河北省衡水中學高考試卷1高三上學期第三次調(diào)研考試理數(shù)試題解析（解析版）

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時間120分鐘.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本大題12個小題，每小題5分，共60分，每小題均只有一個正確選項）1.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.非不充分不必要條件【答案】A考點：充分條件與必要條件.【方法點晴】本題主要考查的是逆否命題、充分條件與必要條件和復合命題的真假性，屬于容易題．解題時一定要注意時，是的充分條件，是的必要條件，否則很容易出現(xiàn)錯誤．充分、必要條件的判斷即判斷命題的真假，在解題中可以根據(jù)原命題與其逆否命題進行等價轉化．2.若滿足則下列不等式恒成立的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】試題分析：作出不等式所表示的平面區(qū)域，顯然選項A，B錯；由線性規(guī)劃易得的取值范圍為，故不成立；在B處取得最小，故.考點：線性規(guī)劃.3.一個由實數(shù)組成的等比數(shù)列，它的前6項和是前3項和的9倍，則此數(shù)列的公比為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】試題分析：記題中的等比數(shù)列的公比為

.依題意有

，即

，得，故選A.考點：等比數(shù)列的性質(zhì).4.已知，二次三項式對于一切實數(shù)恒成立.又，使成立，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】試題分析：因為二次三項式ax2+2x+b≥0對于一切實數(shù)x恒成立，所以；又，使成立，所以，故只有，即，所以，故選D?？键c：1.二次函數(shù)恒成立問題;2.均值定理的應用3.存在性命題.5.在等比數(shù)列中，若是方程的兩根，則的值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】試題分析：因為，是方程的兩根，所以，所以數(shù)列的偶數(shù)項均為正值，因為，故．考點：等比數(shù)列的性質(zhì).6.已知點在圓上，則函數(shù)的最小正周期和最小值分別為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】試題分析：因為點在圓上，所以，可設，代入原函數(shù)化簡為：，故函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小值．故應選B．考點：1.二倍角公式；2.兩角和的余弦公式；3.三角函數(shù)的周期與最值．7.在數(shù)列中，，若，則等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】試題分析：依題意得，因此數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，，當時，，又，因此，故選C.考點：1.等差數(shù)列的定義；2.等差數(shù)列的前n項和公式.8.如圖所示的圖形是由一個半徑為2的圓和兩個半徑為1的半圓組成，它們的圓心分別是，，動點從點出發(fā)沿著圓弧按的路線運動（其中五點共線），記點運動的路程為，設,與的函數(shù)關系為，則的大致圖象是（）A.B.C.D.【答案】A，∴函數(shù)的圖象是曲線，且為單調(diào)遞增，當時，∵，設與的夾角為，與，∴，∴，∴函數(shù)的圖象是曲線，且為單調(diào)遞減．故選：A.考點：1.函數(shù)的性質(zhì)及應用；2.平面向量及應用．9.設等比數(shù)列的前項和為，若，則=（）A.27B.81C.243D.729【答案】C【解析】試題分析：利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得，

即，因為，所以時有，從而可得，所以，，故選C.考點：等比數(shù)列的定義及性質(zhì).10.已知函數(shù)的最大值和最小值分別是，則為（）A.1B.2C.-1D.-2【答案】A考點：三角函數(shù)的性質(zhì)及應用．11.已知函數(shù)，若方程有四個不同的解，且，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B考點：1．函數(shù)與方程；2．不等式的性質(zhì).【方法點點晴】本題主要考查了函數(shù)零點的概念、零點的求法以及數(shù)形結合思想；解決此類問題的灌漿時作出兩函數(shù)圖象在同一坐標系中的交點，交點的橫坐標即為函數(shù)的零點，再利用數(shù)形結合確定零點的取值范圍；同是本題在作函數(shù)時，應該先作出的圖象，然后再將軸下方的圖象翻折到軸上方即可.12.已知正實數(shù)，若，則的最大值為（）A.1B.C.D.【答案】C【解析】考點：基本不等式.【方法點睛】本題主要考查了基本不等式的用法，目的主要考查考生的綜合分析能力；本題在解答的關鍵是對的恰當拆項，和拆項后的恰當組合，同時在利用基本不等式解題時要注意基本不等式成立的基本條件，即“一正、二定、三相等”；切記要注意“等號”成立的條件.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分）13.已知正實數(shù)，且，則的最小值為.【答案】【解析】試題分析：因為，所以，得．當且僅當，即時，有最小值．考點：柯西不等式.14.若函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù)，則的取值范圍是.【答案】．【解析】試題分析：時，是減函數(shù)，又，∴由得在上恒成立，．考點：1.三角函數(shù)的單調(diào)性；2.導數(shù)的應用．15.如下圖，四邊形是邊長為1的正方形，點D在OA的延長線上，且，點為內(nèi)（含邊界）的動點，設則的最大值等于.【答案】考點：1.簡單線性規(guī)劃；2.平面向量的基本定理及其意義．【思路點睛】因為本題四邊形是邊長為1的正方形，所以可考慮建立平面直角坐標系，然后再利用向量的坐標表示來求解；選擇以O為原點，OA，OC所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系，這時候可求出，設，所以根據(jù)已知條件可得：，所以可用x，y表示α，β，并得到，這樣求的最大值即可．而x，y的取值范圍便是△BCD上及其內(nèi)部，所以可想著用線性規(guī)劃的知識求解．所以設，所以z表示直線在y軸上的截距，要求的最大值，只需求截距的最大值即可，而通過圖形可看出當該直線過點時截距最大，所以將點坐標帶入直線方程，即可得到的最大值，即的最大值．16.若在由正整數(shù)構成的無窮數(shù)列中，對任意的正整數(shù)，都有，且對任意的正整數(shù)，該數(shù)列中恰有個，則.【答案】45考點：1.無窮數(shù)列；2.等差數(shù)列的前n項和.【思路點睛】本題考查數(shù)列遞推式，解答的關鍵是對題意的理解，由對任意的正整數(shù)k，該數(shù)列中恰有個，可知數(shù)列為：假設在第組中，由等差數(shù)列的求和公式求出前n組的和，解不等式，得到值后加1即可得答案．三、解答題（本大題共6小題，17題10分，其余每題12分，共70分，解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，寫在答題紙的相應位置）17.如圖，在中，是的角平分線，的外接圓交于點，.（1）求證：；（2）當時，求的長.【答案】（1）詳見解析；（2）（2）由條件知，設，則，根據(jù)割線定理得,即即，解得或（舍去），則10分考點：與圓有關的比例線段.18.設函數(shù)（1）當時，解不等式：；（2）若不等式的解集為，求的值.【答案】（1）;(2)故，當時，有，解得．當時，則有，解得

．綜上可得，當或時，f(x)≤2的解集為．考點：1.帶絕對值的函數(shù)；2.絕對值不等式的解法．19.如圖，正三角形的邊長為2，分別在三邊和上，且為的中點，.（1）當時，求的大?。唬?）求的面積的最小值及使得取最小值時的值.【答案】（1）；（2）當時，取最小值.（2）＝．當時，取最小值．考點：1.正弦定理；2.兩角和的正弦公式；3.倍角公式.【易錯點晴】本題主要考查的是正弦定理、兩角和的正弦公式、同角的基本關系、二倍角的正弦、余弦公式和三角形的面積公式，解題時一定要注意對公式的正確使用，否則很容易失分．高考中經(jīng)常將三角變換與解三角形知識綜合起來命題，期中關鍵是三角變換，而三角變換中主要是“變角、變函數(shù)名和變運算形式”，其中的核心是“變角”，即注意角之間的結構差異，彌補這種結構差異的依據(jù)就是三角公式．20.已知為銳角，且，函數(shù)，數(shù)列的首項.（1）求函數(shù)的表達式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）是首項為,公比的等比數(shù)列,，，錯位相減法得.考點：1三角函數(shù)的化簡；2.數(shù)列的通項公式和前項和.21.已知函數(shù).（1）設.若函數(shù)在處的切線過點，求的值；（2）設函數(shù)，且，當時，比較與1的大小關系.【答案】（1）；（2）詳見解析【解析】試題分析：（1）①利用導數(shù)幾何意義求切線斜率：，函數(shù)在處的切線斜率，又，所以函數(shù)在處的切線方程，將點代入，得.（2）由題意，，要確定其最小值，需多次求導，反復確定求單調(diào)性，最后確定.試題解析：（1）由題意，得，所以函數(shù)在處的切線斜率，又，所以函數(shù)在處的切線方程，將點代入，得.（2）由題意，，而等價于，令，則，且，，令，則，因，所以，所以導數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，從而函數(shù)在上單調(diào)遞增，即.所以考點：1.導數(shù)幾何意義；2.利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性.22.已知函數(shù)（1