河南省五市高三第二次聯(lián)合調(diào)研考試數(shù)學(xué)（理）試題

2022屆河南省五市高三第二次聯(lián)合調(diào)研考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知：，，記，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出集合，再按照給的定義計(jì)算即可.【詳解】由題意知：或，，故.故選：A.2．設(shè)復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位），則的值為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的模即可求解.【詳解】，故.故選：B.3．已知平面向量，均為單位向量，若向量，的夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出以及，再求即可.【詳解】由題意知：，，故.故選：D.4．若x，y滿足則x+2y的最大值為A．1 B．3C．5 D．9【答案】D【詳解】試題分析：如圖，畫出可行域，表示斜率為的一組平行線，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，故選D.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃．解決此類問題的關(guān)鍵是正確畫出不等式組表示的可行域，將目標(biāo)函數(shù)賦予幾何意義.求目標(biāo)函數(shù)的最值的一般步驟為：一畫、二移、三求．常見的目標(biāo)函數(shù)類型有：（1）截距型：形如.求這類目標(biāo)函數(shù)的最值時(shí)常將函數(shù)轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：，通過求直線的截距的最值間接求出的最值；（2）距離型：形如；（3）斜率型：形如，而本題屬于截距形式.5．已知，在中任取一點(diǎn)，則事件“”發(fā)生的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用幾何概型的面積類型即可求出答案.【詳解】如圖，表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓及其內(nèi)部的區(qū)域，其面積為，事件“”表示點(diǎn)，落在為頂點(diǎn)得正方形及其內(nèi)部，其面積為，故概率為：.故選：C.6．若對(duì)都有，則下列式子不一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先構(gòu)造函數(shù)，判斷出為增函數(shù)和奇函數(shù)，由得到，再依次判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】由可得，令，則，故為增函數(shù)，又定義域?yàn)?，，故為奇函?shù).即，又為增函數(shù)，可得，故，A正確；，B正確；，C正確；不一定成立，D錯(cuò)誤.故選：D.7．已知ξ服從正態(tài)分布，a∈R，則“P（ξ＞a）=0.5”是“關(guān)于x的二項(xiàng)式的展開式的常數(shù)項(xiàng)為3”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分又不必要條件 D．充要條件【答案】A【詳解】試題分析：由，知．因?yàn)槎?xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為＝，令，得，所以其常數(shù)項(xiàng)為，解得，所以“”是“關(guān)于的二項(xiàng)式的展開式的常數(shù)項(xiàng)為3”的充分不必要條件，故選A．【解析】1、正態(tài)分布；2、二項(xiàng)式定理；3、充分條件與必要條件．F作拋物線的弦，與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，分別過A、B兩點(diǎn)做拋物線的切線l1，l2相交于P點(diǎn)，那么阿基米德三角形PAB滿足以下特性：①P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；②△PAB為直角三角形，且為直角；③PF⊥AB.已知P為拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則阿基米德三角形PAB的面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線求得，通過PF⊥AB求得，進(jìn)而得到為中點(diǎn)，由表示出三角形PAB的面積，結(jié)合基本不等式求出最小值即可.【詳解】易知，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程，直線斜率必然存在，設(shè)，，，聯(lián)立化簡得，顯然；又PF⊥AB可得，即，化簡得，過作軸交于點(diǎn)，可得為中點(diǎn)，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.故三角形PAB的面積的最小值為4.故選：C.9．在鈍角中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由解出的值，再判斷出為鈍角，由即可求解.【詳解】由知為銳角，故，又，即，解得或，又為最大邊，故為鈍角.當(dāng)時(shí)，，舍去；當(dāng)時(shí)，，滿足為鈍角；故.故選：C.10．函數(shù)的部分圖像如圖所示，現(xiàn)將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度，再將圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像，則的表達(dá)式可以為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先由圖像中最大值及求出、，再結(jié)合及求得，即可求得，最后通過平移伸縮變換得到即可.【詳解】由圖像可知：；，又，所以；由，可得，解得，又，即，解得，故，，即，將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度得，再將圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍得.故選：B.11．如圖，某城市的街區(qū)由12個(gè)全等的矩形組成（實(shí)線表示馬路），段馬路由于正在維修，暫時(shí)不通，則從到的最短路徑有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】B【分析】先考慮所有的最短路徑有種，再減去經(jīng)過段的最短路程即可.【詳解】由題意知：從從到的最短路徑要通過7段馬路，4段水平馬路，3段豎直馬路，共有種，又因?yàn)榻?jīng)過段的走法有種，故不經(jīng)過段的最短路程有種.故選：B.12．已知函數(shù)，若，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】畫出的圖像，設(shè)，故，構(gòu)造函數(shù)令，求導(dǎo)確定的單調(diào)性，即可求出最大值.【詳解】作出函數(shù)的圖像如下圖：因?yàn)椋?，結(jié)合圖像，不妨設(shè)，設(shè)，則，且，即，，即，所以，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以在單調(diào)遞增，，即的最大值為，所以的最大值為.故選：D.二、填空題13．設(shè)函數(shù)，則曲線在處的切線方程為_______.【答案】【分析】先求出和，再結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程即可求解.【詳解】，又，，故曲線在處的切線方程為，即.故答案為：.14．在正方體中，，是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為________.【答案】【分析】連接、，將△沿翻折到與△在同一個(gè)平面，當(dāng)P是中點(diǎn)時(shí)，取最小值．【詳解】如圖，連接、，將△沿翻折到與△在同一個(gè)平面，如下圖：已知△為等邊三角形，△為等腰三角形，兩個(gè)三角形有公共邊，則當(dāng)P是中點(diǎn)時(shí)，、P、三點(diǎn)共線，此時(shí)取最小值．故答案為：﹒15．設(shè)雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，以為圓心的圓恰好與雙曲線的兩漸近線相切，且該圓過線段的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率是_____．【答案】【分析】先由焦點(diǎn)到漸近線的距離求出半徑，再利用該圓過線段的中點(diǎn)得到，即可求出離心率,【詳解】由題意知：漸近線方程為，由焦點(diǎn)，，則圓的半徑為，又該圓過線段的中點(diǎn)，故，離心率為.故答案為：.16．已知函數(shù)，則不等式的解集為_______.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再利用作差法比較和的大小，不等式等價(jià)于或，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性從而可得出答案.【詳解】解：由，，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以，又不等式中含，則，故，又，因?yàn)椋?，即，所以，則不等式，等價(jià)于或，即或，解得，所以不等式的解集為.故答案為：.三、解答題17．某景區(qū)單日接待游客上限為3.5萬人，現(xiàn)響應(yīng)政府號(hào)召，推出惠民活動(dòng)：凡活動(dòng)期內(nèi)通過網(wǎng)上預(yù)約申請(qǐng)，即可免門票游玩.隨著活動(dòng)的推廣，吸引越來越多的人網(wǎng)絡(luò)預(yù)約.該景區(qū)統(tǒng)計(jì)了活動(dòng)推出一周內(nèi)每一天網(wǎng)上預(yù)約人次，用表示活動(dòng)推出的天數(shù)，表示每天網(wǎng)絡(luò)預(yù)約通過的人次（單位：十人次），統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表1所示：表1：1234567611213466101196根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了如圖1所示的散點(diǎn)圖.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與(均為正常數(shù))哪種模型建立關(guān)于的回歸方程更合適？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表1中的數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測(cè)惠民活動(dòng)推出第12天是否超限？參考數(shù)據(jù)：2535其中參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為.【答案】(1)適合(2)，不超限【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖可以看出適宜作為網(wǎng)絡(luò)預(yù)約人數(shù)關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)的回歸方程模型.（2）對(duì)，兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，化為線性回歸方程，求出對(duì)應(yīng)系數(shù)，寫出關(guān)于的回歸方程，再利用方程求出時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，即可判斷惠民活動(dòng)推出第12天是否超限.【詳解】(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，適宜作為網(wǎng)絡(luò)預(yù)約人數(shù)關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)的回歸方程模型.(2)因?yàn)?，兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，得：..關(guān)于的回歸方程為：.即活動(dòng)第12天網(wǎng)絡(luò)預(yù)約人次約為34700，少于景區(qū)上限3.5萬人次，故不超限.18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，且滿足：，其中且.(1)求.(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，由得，又，再按照等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解即可；（2）設(shè)，由，通過累加法求得，再通過分組求和及等比數(shù)列的求和公式求即可.【詳解】(1)記，當(dāng)時(shí)，由得，，即.又因?yàn)?，，，所以，，?故數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，即數(shù)列是等比數(shù)列.則.(2)由（1）知.記，故，當(dāng)時(shí)，即.而也滿足，故對(duì)，均有.從而.19．如圖，在四棱錐中，，，，.(1)記，，，求證：；(2)若，，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）先證明平面，再解三角形求三角函數(shù)得證；（2）建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸的平面直角坐標(biāo)系，再利用向量法求解.【詳解】(1)證明：連接.，平面，，又，，平面，平面.又平面，故.在直角中，，在直角中，，在直角中，，故.(2)解：由題可知，在直角梯形中，，，且，從而，由平面幾何知識(shí)易得.不妨建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸的平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.則,設(shè)平面的法向量為，則，即，取，可得.同理，設(shè)平面的法向量為，可以得到.于是，故二面角的余弦值為.20．已知橢圓：（）的上頂點(diǎn)和兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形為等腰直角三角形，且面積為，點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)若經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，實(shí)數(shù)取何值時(shí)以為直徑的圓恒過點(diǎn)？【答案】(1)(2)【分析】（1）直接由解方程求出，進(jìn)而得到即可；（2）討論斜率存不存在，斜率存在時(shí)，設(shè)出直線聯(lián)立橢圓方程，由得到，解出即可；斜率不存在時(shí)，直接求出坐標(biāo)，由解出即可.【詳解】(1)由題意知：解得：，，所以橢圓的方程為.(2)由（1）知：，若直線的斜率不存在，則直線的方程為（），此時(shí)，，由得，解得或（舍），即.若直線的斜率存在，不妨設(shè)直線：，，聯(lián)立，得.所以，，.由題意知：，即，易得，，整理得，，因?yàn)椴缓銥楣式獾没颍ㄉ幔?，綜上，時(shí)以為直徑的圓恒過點(diǎn).21．已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的極值；(2)若對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)當(dāng)時(shí)，，無極大值；當(dāng)a<?e時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，無極值.(2)【分析】（1）先求導(dǎo)得到，再分，，及討論函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而確定極值；（2）由和知時(shí)符合題意；當(dāng)時(shí)，將轉(zhuǎn)化為，求出的最小值及的最大值，即可求解.【詳解】(1)由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?，?令，則或，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即在處取得極小值，即；當(dāng)時(shí)，由得，（），在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)在處取得極大值，在處取得極小值，即:，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)在處取得極小值，在處取得極大值，可得，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，無極值.綜上所述：當(dāng)時(shí)，，無極大值；當(dāng)a<?e時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，無極值.(2)令，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，故，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，當(dāng)時(shí)，，，，顯然滿足題意..當(dāng)時(shí)，由得，即，故只須：，即，故當(dāng)時(shí)，顯然滿足題意；綜上所述：.22．在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線與曲線（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)寫出曲線、的極坐標(biāo)方程；(2)在極坐標(biāo)系中，已知射線：（），，若與、的公共點(diǎn)分別為、，求的最大值.【答案】(1)，(2)2【分析】（1）先求出的普通方程，再按照公式將、化為極坐標(biāo)方程即可；（2）設(shè)出點(diǎn)A、B的極坐標(biāo)，利用曲線、的極坐標(biāo)方程求出，再結(jié)合極坐標(biāo)的幾何意義及求范圍即可.【詳解】(1)因?yàn)?，所以曲線可化為...曲線化為普通方程為，即，因?yàn)?，所以曲線化為.(2)設(shè)點(diǎn)A、B