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矩陣論電子教程2021/5/91

矩陣的分解第四章2

§4.4單純矩陣的譜分解定理1:

設是一個階可對角化的矩陣，相異特征值為，則使得:此式稱為A的譜分解稱為A的譜族且滿足:2021/5/93分析:設是的代數(shù)重復度則:2021/5/94證明(1)

因為所以:證明(2)2021/5/95(3)由得同理可得證明:而:,所以:證明:證明:(5)

假設A有譜分解和2021/5/96則由(3)知:由于,所以:同理可得:因為因為所以,唯一性得證2021/5/97

可對角化矩陣的譜分解步驟：（1）首先求出矩陣的全部互異特征值及每個特征值所決定的線性無關特征向量（3）令:（2）寫出（4）最后寫出2021/5/98例1：已知矩陣為一個可對角化矩陣，求其譜分解表達式。解:

首先求出矩陣的特征值與特征向量。容易計算從而的特征值為

可以求出分別屬于這三個特征值的三個線性無關的特征向量:2021/5/99于是2021/5/910取令那么其譜分解表達式為2021/5/911正規(guī)陣的譜分解:設為正規(guī)矩陣，那么存在使得:

其中是矩陣的特征值所對應的單位特征向量。我們稱上式為正規(guī)矩陣的譜分解表達式。2021/5/912

設正規(guī)矩陣有個互異的特征值，特征值的代數(shù)重數(shù)為，所對應的個兩兩正交的單位特征向量為,則的譜分解表達式又可以寫成其中，并且顯然有:2021/5/913（6）滿足上述性質(zhì)的矩陣是唯一的。我們稱為正交投影矩陣。即對于正規(guī)陣,滿足如下6條:推論1

設是一個階可對角化的矩陣，譜分解為:,若:則有2021/5/914解：首先求出矩陣的特征值與特征向量。容易計算例2：求正規(guī)矩陣的譜分解表達式。從而的特征值為2021/5/915當時，求得三個線性無關的特征向量為

當時，求得一個線性無關的特征向量為將正交化與單位化可得2021/5/916將單位化可得：2021/5/917于是有2021/5/918這樣可得其譜分解表達式為2021/5/919解：首先求出矩陣的特征值與特征向量。求正規(guī)矩陣的譜分解表達式。練習從而的特征值為

可以求出分別屬于這三個特征值的三個線性無關的特征向量:2021/5/920再將其單位化可得三個標準正交的特征向量202

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