廣東省湛江市高三二模數(shù)學(xué)試題

2022屆廣東省湛江市高三二模數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，故選：B2．已知向量，的夾角的余弦值為，且，，則（

）A．﹣6 B．﹣4 C．2 D．4【答案】A【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄?，的夾角的余弦值為，且，，所以，故選：A3．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法求出集合，根據(jù)函數(shù)值域的求法求出集合，進(jìn)而求出即可．【詳解】對于集合求的是的取值范圍，對于集合求的是的值域，，，，故選：C．4．已知，是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】，，只有一條垂直直線，不能得出，不充分，當(dāng)時(shí)，由于，則有，是必要的，因此是必要不充分條件．故選：B．5．已知直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出圓心坐標(biāo)與半徑，再利用點(diǎn)到直線的距離及垂徑定理、勾股定理得到方程，解得即可；【詳解】解：圓的圓心為，半徑，因?yàn)橹本€與圓相交于、兩點(diǎn)，且，所以圓心到直線的距離，即，解得（舍去）或；故選：B6．若，且，則的最小值為（

）A．9 B．3 C．1 D．【答案】C【分析】由基本不等式得，進(jìn)而結(jié)合已知條件得的最小值為.【詳解】解：因?yàn)椋?，因?yàn)樗?，即，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以，即的最小值為.故選：C7．若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用對數(shù)和對數(shù)函的性質(zhì)進(jìn)行化簡后比較.【詳解】解：故故選：A的左?右焦點(diǎn)分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和D，且，，則E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合題意作出圖形，然后結(jié)合雙曲線的定義表示出，進(jìn)而利用勾股定理即可得到，從而可求出結(jié)果.【詳解】由題意知延長則必過點(diǎn),如圖：由雙曲線的定義知，又因?yàn)椋?，所以，設(shè)，則，因此，從而，所以，又因?yàn)?，所以，即，即，故選：B.二、多選題9．某學(xué)校組建了合唱?朗誦?脫口秀?舞蹈?太極拳五個(gè)社團(tuán)，該校共有2000名同學(xué)，每名同學(xué)依據(jù)自己興趣愛好最多可參加其中一個(gè)，各個(gè)社團(tuán)的人數(shù)比例的餅狀圖如圖所示，其中參加朗誦社團(tuán)的同學(xué)有8名，參加太極拳社團(tuán)的有12名，則（

）A．這五個(gè)社團(tuán)的總?cè)藬?shù)為100B．脫口秀社團(tuán)的人數(shù)占五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的20%C．這五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)占該校學(xué)生人數(shù)的4%D．從這五個(gè)社團(tuán)中任選一人，其來自脫口秀社團(tuán)或舞蹈社團(tuán)的概率為40%【答案】BC【分析】計(jì)算出五個(gè)社團(tuán)的總?cè)藬?shù)，可判斷A,C;計(jì)算出脫口秀社團(tuán)的人數(shù),判斷B;計(jì)算脫口秀社團(tuán)或舞蹈社團(tuán)的人數(shù)占五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的比例，可判斷D.【詳解】由于參加朗誦社團(tuán)的同學(xué)有8名，該社團(tuán)人數(shù)占比為，故社團(tuán)總?cè)藬?shù)為80人，故A錯(cuò)誤；合唱團(tuán)人數(shù)為，舞蹈社團(tuán)人數(shù)為人，故脫口秀社團(tuán)的人數(shù)為，故脫口秀社團(tuán)的人數(shù)占五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的，故B正確；五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)占該校學(xué)生人數(shù)的，故C正確；脫口秀社團(tuán)人數(shù)占五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的20%,,舞蹈社團(tuán)的人數(shù)占五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的，因此這兩個(gè)社團(tuán)人數(shù)占五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的45%，故從這五個(gè)社團(tuán)中任選一人，其來自脫口秀社團(tuán)或舞蹈社團(tuán)的概率為45%，D錯(cuò)誤，故選：BC10．已知是函數(shù)的一個(gè)周期，則的取值可能為（

）A．﹣2 B．1 C． D．3【答案】ABD【分析】根據(jù)三角恒等變換公式進(jìn)行化簡，根據(jù)周期函數(shù)定義求出的表達(dá)式即可求解．【詳解】依題意得，由周期函數(shù)定義得：，即：即：解得：又或故選：ABD．11．在正方體中，點(diǎn)E為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．直線DE與直線AC所成角為定值 B．點(diǎn)E到直線AB的距離為定值C．三棱錐的體積為定值 D．三棱錐外接球的體積為定值【答案】AC【分析】平面E與重合和與判斷；D.由平面，得到三棱錐外接球的球心O在判斷.【詳解】如圖所示：，又，所以平面，又平面平面，，則直線DE與直線AC所成角為定值，故正確；B.當(dāng)點(diǎn)E與重合時(shí)，點(diǎn)E到直線AB的距離，當(dāng)點(diǎn)E與重合時(shí)，點(diǎn)E到直線AB的距離，故錯(cuò)誤；，且點(diǎn)到面EBD的距離為定值，為定值，故體積為定值，故正確；D.易知平面，所以三棱錐外接球的球心O在上，當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)時(shí)，球心O的位置改變，則球的半徑R改變，所以外接球體積不為定值，故錯(cuò)誤；故選：AC12．若過點(diǎn)最多可作出條直線與函數(shù)的圖象相切，則（

）A．B．當(dāng)時(shí)，的值不唯一C．可能等于D．當(dāng)時(shí)，的取值范圍是【答案】ACD【分析】由題設(shè)切點(diǎn)為，進(jìn)而得，再構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，再數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】解：不妨設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)椋郧芯€方程為，所以，整理得，所以令，則，所以，令得.所以，當(dāng)或時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?dāng)趨近于時(shí)，趨近于，，，，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，所以，函數(shù)的圖像大致如圖，所以，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤，此時(shí)成立；當(dāng)時(shí)，，所以，故可能等于，C正確；當(dāng)當(dāng)時(shí)，，顯然，故D正確；綜上，，A正確.故選：ACD三、填空題13．若，，則___________.【答案】【分析】利用正切兩角和的公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，故答案為?4．拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)為C上一點(diǎn)，若，則___________.【答案】【分析】根據(jù)拋物線的定義，利用代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為：，因?yàn)?，所以，把代入拋物線方程中，得，故答案為：15．的展開式中常數(shù)項(xiàng)為___________.【答案】【分析】先求得展開式的通項(xiàng)公式，再分別用81乘以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)和乘以的展開式中含的一次項(xiàng)的兩種情況求解.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為，當(dāng)81乘以時(shí)，令，解得，常數(shù)項(xiàng)為；當(dāng)乘以時(shí)，令，解得，常數(shù)項(xiàng)為；所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為故答案為：16．“物不知數(shù)”是中國古代著名算題，原載于《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二；五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之剩二.問物幾何？”它的系統(tǒng)解法是秦九韶在《數(shù)書九章》大衍求一術(shù)中給出的.大衍求一術(shù)（也稱作“中國剩余定理”）是中國古算中最有獨(dú)創(chuàng)性的成就之一，屬現(xiàn)代數(shù)論中的一次同余式組問題.已知問題中，一個(gè)數(shù)被除余，被除余，被除余，則在不超過的正整數(shù)中，所有滿足條件的數(shù)的和為___________.【答案】【分析】找出滿足條件的最小整數(shù)值為，可知滿足條件的數(shù)形成以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，確定該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，利用等差數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，一個(gè)數(shù)被除余，被除余，被除余，則這個(gè)正整數(shù)的最小值為，因?yàn)椤?、的最小公倍?shù)為，由題意可知，滿足條件的數(shù)形成以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，設(shè)該數(shù)列為，則，由，可得，所以，的最大值為，所以，滿足條件的這些整數(shù)之和為.故答案為：.四、解答題17．如圖，一架飛機(jī)從地飛往地，兩地相距.飛行員為了避開某一區(qū)域的雷雨云層，從機(jī)場起飛以后，就沿與原來的飛行方向成角的方向飛行，飛行到地，再沿與原來的飛行方向成角的方向繼續(xù)飛行到達(dá)終點(diǎn).(1)求、兩地之間的距離；(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理可直接求得的長；（2）利用余弦定理求出的值，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得的值.【詳解】(1)解：由余弦定理可得，所以，.(2)解：由余弦定理可得，所以，，則為銳角，故，因此，.18．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為.(1)從①，②，③這三個(gè)條件中任選兩個(gè)作為條件，證明另一個(gè)成立，并求的通項(xiàng)公式；(2)在第（1）問的前提下，若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.注：如果選擇多種情況分別解答，按第一種解答計(jì)分.【答案】(1)；證明見解析.(2)【分析】（1）選①②，結(jié)合題意證明數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，進(jìn)而求解；選：②③，先根據(jù)題意得，進(jìn)而證明數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，再求解即可；選：①③，結(jié)合題意證明數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，進(jìn)而在求解即可.（2）結(jié)合（1）得，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】(1)解：選①②，因?yàn)椋?，因?yàn)?，，所以，?shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，所以，即所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，顯然滿足，所以，.選：②③，因?yàn)?，，所以，解得，?因?yàn)椋?，即，所以，整理得，所以?shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，所以.選：①③，因?yàn)?，，所以，所以，兩式作差得，即，所以?shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，所以，，所以，所以.(2)解：由（1）得，故，所以數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：19．某大學(xué)為了鼓勵(lì)大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，舉辦了“校園創(chuàng)業(yè)知識競賽”，該競賽決賽局有、兩類知識競答挑戰(zhàn)，規(guī)則為進(jìn)入決賽的選手要先從、兩類知識中選擇一類進(jìn)行挑戰(zhàn)，挑戰(zhàn)成功才有對剩下的一類知識挑戰(zhàn)的機(jī)會，挑戰(zhàn)失敗則競賽結(jié)束，第二類挑戰(zhàn)結(jié)束后，無論結(jié)果如何，競賽都結(jié)束.、兩類知識挑戰(zhàn)成功分別可獲得萬元和萬元?jiǎng)?chuàng)業(yè)獎(jiǎng)金，第一類挑戰(zhàn)失敗，可得到元激勵(lì)獎(jiǎng)金.已知甲同學(xué)成功晉級決賽，面對、兩類知識的挑戰(zhàn)成功率分別為、，且挑戰(zhàn)是否成功與挑戰(zhàn)次序無關(guān).(1)若記為甲同學(xué)優(yōu)先挑戰(zhàn)類知識所獲獎(jiǎng)金的累計(jì)總額（單位：元），寫出的分布列；(2)為了使甲同學(xué)可獲得的獎(jiǎng)金累計(jì)總額期望更大，請幫甲同學(xué)制定挑戰(zhàn)方案，并給出理由.【答案】(1)分布列答案見解析(2)優(yōu)先選擇挑戰(zhàn)類知識，理由見解析【分析】（1）分析可知的可能取值有、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列；（2）記為甲同學(xué)優(yōu)先挑戰(zhàn)類知識所獲獎(jiǎng)金累計(jì)總額，計(jì)算出、的值，比較大小后可得出結(jié)論.【詳解】(1)解：由題意可知，的可能取值有、、，，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：(2)解：記為甲同學(xué)優(yōu)先挑戰(zhàn)類知識所獲獎(jiǎng)金累計(jì)總額，甲同學(xué)優(yōu)先挑戰(zhàn)類知識所獲獎(jiǎng)金累計(jì)總額的期望為，優(yōu)先挑戰(zhàn)類知識所獲獎(jiǎng)金累計(jì)總額的期望為，由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有：、、，則，，，所以，（元），（元），所以，，所以，為了使甲同學(xué)可獲得獎(jiǎng)金累計(jì)總額期望更大，應(yīng)該優(yōu)先選擇挑戰(zhàn)類知識.20．在四棱臺中，底面ABCD是正方形，且側(cè)棱垂直于底面ABCD，，O，E分別是AC與的中點(diǎn).(1)證明：平面.(2)求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，得到為的中點(diǎn)，證得，結(jié)合線面平行的判定定理，即可證得平面；（2）以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸、軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得向量和平面的法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】(1)證明：連接，因?yàn)闉檎叫?，可得為的中點(diǎn)，在中，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫妫移矫?，所以平?(2)解：因?yàn)槠矫妫矫?，所以，以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸、軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，則，設(shè)平面的法向量，則，取，可得，所以，設(shè)與平面所成的角為，則，即與平面所成的角為.21．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，若在上存在最大值，求m的取值范圍；(2)討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】(1)；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn).【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和最值的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合極值點(diǎn)的定義、一元二次方程根的判別式分類討論求解即可.【詳解】(1)因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，因此要想在上存在最大值，只需，所以m的取值范圍為；(2)，方程的判別式為.（1）當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)方程沒有實(shí)數(shù)根，所以，函數(shù)單調(diào)遞減，故函數(shù)沒有極值點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)，（當(dāng)時(shí)取等號），所以函數(shù)單調(diào)遞減，故函數(shù)沒有極值點(diǎn)；（3）當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，設(shè)，則，函數(shù)的定義域?yàn)椋海@然當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)正實(shí)數(shù)根和一個(gè)負(fù)根，或是一個(gè)正實(shí)數(shù)和零根，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值點(diǎn)，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn)，綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用一元二次方程根的判別式分類討論是解題的關(guān)鍵.22．已知橢圓的上?下焦點(diǎn)分別為，，左?右頂點(diǎn)分別為，，且四邊形是面積為8的正方形.(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)M，N為C上且在y軸右側(cè)的兩點(diǎn)，，與的交點(diǎn)為P，試問是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】(1)；(2)為