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文檔簡介
圓柱圓錐側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S=2πrl圓柱側(cè)S=πrlS=π(r+r′)l圓臺側(cè)圓錐側(cè)2.空間幾何體的表面積與體積公式名稱表面積體積幾何體柱體(棱柱和圓柱)S=S+2SV=Sh底表面積側(cè)底13錐體(棱錐和圓錐)S=S+S表面積側(cè)底V=Sh底1(棱臺和圓臺)S=S+S+SV=(S+S+SS)h3表面積側(cè)上下上下上下臺體43球S=4πR2V=πR3常用結(jié)論1.正方體的外接球、內(nèi)切球及與各條棱相切的球的半徑(1)外接球:球心是正方體的中心;半徑r=23a(a為正方體的棱長).a(chǎn)(2)內(nèi)切球:球心是正方體的中心;半徑r=(a為正方體的棱長).2(3)與各條棱都相切的球:球心是正方體的中心;半徑r=22a(a為正方體的棱長).2.正四面體的外接球、內(nèi)切球的球心和半徑(1)外接球:球心是正四面體的中心;半徑r=46a(a為正四面體的棱長).(2)內(nèi)切球:球心是正四面體的中心;半徑r=126a(a為正四面體的棱長).一、思考辨析判斷正誤(正確的打“√”,錯誤的打“×”(1)多面體的面積之和.((2)錐體的體積等于底面積與高之積.((3)球的體積之比等于半徑比的平方.()表面積等于各個面的)))(4)簡單組合體的體積等于組成它的簡單幾何體體積的和或差.()(5)長方體既有外接球又有內(nèi)切球.()答案:(1)√(2)×(3)×(4)√(5)×二、易錯糾偏常見誤區(qū)|(1)考慮不周,(2)錐體的(3)組合體的1.將一個相鄰邊長分別為4π,8π的矩形卷成一個圓柱,積是________.當?shù)酌嬷荛L為4π時,底面圓的半徑為2,兩個底面的面積之和是8π;忽視分類討論;底面及其對應(yīng)高不清楚;表面積沒注意銜接部分.則這個圓柱的表面解析:當?shù)酌嬷荛L為8π時,底面圓的半徑為4,兩個底面的面積之和為32π.無論哪種方式,側(cè)面積都是矩形的面積32π2,故所求的表面積是32π2+8π或32π2+32π.答案:32π2+8π或32π2+32π2.已知三棱錐S-ABC中,∠SAB=∠ABC=2π,SB=4,SC=213,AB=2,BC=6,則三棱錐S-ABC的體積是________.π2π2解析:由∠ABC=,AB=2,BC=6,得AC=210.由∠SAB=,AB=2,SB=4,得SA=23.由SA2+AC2=SC2,得SA⊥AC,又SA⊥AB,所以SA⊥平131132面ABC.所以三棱錐S-ABC的體積為S·SA=××2×6×23=43.ABC△答案:433.已知一幾何體的三視圖如圖所示,它的側(cè)視圖與正視圖相同,則該幾何體的表面積為________.解析:由三視圖知,該幾何體是一個正四棱柱與半球的組合體,且正四棱柱的高為2,底面對角線長為4,球的半徑為2,所以該正四棱柱的底面正方形的12邊長為22,該幾何體的表面積S=答案:12π+16×4π×22+π×22+22×2×4=12π+16.空間幾何體的表面積(師生共研)(1)在梯形ABCD中,∠ABC=2π,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為()A.(5+2)πB.(4+2)πD.(3+2)πC.(5+22)π(2)(2021·吉林梅河口五中模擬)陽馬和鱉臑(biēnào)是《九章算術(shù)·商功》里對兩種錐體的稱謂.如圖所示,取一個長方體,按下圖斜割一分為二,得兩個一模一樣的三棱柱,稱為塹堵.再沿其中一個塹堵的一個頂點與相對的棱剖開,得四有一棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬(四棱錐S-ABCD),余下三棱錐稱為鱉臑(三棱錐S-ECD),若將某長方體沿上述切割方法得到一個陽棱錐和三棱錐各一個,馬和一個鱉臑,且該陽馬的正視圖和鱉臑的側(cè)視圖如圖所示,則該陽馬和鱉臑的表面積之和為()A.12+13+35C.12+313+B.11+13+35D.11+313+55【解析】(1)因為在梯形ABCD中,∠ABC=2π,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2,所以將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體是一個底面半徑為AB=1,高為BC=2的圓柱挖去一個底面半徑為AB=1,高為BC-AD=1的圓錐,所以該幾何體的表面積S=π×12+2π×1×2+π×1×12+12=(5+2)π.故選A.(2)由三視圖可知,在陽馬中,AS=2,AD=3,CD=1,SD=13,SB=5,矩形ABCD=3×2+1×13+3×5+所以S陽馬=S+S+S+S+S222△SADSCDSBCSAB△△△13+35.S鱉臑=S1×2+3=7+13+1×2+2×3222+S+S+S=22△SCDCDESDESCE△△△13+35,所以所求表面積之和=11+13+35,故選B.+3×5=4+22【答案】(1)A(2)B空間幾何體表面積的求法(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題,關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體(3)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用.A.B.61D.73C.62解析:選C.由三視圖畫出幾何體的直觀圖如圖所示,上、下底面分別為邊長是1,4的正方形;圖中朝里的兩個側(cè)面是上底為1,下底為4,高為4的梯形;圖中朝外的兩個側(cè)面是上底為1,下底為4,高為5的梯形,其表面積為S=1×11212+4×4+×(1+4)×4×2+×(1+4)×5×2=62.空間幾何體的體積(多維探究)角度一求簡單幾何體的體積(1)(2020·石家莊質(zhì)量檢測)某幾何體的三視圖如圖所示網(wǎng)格的邊長為1),則該幾何體的體積是((圖中小正方形)B.6D.2(2)如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是平行四邊形,點E是棱BB的中點,點F是棱CC上靠近C的三等分點,且三棱錐A-AEF的體1111A.12C.20B.8D.18示),其中底面直角梯形的上、下底分別為1,2,高為2,直四棱柱的高為2,所以該幾何體的體積為(1+2)×2×2=6,故選B.213=V=(2)設(shè)點F到平面ABB1A1的距離為h,由題意得V.又VA1-AEFF-AAEF-AAE1111·h=311616ABCD-ABCD1111·h==·=,所以S×AA1·AB·h6(AAAB)·hSV21四邊形ABB△AAEA111=6V=6×2=12.所以四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積為12.故選VABCD-ABCD1A1-AEF111A.【答案】(1)B(2)A二求組合體的體積(1)(2020·高考浙江卷)某幾何體的三視圖角度(單位:cm)如圖所示,則該幾73143B.C.3D.6(2)(2021·貴陽市第一學(xué)期監(jiān)測考試)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何1(俯視圖中弧線是圓弧)()4體的體積為A.4-πB.π-2π2π4C.1-D.1-【解析】(1)由三視圖可知,該幾何體是三棱柱和三棱錐的組合體,結(jié)合1211×2×1×2+××2×1×1=(cm3),故選3273圖中數(shù)據(jù)可得該幾何體的體積V=A.14圓柱后(2)由題設(shè)知,該幾何體是棱長為1的正方體被截去底面半徑為1的14剩下的部分,直觀圖如圖所示,該幾何體的體積V=1×1×1-×π×12×1=1π4-,故選D.【答案】(1)A(2)D把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體,然后進行體積計算;或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體,不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體,便于計算選擇合適的底面來求幾何體體積,常用于求三棱錐的體積,即利用三棱錐的任一個面作為三棱錐的底面進行等體積變換等體積法1.《九章算術(shù)》卷五商功中有如下問題:今有芻甍,下廣三丈,袤四丈,上袤二丈,無廣,高一丈,問積幾何?芻甍:底面為矩形的屋脊狀的幾何體(網(wǎng)格紙中粗線部分為其三視圖,設(shè)網(wǎng)格紙上每個小正方形的邊長為1),那么該芻甍的體積為()B.5D.12別作垂直于底面的截面EGH和FMN,可將原幾何體切割成三棱柱EHG-FNM,四棱錐的體積相同,都為B.2.學(xué)生到工廠勞動實踐,利用3D打印技術(shù)制作模型.方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體,其中O為長方體的E,F(xiàn),G,H分別為所在棱的中點,AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3.不考慮打印損耗,如圖,該模型為長中心,制作該模型所需原料的質(zhì)量為________g.解析:由題易得長方體ABCD-A1B1C1D1的體積為6×6×4=144(cm3),四邊形EFGH為平行四邊形,如圖所示,連接GE,HF,易知四邊形EFGH的面積1213為矩形BCC1B1面積的一半,即×6×4=12(cm),所以V四棱錐O-EFGH=×3×122=12(cm3),所以該模型的體積為144-12=132(cm3),所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為132×0.9=118.8(g).(1)已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為6的正三角形,側(cè)棱垂直于底面,且該三棱柱的外接球的表面積為12π,則該三棱柱的體積為________.(2)已知三棱錐平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐表面積為________.S-ABC的所有頂點都在球O的球面上,SC是球O的直徑.若O的S-ABC的體積為9,則球【解析】(1)設(shè)球的半徑為R,上,下底面中心設(shè)為M,N,由題意,外接球球心為MN的中點,設(shè)為O,則OA=R,由4πR2=12π,得R=OA=3.又易得AN=2,由勾股定理可知ON=1,所以MN=2,即棱柱的高h=2,所以該43×(6)2×2=33.三棱柱的體積為(2)設(shè)球O的半徑為R,因為SC為球O的直徑,所以點O為SC的中點,連接AO,OB,因為SA=AC,SB=BC,所以AO⊥SC,BO⊥SC,因為平面SCA⊥平面SCB,平面SCA∩平面SCB=SC,所以AO⊥平面SCB,所以VS-ABC=VA-SBC13113113=解得=×S×AO=××SC×OB×AO,即9=××2R×R×R,R3,22SBC△所以球O的表面積為S=4πR2=4π×32=36π.【答案】(1)33(2)36π=OO′2+O′M2d,則在Rt△OO′M中,OM22(3)若球面上四點P,A,B,C的連線中PA,PB,PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,則可構(gòu)造長方體或正方體解決問題.角度二內(nèi)切球(1)(2021·重慶七校聯(lián)考)已知正三棱錐的高為6,內(nèi)切球(與四個面都)的表面積為16π,則其底面邊長為()B.12D.43(2)(2020·高考全國卷Ⅲ)已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為________.【解析】(1)如圖,由題意知,球心在三棱錐的高PE上,設(shè)內(nèi)切球的半徑為R,則S球=4πR2=16π,所以R=2.所以O(shè)E=OF=2,OP=4.OF在Rt△OPF中,PF=OP2-OF2=23.因為△OPF∽△DPE,所以=DE,得DE=23,AD=3DE=63,AB=23AD=12.故選B.PFPE(2)易知半徑最大的球即為該圓錐的內(nèi)切球.圓錐PE及其內(nèi)切球O如圖所示,設(shè)內(nèi)切球的半徑為R,則sin∠BPE=R=BE1,所以O(shè)P=3R,所以PE22,所以內(nèi)切球的體積V=πR43=4R=PB2-BE2=32-12=22,所以R=332π,即該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為32π.=【答案】(1)B(2)32π(1)在求四面體內(nèi)切球的半徑時,應(yīng)重視分割的思想方法,即將該四面體分割為以球心為頂點,各面為底面的四個三棱錐,通過其體積關(guān)系求得半徑.(2)與球有關(guān)的組合體問題,一種是內(nèi)切,一種是外接.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常作出它們的軸截面解題;球與多面體的組合,一般通過多面體的一條側(cè)棱和球心,并結(jié)合“切點”或“接點”作出截面圖,把空間問題化歸為平面問題求解.1.已知正四棱錐P-ABCD內(nèi)接于一個半徑為R的球,則正四棱錐P-ABCD體積的最大值是()16R8132R3813A.B.64R813C.D.R3解析:選C.如圖,記O為正四棱錐P-ABCD外接球的球心,O1為底面ABCD的中心,則P,O,O三點共線,連接PO1,OA,O1A.1設(shè)OO1=x,則O1A=R2-x2,AB=2·R2-x2,PO1=R+x,131323所以正四棱錐P-ABCD的體積V=AB2·PO2-x2-)(R+x)=(-x31=×2(RRx2+R2x+R),32323(-3x2-2Rx+R2)=-(x+R)·(3x-R),當x=R3時,體積V有求導(dǎo)得V′=最大值64R381,故選C.2.設(shè)球O內(nèi)切于正三棱柱ABC-A1B1C1,則球O的體積與正三棱柱ABC-A1B1C1的體積的比值為________.解析:設(shè)球O的半徑為R,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a,則R=333a,即a=23R.又正三棱柱ABC-A1B1C1的高為2R,所以球O的體積與a=×264343πR3πR3=23π.正三棱柱ABC-A1B1C1的體積的比值為=273×2R43×12Ra22×2R423π答案:27核心素養(yǎng)系列14直觀想象——確定球心位置的三種方法決定球的幾何要素是球心的位置和球的半徑,中,通過位置關(guān)系的分析,找出球心所在的位置是解題的關(guān)鍵,不妨稱這個方法為球心位置分析法.在球與其他幾何體的結(jié)合問題方法一由球的定義確定球心若一個多面體的各頂點都在一個球的球面上,則稱這個多面體是這個球的內(nèi)接多面體,這個球是這個多面體的外接球.也就是說如果一個定點到一個簡單多面體的所有頂點的距離都相等,那么這個定點就是該簡單多面體外接球的球心.(1)長方體或正方體的外接球的球心是其體對角線的中點;(2)正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心連線的中點;(3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心連線的中點;(4)正棱錐的外接球球心在其高上,具體位置可通過建立直角三角形運用勾股定理計算得到;(5)若棱錐的頂點可構(gòu)成共斜邊的直角三角形,則公共斜邊的中點就是其外接球的球心.已知各頂點都在同一個球面上的正四棱柱的高為4,體積為16,則這個球的表面積是()A.16πC.24π【解析】已知各頂點都在同一個球面上的正四棱柱的高為4,體積為16,可求得底面邊長為2,故球的直徑為22+22+42=26,則半徑為6,故球的表面積為24π,故選C.方法二構(gòu)造長方體或正方體確定球心(1)正四面體、三條側(cè)棱兩兩垂直的正三棱錐、四個面都是直角三角形的三棱錐,可將三棱錐補形成長方體或正方體;(2)同一個頂點上的三條棱兩兩垂直的四面體、相對的棱相等的三棱錐,可將三棱錐補形成長方體或正方體;(3)若已知棱錐含有線面垂直關(guān)系,則可將棱錐補形成長方體或正方體;(4)若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直,則可將三棱錐補形成長方體或正方體.如圖,邊長為2的正方形ABCD中,點E,F(xiàn)分別是邊AB,BC的中點,將△AED,△EBF,△FCD分別沿DE,EF,F(xiàn)D折起,使A,B,C三點重A′,若四面體A′EFD的四個頂點在同一個球面上,則該球的半徑為合于點()62A.2B.11252C.D.【解析】易知四面體A′EFD的三條側(cè)棱A′E,A′F,A′D兩兩垂直,且A′E=1,A′F=1,A′D=2,把四面體A′EFD補成從頂點A′出發(fā)的三條棱長分別為1,26.故選B.12+12+22=【答案】B方法三由性質(zhì)確定球心O與截面圓圓心利用球心O′的連線垂直于截面圓及球心O與弦中點的連線垂直于弦的性質(zhì),確定球心.正三棱錐A-BCD內(nèi)接于球O,且底面邊長為3,側(cè)棱長為2,則球O的表面積為________.【解析】如圖,M為底面△BCD的中心,易知AM⊥MD,DM=1,AM=3.在Rt△DOM中,OD2=OM2+MD2,即OD2=(3-OD)2+1,解得OD=23233,故球O的表面積為4π×16π.2=33【答案】163π[A級基礎(chǔ)練]1.(2020·高考全國卷Ⅲ)如圖為某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積是()A.6+42C.6+23B.4+42D.4+23解析:選C.由三視圖知該幾何體為如圖所示的三棱錐P-ABC,其中PA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AP=2,故其表面積S=11+×2×2×3×(22)222×sin60°=6+23.2.(2021·貴陽市適應(yīng)性考試)某幾何體的三視圖如圖所示,已知正視圖和側(cè)視圖是全等的直角三角形,俯視圖是圓心角為90°的扇形,則該幾何體的體積是()π2A.2π3πB.C.D.3π214解析:選D.依題意,題中的幾何體是一個圓錐的(其中該圓錐的底面半徑114為23,高為3),如圖所示,因此該幾何體的體積為=3π,選D.××π×(23)2×333.(2020·高考全國卷Ⅰ)已知A,B,C為球O的球面上的三個點,⊙O1為為()B.48πD.32π解析:選A.如圖所示,設(shè)球O的半徑為R,⊙O1的半徑為r,因為⊙O12r,解得AB=23,故OO1=23,所以R2=OO2+r2=(23)2+22=16,所以球1O的表面積S=4πR2=64π.故選A.4.(2021·東北三校第一次聯(lián)考)如圖,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,ED⊥平面ABCD,F(xiàn)C⊥平面ABCD,ED=2FC=2,則三棱錐A-BEF的體積為()1323A.B.43C.1D.解析:選B.如圖,分別取BC,ED,AD的中點G,P,Q,連接FG,F(xiàn)P,PQ,QG,因為ED⊥平面ABCD,F(xiàn)C⊥平面ABCD,ED=2FC=2,所以PD=∥FC,所以四邊形FCDP為平行四邊形,所以PF∥DC.又Q,G分別為DA,CB的中點,所以QG∥DC,且QG=DC,所以QG∥PF,且QG=PF,所以四邊形QGFP為平行四邊形,所以PQ∥FG.又P為DE的中點,所以PQ∥EA,所以FG∥EA,因為EA?平面EAB,F(xiàn)G?平面EAB,所以FG∥平面EAB.連接EG,AG,則V·ED·S=,故選B.ABG△5.(2021·福建省質(zhì)量檢測)某學(xué)生到工廠實踐,欲將一個底面半徑為2,高為3的實心圓錐體工件切割成一個圓柱體,底面內(nèi).若不考慮損耗,則得到的圓柱體的最大體積是(并使圓柱體的一個底面落在圓錐體的)A.16π9B.8π9D.278π16πC.27解析:選A.方法一:如圖,OC=2,OA=3,由△AED∽△AOC可得OCED=AOAE.設(shè)圓柱體的底面半徑r=ED=2x(0<x<1),可得AE=3x,則圓柱體的高h=OE=3-3x,圓柱體的體積V=π(2x)(3-3x)=12π(x-x3),令V(x)=12π(x-x3),22223或x=0(舍去),可得V(x)在20,3則V′(x)=12π(2x-3x2),令V′(x)=0,解得x=22316π時,V(x)取得最大值,V(x)=9,max上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減故當=,1,x316π9即圓柱體的最大體積是.方法二:同方法一,則圓柱體的體積V=12πx2(1-x)=6π·x·x(2-x+x+(2-2x)16π2時等號成立,故3=2x)≤6π·9,當且僅當x=2-2x,即x=33圓柱體的最大體積是16π9.6.已知圓柱的底面積為S,側(cè)面展開圖是一個正方形,那么圓柱的側(cè)面積是________.SπSπ由πr2=S得圓柱的底面半徑是2πS,所以圓柱的側(cè)面積是4πS.4πS,故側(cè)面展開圖的邊長為2π·=解析:答案:7.(2020·高考浙江卷)已知圓錐的側(cè)面積(單位:cm)為2π,且它的側(cè)面展開2圖是一個半圓,則這個圓錐的底面半徑(單位:cm)是________.解析:方法一:設(shè)該圓錐的母線長為l,因為圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓,12其面積為2π,所以πl(wèi)2=2π,解得l=2,所以該半圓的弧長為2π.設(shè)該圓錐的底面半徑為R,則2πR=2π,解得R=1.方法二:設(shè)該圓錐的底面半徑為R,則該圓錐側(cè)面展開圖中的圓弧的弧長為2πR.因為側(cè)面展開圖是一個半圓,設(shè)該半圓的半徑為r,則πr=2πR,即r=2R,12所以側(cè)面展開圖的面積為·2R·2πR=2πR2=2π,解得R=1.答案:18.(2021·長沙市統(tǒng)一模擬考試)在四面體PABC中,△ABC為等邊三角形,6,PA=6,PB=8,PC=10,則四面體PABC的體積為________.且邊長為解析:如圖,延長CA到D,使得AD=6,連接DB,PD.因為AD=AB=6,所以△ADB為等腰三角形,又∠DAB12=180°-∠CAB=120°,所以∠ABD=(180°-120°)=30°,所以∠ABD+∠CBA=90°,即∠DBC=90°,故CB⊥DB.因為PB=8,PC=10,BC=6,所以PC2=PB2+BC2,所以CB⊥PB.因為DB∩PB=B,DB?平面PBD,DA=AC=AP=6,所以△PDC為直角三角形,所以PD=CD2-PC2=144-100=211.又DB=3AD=63,PB=8,所以DB2=PD2+PB2,故1BP⊥DP,即△PBD為直角三角形,所以S=×8×211=811.因為A為2PBD△121=2=11DC的中點,所以V四面體PABCV三棱錐P-CBDV三棱錐C-PBD××6×811=23=811.答案:8119.已知一個幾何體的三視圖如圖所示.(1)求此幾何體的表面積;(2)如果點P,Q在正視圖中所示位置,從P點到Q點的最短路徑的長.P為所在線段的中點,Q為頂點,求在幾何體表面上,解:(1)由三視圖知該幾何體是由一個圓錐與一個圓柱組成的組合體,其表面積是圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積和圓柱的一個底面積之和.12S圓錐側(cè)=(2πa)·(2a)=2πa2,=(2πa)·(2a)=4πa2S圓柱側(cè),=πa2S圓柱底,所以S表=2πa2+4πa2+πa2=(2+5)πa.2(2)沿P點與Q點所在母線剪開圓柱側(cè)面,如圖.則PQ=AP2+AQ2=a2+(πa)2=a1+π2,所以從P點到Q點在側(cè)面上的最短路徑的長為a1+π2.10.如圖,四邊形ABCD為菱形,G為AC與BD的交點,BE⊥平面ABCD.(1)證明:平面AEC⊥平面BED;63(2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱錐E-ACD的體積為,求該三棱錐的側(cè)面積.解:(1)證明:因為四邊形ABCD為菱形,所以AC⊥BD.因為BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE.因為BD∩BE=B,BD?平面BED,BE?平面BED,所以AC⊥平面BED.又AC?平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED.(2)設(shè)AB=x,在菱形ABCD中,由∠ABC=120°,23x,GB=GD=2.x可得AG=GC=23x.因為AE⊥EC,所以在Rt△AEC中,可得EG=22x.由BE⊥平面ABCD,知△EBG為直角三角形,可得BE==11由已知得,三棱錐E-ACD的體積V三棱錐E-ACD62436,=x3×·AC·GD·BE=32所以△EAC的面積為3,△EAD的面積與△ECD的面積均為5.故三棱錐E-ACD的側(cè)面積為3+25.[B級綜合練11.(2021·安徽省部分重點學(xué)校聯(lián)考)已知三棱錐D-ABC的體積為2的等邊三角形,且三棱錐D-ABC的外接球的球心O恰好是CD的中O的表面積為]2,△ABC是邊長為點,則球()52π3A.B.24π56π320π3C.D.解析:選A.設(shè)球O的半徑為R,球心O到平面ABC的距離為d,因為O13132d=×34是CD的中點,所以點D到平面ABC的距離為2d,則V=SDABCABC-△×22×2d=2,解得d=3.過點O向平面ABC作垂線,垂足為O′,則O′為等邊322343三角形ABC的外心,連接O′A,則O′A=2×233==d+O′A2=3+=,R2×2133,所以球O的表面積S=4πR2=52π3.12.(2021·南充市第一次適應(yīng)性考試)如圖,在正三棱錐A-BCD中,AB=BC,E為棱AD的中點.若△BCE的面積為2,則三棱錐A-BCD的體積為()2333A.B.233223C.D.解析:選D.因為AB=BC,所以正三棱錐A-BCD為正四面體,因為E為AD的中點,所以AD⊥BE,AD⊥CE,又CE∩BE=E,所以AD⊥平面BCE.設(shè)12122=2,所以a=2,所以Va-=2×a2三2223aBC22=22棱錐A-BCD=V三棱錐A-BCE+V三棱錐D-BCE=2V三棱錐A-BCE=2×11×AE=2×3×2S3BCE△a22=×23.13.如圖所示是一個幾何體的三視圖,根據(jù)圖中所給的數(shù)據(jù),這個幾何體的表面積為________,體積為________.解析:如圖所示是還原后的幾何體的直觀圖,分別取BC,AD的中點E,F(xiàn),連接SE,EF,SF,由圖中數(shù)據(jù)有AB=BC=CD=DA=SE=EF=2,BE=EC=1,因為△SBC是等腰三角形,所以SB=SC=5.因為△SBA為直角三角形,所以SA=3.又因為△SAD是等腰三角形,所以SF⊥AD.所以SF=22.所以S正方形ABCD=4,S=2,SBC△=6+2(2+5).1383所以VS-ABCD正方形ABCD·SE==·S.83答案:6+2(2+5)14.(2020·河北九校第二次聯(lián)考)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,E,F(xiàn),G分別是DD1,AB,BC的中點,過點E,F(xiàn),G的截面將正方體分割成兩部分,則較大幾何體的體積為________.解析:如圖所
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