【高中數(shù)學(xué)】分類加法計數(shù)原理與分布乘法計數(shù)原理（第一課時） 高二數(shù)學(xué)課件(人教A版2019選擇性必修第三冊)

第六章

計

數(shù)

原

理章前引言汽車號碼牌的序號一般是從26個英文字母、10個阿拉伯?dāng)?shù)字中選出若干個，并按照適當(dāng)順序排列而成。隨著人們生活水平的提高，家庭汽車擁有量迅速增長，汽車號碼序號需要擴(kuò)容，那么，交通管理部門應(yīng)如何確定序號的組成方法，才能滿足民眾的需求呢？這就需要“數(shù)出”某種汽車號碼牌序號組成的方案下所有可能的序號數(shù)，這就是計數(shù)。比如：日常生活、生產(chǎn)中類似的問題大量存在.例如，幼兒會通過一個一個地數(shù)的方法，計算自己擁有玩具的數(shù)量；學(xué)校要舉行班際籃球比賽，在確定賽制后，體育組的老師需要知道共需要舉行多少場比賽.又比如：用紅、黃、綠三面旗幟組成航海信號，顏色的不同排列表示不同的信號，需要知道共可以組成多少種不同的信號……如果問題中數(shù)量很少，一個一個地數(shù)也不失為一種計數(shù)的好方法.但如果問題中數(shù)量很多，我們還一個一個地去數(shù)嗎？在小學(xué)我們學(xué)了加法和乘法，這是將若干個“小”的數(shù)結(jié)合成“較大”的數(shù)最基本的方法.這兩種方法經(jīng)過推廣就成了本章將要學(xué)習(xí)的分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理.這兩個原理是解決計數(shù)問題的最基本、最重要的方法，利用兩個計算原理還可以得到兩類特殊計數(shù)問題的計數(shù)公式——排列數(shù)公式和組合數(shù)公式，應(yīng)用公式就可以方便地解決一些計數(shù)問題.作為計數(shù)原理與計數(shù)公式的一個應(yīng)用，本章我們還將學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)上有廣泛應(yīng)用的二項式定理.章前引言第六章

計數(shù)原理6.1分類加法計數(shù)原理與

分步乘法計數(shù)原理第

一課時一二三學(xué)習(xí)目標(biāo)通過實例，歸納總結(jié)分類加法、分步乘法原理能正確理解“完成一件事”的正確含義，能根據(jù)事件完成的特征，正確選擇“分類”加法、分步乘法進(jìn)行計算能利用分類加法、分步乘法計數(shù)原理解決相關(guān)問題新課導(dǎo)入

計數(shù)問題是我們從小就經(jīng)常遇到的，通過列舉一個一個地數(shù)是計數(shù)的基本方法，但當(dāng)問題中的數(shù)量很大時，列舉的方法效率不高，能否設(shè)計巧妙的“數(shù)法”，以提高效率呢？

本節(jié)課，我們會分析一些簡單的問題（實例），并嘗試從中得出巧妙的計數(shù)方法.新知探究：分類加法計數(shù)原理問題1用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的一個座位編號，總共能編出多少種不同的號碼?完成一件什么事怎么完成這件事英文字母有什么要求給一個座位編號用一個英文字母或一個阿拉伯?dāng)?shù)字方案1：方案2：用英文字母編號用阿拉伯?dāng)?shù)字編號列舉法：A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.261026+10=36這就是分類加法計數(shù)原理概念生成完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．分類加法計數(shù)原理：注意：兩類不同方案中的方法互不相同.典例解析例1

在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到，A，B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項專業(yè)，如右表.A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)數(shù)學(xué)化學(xué)會計學(xué)醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)物理學(xué)法學(xué)工程學(xué)問

如果這名同學(xué)只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇呢？完成一件什么事怎么完成這件事英文字母有什么要求選一個專業(yè)兩所大學(xué)中的一所大學(xué)里選一個專業(yè)方案1：方案2：在A大學(xué)強(qiáng)項專業(yè)里選在B大學(xué)強(qiáng)項專業(yè)里選54N=5+4=9鞏固練習(xí)變式1

在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到，A，B,C三所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項專業(yè)，如右表.A大學(xué)B大學(xué)C大學(xué)生物學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)化學(xué)會計學(xué)自動化醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)物理學(xué)法學(xué)工程學(xué)問

如果這名同學(xué)只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇呢？完成一件什么事怎么完成這件事英文字母有什么要求選一個專業(yè)兩所大學(xué)中的一所大學(xué)里選一個專業(yè)方案1：方案2：方案3：在A大學(xué)強(qiáng)項專業(yè)里選在B大學(xué)強(qiáng)項專業(yè)里選54在C大學(xué)強(qiáng)項專業(yè)里選3N=5+4+3-1=11鞏固練習(xí)變式2

在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到，A，B,C三所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項專業(yè)，如右表.A大學(xué)B大學(xué)C大學(xué)生物學(xué)數(shù)學(xué)金融學(xué)化學(xué)會計學(xué)自動化醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)物理學(xué)法學(xué)工程學(xué)問

如果這名同學(xué)只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇呢？完成一件什么事怎么完成這件事英文字母有什么要求選一個專業(yè)兩所大學(xué)中的一所大學(xué)里選一個專業(yè)方案1：方案2：方案3：在A大學(xué)強(qiáng)項專業(yè)里選在B大學(xué)強(qiáng)項專業(yè)里選54在C大學(xué)強(qiáng)項專業(yè)里選3N=5+4+3=12概念升華完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有

N＝m＋n種不同的方法．分類加法計數(shù)原理：分類加法計數(shù)原理的推廣：完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1

種不同的方法，在第2類方案中有m2

種不同的方法，……在第

n類方案中有mn

種不同的方法，那么完成這件事共有

N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．分類計數(shù)結(jié)論將完成一件事的辦法分成若干類求出每一類中的方法數(shù)將每一類中的方法數(shù)相加得最終結(jié)果利用分類加法計數(shù)原理解題的一般思路：注意：確定分類標(biāo)準(zhǔn)時要確保每一類都能獨(dú)立地完成這件事.方法歸納新知探究：分步乘法計數(shù)原理

完成一件什么事怎么完成這件事英文字母有什么要求給一個座位編號用一個英文字母和一個阿拉伯?dāng)?shù)字第1步：第2步：用英文字母編號用阿拉伯?dāng)?shù)字編號69N=6×9=54新知探究：分步乘法計數(shù)原理

法一：列舉法：將編號一個一個列舉出來，注意順序，注意不要遺漏法二：樹狀圖A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A9與字母A對應(yīng)的編號有9種能用樹狀圖列出所有可能的號碼嗎？B123456789B1B2B3B4B5B6B7B8B99種......概念生成分步乘法計數(shù)原理：一般地，完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有

N＝m×n種不同的方法.注意：無論第1步采用哪種方法，與之對應(yīng)的第2步都有相同的方法數(shù).注意：各個步驟相互依存,只有各個步驟都完成了,這件事才算完成,將各個步驟的方法數(shù)相乘得到完成這件事的方法總數(shù),又稱乘法原理.典例解析例2

某班有男生30名，女生24名.從中選出男、女生各1名代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法？完成一件什么事怎么完成這件事英文字母有什么要求選兩名班級代表1名男生和1名女生第1步：第2步：從男生中選1名從女生中選1名3024N=30×24=720鞏固練習(xí)例2

某班有男生30名，女生24名.從中選出男、女生各1名代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法？完成一件什么事怎么完成這件事英文字母有什么要求變式：該班有10名任課老師，若要從中增派1名老師作為領(lǐng)隊，共有多少種不同的選法？選兩名班級代表和一名帶隊老師1名男生1名女生和1名老師第1步：第2步：第3步：從男生中選1名從女生中選1名3024從老師中選1名10N=30×24×10=7200概念升華完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有

N＝m×n種不同的方法．分步乘法計數(shù)原理：分步乘法計數(shù)原理的推廣：完成一件事需要有n個步驟，做第1步有m1

種不同的方法，做第2步有m2

種不同的方法，……做第

n步有mn

種不同的方法，那么完成這件事共有

N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．典例解析例3

書架上第1層放有4本不同的計算機(jī)書,第2層放有3本不同的文藝書,第3層放有2本不同的體育書.(1)從書架上任取1本書,有多少種不同的取法?(2)從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書,有多少種不同取法?

問：分別是在完成一件什么事？怎么完成？是方法的分類還是過程的分步？分析:(1)要完成的一件事是“從書架上取1本書”，可以分從第1層、第2層和第3層中取三類方案；（分類加法）分析:(2)要完成的一件事是“從書架第1層、第2層、第3層中各取1本書”，可以分三個步驟完成.（分步乘法）典例解析例3

書架上第1層放有4本不同的計算機(jī)書,第2層放有3本不同的文藝書,第3層放有2本不同的體育書.(1)從書架上任取1本書,有多少種不同的取法?(2)從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書,有多少種不同取法?解：(1)從書架上任取1本書，有三類方案：

第1類方案,從第1層中任取一本計算機(jī)書,有4種方法;

第2類方案,從第2層中任取一本文藝書,有3種方法;

第3類方案：從第3層中任取一本體育書,有2種方法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,不同取法種數(shù)是N=4+3+2=9

典例解析例3

書架上第1層放有4本不同的計算機(jī)書,第2層放有3本不同的文藝書,第3層放有2本不同的體育書.(1)從書架上任取1本書,有多少種不同的取法?(2)從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書,有多少種不同取法?(2)從書架的第1,2,3層各取1本書,可以分成三個步驟完成：

第1步:從第1層中任取一本計算機(jī)書,有4種方法;

第2步:從第2層中任取一本文藝書,有3種方法;

第3步:從第3層中任取一本體育書,有2種方法；根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,不同取法種數(shù)是N=4×3×2=24分步計數(shù)結(jié)論將完成一件事的過程分成若干步求出每一步中的方法數(shù)將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結(jié)果利用分步乘法計數(shù)原理解題的一般思路：注意：確定分步標(biāo)準(zhǔn)時要確保每一步都不能獨(dú)立地完成這件事.方法歸納典例解析例3

書架上第1層放有4本不同的計算機(jī)書,第2層放有3本不同的文藝書,第3層放有2本不同的體育書.變式：從書架上任取兩本不同學(xué)科的書，有多少種不同的取法？需先分類再分步.第一類：從一、二層各取一本，有第二類：從一、三層各取一本,有第三類：從二、三層各取一本,有根據(jù)兩個基本原理，不同的取法總數(shù)是N=4×3+4×2+3×2=26答:從書架上取2本不同種的書,有26種不同的取法.4×3=12種方法；4×2=8種方法；3×2=6種方法；鞏固練習(xí)1.填空題(1)一項工作可以用2種方法完成，有5人只會用第1種方法完成，另有4人只會用第2種方法完成，從中選出1人來完成這項工作，不同選法的種數(shù)是________；

(2)從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，從A村經(jīng)B村去C村，不同路線的條數(shù)是_________.96課本P53.書架上層放有6本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有5本不同的語文書.