江西省南昌市高三第二次模擬測試數學（文）試題

2022屆江西省南昌市高三第二次模擬測試數學（文）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查集合的交集，易錯點在于集合A元素是自然數，集合B的元素是實數．【詳解】∵，，∴．故選：．2．已知i為虛數單位，若，則（

）A．1+i B． C．2 D．【答案】B【分析】根據共軛復數的定義求出，然后利用復數的模長公式即可求解.【詳解】解：因為，所以，所以，故選：B.3．已知直線與直線垂直，則m=（

）A．-2 B． C．2 D．【答案】C【分析】根據兩直線垂直，直接列出方程求解，即可得出結果.【詳解】當時，，由知，斜率為2，所以直線與不垂直，不符合題意；當時，，因為直線與直線垂直，所以，解得.故選：C.4．已知公比不為1的正項等比數列的前n項和為，若，則公比q=（

）A．3 B．2 C． D．【答案】A【分析】直接應用等比數列前n項和公式建立方程就可解出q.【詳解】由題知公比不為1且為正，由得，化簡得，所以q=3.故選：A.5．已知圓錐內部有一個半徑為的球與其側面和底面均相切，且圓錐的軸截面為等邊三角形，則圓錐的側面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設圓錐的底面半徑為，則該圓錐的軸截面（等邊三角形）的邊長為，利用等面積法可得出關于的等式，解出的值，可得出該圓錐的母線長，利用圓錐的側面積公式可求得結果.【詳解】設圓錐的底面半徑為，則該圓錐的軸截面（等邊三角形）的邊長為，由等面積法可知圓錐的軸截面面積為，解得，則該圓錐的母線長為，因此，該圓錐的側面積為.故選：C.6．已知，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由對數函數、三角函數、指數函數的性質可比較出大小.【詳解】因為，，，所以.故選：D7．若為奇函數，則（

）A．-8 B．-4 C．-2 D．0【答案】A【分析】利用分段函數的特點及奇函數的性質求解.【詳解】因為為奇函數，所以，又，可得.故選：A.8．已知，，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用圖象解不等式，然后利用集合的包含關系判斷可得出結論.【詳解】對于不等式，作出曲線與的圖象如下圖所示：由圖象可知，不等式的解集為，因為，因此，是的必要不充分條件，故選：B.9．如圖1，正方體中，點P在矩形內（包含邊界），若三棱錐的左視圖如圖2所示，則此三棱錐的俯視圖不可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分別取點點為，和線段的中點，結合三視圖的規(guī)則，即可求解.【詳解】如圖（1）所示，若點為的中點時，此時三棱錐的俯視圖為選項C；如圖（2）所示，若點為的中點時，此時三棱錐的俯視圖為選項B；如圖（3）所示，取和的中點和，連接，若點為的中點時，此時三棱錐的俯視圖為選項A；所以此三棱錐的俯視圖不可能是選項D.故選：D.10．已知函數在上有且僅有3個零點，則m的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】化簡函數，得到的零點，根據題意可得m的取值范圍，從而可得m的最大值.【詳解】，令，即，所以，即，令，得，令，得，令，得，令，得，因為函數在上有且僅有3個零點，所以，所以m的最大值為，故選：C.11．已知函數，則函數的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據導函數的零點與原函數極值點的關系即可判定圖像.【詳解】由題，導函數有兩個變號零點即原函數有兩個極值點，且，只有B圖符合.故選：B.12．已知函數，若，且，則實數a的最大值為（

）A．2 B． C．ln2 D．e【答案】C【分析】先用導數法判斷函數的單調性，根據，，得到，利用復合函數的值域求解.【詳解】解：，若，則不滿足，所以，令，得，當時，，遞增，當時，，遞減，因為，所以，又，所以，即，因為，所以，所以，故實數a的最大值為，故選：C二、填空題13．已知向量，，若，則___________.【答案】【分析】利用平面向量數量積的運算性質可求得結果.【詳解】由已知.故答案為：.14．已知等差數列的前n項和為，且，，則___________.【答案】【分析】設等差數列的公差為，依題意根據等差數列的求和公式及通項公式得到方程組，求出、，即可得解；【詳解】解：設等差數列的公差為，由，，所以，解得，所以；故答案為：15．從裝有個紅球和個藍球（除顏色外完全相同）的盒子中任取兩個球，則選到的兩個球顏色相同的概率為___________.【答案】【分析】列舉出任取兩個球所有可能的選法，并確定顏色相同的選法數，由古典概型概率公式可求得結果.【詳解】個紅球記為，個籃球記為，則任取兩個球有，，，，，，，，，，共種選法；其中顏色相同的有，，，，共種選法；選到的兩個球顏色相同的概率.故答案為：.16．已知、分別是雙曲線的左、右焦點，也是拋物線的焦點，點是雙曲線與拋物線的一個公共點，若，則雙曲線的離心率為___________.【答案】【分析】過點作拋物線準線的垂線，垂足為點，求出，求出、的余弦值，由題意可知，可得出關于、的齊次等式，結合可解得的值.【詳解】過點作拋物線準線的垂線，垂足為點，則，因為，則，則，因為，則，由余弦定理可得，因為，所以，，所以，，整理可得，即，因為，解得.故答案為：.三、解答題17．如圖，銳角中，，延長到，使得，，.(1)求；(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）在，直接利用正弦定理可求得的長；（2）設，則為銳角，可得出、的值，計算出的正弦值和余弦值，然后利用兩角和的正弦公式可求得的值.【詳解】(1)解：在中，由正弦定理知，所以，.(2)解：設，則為銳角，，所以，，所以，則，所以.18．如圖，四邊形、都是邊長為的正方形，，四邊形為矩形，平面平面，平面平面，點在線段上，且.(1)求四棱錐的體積；(2)求證：平面.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）過點在平面內作垂直于的延長線于點，推導出平面，計算出的長，然后利用錐體的體積公式可求得結果；（2）證明出，推導出、、、四點共面，再利用線面平行的判定定理可證得結論成立.【詳解】(1)解：因為，，，平面，因為平面，則平面平面，過點在平面內作垂直于的延長線于點，因為平面平面，平面平面，，平面，所以，平面，因為四邊形、都是邊長為的正方形，則，，利用等角定理結合圖形可知，故，所以，，所以.(2)證明：因為，，，所以，所以，因為為矩形，則，因為平面平面，平面平面，平面，平面，，所以，、、、四點共面，因為平面，平面，因此，平面.19．國際上常用體重指數作為判斷胖瘦指標，體重指數是體重（單位：千克）與身高（單位：米）的平方的比值.高中學生由于學業(yè)壓力，缺少體育鍛煉等原因，導致體重指數偏高.某市教育局為督促各學校保證學生體育鍛煉時間，減輕學生學習壓力，準備對各校學生體重指數進行抽查，并制定了體重指數檔次及所對應得分如下表：檔次低體重正常超重肥胖體重指數（單位：）學生得分抽查了某校高三名學生的體重指數，得到數據如下表：(1)請你計算該校這次檢查中學生平均得分，估算該校高三學生的肥胖率；(2)從這名學生中選取了名男同學，測量了他們的肺活量，得到如下數據表：序號體重指數（單位：）肺活量（單位：）求關于的線性回歸方程.參考數據：，，，.參考公式：回歸直線方程是，其中，.【答案】(1)平均得分為；肥胖率為(2)【分析】（1）由表格數據可確定低體重、正常、超重和肥胖的人數，由平均數的計算方法可求得平均得分；根據肥胖人數可得肥胖率；（2）根據參考數據，利用最小二乘法即可求得回歸方程.【詳解】(1)由表格數據知：低體重的有人，正常的有人，超重的有人，肥胖的有人；學生的平均得分為：；學生肥胖率為.(2)由參考數據知：，，，，關于的線性回歸方程為：.20．已知函數.(1)當時，求函數的單調區(qū)間；(2)若，證明：方程有且僅有一個正根.【答案】(1)增區(qū)間為，無減區(qū)間；(2)證明見解析【分析】（1）時，求導，分析導函數的符號即可得出單調區(qū)間；（2）先證明出一個點，當，，再證時函數遞增，結合零點存在定理即可說明.【詳解】(1)因為，所以，則，當時，所以函數在上單調遞增，即函數的增區(qū)間為，無減區(qū)間；(2)因為，所以，設，，所以，當時，，則在為減函數；當時，，則在為增函數；因為，當時，，所以存在，使得，當時，，則在上單調遞減；當時，，則在上單調遞增；因為，所以當時，，；且當時，，所以在區(qū)間有且僅有一個零點，即方程有且僅有一個正根.21．已知橢圓的左?右頂點分別為，，點H是直線上的動點，以點H為圓心且過原點的圓與直線l交于M，NH在橢圓E上時，圓H的半徑為.(1)求橢圓E的方程；(2)若直線AM，AN與橢圓E的另一個交點分別為P，Q，記直線PQ，OH的斜率分別為，，判斷是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由.【答案】(1)；(2)是定值，定值為.【分析】（1）求出，即得解；（2）設，，根據，所以，再把直線方程和橢圓方程聯(lián)立，得到P，Q的坐標，求出，即得解.【詳解】(1)解：由題意知a=2，因為，所以，所以，所以，即橢圓方程為.(2)解：，，可得，，，因為，所以，由，整理可得：，所以，則，，同理可得：，，所以，因為，所以.22．在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數方程為（為參數），以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為.(1)求曲線C的極坐標方程及直線l的直角坐標方程；(2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點，且，求a.【答案】(1)，(2)【分析】（1）首先利用二倍角公式及同角三角函數的基本關系將曲線的參數方程化為普通方程，再根據化為極坐標方程，根據公式將直線的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）根據圓心角的性質得到，即可得到圓心到直線的距離為，利用點到直線的距離公式得到方程，解得，再檢驗即可；【詳解】(1)解：因為曲線C的參數方程為（為參數）所以，所以曲線C的普通方程為，即，又，所以，所以曲線C的極坐標方程為.因為直線l的極坐標方程為，所以