2同余教案完整版

PAGEPAGE3第五節(jié)：同余一、基本性質(zhì)整除的性質(zhì)非常重要，但是并不能解釋所有的問題，為此我們進(jìn)行了推廣——同余。同余最早是由數(shù)學(xué)家Gauss引入的概念，我們可以將其理解為“余同”（余數(shù)相同）。首先來看一下同余的表達(dá)方式和定義。定義1：如果a、b除以m(m>1)得到的余數(shù)相同，那么稱a、b對(duì)于模m同余，記作。否則稱a、b對(duì)模m不同余。性質(zhì)1：也就是說m|a-b性質(zhì)1非常重要，由性質(zhì)1可證得其余性質(zhì)。性質(zhì)2：可加性：若，那；性質(zhì)3：可乘性：若則性質(zhì)4：可乘方性：若，那么性質(zhì)5：若那么性質(zhì)6：如果，那么存在一個(gè)整數(shù)b，使得性質(zhì)7：如果特別的，若（a,m）=1則b≡c(modm)第六節(jié)：同余應(yīng)用及常見的題型一、求余數(shù)問題常見的問題如求星期幾之類的題型，其實(shí)也就求被7整除的余數(shù)。通過同余的運(yùn)算，可以很快地求得結(jié)果。例1：如果今天是周六，求天以后是星期幾？例2：某數(shù)除680,970和1521余數(shù)相同，這個(gè)數(shù)最大是幾？例3:126×547+324×283除以13的余數(shù)是多少？二、整除特征判別法：注意：一個(gè)數(shù)能否被2、3、4、5、6、7、8、9、11、13等數(shù)整除，都有其特別的判別方法。如何選取合適的方法，并對(duì)此作為推廣是我們必須要學(xué)會(huì)的內(nèi)容。（1）可以被2整除的數(shù)：最末一位數(shù)是2的倍數(shù)?？梢员?整除的數(shù)：最末一位數(shù)是5的倍數(shù)。（2）可以被4整除的數(shù)：最末兩位數(shù)是4的倍數(shù)?？梢员?5整除的數(shù)：最末一位數(shù)是25的倍數(shù)。（3）可以被8整除的數(shù)：最末三位數(shù)是8的倍數(shù)。可以被125整除的數(shù)：最末一位數(shù)是125的倍數(shù)。（4）可以被3和9整除的數(shù)，其各位數(shù)字之和是3和9的倍數(shù)。（5）可以被6整除的數(shù)，必須同時(shí)滿足可以被2、3整除的特性。（6）可以被7，11或13整除的數(shù)。三位三位依次相減是7或13的倍數(shù)。（7）可以被11整除的數(shù)，奇數(shù)位數(shù)字之和減去偶數(shù)位數(shù)字之和是11的倍數(shù)。試證明上述方法，并作出自己的推廣：三、奇偶性問題 奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù) 奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù) 偶數(shù)±奇數(shù)=奇數(shù) 偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù) 奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和為偶數(shù)，偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和為偶數(shù) 奇數(shù)的約數(shù)都是奇數(shù) 奇偶性問題經(jīng)常結(jié)合反證法來進(jìn)行考慮，常?？梢越o復(fù)雜的問題帶來明顯的簡(jiǎn)化。例1：可不可以在下列數(shù)間添加+、-，使得等式成立，為什么？（1）2008 2007 2006 2005 …… 3 2 1 = 0（2）2009 2008 2007 2006 …… 3 2 1 = 0例2：現(xiàn)有2009枚硬幣，都是正面朝上，有一個(gè)班的學(xué)生，每個(gè)學(xué)生對(duì)這些硬幣做操作，選取其中100枚硬幣將其反過來一次。問，一個(gè)班級(jí)的學(xué)生操作完畢后，是否可能使得所有的硬幣都正面朝上？如果是2010枚硬幣呢？例3：現(xiàn)有兩個(gè)17位數(shù)，互為反序數(shù)：，試證明，他們的和的所有數(shù)碼中必有一個(gè)偶數(shù)例4：把1,2,3,…….99這99個(gè)數(shù)任意排列成a1,a2……a99,則判斷（1-a1）（2-四、完全平方數(shù)完全平方數(shù)是?？嫉囊活悊栴}。尤其是其奇偶性的特性，更是重中之重。n2≡0或1試證明以上性質(zhì)，利用這兩個(gè)性質(zhì)，可以給很多題目帶來簡(jiǎn)化。例1：設(shè)質(zhì)數(shù)從小到大排列為p1,p2,p3……證明：對(duì)于任意大于1的整數(shù)n*例2：求最小的整數(shù)n，使得存在整數(shù)，滿足例3：如果正整數(shù)a，b滿足，那么例4：已知n是正整數(shù)，且2n+1和3n+1都是完全平方數(shù)，證明：40|n五、尾數(shù)問題所謂尾數(shù)其實(shí)也就是除以10的余數(shù)。當(dāng)然，絕大多數(shù)的題目，不需要用到這個(gè)同余，因?yàn)槲矓?shù)是明顯有比較簡(jiǎn)單的規(guī)律的。123456789n1123456789n2149656941n3187456329n4161656161n5123456789n6149656941n7187456329n8161656161……………………我們可以看到總是以4作為一個(gè)周期的。這樣就可以很快地判斷出尾數(shù)了。當(dāng)然有一些題目中會(huì)問末兩位的值，此時(shí)就通過mod100來處理，或者通過后面提到的同余方程組的方法來處理即可。例2：試求的末兩位數(shù)的大小。第七節(jié)：簡(jiǎn)單的同余方程一、同余方程：簡(jiǎn)單的同余方程有點(diǎn)像一次方程。形如形式的方程被稱為同余方程。其實(shí)解這樣的問題就是一個(gè)輾轉(zhuǎn)相除法：我們注意到其實(shí)就是找到一個(gè)數(shù)k，使得，也就是說尋找的解，如此不斷重復(fù)，注意到模的數(shù)越來越小，最終反過來處理就可以得到結(jié)果了。例9：試解下面的同余方程： 同余方程有很多的應(yīng)用，我們可以看以下的這個(gè)例子例10：（五猴分桃問題）5只猴子得到了一堆桃子，他們發(fā)現(xiàn)那堆桃子不能被均勻分5份，于是猴子們決定先去睡覺，明天再討論如何分配。夜深人靜的時(shí)候，猴子A偷偷起來，吃掉了一個(gè)桃子后，它發(fā)現(xiàn)余下的桃子正好可以平均分成5份，于是它拿走了一份；接著猴子B也起來先偷吃了一個(gè)，結(jié)果它也發(fā)現(xiàn)余下的桃子恰好可以被平均分成5份，于是它也拿走了一份；后面的猴子C、D、E一次如法炮制，先偷吃一個(gè)，然后將余下的桃子平均分成5份并拿走了自己的一份，問：這一堆桃子至少有幾個(gè)？二、中國剩余定理當(dāng)我們遇到多個(gè)同余方程組時(shí)，可以通過分別解每個(gè)方程得到如下的形式：對(duì)于如上的方程組而言，有以下性質(zhì)：在連續(xù)的個(gè)數(shù)當(dāng)中，至多只有一個(gè)數(shù)滿足條件。換句話說，就是要找到在1、2、……、中的滿足條件的一個(gè)數(shù)，這樣，我們就能求出所有的滿足方程組得解了。此處使用的方法就是中國剩余定理的方法：步驟：（1）先考慮，尋找一個(gè)常數(shù)，使得，并且記（2）接著，通過類似地步驟，求得向?qū)τ诓煌琣時(shí)候的C值那么最后，構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)即可滿足同余方程了就是我們想要求得的一組解了。試了解其含義。另：中國剩余定理（即孫子定理）設(shè)是兩兩互質(zhì)的正整數(shù)，記M=則同余方程組有且只有解（△）其中（△△）【證明】由知，，因此每一個(gè)同余方程（i=1，2，…n）都有解，于是必存在所以對(duì)模故（△△）是（△）的解.若是適合（△）的任意兩個(gè)解，則故因此，（△△）是（△）的惟一解.例1：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？——《孫子算經(jīng)》

事實(shí)上，在孫子算經(jīng)中，還有一首簡(jiǎn)單的打油詩來幫助記憶這樣的一個(gè)思考方式三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團(tuán)圓整半月，除百零五便得知。這首詩就隱藏了解決這類題目的主要過程和手段。第八節(jié)：Fermat小定理與Wilson定理 首先分別介紹Fermat小定理和Wilson定理的內(nèi)容： Fermat小定理：對(duì)于質(zhì)數(shù)p，如果存在正整數(shù)a，（a,p）=1，那么必有。 Wilson定理：對(duì)于質(zhì)數(shù)p，。反之亦然。例1：試分別證明Fermat小定理和Wilson定理例2：設(shè)x是一個(gè)正整數(shù)，p是x2+1的一個(gè)奇質(zhì)數(shù)因子，證明同余問題雖然在學(xué)校的教學(xué)中出現(xiàn)得很少，但是，其在數(shù)學(xué)競(jìng)賽的應(yīng)用性就非常強(qiáng)了。同余的內(nèi)容雖然是一個(gè)新知識(shí)，但是我們可以注意到啟示它的運(yùn)算并不算。一般都有比較通用的辦法來加以解決。其實(shí)數(shù)論的問題和各個(gè)不同數(shù)學(xué)分支的結(jié)合都非常緊密，是一個(gè)非常綜合性的學(xué)科。希望同學(xué)們?cè)谡n余時(shí)間按可以多多思考同余的問題，更深入地掌握的解決這類問題的手段?！灸M試題】1.今天是星期日，再過天又是星期幾？2.求除以3所得的余數(shù)。3.某數(shù)除680，970和1521，余數(shù)相同，這個(gè)數(shù)最大是幾？4.有一列數(shù)排成一行，其中第一個(gè)數(shù)是3，第二個(gè)數(shù)是7，從第三個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)恰好是前兩個(gè)數(shù)的和，那么，第1997個(gè)數(shù)被3除，余數(shù)是幾？5.若將一批貨物共千克裝入紙箱，每箱裝10千克，最后余多少千克？若每箱裝17千克，最后還余多少千克？6、1309被一個(gè)質(zhì)數(shù)相除，余數(shù)是21，求這個(gè)質(zhì)數(shù)。7、1796被一個(gè)質(zhì)數(shù)相除，余數(shù)是24，求這個(gè)質(zhì)數(shù)。8、求2001×2000除以7的余數(shù)。9、求123×345+234×456除以11的余數(shù)。10、有一個(gè)大于1的整數(shù)，它除1000、1975、2001都得到相同的余數(shù)，那么這個(gè)整數(shù)是多少？11、有三個(gè)數(shù)1989、901和306被同一個(gè)自然數(shù)除，得到相同的余數(shù)，求這個(gè)自然數(shù)。12、兩個(gè)自然數(shù)相除，商15，余3，被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)的和是853，求被除數(shù)。8、兩數(shù)相除商40余7，被除數(shù)、除數(shù)、余數(shù)和商的和是710，求被除數(shù)。13、有一個(gè)數(shù)除以3余1，除以4余2，問這個(gè)數(shù)除以12，余數(shù)是幾？14、一個(gè)數(shù)除以5余1，除以6余3，除以7余4，這個(gè)數(shù)最小是幾？15、3867×4253＝1644□351，求□里的數(shù)。4937×6845＝3379□765，求□里的數(shù)。16、兩個(gè)自然數(shù)相除，商8余16，被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)的和為265，求除數(shù)是多少？17、寫出除以8所得的商和余數(shù)（不為0）相同的所有的數(shù)。18、2002×2002-2001除以9的余數(shù)是多少？19、當(dāng)2002和1781除以某一個(gè)自然數(shù)，余數(shù)分別是2和1，那么這個(gè)數(shù)最大是多少？20、一個(gè)數(shù)除以17的余數(shù)是5，被除數(shù)擴(kuò)大2倍，余數(shù)是多少？21、有一個(gè)數(shù)，除以3余數(shù)是1，除以4余數(shù)是3。這個(gè)數(shù)除以12，余數(shù)是多少。22、570被一個(gè)兩位數(shù)除，余數(shù)是15，這個(gè)兩位數(shù)是多少？23、有一個(gè)數(shù)加上22的和被9除余3，這個(gè)數(shù)加上35的和被9被余幾？B組24、有一個(gè)整數(shù)，用它去除45，53，143得到的3個(gè)傷痕的和是20，這個(gè)數(shù)是多少？25、有一個(gè)數(shù)用它去除100，余數(shù)是1，用它去除50，余數(shù)是6，求這個(gè)數(shù)。26、把幾十個(gè)蘋果平均分成若干份，每份9個(gè)余8個(gè)，每份8個(gè)余7個(gè)每份4個(gè)余3個(gè)。這堆蘋果共有多少個(gè)？27、有一個(gè)數(shù)被5和11整除均余4，被3正好整除，這個(gè)數(shù)最小是幾？28、求被4除余2，被6除余2，被9除余5的兩位數(shù)。29、一個(gè)數(shù)能被3、5、7整除，若用11去除則余7，這個(gè)數(shù)最小是幾？30、小紅收數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組買奧數(shù)練習(xí)本的錢，她只記下四組各交的錢，第一組6.3元，第二組7.7元，第三組6.3元，第四組9.1元，又知道每本練習(xí)本價(jià)格都超過1角，求數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組共有多少人？（提示：練習(xí)本單價(jià)是總價(jià)的公約數(shù)。）31、五年級(jí)兩個(gè)班的學(xué)生一起排隊(duì)出操，如果8人排一行，多出一個(gè)人；如果11人排一行，同樣多出一個(gè)人。這兩個(gè)班最小共有多少人？（提示：如果減去一人那么人數(shù)就能被8和11整除了。）32、一個(gè)數(shù)被4除余3，被5除余4，被6除余5，這樣的數(shù)中最小的是幾？（提示：余數(shù)與除數(shù)有什么關(guān)系？）33、一筐蘋果，如果按5個(gè)一堆放，最后多出3個(gè)；如果按6個(gè)一堆放，最后多出4個(gè)；如果按7個(gè)一堆放，還多出1個(gè)；這筐蘋果至少有多少個(gè)？（提示：先滿足被7除余1，再從中找出被6除余4……）競(jìng)賽題精選1、若2836，4582，5164，6522四個(gè)自然數(shù)都被同一個(gè)自然數(shù)相除，所得余數(shù)相同且為兩位數(shù)，除數(shù)和余數(shù)的和為（）。（2001小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題決賽B卷）2、一個(gè)自然數(shù)除以3余2，除以5余2，除以7余5，除以9余5，除以11余4，則滿足這些條件的最小自然數(shù)是（