凱利公式詳細(xì)推導(dǎo)

-.z.凱利公式詳細(xì)推導(dǎo)資金增長最快的投資比例是對(duì)數(shù)投資組合理論要解決的問題。凡是學(xué)過金融的都會(huì)知道Markowitz1952年開創(chuàng)的投資組合理論，但是知道對(duì)數(shù)最優(yōu)組合理論的人就少多了。但是，大凡專業(yè)的賭徒或投機(jī)客，都會(huì)對(duì)這一理論有一些了解。1956年美國貝爾實(shí)驗(yàn)室工程師小Kelly的一篇文章開創(chuàng)了這一理論，著名的Kelly公式由此誕生，并奠定了Kelly賭法（Kellybetting）的理論基礎(chǔ)。我以前曾經(jīng)介紹過Kelly公式以及比Kelly公式更一般的使資金增長最快的投資比例公式。現(xiàn)在對(duì)于對(duì)數(shù)投資組合理論有了更多的認(rèn)識(shí)，需要做個(gè)系統(tǒng)整理，既是進(jìn)一步梳理思路，也與大家交流。這是一個(gè)非常值得學(xué)習(xí)研究、直至應(yīng)用自如的理論。毛收益率RK理論上是而實(shí)際上不是，或者說應(yīng)該不是獨(dú)立同分布的。當(dāng)操作者是人的時(shí)候，前次的RK-1將通過對(duì)操作者的影響而對(duì)RK是產(chǎn)生*種影響，尤其當(dāng)前次的RK-1或非常大或非常小的時(shí)候，同樣在大的投機(jī)市場，還有受市場普遍平均收益率影響的可能。這里的討論是假定一個(gè)賭局的性質(zhì)已經(jīng)給定，毛收益率Rk由賭局的性質(zhì)所確定。至于賭徒能不能實(shí)現(xiàn)這個(gè)Rk，則是由他的操作水平所定。要看比例f和速度g的具象，你可以自己設(shè)計(jì)一系列的賭局，然后分別計(jì)算一下各自的最優(yōu)的比例f和g，同時(shí)也計(jì)算非最優(yōu)的f下的g，多算幾次，然后畫個(gè)圖，就會(huì)有直觀的領(lǐng)悟。這個(gè)比例本就是上個(gè)世紀(jì)的發(fā)明。最早的發(fā)明者是美國的工程師小Kelly，進(jìn)行系統(tǒng)詳細(xì)的討論和發(fā)展的有RalphVince（這哥哥竟然就這個(gè)問題寫了三本書，真服了他）、VanTharp（就是《通向金融王國的自由之路》的作者）等等。國我所知道的最早談這個(gè)問題的是上個(gè)世紀(jì)90年代的魯晨光。魯晨光把這個(gè)比例稱為“熵”，據(jù)他說是他自己的發(fā)明，是對(duì)系統(tǒng)老三論之信息論的開山鼻祖Shannon的信息熵的推廣。而小Kelly是Shannon在貝爾試驗(yàn)室的同事，他也說自己所發(fā)明這個(gè)比例，正是Shannon的信息熵的推廣應(yīng)用。只不過在時(shí)間上，小Kelly提出這一比例的時(shí)間要比魯晨光早將近40年。我在這里是想就這一理論做一個(gè)系統(tǒng)的整理，如果去也兄覺得有錯(cuò)漏之處，還請(qǐng)賜教補(bǔ)正。巴非特不會(huì)研究這些東西,索羅斯估計(jì)要看懂它也夠嗆。總結(jié)起來，第一條黃金準(zhǔn)則說的只有期望收益率大于零的賭局才值得參與；第二條黃金準(zhǔn)則說的是，即使對(duì)于那些期望收益率大于零的賭局，也要注意倉位問題：如果賭局輸?shù)膬羰找媛省?1并且輸?shù)母怕蚀笥诹?，則無論這種概率多么小，最優(yōu)的選擇永遠(yuǎn)不會(huì)滿倉。事實(shí)上，以上兩條準(zhǔn)則中的任何一條準(zhǔn)則，只要違背的次數(shù)足夠多，最后的結(jié)果一定（概率=100%）是本錢輸光或者暴倉。正因如此，所以我把它們稱為是投資、投機(jī)或者賭博中長期生存所必須遵守的兩條黃金準(zhǔn)則。只要不違背這兩條準(zhǔn)則中的任何一條，則無論如何輸、賠、虧損累累，但最起碼可以保得不死，青山可永在，綠水可長流，他日翻身的希望永遠(yuǎn)不會(huì)消失。你低估巴菲特了。老巴在沃頓商學(xué)院、布拉斯加大學(xué)讀的本科，在哥倫比亞大學(xué)金融系讀的碩士。而今的中國，倘若有人有跟巴菲特同樣的學(xué)歷學(xué)位，估計(jì)都是眼睛往天上看的主。但是我知道偉大的投機(jī)客杰西.利沃默是沒有研究或看懂它，所以他最后死了。必然的結(jié)局。下面一部分將討論風(fēng)險(xiǎn)，表述會(huì)有些啰嗦，現(xiàn)在只能將就這樣了。上面例子中的倉位選擇，實(shí)際上是組合的一種技術(shù)。思考一下，最優(yōu)的投資比例f=50%，是說每次只將資金的50%用于下注。這固然是一個(gè)倉位問題，但再思考一下，那另外50%的資金是什么？是拿在手中的現(xiàn)金。所以f=50%實(shí)際上也是一個(gè)組合：賭注和現(xiàn)金的組合。在上面的例子中，如果不使用組合技術(shù)，也即在參與賭局的時(shí)候，不將資金分成現(xiàn)金和賭注兩個(gè)部分，或者只持有現(xiàn)金，或者全部用于下注，則容易看到，資金最終都將不會(huì)出現(xiàn)增長。但是，在把資金變成賭注和現(xiàn)金的組合之后，資金就可以實(shí)現(xiàn)增長。值得思考的一個(gè)問題是，我們知道，現(xiàn)金不產(chǎn)生任何收益，但是在上面的例子中，為什么把一部分的資金以現(xiàn)金的方式拿在手中，反而能夠促使資金總額實(shí)現(xiàn)增長？這表面上，似乎是現(xiàn)金導(dǎo)致了資金的增長。是不是有點(diǎn)費(fèi)解？其中的道理，如果把“賭局”這個(gè)詞改成“股票”或者“期貨”，就容易理解得多（我在前面已經(jīng)說明，在我這里，賭局與證券、交易系統(tǒng)、投資項(xiàng)目等等概念的涵是等價(jià)的）。因?yàn)楝F(xiàn)金和賭注的組合比例f是一個(gè)固定的比例，如果股票價(jià)格升高，則總資金中投在股票上的金額所占的比例也升高，這時(shí)為了保持f固定不變，就需要賣出一部分股票以變成現(xiàn)金；如果股價(jià)價(jià)格下降，則總資金中投在股票上的金額所占的比例也下降，為了保持f固定不變，就拿出一部分現(xiàn)金用于買入股票。所以，這里的賭注和現(xiàn)金就好象兩個(gè)水池，比例f就好像它們之間的一個(gè)自動(dòng)化的水泵，賭注上的資金多了，水泵就自動(dòng)把資金往現(xiàn)金這個(gè)池子里面送；現(xiàn)金上的資金多了，水泵就自動(dòng)把資金往賭注這個(gè)池子里面送。這樣送來送去，在不做任何預(yù)測的情況下，卻自動(dòng)實(shí)現(xiàn)了“買低賣高”的效果。這正是對(duì)“重操作、不預(yù)測”的一個(gè)極好的注解。④超越極限但是就上面所討論的這個(gè)賭局而言，其可挖掘的贏利潛力，或者可實(shí)現(xiàn)的資金增長速度，還可以繼續(xù)突破平均每次增長25%這個(gè)速度?；蛟S有人要問：既然上面已經(jīng)說明，在這個(gè)賭局下25%的增長速度已經(jīng)是一個(gè)極限，怎么還可以被突破？這里需要特別說明：以上的極限是對(duì)等分投資法而言的。要突破這個(gè)極限，自然需要利用組合技術(shù)來構(gòu)造新的投資方法。突破極限的方法千變?nèi)f化，其中有這樣一條原理：組合所運(yùn)用的資產(chǎn)種類越多，理論上資金增長所能達(dá)到的最快速度至少不會(huì)越慢（注意是最快的速度、而不是任意組合下的增長速度）。這在數(shù)學(xué)上是很自然的：組合所運(yùn)用的資產(chǎn)種類數(shù)（記為N）加上資金的增長速度一起定義了一個(gè)N+1維空間，在N+1維空間上，資金增長所能達(dá)到的最快速度當(dāng)然不會(huì)低于資金在N維空間上的能達(dá)到的最快速度。不嚴(yán)格地來說，這條原理可以理解為：要對(duì)資金的增長進(jìn)行提速，可以通過增加組合所運(yùn)用的資產(chǎn)種類數(shù)的方法來實(shí)現(xiàn)。當(dāng)然組合資產(chǎn)的種類增加，各資產(chǎn)在組合中的最優(yōu)比例也會(huì)發(fā)生變化、而且經(jīng)常是不成比例變化。至于具體比例的確定，仍然是求解（12）式?？梢岳斫猓陨显聿⒉豢紤]一個(gè)人管理組合的能力。雖然依照原理，運(yùn)用資產(chǎn)的種類越多，資金的最快增長速度越快，但是實(shí)際運(yùn)用中，隨著組合所運(yùn)用的資產(chǎn)種類的增加，組合的管理難度呈幾何級(jí)數(shù)增大。所以，實(shí)際操作中，個(gè)人管理組合的能力將構(gòu)成組合復(fù)雜程度的上限。不過這條原理并不是重點(diǎn)。在此之前舉例中所使用的組合技術(shù)都不涉及相關(guān)性。下面則要將相關(guān)性引入到組合技術(shù)中，以創(chuàng)造奇跡。回顧一下我們所考慮的賭局：猜硬幣的正反面，輸和贏的概率各為50%，贏的凈收益率為1，輸?shù)膬羰找媛蕿?0.5。假設(shè)可以用于構(gòu)建組合的材料只有這么一個(gè)賭局，你能構(gòu)造出更好的賭法嗎？事實(shí)上，對(duì)于這樣的一個(gè)賭局，可以作荷蘭賭：把資金等分成兩份，一份押正面，一份押反面。通過兩邊下注，最后的結(jié)果將只有一種：一份賭注輸，另一份賭注贏。這種賭法下，每賭一局，收益率以100%的概率為0.5×1-0.5×0.5=0.25。應(yīng)該理解，這種賭法實(shí)際上是一個(gè)多空套利組合，該組合以100%的概率可以獲得0.25的收益率。對(duì)于穩(wěn)賺不賠的賭局，想都不用想，最優(yōu)的投資比例f應(yīng)該是無窮大。相應(yīng)地，g也將是無窮大。這意味著，通過采用這種荷蘭賭，賭徒可以徹底消除風(fēng)險(xiǎn)，使得賭徒的最優(yōu)選擇應(yīng)該是無限借款來參與該賭局。理論上，資金的增長速度可以達(dá)到無窮大，實(shí)際操作中，對(duì)資金增長速度的唯一限制是賭徒的借款能力。這樣，對(duì)于同一個(gè)賭局，通過組合技術(shù)，資金的增長速度已經(jīng)從0提高到6.1%，從6.1%又提高到11.8%，再從11.8%提高到25%，最后干脆提高到了無窮大。風(fēng)險(xiǎn)被徹底打倒。可以注意到，在荷蘭賭下，賭局的輸贏概率失去了作用。由此，我們又可以實(shí)現(xiàn)一個(gè)突破：利用荷蘭賭法，我們可以參與一些期望收益率為負(fù)的賭局，并且仍然可以實(shí)現(xiàn)無窮大的資金增長速度?？紤]這樣一個(gè)賭局：賭局有輸和贏兩種結(jié)果，贏的概率為0.1，凈收益率為1；輸?shù)母怕蕿?.9，凈收益率為-0.5。易得該賭局的期望收益率為：0.1×1+0.9×（-0.5）=-0.35<0。對(duì)該賭局可以作相同的荷蘭賭，不論每局的最后結(jié)果是什么，賭徒依舊可以確定地獲得0.5×1-0.5×0.5=0.25的收益率。既然收益率可以確定地為正，那理論上的資金增長率自然是無窮大。于是似乎產(chǎn)生了一個(gè)矛盾：我在前面一再強(qiáng)調(diào)，期望收益率為負(fù)的賭局是不值得參與的，并且把這一點(diǎn)當(dāng)做黃金準(zhǔn)則來提出，但是現(xiàn)在我又表明同樣可以從一個(gè)期望收益率為負(fù)的賭局中實(shí)現(xiàn)無窮大的資金增長速度。是那條黃金準(zhǔn)則錯(cuò)了嗎？黃金準(zhǔn)則沒有錯(cuò)，這其中的關(guān)鍵在于我所采用的賭法。這里的荷蘭賭，是利用完全的負(fù)相關(guān)性構(gòu)造了一個(gè)套利組合，從而在本質(zhì)上改變了賭局的性質(zhì)：使得一個(gè)期望收益率為負(fù)的賭局變成一個(gè)收益率100%為正的賭局。創(chuàng)造這一奇跡的是相關(guān)性?；蛟S可以這樣來進(jìn)行比喻：不涉及相關(guān)性的組合僅能使賭局的風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生物理變化，但是相關(guān)性則可以使賭局的風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生化學(xué)變化，也即風(fēng)險(xiǎn)本質(zhì)的變化?；蛟S在不少人的認(rèn)識(shí)中，相關(guān)性是組合技術(shù)中的障礙。如果一個(gè)人對(duì)組合的認(rèn)識(shí)僅止于分散風(fēng)險(xiǎn)，那相關(guān)性確實(shí)是個(gè)障礙：它經(jīng)常會(huì)破壞了分散的效果，而且增加了計(jì)算的難度。從分散風(fēng)險(xiǎn)的用意出發(fā)，相關(guān)性通常是要竭力避免的。例如現(xiàn)在的理財(cái)專家?guī)缀?00%會(huì)建議實(shí)施資產(chǎn)配置（Assetallocation），其用意就是要規(guī)避構(gòu)成組合的各類資產(chǎn)之間的相關(guān)性，以提高分散風(fēng)險(xiǎn)的效果。但一味抱著分散風(fēng)險(xiǎn)的念頭去搞組合，未免太保守了。把相關(guān)性視為障礙而予以丟棄，實(shí)在有些浪費(fèi)。搞套利（arbitrage）、搞對(duì)沖（hedge），相關(guān)性是必用的工具。事實(shí)上，相關(guān)性、尤其是完美的相關(guān)性，方具有點(diǎn)石成金、創(chuàng)造奇跡的魔力。順帶，我們可能會(huì)關(guān)心，對(duì)于什么樣的賭局可以采用荷蘭賭？⑥更寬闊的視野荷蘭賭的結(jié)果是100%賺，這是最好的結(jié)果。稍微次一點(diǎn)的結(jié)果是100%不賠，同時(shí)賺的概率>0，即期權(quán)。期權(quán)并不僅僅是在交易所交易的期權(quán)的合約?，F(xiàn)實(shí)生活中期權(quán)大量存在，而且即使它原本不存在，但也可以運(yùn)用組合技術(shù)來制造。制造看漲期權(quán)的最經(jīng)典的“配方”是用債券和股票來制造。當(dāng)然，這里所指的債券和股票并不完全等同于在交易所交易的債券和股票，這里的債券是指所有可以穩(wěn)定獲取收益的資產(chǎn)，例如持有期與到期期限匹配的國債、銀行存款等等；這里的股票是指所有收益不確定的資產(chǎn)，例如交易所交易的股票、持有期限與到期期限不匹配的債券、投資基金、風(fēng)險(xiǎn)投資項(xiàng)目等等。經(jīng)典的看漲期權(quán)制造工序如組合保險(xiǎn)策略。簡單地說就是構(gòu)造一個(gè)債券和股票的組合，用債券上的穩(wěn)定收益來保本，用剩余的資金來投資高風(fēng)險(xiǎn)的股票，來博取風(fēng)險(xiǎn)收益?，F(xiàn)在運(yùn)用組合保險(xiǎn)策略的基金越來越多，例如現(xiàn)在正在發(fā)行中的天同保本增值基金。自然，這種期權(quán)制造方法并不是基金公司的專利，而是任何人均可使用的方法。并且，期權(quán)也不僅僅是一種靜態(tài)的證券或者證券組合，它也可以是動(dòng)態(tài)的交易策略。譬如論壇上經(jīng)常提到的金字塔式加倉規(guī)則，也可以用構(gòu)造看漲期權(quán)的方法來構(gòu)建。舉個(gè)簡單的例子：有20萬的現(xiàn)金，先將這筆錢存銀行，假設(shè)存款年利率為5%，則一年后可以收到1萬元的利息。收到利息之后，比方說看多銅期貨，則可以買入1手銅合約。如果銅價(jià)下跌使得保證金不足，則減倉；如果銅價(jià)上漲，使得賬戶上的閑置保證金足以買進(jìn)另一手銅合約，則將倉位提高到2手。要言之，把加倉/減倉所用的資金或保證金建立在原先頭寸的盈利/虧損之上。當(dāng)然這是一個(gè)很粗糙的例子，具體的加倉選擇應(yīng)該結(jié)合實(shí)際的交易系統(tǒng)來考慮。自然，適用荷蘭賭的賭局也同樣可以制造。在金融工程師眼，任何的賭局、證券、投資項(xiàng)目、投資組合、商業(yè)合約、乃至投資策略等等，都無非是一組現(xiàn)金流在時(shí)間和空間上的分布，因此性質(zhì)都是等價(jià)的。這組現(xiàn)金流在時(shí)間上、空間上既可無限拆分、也可無限組合，現(xiàn)金流在時(shí)間和空間上的分布結(jié)構(gòu)也可無限改變，無所不能制造，一如我們身處的物質(zhì)世界。一切的一切，只取決于你取材用料、剪裁組合的技術(shù)水準(zhǔn)。這些東西聽起來似乎很深?yuàn)W，而且真正做起來也不會(huì)很容易，但是只要有關(guān)于線性空間和集的數(shù)學(xué)知識(shí)，其中的原理不言自明。隨著目前國對(duì)證券交易品種的逐步開禁，組合技術(shù)可以運(yùn)用的材料日漸豐富。首支LOF的發(fā)行、首支ETF即將發(fā)行、剛剛上市的燃料油期貨、不遠(yuǎn)的將來可以看得見的銅期權(quán)、黃金遠(yuǎn)期、股指期貨期權(quán)等等。有人感覺到目前的中國正處于英國八十年代金融大爆炸的前夕。在國運(yùn)用組合技術(shù)的空間日益擴(kuò)大。機(jī)構(gòu)做莊即將成為歷史，對(duì)做莊的興趣將被搞組合、搞對(duì)沖套利的興趣取代。但是應(yīng)該明白，金融工程組合技術(shù)的最佳運(yùn)用并不是去挑戰(zhàn)和戰(zhàn)勝風(fēng)險(xiǎn)，而是制造和轉(zhuǎn)移風(fēng)險(xiǎn)供外行或好事者去挑戰(zhàn)和娛樂。大家都知道開賭場很賺錢的，推出一個(gè)金融衍生工具供大家交易，與開一個(gè)賭場可有一比，都很賺錢的。事實(shí)上，真正能夠總是做到只賺不賠的大多并不是賭客，而是開賭場的場主。當(dāng)然，金融衍生工具對(duì)于社會(huì)來說還是非常有益的，這也是為什么賭場通常是的，但是金融衍生品交易通?？梢院戏ǎ視?huì)得到政府的推動(dòng)。就譬如銀行目前發(fā)放的住房抵押貸款絕大多數(shù)是浮動(dòng)利率貸款，如此一來，使得利率波動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)完全由作為貸款人的小老百姓來承擔(dān)，銀行自己則落得逍遙自在。未來的利率一定會(huì)上升，不知道在浮動(dòng)利率貸款下，會(huì)有多少家庭有一天會(huì)突然發(fā)現(xiàn)自己再也付不起因利率上漲而暴增的貸款利息，以至于不得不讓銀行拿走自己已經(jīng)供了幾年乃至十幾年、二十幾年的房子？將來這樣的家庭一定會(huì)有很多的。所以中國很需要有住房浮動(dòng)利率貸款對(duì)固定利率貸款的互換。可以預(yù)見，將來的中國一定會(huì)出現(xiàn)提供這種互換產(chǎn)品的市場。誰提供這種服務(wù)，誰就等于是開了個(gè)正義的賭場，既給自己創(chuàng)收，又有利于千家萬戶，而且也可以給好事者、套利者提供更多的娛樂。這樣一樁既有肥肥實(shí)惠又有無量功德的美事，但不知哪個(gè)要先下手？【交易之路.irich..收集整理】由于時(shí)間的原因，到這里這個(gè)帖子不得不收尾。當(dāng)然，對(duì)數(shù)投資組合理論并沒有全部講完。作為一個(gè)完整的理論，還有三大容沒有講：1.連續(xù)時(shí)間下的對(duì)數(shù)投資組合理論。在上面的帖子中，舉的例子都是拋硬幣的賭局，那如果投資的是收益率有無窮多