X32+?+Xn2;解答：因?yàn)閄i～N(0,1),∑i=2nXi2～χ2(n-1),所以n-1X1X22+X32+?+Xn2=X1∑i=2nXi2/(n-1)～t(n-1).習(xí)題2(3)2.設(shè)總體X～N(0,1),X1,X2,?,Xn為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，問下列各統(tǒng)計(jì)量服從什么分布?(3)(n3-1)∑i=13Xi2/∑i=4nXi2.解答：因?yàn)椤苅=13Xi2～χ2(3),∑i=4nXi2～χ2(n-3),所以：(n3-1)∑i=13Xi2/∑i=4nXi2=∑i=13Xi2/3∑i=4nXi2/(n-3)～F(3,n-3).習(xí)題3設(shè)X1,X2,X3,X4是取自正態(tài)總體X～N(0,22)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，且Y=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2,則a=?,b=?時(shí)，統(tǒng)計(jì)量Y服從χ2分布，其自由度是多少？解答：解法一Y=[a(X1-2X2)]2+[b(3X3-4X4)]2,令Y1=a(X1-2X2),Y2=b(3X3-4X4),則Y=Y12+Y22,為使Y～χ2(2),必有Y1～N(0,1),Y2～N(0,1),因而E(Y1)=0,D(Y1)=1,E(Y2)=0,D(Y2)=1,注意到D(X1)=D(X2)=D(X3)=D(X4)=4,由D(Y1)=D[a(X1-2X2)]=aD(X1-X2)=a(D(X1)+22D(X2))=a(4+4×4)=20a=1,D(Y2)=D[b(3X3-4X4)]=bD(3X3-4X4)=b(9D(X3)+16D(X4))=b(4×9+16×4)=100b=1,分別得a=120,b=1100.這時(shí)Y～χ2(2),自由度為n=2.解法二因Xi～N(0,22)且相互獨(dú)立，知X1-2X2=X1+(-2)X2～N(0,20),3X3-4X4=3X3+(-4)X4～N(0,100),故X1-2X220～N(0,1),3X3-4X4100～N(0,1),為使Y=(X1-2X21/a)2+(3X3-4X41/b)2～χ2(2),必有X1-2X21/a～N(0,1),3X3-4X41/b～N(0,1),與上面兩個(gè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量比較即是1a=20,1b=100,即a=120,b=1100.習(xí)題4設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布N(0,32).X1,X2,?,X9和Y1,Y2,?,Y9是分別取自總體X和Y的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，試證統(tǒng)計(jì)量T=X1+X2+?+X9Y12+Y22+?+Y92服從自由度為9的t分布.解答：首先將Xi,Yi分別除以3,使之化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài).令X′i=Xi3,Y′i=Yi3,i=1,2,?,9,則X′i～N(0,1),Y′i～N(0,1);再令X′=X′1+X′2+?+X′9,則X′～N(0,9),X′3～N(0,1),Y′2=Y′12+Y′22+?+Y′92,Y′2～χ2(9).因此T=X1+X2+?+X9Y12+Y22+?+Y92=X1′+X2′+?+X9′Y′12+Y′22+?+Y′92=X′Y′2=X′/3Y′2/9～t(9),注意到X′,Y′2相互獨(dú)立.習(xí)題5設(shè)總體X～N(0,4),而X1,X2,?,X15為取自該總體的樣本，問隨機(jī)變量Y=X12+X22+?+X1022(X112+X122+?+X152)服從什么分布？參數(shù)為多少？解答：因?yàn)閄i2～N(0,1),故Xi24～χ2(1),i=1,2,?,15,而X1,X2,?,X15獨(dú)立，故X12+X22+?+X1024～χ2(10),X112+X122+?+X1524～χ2(5),所以X12+X22+?+X1024/10X112+X122+?+X1524/5=X12+X22+?+X1022(X112+X122+?+X152)=Y習(xí)題6證明：若隨機(jī)變量X服從F(n1,n2)的分布，則(1)Y=1X服從F(n2,n1)分布；(2)并由此證明F1-α(n1,n2)=1Fα(n2,n1).解答：(1)因隨機(jī)變量X服從F(n1,n2),故可設(shè)X=U/n1V/n2,其中U服從χ2(n1),V服從χ2(n2),且U與V相互獨(dú)立，設(shè)1X=V/n2U/n1,由F分布之定義知Y=1x=V/n2U/n1,服從F(n2,n1).(2)由上側(cè)α分位數(shù)和定義知P{X≥F1-α(n1,n2)}=1-α,P{1X≤1F1-α(n1,n2)=1-α,即P{Y≤1F1-α(n1,n2)=1-α,1-P{Y>1F1-α(n1,n2)=1-α,故P{Y>1F1-α(n1,n2)=α,而P{Y≥Fα(n2,n1)}=α.又Y為連續(xù)型隨機(jī)變量，故P{Y≥1F1-α(n1,n2)=α,從而Fα(n2,n1)=1F1-α(n1,n2),即F1-α(n1,n2)=1Fα(n2,n1).習(xí)題7查表求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù)：u0.4,u0.2,u0.1與u0.05.解答：u0.4=0.253,u0.2=0.8416,u0.1=1.28,u0.05=1.65.習(xí)題8查表求χ2分布的上側(cè)分位數(shù)：χ0.952(5),χ0.052(5),χ0.992(10)與χ0.012(10).解答：1.145,11.071,2.558,23.209.習(xí)題9查表求F分布的上側(cè)分位數(shù)：F0.95(4,6),F0.975(3,7)與F0.99(5,5).解答：0.1623,0.0684,0.0912.習(xí)題10查表求t分布的下側(cè)分位數(shù)：t0.05(3),t0.01(5),t0.10(7)與t0.005(10).解答：2.353,3.365,1.415,3.169.5.3抽樣分布習(xí)題1已知離散型均勻總體X,其分布律為X246Pi1/31/31/3取大小為n=54的樣本，求：(1)樣本平均數(shù)Xˉ落于4.1到4.4之間的概率；(2)樣本均值Xˉ超過4.5的概率.解答：μ=E(X)=13×(2+4+6)=4,σ2=E(X2)-[E(X)]2=13×(22+42+66)-42=83,所以μXˉ=μ=4,σXˉ2=σ2n=8/354=481,σXˉ=29.令Z=Xˉ-42/9,則n充分大時(shí)，Z～近似N(0,1).(1)P{4.1<Xˉ<4.4}=P{4.1-42/9<Z<4.4-42/9≈Φ(1.8)-Φ(0.45)=0.9641-0.6736=0.2905.(2)P{Xˉ>4.5}=P{Z>4.5-42/9=1-P{Z≤2.25}≈1-Φ(2.25)=1-0.9878=0.0122.習(xí)題2設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(10,32),X1,X2,?,X6是它的一組樣本，設(shè)Xˉ=16∑i=16Xi.(1)寫出Xˉ所服從的分布；(2)求Xˉ>11的概率.解答：(1)Xˉ～N(10,326),即Xˉ～N(10,32).(2)P{Xˉ>11}=1-P{Xˉ≤11}=1-Φ(11-1032)≈1-Φ(0,8165)≈1-Φ(0.82)=0.2061.習(xí)題3設(shè)X1,X2,?,Xn是總體X的樣本，Xˉ=1n∑i=1nXi,分別按總體服從下列指定分布求E(Xˉ),D(Xˉ).(1)X服從0-1分布b(1,p);(2)*X服從二項(xiàng)分布b(m,p);(3)X服從泊松分布P(λ);(4)X服從均勻分布U[a,b];(5)X服從指數(shù)分布e(λ).解答：(1)由題意，X的分布律為：P{X=k}=Pk(1-P)1-k(k=0,1).E(X)=p,D(X)=p(1-p).所以E(Xˉ)=E(1n∑i=1nXi)=1n∑i=1nE(Xi)=1n?np=p,D(Xˉ)=D(1n∑i=1nXi)=1n2∑i=1nD(X1)=1n2?np(1-p)=1np(1-p).(2)由題意，X的分布律為：P{X=k}=CmkPk(1-p)m-k(k=0,1,2,?,m).同(1)可得E(Xˉ)=mp,D(Xˉ)=1nmp(1-p).(3)由題意，X的分布律為：P{X=k}=λkk!e-λ(λ>0,k=0,1,2,?).E(X)=λ,D(X)=λ.同(1)可得E(Xˉ)=λ,D(Xˉ)=1nλ.(4)由E(X)=a+b2,D(X)=(b-a)212,同(1)可得E(Xˉ)=a+b2,D(Xˉ)=(b-a)212n.(5)由E(X)=1λ,D(X)=1λ2,同(1)可得D(Xˉ)=1λ,D(Xˉ)=1nλ2.習(xí)題4某廠生產(chǎn)的攪拌機(jī)平均壽命為5年，標(biāo)準(zhǔn)差為1年，假設(shè)這些攪拌機(jī)的壽命近似服從正態(tài)分布，求：（1）容量為9的隨機(jī)樣本平均壽命落在4.4年和5.2年之間的概率；（2）容量為9的隨機(jī)樣本平均壽命小于6年的概率。解答：（1）由題意知Xˉ～N(5,1n),n=9，則標(biāo)準(zhǔn)化變量Z=Xˉ-51/9=Xˉ-51/3～N(0,1).而P{4.4<Xˉ<5.2}=P{4.4-51/3<Xˉ-51/3<5.2-51/3=P{-1.8<Z<0.6}≈Φ(0.6)-Φ(-1.8)=0.7257-0.0359=0.6898（2）P{Xˉ<6}=P{Xˉ-51/3<6-51/3=P{Z<3}≈Φ(3)=0.9987.習(xí)題5設(shè)X1,X2,?,X16及Y1,Y2,?,Y25分別是兩個(gè)獨(dú)立總體N(0,16)和N(1,9)的樣本，以Xˉ和Yˉ分別表示兩個(gè)樣本均值，求P{∣Xˉ-Yˉ∣>1}.解答：Xˉ～N(0,1616)，Yˉ～N(1,925)，Xˉ-Yˉ～N(-1,1+925)，即Xˉ-Yˉ～N(-1,3425)．標(biāo)準(zhǔn)化變量Xˉ-Yˉ，令Z=Xˉ-Yˉ34/5～N(0,1)，所以P{∣Xˉ-Yˉ∣>1}=1-P{∣Xˉ-Yˉ∣≤1}=1-P{-1≤Xˉ-Yˉ≤1}=1-P{0≤Xˉ-Yˉ+134/5≤234/5≈1-Φ(1.715)+Φ(0)=1-0.9569+0.5=0.5431．習(xí)題6假設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(20,32),樣本X1,?,X25來自總體X,計(jì)算P{∑i=116Xi-∑i=1725Xi≤182.解答：令Y1=∑i=116Xi,Y2=∑i=1725Xi,由于X1,?,X25相互獨(dú)立同正態(tài)分布N(20,32),因此有Y1與Y2相互獨(dú)立，且Y1～N(320,122),Y2～N(180,92),Y1-Y2～N(140,152),{∑i=116Xi-∑i=1725Xi≤182=P{Y1-Y2≤182},=P{Y1-Y2-14015≤2.8≈Φ(2.8)=0.997.習(xí)題7從一正態(tài)總體中抽取容量為n=16的樣本，假定樣本均值與總體均值之差的絕對(duì)值大于2的概率為0.01,試求總體的標(biāo)準(zhǔn)差.解答：設(shè)總體X～N(μ,σ2),樣本均值為Xˉ,則有Xˉ-μσ/n=Xˉ-μσ/4～N(0,1).因?yàn)镻{∣Xˉ-μ∣>2}=P{∣Xˉ-μσ/4∣>8σ=2P{Z>8σ=2[1-Φ(8σ)]=0.01,所以Φ(8σ)=0.995.查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得8σ=2.575,從而σ=82.575=3.11.習(xí)題8設(shè)在總體N(μ,σ2)中抽取一容量為16的樣本，這里μ,σ2均為未知.(1)求P{S2/σ2≤2.041},其中S2為樣本方差；(2)求D(S2).解答：(1)因?yàn)槭钦龖B(tài)總體，根據(jù)正態(tài)總體下的統(tǒng)計(jì)量分布可知(n-1)S2σ2～χ2(n-1).這里n=16,于是P{S2/σ2≤2.041}=P(15S2σ2≤15×2.041)=1-P{15S2σ2>30.615(查χ2分布表可得)=1-0.01=0.99.(2)因?yàn)?n-1)S2σ2～χ2(n-1),又知D((n-1)S2σ2)=2(n-1),所以D(S2)=σ4(n-1)2D((n-1)S2σ2)=σ4(n-1)2?2(n-1)=2n-1σ4=215σ4(因?yàn)閚=16).習(xí)題9設(shè)總體X～N(μ,16),X1,X2,?,X10為取自該總體的樣本，已知P{S2>a}=0.1,求常數(shù)a.解答：因?yàn)?n-1)S2σ2～χ2(n-1),n=10,σ=4,所以P{S2>a}=P{9S216>916a=0.1.查自由度為9的χ2分布表得，916a=14.684,所以a≈26.105.習(xí)題10設(shè)X1,X2,?,Xn和Y1,Y2,?,Yn分別取自正態(tài)總體X～N(μ1,σ2)和Y～N(μ2,σ2)且相互獨(dú)立，問以下統(tǒng)計(jì)量服從什么分布？(1)(n-1)(S12+S22)σ2;(2)n[(Xˉ-Yˉ)-(μ2-σ2)]2S12+S22.解答：(1)由(n-1)S12σ2～χ2(n-1),(n-1)S22σ2～χ2(n-1),由χ2(n)的可加性(n-1)(S12+S22)σ2～χ(2(n-1)).(2)Xˉ-Yˉ～N(μ1-μ2,2σ2n),標(biāo)準(zhǔn)化后(Xˉ-Yˉ)-(μ1-μ2)σ2n～N(0,1),故有[(Xˉ-Yˉ)-(μ1-μ2)]22σ2n～χ2(1),又由(n-1)(S12+S22)σ2～χ2(2n-2),注意F分布定義[(Xˉ-Yˉ)-(μ1-μ2)]21n2σ2/1(n-1)(S12+S22)σ2/2(n-1)=n[(Xˉ-Yˉ)-(μ1-μ2)]2S1習(xí)題11分別從方差為20和35的正態(tài)總體中抽取容量為8和10的兩個(gè)樣本，求第一個(gè)樣本方差不小于第二個(gè)樣本方差的兩倍的概率.解答：用S12和S22分別表示兩個(gè)樣本方差，由定理知F=S12/σ12S22/σ22=S12/20S22/35=1.75S12S22～F(8-1,10-1)=F(7,9).又設(shè)事件A={S12≥2S22},下面求P{S12≥2S22},因P{S12≥2S22}=P{S12S22≥2=P{S12/20S22/35≥2×3520=P{F≥3.5}.查F分布表得到自由度為n1=7,n2=9的F分布上α分布點(diǎn)Fα(n1=7,n2=9)有如下數(shù)值：F0.05(7,9)=3.29,F0.025(7,9)=4.20,因而F0.05(7,9)=3.29<3.5<F0.025(7,9)=4.20,即事件A的概率介于0.025和0.05之間，故0.025≤P{S12≥2S22}≤0.05.總習(xí)題解答習(xí)題1設(shè)總體X服從泊松分布.一個(gè)容量為10的樣本值為1,2,4,3,3,4,5,6,4,8,計(jì)算樣本均值，樣本方差和經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù).解答：樣本的頻率分布為xˉ=4,s2=3.6.經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為F10(x)={0,x<11/10,1≤x<22/10,2≤x<34/10,3≤x<47/10,4≤x<58/10,5≤x<69/10,6≤x<71,x≥8.習(xí)題2A廠生產(chǎn)的某產(chǎn)種電器的使用壽命服從指數(shù)分布，參數(shù)λ未知.為此，抽查了n件電器，測(cè)量其使用壽命，試確定本問題的總體、樣本及樣本的分布.解答：總體是這種電器的使用壽命，其概率密度為f(x)={λe-λx,x>00,x≤0(λ未知),樣本X1,X2,?,Xn是n件某種電器的使用壽命，抽到的n件電器的使用壽命是樣本的一組觀察值.樣本X1,X2,?,Xn相互獨(dú)立，來自同一總體X,所以樣本的聯(lián)合密度為f(x1,x2,?,xn)={λne-λ(x1+x2+?+xn),x1,x2,?,xn>00,其它.習(xí)題3設(shè)總體X在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布，求：(1)來自X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本X1,X2,?,Xn的密度f(x1,x2,?,xn);(2)Y=max{X1,X2,?,Xn}的密度fY(x);Z=min{X1,X2,?,Xn}的密度fZ(x).解答：(1)X的密度為f(x)={1b-a,x∈(a,b)0,其它,由于X1,X2,?,Xn獨(dú)立且與X同分布，所以有f(x1,x2,?,xn)=∏i=1nf(xi)={1(b-a)n,a≤x1≤?≤xn≤b0,其它.(2)由題設(shè)X在[a,b]上服從均勻分布，其分布函數(shù)為F(x)={0,x<ax-ab-a,x∈[a,b]1,x>b,由Y=max{X1,X2,?,Xn}及Z=min{X1,X2,?,Xn}分布函數(shù)的定義FY(x)=[F(x)]n,FZ(x)=1-[1-F(x)]n,于是有fY(x)=nFn-1(x)f(x)=n(x-a)n-1(b-a)n,x∈[a,b],fZ(x)=n[1-Fn-1(x)]n-1?f(x)=n(b-x)n-1(b-a)n,x∈[a,b].習(xí)題4在天平上重復(fù)稱一重量為a的物品，假設(shè)各次稱量的結(jié)果相互獨(dú)立，且服從正態(tài)分布N(a,0.2).若以Xˉ表示n次稱量結(jié)果的算術(shù)平均值，求使P{∣Xˉ-a∣<0.1}≥0.95成立的稱量次數(shù)n的最小值.解答：因?yàn)閄ˉ=1n∑i=1nXi～N(a,(0.2)2n),所以Xˉ-a0.2/n～N(0,1),故P{∣Xˉ-a∣<0.1}=P{∣Xˉ-a0.2/n∣<0.10.2/n=2Φ(n2)-1≥0.95,即Φ(n2)≥0.975,查正態(tài)分布表得n2≥1.96,所以n≥15.37,即n=16.習(xí)題5設(shè)總體X～N(20,3),從X中抽取兩個(gè)樣本X1,X2,?,X10和Y1,Y2,?,X15,求概率P{∣Xˉ-Yˉ∣>0.3}.解答：因?yàn)閄1,X2,?,X10和Y1,Y2,?,Y15獨(dú)立同分布，所以Xˉ～N(20,310),Yˉ～N(20,0.2),于是Xˉ-Yˉ～N(0,0.5).P{∣Xˉ-Yˉ∣>0.3}=P{∣Xˉ-Yˉ∣/0.5>0.3/0.5}=1-P{∣Xˉ-Yˉ∣/0.5≤0.3/0.5}=2[1-Φ(0.3/0.5)]=2[1-0.6628]=0.6744(查正態(tài)分布表).習(xí)題6設(shè)總體X～N(μ,σ2),假如要以0.9606的概率保證偏差∣Xˉ-μ∣<0.1,試問：當(dāng)σ2=0.25時(shí)，樣本容量n應(yīng)取多大？解答：P{∣Xˉ-μ∣<0.1}=0.9606,即P{∣Xˉ-μ∣<0.1}=P{∣Xˉ-μ0.25/n∣<0.10.25/n=2Φ(0.1n0.25)-1=0.9606,?Φ(0.1n0.25)=0.9803?n5=2.06?n≈106.P{∣Xˉ-μ∣<0.1}=0.9606,即P{∣Xˉ-μ∣<0.1}=P{∣Xˉ-μ0.25/n∣<0.10.25/n.習(xí)題7設(shè)X1ˉ和X2ˉ分別為來自正態(tài)總體N(μ,σ2)的容量為n的兩個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本X11,X12,?,X1n和X21,X22,?,X2n的均值，試確定n,使兩個(gè)子樣的均值之差超過σ的概率小于0.05.解答：Xiˉ～N(μ,σ2n)(i=1,2),且X1ˉ和X2ˉ相互獨(dú)立，故有X1ˉ-X2ˉ～N(0,2σ2n),從而X1ˉ-X2ˉσ/2/n～N(0,1),P(∣X1ˉ-X2ˉ∣>σ)=P{∣X1ˉ-X2ˉ∣σ2/n>n2=2Φ(-n2)=2[1-Φ(n2)]<0.05,故Φ(n2)>0.975,查正態(tài)分布表n2≥1.96,所以n>7.68,即取n=8.習(xí)題8設(shè)總體X～f(x)={∣x∣,∣x∣<10,其它，X1,X2,?,X50為取自X的一個(gè)樣本，試求：(1)Xˉ的數(shù)學(xué)期望與方差；(2)S2的數(shù)學(xué)期望；(3)P{∣Xˉ∣>0.02}.解答：μ=E(X)=∫-11x∣x∣dx=0,σ2=D(X)=E(X2)-[E(X)]2=E(X2)=∫-11x2∣x∣dx=12.(1)Xˉ=1n∑i=1nXi(n=50)?E(Xˉ)=E(1n∑i=1nXi)=1n∑i=1nE(Xi)=0,D(Xˉ)=σ2n=12n=1100;(2)E(S2)=[1n-1∑i=1n(Xi-Xˉ)2]=1n-1E[∑i=1n(Xi-Xˉ)2]=1n-1E(∑i=1nXi2-nXˉ2)=1n-1(∑i=1nD(X1)-nD(Xˉ))=1n-1(n?12-n?12n)=12;(3)P{∣Xˉ∣>0.02}=1-P{∣Xˉ∣≤0.02}=1-P{∣Xˉ-μD(Xˉ)∣≤0.02-μD(Xˉ)=1-P≥{∣X1/10∣≤0.2=2[1-Φ(0.2)]=0.8414.習(xí)題9從一正態(tài)總體中抽取容量為10的樣本，設(shè)樣本均值與總體均值之差的絕對(duì)值在4以上的概率為0.02,求總體的標(biāo)準(zhǔn)差.解答：由于Xˉ～N(μ,σ2n),故有0.02=P{∣Xˉ-μ∣≥4}=P{∣Xˉ-μσ/n∣≥4σ/n≈2(1-Φ(4σ/n))≈2(1-Φ(12.65σ)),Φ(12.65σ)=0.99,即有12.65σ=u0.01=2.33,解得σ≈5.43.習(xí)題10設(shè)X1,?,Xn是取自總體X的樣本，Xˉ,S2分別為樣本均值與樣本方差，假定μ=E(X),σ2=D(X)均存在，試求E(Xˉ),D(Xˉ),E(S2).解答：E(Xˉ)=1n∑i=1nE(Xi)=1n∑i=1nE(X)=μ,D(Xˉ)=1n2∑i=1nD(Xi)=1n2∑i=1nD(X)=σ2n,E(S2)=E(1n-1(∑i=1nXi2-nXˉ2))=1n-1(∑i=1nE(Xi2)-nE(Xˉ2))=1n-1(∑i=1nE(X2)-nE(Xˉ2))=1n-1(∑i=1n(μ2+σ2)-n(μ2+(σ2n)))=σ2.注：本題證明了對(duì)于任何存在均值μ與方差σ2的總體分布，均有E(Xˉ)=μ,E(S2)=σ2.習(xí)題11設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)(σ>0),從總體中抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本X1,?,X2n(n≥2),其樣本均值為Xˉ=12n∑i=12nXi,求統(tǒng)計(jì)量Y=∑i=1n(Xi+Xn+i-2Xˉ)2的數(shù)學(xué)期望.解答：注意到Xi+Xn+i相互獨(dú)立，同分布N(2μ,2σ2),則它們可認(rèn)為是取自同一正態(tài)總體N(2μ,2σ2)的樣本，其樣本均值為1n∑i=1n(Xi+Xn+i)=1n∑i=12nXi=2Xˉ.如果記Zi=Xi+Xn+i,i=1,?,n,即Zi(i=1,?,n)是取自N(2μ,2σ2)的樣本，且Yn-1=1n-1∑i=1n(Xi+Xn+i-2Xˉ)2=S2(Z),則有E(S2(Z))=1n-1E(Y)=2σ2,所以E(Y)=2(n-1)σ2.習(xí)題12設(shè)有k個(gè)正態(tài)總體Xi～N(μi,σ2),從第i個(gè)總體中抽取容量為ni的樣本Xi1,Xi2,?,Xini,且各組樣本間相互獨(dú)立，記Xiˉ=1n∑j=1niXij(i=1,2,?,k),n=n1+n2+?+nk,求W=1σ2∑i=1k∑j=1ni(Xij-Xiˉ)2的分布.解答：因?yàn)椤苆=1ni(Xij-Xiˉ)2σ2=(ni-1)Si2σ2～χ2(ni-1),且(ni-1)Si2σ2(i=1,2,?,k)相互獨(dú)立，故W=1σ2∑i=1k∑j=1ni(Xij-Xiˉ)2=∑i=1k(ni-1)Si2σ2～χ2(∑i=1k(ni-1)),而∑i=1k(ni-1)=∑i=1kni-k=n-k,故W=1σ2∑i=1k∑j=1ni(Xij-Xiˉ)2～χ2(n-k).習(xí)題13已知X～t(n),求證X2～F(1,n).解答：設(shè)X=U/Yn,其中U～N(0,1),Y～χ2(n).且U與Y相互獨(dú)立，于是，U2～χ2(1),且U2與Y也相互獨(dú)立，所以X2=U2/(Yn).根據(jù)F變量的構(gòu)成模式知，X2應(yīng)服從F(1,n)分布.習(xí)題14設(shè)X1,X2,?,X9是取自正態(tài)總體X～N(μ,σ2)的樣本，且Y1=16(X1+X2+?+X6),Y2=13(X7+X8+X9),S2=12∑i=79(Xi-Y2)2,求證Z=2(Y1-Y2)S～t(2).解答：易知Y1=16(X1+X2+?+X6)～N(μ,σ26),Y2=13(X7+X8+?+X9)～N(μ,σ23),且Y1與Y2獨(dú)立，故Y1-Y2～N(0,σ22),又2S2σ2=∑i=79(Xi-Y2)2/σ2～χ2(2),Y1-Y2與2S2σ2獨(dú)立，從而(Y1-Y2)/σ22S2σ2/2=2(Y1-Y2)S=Z～t(2).習(xí)題15設(shè)X1,?,Xn,Xn+1是取自正態(tài)總體X～N(μ,σ2)的樣本，Xnˉ=1n∑i=1nXi,Sn=1n-1∑i=1n(Xi-Xnˉ)2,試確定統(tǒng)計(jì)量nn+1?Xn+1-XnˉSn的分布.解答：將統(tǒng)計(jì)量改寫成下列形式：nn+1?Xn+1-XnˉSn=(Xn+1-Xnˉ)/1+1nσ(n-1)Sn2σ2/(n-1)(*)由于Xn+1與Xi(i=1,?,n)相互獨(dú)立，Xnˉ=1n∑i=1nXi～N(μ,σ2n),Xn+1～N(μ,σ2),所以Xn+1-Xnˉ～N(0,(1+1n)σ2),從而(Xn+1-Xnˉ)/(1+1nσ)～N(0,1),注意到Xnˉ與Sn2相互獨(dú)立，Xn+1也與Sn2相互獨(dú)立，且(n-1)Sn2σ2～χ2(n-1),故由(*)式即得nn+1?Xn+1-XnˉSn～t(n-1).習(xí)題16假設(shè)X1,X2,?,X9是來自總體X～N(0,22)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求系數(shù)a,b,c,使Q=a(X1+X2)2+b(X3+X4+X5)2+c(X6+X7+X8+X9)2服從χ2分布，并求其自由度.解答：由于X1,X2,?,X9相互獨(dú)立且取自總體X～N(0,22),由正態(tài)分布的線性運(yùn)算性質(zhì)有X1+X2～N(0,8),X3+X4+X5～N(0,12),X6+X7+X8+X9～N(0,16),于是，由χ2=χ12+?+χk2有Q=(X1+X2)28+(X3+X4+X5)212+(X6+X7+X8+X9)216～χ2(3),故a=1/8,b=1/12,c=1/16,自由度為3.習(xí)題17(1)17.從總體X～N(μ,σ2)中抽取容量為16的樣本.在下列情況下分別求Xˉ與μ之差的絕對(duì)值小于2的概率：(1)已知σ2=25;解答：由σ=5,U統(tǒng)計(jì)量(Xˉ-μ)/σn～N(0,1),P{∣Xˉ-μ∣<2}=P{∣Xˉ-μ∣/σn<2/516=P{∣U∣<1.6}=2Φ(1.6)-1=0.8904.習(xí)題17(2)17.從總體X～N(μ,σ2)中抽取容量為16的樣本.在下列情況下分別求Xˉ與μ之差的絕對(duì)值小于2的概率：(2)σ2未知，但s2=20.8.解答：由T統(tǒng)計(jì)量(Xˉ-μ)/Sn～t(n-1),P{∣Xˉ-μ∣<2}=P{∣Xˉ-μ∣/Sn<2/20.816=P{∣T∣<1.76}=1-2×0.05=0.90.習(xí)題18(1)18.設(shè)X1,X2,?,X10取自正態(tài)總體N(0,0.32),試求(1)P{∑i=110Xi2>1.44;解答：由∑i=1n(Xi-μ)2σ2～χ2(n)題中μ=0,因此P{∑i=110Xi2>1.44=P{∑i=110Xi2(0.3)2>1.44(0.3)2=P{χ2(10)>16}=0.1.習(xí)題19(1)設(shè)總體X具有方差σ12=400,總體Y具有方差σ22=900,兩總體的均值相等，分別自這兩個(gè)總體取容量為400的樣本，設(shè)兩樣本獨(dú)立，分別記樣本均值為Xˉ,Y,ˉ試?yán)们斜妊┓虿坏仁焦烙?jì)k,使得P{∣Xˉ-Yˉ∣<k}≥0.99.(2)設(shè)在(1)中總體X和Y均為正態(tài)變量，求k.解答：(1)由題設(shè)E(Xˉ-Yˉ)=E(Xˉ)-E(Yˉ)=0,D(Xˉ-Yˉ)=D(Xˉ)+D(Yˉ)=400400+900400=134(由兩樣本的獨(dú)立性).由切比雪夫不等式P{∣Xˉ-Yˉ∣<k}≥1-1k2×134,按題意應(yīng)有1-1k2×134=0.99,解得k=18.028.(2)由題設(shè)X,Y均為正態(tài)變量，故有Xˉ-Yˉ～N(0,134).因此P{∣Xˉ-Yˉ∣<k}=P{∣Xˉ-Yˉ∣13/4<k13/4=P{-k13/4<Xˉ-Yˉ13/4<k13/4=Φ(k13/4)-Φ(-k13/4)=2Φ(k13/4)-1,要使2Φ(k13/4)-1≥0.99,即Φ(k13/4)≥0.995=Φ(2.58),k13/4≥2.58,k≥4.651.習(xí)題20假設(shè)隨機(jī)變量F服從分布F(5,10),求λ的值使其滿足P{F≥λ}=0.95.解答：一般書中給出的F分布表，給出P{F≥λ}=α的α值只有α=0.01,α=0.05等幾個(gè)較小的值，而現(xiàn)α=0.95,不能直接查F表得到λ,但是注意到P{F≥λ}=0.95,并且P{F≤λ}=P{F-1≤λ-1}=0.05,而F-1～F(10,5),因此可查表得1λ=F0.05(10,5)=4.74,λ≈0.21.習(xí)題21設(shè)X1,X2,?,Xn是總體X～N(μ,σ2)的一個(gè)樣本，證明：E[∑i=1n(Xi-Xˉ)2]2=(n2-1)σ4.解答：因?yàn)棣?=∑i=1n(Xi-Xˉ)2/σ2～χ2(n-1),E(χ2)=n-1,D(χ2)=2(n-1),所以E[∑i=1n(Xi-Xˉ)2]2=σ4E[∑i=1n(Xi-Xˉ)2/σ2]2=σ4E[χ2]2=σ4[D(χ2)+[E(χ2)]2]=σ4[2(n-1)+(n-1)2]=(n2-1)σ4.第六章參數(shù)估計(jì)6.1點(diǎn)估計(jì)問題概述習(xí)題1總體X在區(qū)間[0,θ]上均勻分布，X1,X2,?,Xn是它的樣本，則下列估計(jì)量θ是θ的一致估計(jì)是().(A)θ=Xn;(B)θ=2Xn;(C)θ=Xˉ=1n∑i=1nXi;(D)θ=Max{X1,X2,?,Xn}.解答：應(yīng)選(D).由一致估計(jì)的定義，對(duì)任意?>0,P(∣Max{X1,X2,?,Xn}-θ∣<?)=P(-?+θ<Max{X1,X2,?,Xn}<?+θ)=F(?+θ)-F(-?+θ).因?yàn)镕X(x)={0,x<0xθ,0≤x≤θ1,x>θ,及F(x)=FMax{X1,X2,?,Xn}(x)=FX1(x)FX2(x)?FXn(x),所以F(?+θ)=1,F(-?+θ)=P(Max{X1,X2,?,Xn}<-?+θ)=(1-xθ)n,故P(∣Max{X1,X2,?,Xn}-θ∣<?)=1-(1-xθ)n→1(n→+∞).習(xí)題2設(shè)σ是總體X的標(biāo)準(zhǔn)差，X1,X2,?,Xn是它的樣本，則樣本標(biāo)準(zhǔn)差S是總體標(biāo)準(zhǔn)差σ的().(A)矩估計(jì)量；(B)最大似然估計(jì)量；(C)無偏估計(jì)量；(D)相合估計(jì)量.解答：應(yīng)選(D).因?yàn)?，總體標(biāo)準(zhǔn)差σ的矩估計(jì)量和最大似然估計(jì)量都是未修正的樣本標(biāo)準(zhǔn)差；樣本方差是總體方差的無偏估計(jì)，但是樣本標(biāo)準(zhǔn)差不是總體標(biāo)準(zhǔn)差的無偏估計(jì).可見，樣本標(biāo)準(zhǔn)差S是總體標(biāo)準(zhǔn)差σ的相合估計(jì)量.習(xí)題3設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望為μ,X1,X2,?,Xn是來自X的樣本，a1,a2,?,an是任意常數(shù)，驗(yàn)證(∑i=1naiXi)/∑i=1nai(∑i=1nai≠0)是μ的無偏估計(jì)量.解答：E(X)=μ,E(∑i=1naiXi∑i=1nai)=1∑i=1nai?∑i=1naiE(Xi)(E(Xi)=E(X)=μ)=μ∑i=1nai∑i=1n=μ,綜上所證，可知∑i=1naiXi∑i=1nai是μ的無偏估計(jì)量.習(xí)題4設(shè)θ是參數(shù)θ的無偏估計(jì)，且有D(θ)>0,試證θ2=(θ)2不是θ2的無偏估計(jì).解答：因?yàn)镈(θ)=E(θ2)-[E(θ)]2,所以E(θ2)=D(θ)+[E(θ)]2=θ2+D(θ)>θ2,故(θ)2不是θ2的無偏估計(jì).習(xí)題5設(shè)X1,X2,?,Xn是來自參數(shù)為λ的泊松分布的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，試求λ2的無偏估計(jì)量.解答：因X服從參數(shù)為λ的泊松分布，故D(X)=λ,E(X2)=D(X)+[E(X)]2=λ+λ2=E(X)+λ2,于是E(X2)-E(X)=λ2,即E(X2-X)=λ2.用樣本矩A2=1n∑i=1nXi2,A1=Xˉ代替相應(yīng)的總體矩E(X2),E(X),便得λ2的無偏估計(jì)量λ2=A2-A1=1n∑i=1nXi2-Xˉ.習(xí)題6設(shè)X1,X2,?,Xn為來自參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布總體，試求p2的無偏估計(jì)量.解答：因總體X～b(n,p),故E(X)=np,E(X2)=D(X)+[E(X)]2=np(1-p)+n2p2=np+n(n-1)p2=E(X)+n(n-1)p2,E(X2)-E(X)n(-1)=E[1n(n-1)(X2-X)]=p2,于是，用樣本矩A2,A1分別代替相應(yīng)的總體矩E(X2),E(X),便得p2的無偏估計(jì)量p2=A2-A1n(n-1)=1n2(n-1)∑i=1n(Xi2-Xi).習(xí)題7設(shè)總體X服從均值為θ的指數(shù)分布，其概率密度為f(x;θ)={1θe-xθ,x>00,x≤0,其中參數(shù)θ>0未知.又設(shè)X1,X2,?,Xn是來自該總體的樣本，試證：Xˉ和n(min(X1,X2,?,Xn))都是θ的無偏估計(jì)量，并比較哪個(gè)更有效.解答：因?yàn)镋(X)=θ,而E(Xˉ)=E(X),所以E(Xˉ)=θ,Xˉ是θ的無偏估計(jì)量.設(shè)Z=min(X1,X2,?,Xn),因?yàn)镕X(x)={0,x≤01-e-xθ,x>0,FZ(x)=1-[1-FX(x)]n={1-e-nxθ,x>00,x≤0,所以fZ(x)={nθe-nxθ,x>00,x≤0,這是參數(shù)為nθ的指數(shù)分布，故知E(Z)=θn,而E(nZ)=E[n(min(X1,X2,?,Xn)]=θ,所以nZ也是θ的無偏估計(jì).現(xiàn)比較它們的方差大小.由于D(X)=θ2,故D(Xˉ)=θ2n.又由于D(Z)=(θn)2,故有D(nZ)=n2D(Z)=n2?θ2n2=θ2.當(dāng)n>1時(shí)，D(nZ)>D(Xˉ),故Xˉ較nZ有效.習(xí)題8設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(m,1),X1,X2是總體X的子樣，試驗(yàn)證m1=23X1+13X2,m2=14X1+34X2,m3=12X1+12X2,都是m的無偏估計(jì)量；并問哪一個(gè)估計(jì)量的方差最小?解答：因?yàn)閄服從N(m,1),有E(Xi)=m,D(Xi)=1(i=1,2),得E(m1)=E(23X1+13X2)=23E(X1)+13E(X2)=23m+13m=m,D(m1)=D(23X1+13X2)=49D(X1)+19D(X2)=49+19=59,同理可得：E(m2)=m,D(m2)=58,E(m3)=m,D(m3)=12.所以，m1,m2,m3都是m的無偏估計(jì)量，并且在m1,m2,m3中，以m3的方差為最小.習(xí)題9設(shè)有k臺(tái)儀器.已知用第i臺(tái)儀器測(cè)量時(shí)，測(cè)定值總體的標(biāo)準(zhǔn)差為σi(i=1,2,?,k),用這些儀器獨(dú)立地對(duì)某一物理量θ各觀察一次，分別得到X1,X2,?,Xk.設(shè)儀器都沒有系統(tǒng)誤差，即E(Xi)=θ(i=1,2,?,k),問a1,a2,?,ak應(yīng)取何值，方能使用θ=∑i=1kaiXi估計(jì)θ時(shí)，θ是無偏的，并且D(θ)最??？解答：因?yàn)镋(Xi)=θ(i=1,2,?,k),故E(θ)=E(∑i=1kaiXi)=∑i=1kaiE(Xi)=θ∑i=1kai,欲使E(θ)=θ,則要∑i=1kai=1.因此，當(dāng)∑i=1kai=1時(shí)，θ=∑i=1kaiXi為θ的無偏估計(jì),D(θ)=∑i=1kai2σi2,要在∑i=1kai=1的條件下D(θ)最小，采用拉格朗日乘數(shù)法.令L(a1,a2,?,ak)=D(θ)+λ(1-∑i=1kai)=∑i=1kai2σi2+λ(1-∑i=1kai),{?L?ai=0,i=1,2,?,k∑i=1kai=1,即2aiσi2-λ=0,ai=λ2i2;又因∑i=1kai=1,所以λ∑i=1k12σi2=1,記∑i=1k1σi2=1σ02,所以λ=2σ02,于是ai=σ02σi2(i=1,2,?,k),故當(dāng)ai=σ02σi2(i=1,2,?,k)時(shí)，θ=∑i=1kaiXi是θ的無偏估計(jì)，且方差最小.習(xí)題6.2點(diǎn)估計(jì)的常用方法習(xí)題1設(shè)X1,X2,?,Xn為總體的一個(gè)樣本，x1,x2,?,xn為一相應(yīng)的樣本值，求下述各總體的密度函數(shù)或分布律中的未知參數(shù)的矩估計(jì)量和估計(jì)值及最大似然估計(jì)量．f(x)={θcθx-(θ+1),x>c0,其它,其中c>0為已知，θ>1,θ為未知參數(shù).(2)f(x)={θxθ-1,0≤x≤10,其它,其中θ>0,θ為未知參數(shù).(3)P{X=x}=(mx)px(1-p)m-x,其中x=0,1,2,?,m,0<p<1,p為未知參數(shù).解答：(1)E(X)=∫c+∞x?θcθx-(θ+1)dx=θcθ∫c+∞x-θdx=θcθ-1，解出θ=E(X)E(X)-c，令Xˉ=E(X)，于是θ=XˉXˉ-c為矩估計(jì)量，θ的矩估計(jì)值為θ=xˉxˉ-c，其中xˉ=1n∑i=1nxi．另外，似然函數(shù)為L(zhǎng)(θ)=∏i=1nf(xi;θ)=θncnθ(∏i=1nxi)-(θ+1)，xi>c，對(duì)數(shù)似然函數(shù)為lnL(θ)=nlnθ+nθlnc-(θ+1)∑i=1nlnxi，對(duì)lnL(θ)求導(dǎo)，并令其為零，得dlnL(θ)dθ=nθ+nlnc-∑i=1nlnxi=0，解方程得θ=n∑i=1nlnxi-nlnc，故參數(shù)的最大似然估計(jì)量為θ=n∑i=1nlnXi-nlnc．(2)E(X)=∫01x?θxθ-1dx=θθ+1，以Xˉ作為E(X)的矩估計(jì)，則θ的矩估計(jì)由Xˉ=θθ+1解出，得θ=(Xˉ1-Xˉ)2，θ的矩估計(jì)值為θ=(xˉ1-xˉ)2，其中xˉ=1n∑i=1nxi為樣本均值的觀測(cè)值．另外，似然函數(shù)為L(zhǎng)(θ)=∏i=1nf(xi;θ)=θn/2(∏i=1nxi)θ-1，0≤xi≤1，對(duì)數(shù)似然函數(shù)為lnL(θ)=n2lnθ+(θ-1)∑i=1nlnxi，對(duì)lnL(θ)求導(dǎo)，并令其為零，得dlnL(θ)dθ=n2θ+12θ∑i=1nlnxi=0，解方程得θ=(-n∑i=1nlnxi)2，故參數(shù)的最大似然估計(jì)量為θ=(n∑i=1nlnXi)2．(3)X～b(m,p)，E(X)=mp，以Xˉ作為E(X)的矩估計(jì)，即Xˉ=E(X)，則參數(shù)p的矩估計(jì)為p=1mXˉ=1m?1n∑i=1nXi，p的矩估計(jì)值為p=1mxˉ=1m?1n∑i=1nxi．另外，似然函數(shù)為L(zhǎng)(θ)=∏i=1nf(xi;θ)=(∏i=1nCmxi)p∑i=1nxi(1-p)∑i=1n(m-xi)，xi=0,1,?,m，對(duì)數(shù)似然函數(shù)為lnL(θ)=∑i=1nlnCmxi+(∑i=1nxi)lnp+(∑i=1n(m-xi))ln(1-p)，對(duì)lnL(θ)求導(dǎo)，并令其為零，得dlnL(θ)dθ=1p∑i=1nxi-11-p∑i=1n(m-xi)=0，解方程得p=1mn∑i=1nxi，故參數(shù)的最大似然估計(jì)量為p=1mn∑i=1nXi=1mXˉ．習(xí)題2設(shè)總體X服從均勻分布U[0,θ],它的密度函數(shù)為f(x;θ)={1θ,0≤x≤θ0,其它,求未知參數(shù)θ的矩估計(jì)量；(2)當(dāng)樣本觀察值為0.3,0.8,0.27,0.35,0.62,0.55時(shí)，求θ的矩估計(jì)值.解答：(1)因?yàn)镋(X)=∫-∞+∞xf(x;θ)dx=1θ∫0θxdx=θ2,令E(X)=1n∑i=1nXi,即θ2=Xˉ,所以θ=2Xˉ.(2)由所給樣本的觀察值算得xˉ=16∑i=16xi=16(0.3+0.8+0.27+0.35+0.62+0.55)=0.4817,所以θ=2xˉ=0.9634.習(xí)題3設(shè)總體X以等概率1θ取值1,2,?,θ,求未知參數(shù)θ的矩估計(jì)量.解答：由E(X)=1×1θ+2×1θ+?+θ×1θ=1+θ2=1n∑i=1nXi=Xˉ,得θ的矩估計(jì)為θ=2Xˉ-1.習(xí)題4一批產(chǎn)品中含有廢品，從中隨機(jī)地抽取60件，發(fā)現(xiàn)廢品4件，試用矩估計(jì)法估計(jì)這批產(chǎn)品的廢品率.解答：設(shè)p為抽得廢品的概率,1-p為抽得正品的概率(放回抽取).為了估計(jì)p,引入隨機(jī)變量Xi={1,第i次抽取到的是廢品0,第i次抽取到的是正品,于是P{Xi=1}=p,P{Xi=0}=1-p=q,其中i=1,2,?,60,且E(Xi)=p,故對(duì)于樣本X1,X2,?,X60的一個(gè)觀測(cè)值x1,x2,?,x60,由矩估計(jì)法得p的估計(jì)值為p=160∑i=160xi=460=115,即這批產(chǎn)品的廢品率為115.習(xí)題5設(shè)總體X具有分布律X123piθ22θ(1-θ)(1-θ)2其中θ(0<θ<1)為未知參數(shù).已知取得了樣本值x1=1,x2=2,x3=1,試求θ的矩估計(jì)值和最大似然估計(jì)值.解答：E(X)=1×θ2+2×2θ(1-θ)+3×(1-θ)2=3-2θ,xˉ=1/3×(1+2+1)=4/3.因?yàn)镋(X)=Xˉ,所以θ=(3-xˉ)/2=5/6為矩估計(jì)值,L(θ)=∏i=13P{Xi=xi}=P{X1=1}P{X2=2}P{X3=1}=θ4?2θ?(1-θ)=2θ5(1-θ),lnL(θ)=ln2+5lnθ+ln(1-θ),對(duì)θ求導(dǎo),并令導(dǎo)數(shù)為零dlnLdθ=5θ-11-θ=0,得θL=56.習(xí)題6(1)設(shè)X1,X2,?,Xn來自總體X的一個(gè)樣本,且X～π(λ),求P{X=0}的最大似然估計(jì).(2)某鐵路局證實(shí)一個(gè)扳道員五年內(nèi)所引起的嚴(yán)重事故的次數(shù)服從泊松分布，求一個(gè)扳道員在五年內(nèi)未引起嚴(yán)重事故的概率p的最大似然估計(jì)，使用下面122個(gè)觀察值統(tǒng)計(jì)情況.下表中，r表示一扳道員某五年中引起嚴(yán)重事故的次數(shù)，s表示觀察到的扳道員人數(shù).r012345sr444221942解答：(1)已知，λ的最大似然估計(jì)為λL=Xˉ.因此?P{X=0}=e-λL=e-Xˉ.(2)設(shè)X為一個(gè)扳道員在五年內(nèi)引起的嚴(yán)重事故的次數(shù)，X服從參數(shù)為λ的泊松分布，樣本容量n=122.算得樣本均值為xˉ=1122×∑r=05r?r=1122×(0×44+1×42+2×21+3×9+4×4+5×2)≈1.123,因此P{X=0}=e-xˉ=e-1.123≈0.3253.習(xí)題6.3置信區(qū)間習(xí)題1對(duì)參數(shù)的一種區(qū)間估計(jì)及一組觀察值(x1,x2,?,xn)來說,下列結(jié)論中正確的是().(A)置信度越大,對(duì)參數(shù)取值范圍估計(jì)越準(zhǔn)確;(B)置信度越大,置信區(qū)間越長(zhǎng);(C)置信度越大,置信區(qū)間越短;(D)置信度大小與置信區(qū)間有長(zhǎng)度無關(guān).解答：應(yīng)選(B).置信度越大，置信區(qū)間包含真值的概率就越大，置信區(qū)間的長(zhǎng)度就越大，對(duì)未知參數(shù)的估計(jì)精度越低.反之，對(duì)參數(shù)的估計(jì)精度越高，置信區(qū)間的長(zhǎng)度越小，它包含真值的概率就越低,置信度就越小.習(xí)題2設(shè)(θ1,θ2)是參數(shù)θ的置信度為1-α的區(qū)間估計(jì)，則以下結(jié)論正確的是().(A)參數(shù)θ落在區(qū)間(θ1,θ2)之內(nèi)的概率為1-α;(B)參數(shù)θ落在區(qū)間(θ1,θ2)之外的概率為α;(C)區(qū)間(θ1,θ2)包含參數(shù)θ的概率為1-α;(D)對(duì)不同的樣本觀察值，區(qū)間(θ1,θ2)的長(zhǎng)度相同.解答：應(yīng)先(C).由于θ1,θ2都是統(tǒng)計(jì)量，即(θ1,θ2)是隨機(jī)區(qū)間，而θ是一個(gè)客觀存在的未知常數(shù)，故(A),(B)不正確.習(xí)題3設(shè)總體的期望μ和方差σ2均存在，如何求μ的置信度為1-α的置信區(qū)間？解答：先從總體中抽取一容量為n的樣本X1,X2,?,Xn.根據(jù)中心極限定理，知U=Xˉ-μσ/n→N(0,1)(n→∞).(1)當(dāng)σ2已知時(shí)，則近似得到μ的置信度為1-α的置信區(qū)間為(Xˉ-uα/2σn,Xˉ+uα/2σn).(2)當(dāng)σ2未知時(shí)，用σ2的無偏估計(jì)S2代替σ2,這里仍有Xˉ-μS/n→N(0,1)(n→∞),于是得到μ的1-α的置信區(qū)間為(Xˉ-uα/2Sn,Xˉ+uα/2Sn),一般要求n≥30才能使用上述公式，稱為大樣本區(qū)間估計(jì).習(xí)題4某總體的標(biāo)準(zhǔn)差σ=3cm,從中抽取40個(gè)個(gè)體，其樣本平均數(shù)xˉ=642cm,試給出總體期望值μ的95%的置信上、下限(即置信區(qū)間的上、下限).解答：因?yàn)閚=40屬于大樣本情形，所以Xˉ近似服從N(μ,σ2n)的正態(tài)分布，于是μ的95%的置信區(qū)間近似為(Xˉ±σnuα/2),這里xˉ=642,σ=3,n=40≈6.32,uα/2=1.96,從而(xˉ±σnuα/2)=(642±340×1.96)≈(642±0.93),故μ的95%的置信上限為642.93,下限為641.07.習(xí)題5某商店為了了解居民對(duì)某種商品的需要，調(diào)查了100家住戶，得出每戶每月平均需求量為10kg,方差為9，如果這個(gè)商店供應(yīng)10000戶，試就居民對(duì)該種商品的平均需求量進(jìn)行區(qū)間估計(jì)(α=0.01),并依此考慮最少要準(zhǔn)備多少這種商品才能以0.99的概率滿足需求？解答：因?yàn)閚=100屬于大樣本問題，所以Xˉ近似服從N(μ,σ2/n),于是μ的99%的置信區(qū)間近似為(Xˉ±Snuα/2),而xˉ=10,s=3,n=100,uα/2=2.58,所以(xˉ±snuα/2)=(10±3100×2.58)=(10±0.774)=(9.226,10.774).由此可知最少要準(zhǔn)備10.774×10000=107740(kg)這種商品，才能以0.99的概率滿足需求.習(xí)題6觀測(cè)了100棵“豫農(nóng)一號(hào)”玉米穗位，經(jīng)整理后得下表(組限不包括上限):分組編號(hào)12345組限70～8080～9090～100