多元函數(shù)積分概念與性質(zhì)

關(guān)于多元函數(shù)積分概念與性質(zhì)第1頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月1.曲頂柱體的體積曲頂柱體：以XOY平面上的閉區(qū)域D為底，以D

的邊界曲線為準線，母線平行于Z

軸的柱面為側(cè)面，并以z=f(x,y)為頂?shù)目臻g立體.一.兩個實例：如何求此曲頂柱體的體積V？微元法思想.分割：把D

任意分成n

個小區(qū)域(同時用表示第i

個小區(qū)域的面積），分別以的邊界為準線作母線平行于z

軸的柱面，則原曲頂柱體分成了n

個小的曲頂柱體。第2頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月近似

：任取，則以為底的小曲頂柱體體積:yxzDo求和：取極限：區(qū)域中任意兩點距離的最大值稱為該區(qū)域的直徑，記則：第3頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月設有一物體對應于空間曲面

,(x,y,z)

為密度函數(shù)(連續(xù)），現(xiàn)要求該物體的質(zhì)量m。2.質(zhì)量：分割：把任意分成n

小塊，表示第i

小塊曲面的面積。近似：任取，則第i小塊曲面的質(zhì)量取極限：求和：第4頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月二.數(shù)量函數(shù)積分的概念定義1第5頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月二重積分；三重積分：其中稱為積分域，f稱為被積函數(shù)，f(M)d稱為被積式或積分微元。幾種具體的類型：第6頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第一型曲線積分（對弧長的曲線積分）：第一型曲面積分（對面積的曲面積分）：L稱為積分路徑。第7頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)量函數(shù)積分的幾何意義：當時，=以D為底,以為頂?shù)那斨w的體積；第8頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)量函數(shù)積分的物理應用之一：第9頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月三.積分存在的條件和性質(zhì).

必要條件:

f在上可積，則f在上有界。第10頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月1.線性性質(zhì)：2.可加性3.積分不等式若則第11頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月5.中值定理特別地，有若則第12頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月的邊界為準線，母線平行于z軸的柱面為側(cè)面，D為底面，曲面由二重積分的幾何意義知：以xoy平面上的區(qū)域為頂面的曲頂柱體的體積為第2節(jié)二重積分的計算一.直角坐標系中二重積分的計算：xbxaoyz第13頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月任取，過x

軸作平行于yoz坐標面的平面，此平面與曲頂柱體之交為一曲邊梯形，設其面積為，則先y后x的二次積分(累次積分)而該體積也可用定積分的方法求得:bxaoxyz第14頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月X-型區(qū)域：任一平行y

軸的直線與D的邊界的交點至多只有兩個。上面假定，但實際上上公式對一般的也成立。對各種不同類型的積分區(qū)域D，二重積分化為二次積分的情況總結(jié)如下：第15頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月DaboyxoyxDab第16頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月DdcoyxDcdoyxY-型區(qū)域：任一平行x

軸的直線與D的邊界的交點至多只有兩個。第17頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月oy第18頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月例1計算解oxy11第19頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月解法一先對y后對x積分oyx例2第20頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月法二先對x后對y積分oyx第21頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月解由于的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，故不能先對y積分例3計算oyx1D第22頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月注意：在例2中，法1比法2簡便，在例3中，由于被積函數(shù)中含有，只能先對x積分.因此，在把二重積分化為二次積分時，選擇恰當?shù)姆e分次序是非常重要的，而要計算二重積分，關(guān)鍵的是要化為二次積分。例4

作出積分域，并改變積分次序：解原積分=(4,2)o第23頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月解原積分=o(2,1)o解原積分=第24頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月解原積分o第25頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月例5求兩個底面半徑相同的正交圓柱體所圍成的立體的體積。解第26頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月二.極坐標系下二重積分的計算則得極坐標系下的二重積分計算公式:作極坐標變換第27頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月oxD第28頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月若區(qū)域D可用極坐標的不等式oxDoxD第29頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月若區(qū)域D可用極坐標的不等式oxD第30頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月若區(qū)域D可用極坐標的不等式oxD第31頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月若區(qū)域D可用極坐標的不等式oxDab第32頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月解令則在極坐標系中，于是例6

計算第33頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月顯然由于從而例7

計算反常積分解設例6例6第34頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月而從而因此第35頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月例8

將下列二次積分化為極坐標形式下的二次積分：解第36頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月積分區(qū)域：D:在極坐標下，D：于是解第37頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月在極坐標下，將D分為二部分表示：于是解第38頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月在極坐標下，D分為二部分表示：于是解第39頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月例9

求Bernoulli雙紐線圍成的面積A.解雙紐線在極坐標下的方程為：第40頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月由的周期性得圖形的對稱性，而且當從增加到時，由零增加到，再減少到零，于是可得如圖所示的雙紐線圖形。第41頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）變換T：把uov平面上的區(qū)域一對一的變?yōu)镈，定理1設（1）（3）(u,v),(u,v)在上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，且：三.二重積分的換元法二重積分的換元公式第42頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月例10

計算解于是第43頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月例11

求由曲線

所圍區(qū)域D的面積S。解令D第44頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月于是第45頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月例12

求橢圓圍成區(qū)域的面積A。解令廣義極坐標，第46頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月作業(yè)P93-97